Контрольная работа
По дисциплине:
«Высшая математика»
Тема:
«Длина дуги кривой впрямоугольных координатах»
1. Производнаяопределенного интеграла по переменному верхнему пределу
Сформулируем следующее свойство определенныхинтегралов:
Пусть функция /> непрерывна на />. Составим для нееопределенный интеграл />. Пусть для определенности/> на всем отрезке. Тогда сгеометрической точки зрения составленный интеграл не что иное, как площадькриволинейной трапеции с основанием />,которая ограничена линией />.
Если в рассматриваемоминтеграле заменить переменную интегрирования /> на/>, то величина его,очевидно, не изменится. Поэтому в дальнейшем для удобства будем считать, чтоплощадь трапеции определяется интегралом />.
/>
Величина определенногоинтеграла зависит от значений верхнего и нижнего пределов интегрирования, тоесть от длины основания криволинейной трапеции. Рассмотрим поэтому теперьслучай, когда нижний предел интеграла фиксирован и равен />, а верхний может меняться,принимая значения />, где />. В этом случае определенныйинтеграл будет соответствовать площади криволинейной трапеции, величина которойменяется. Зависеть эта площадь будет от значения />,то есть />. Если /> будет меняться непрерывно,то и площадь трапеции будет меняться непрерывно, то есть /> – непрерывная функция,которую можно дифференцировать.
Теорема. Производнаяопределенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральнойфункции, у которой переменная интегрирования заменена этим верхним пределом, тоесть /> или />.
Для вычисленияпроизводной проделаем все стандартные операции. Зададим приращение аргументу: />, что, в свою очередь,приведет к приращению функции: />. Таккак />, а />, то приращение функцииопределяется выражением:
/>.
Применим к полученномувыражению теорему о среднем в определенном интеграле:
/>, где />.
Составим отношение />. Чтобы получитьпроизводную />, перейдем в составленномотношении к пределу: />. Так как />, то при стремлении /> точка /> будет стремиться к />. Следовательно, вычислениепредела приведет к выражению: />.
Из доказанной теоремыследует, что /> – это первообразная от />, следовательно,определенный интеграл /> также является первообразнойот />, и вычислять его,очевидно, необходимо с помощью тех же приемов, что и неопределенный интеграл.
2. Формула Ньютона–Лейбница
Вычисление определенногоинтеграла как предела интегральной суммы представляет собой довольно сложнуюзадачу и может быть выполнено лишь в некоторых наиболее простых случаях. Однакополученная в п. 1 связь между определенным интегралом и первообразной позволяетполучить простой метод для вычисления этих интегралов.
Теорема. Если /> какая-либо первообразнаяот непрерывной функции />, то справедливаформула: />.
В предыдущем пункте былопоказано, что /> – этопервообразная от функции />. Но какбыло показано при изучении неопределенного интеграла, любая непрерывная функцияимеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга напостоянное слагаемое. Поэтому, если /> какая-тодругая первообразная от той же функции />,то />.
Оказывается, что в случаеопределенного интеграла постоянную /> можно вычислить.Действительно, так как /> может приниматьлюбые значения между /> и /> (п. 1), то пусть />. Тогда: />. Но определенный интегралс равными пределами равен нулю, следовательно, />.Значит,
/>.
Положим теперь, что />, тогда
/>.
Полученное выражениеназывается формулой Ньютона – Лейбница. Другая форма записи этого выраженияследующая:
/>.
Обычно в полученныхвыражениях переменная интегрирования обозначается буквой />.
Таким образом, чтобывычислить определенный интеграл, необходимо найти любую первообразную от /> и вычислить разность еезначений в верхнем и нижнем пределах интегрирования. Полученная простая формулапозволяет легко находить решения многих математических и прикладных задач,связанных с вычислением определенного интеграла.
3. Замена переменной вопределенном интеграле
При изучениинеопределенного интеграла было показано (п. 5.4), что одним из наиболеечасто встречающихся методов его вычисления является замена переменных. Так каквычисление определенного интеграла, согласно формуле Ньютона – Лейбница, такжесвязано с нахождением первообразной, то метод замены переменной применим и внем, однако при этом имеются некоторые особенности. В неопределенном интегралезамена переменной приводила в конце вычислений к обратной замене, вопределенном же, оказывается, можно обойтись без этого.
Теорема. Если вопределенном интеграле />, где /> непрерывна на />, сделать замену переменной/> и при этом:
1) />, />;
2) /> и /> непрерывны на />;
3) /> непрерывна на /> и при изменении /> от /> до /> не выходит за пределыотрезка />,
то />.
Пусть /> – какая-то первообразнаяот />, тогда />. Согласно формуле Ньютона –Лейбница, получим соответствующий определенный интеграл: />. Но, как было показано вп. 5.4, в неопределенном интеграле можно сделать замену переменной />, тогда />. В этом случаесоответствующий определенный интеграл будет иметь вид:
/>.
У обоих определенныхинтегралов правые части равны, следовательно, равны и левые части:
/>,
что и требовалосьдоказать.
Из доказанной теоремыследует, что при замене переменной в определенном интеграле должны поменятьсяпределы интегрирования, и обратная замена здесь уже не нужна, так как и пристарой и при новой переменной в ответе получается одно и то же число.
4. Интегрирование почастям в определенном интеграле
Пусть даны функции /> и />, которые непрерывны сосвоими производными на />. Составим ихпроизведение и продифференцируем его:
/>.
Возьмем от обеих частейполученного равенства определенные интегралы:
/>.
Но />, />, />. Следовательно, />, откуда: />. Так же как и внеопределенном интеграле, данная формула требует правильного выбора множителей /> и />.
5. Длина дуги кривой впрямоугольных координатах
При вычислении длиныкривой линии может быть использована та же методика, что и при вычисленииплощадей криволинейных трапеций, то есть кривую разбивают на такие малыеучастки, длину которых можно посчитать геометрическими методами.
Определение. Длинойдуги кривой линии называют предел, к которому стремится длина вписанной в нееломаной линии при неограниченном увеличении числа ее звеньев и при стремлениидлины наибольшего звена к нулю.
/>
Итак, пусть кривая линия /> описывается функцией /> на отрезке />. При этом пусть /> непрерывна на этом отрезкевместе со своей производной />.Разобьем кривую /> на /> частичных дуг точками />. Соединив начало и конецкаждой частичной дуги хордой, получим в результате вписанную ломаную линию,длина которой равна сумме длин ее звеньев:
/>.
Обозначим: />, />,…, />,…, />. Кроме того, />, />,…, />,…, />. В таком случае /> можно рассматривать какгипотенузу прямоугольного треугольника и поэтому
/>.
Согласно теореме Лагранжао среднем
/>, где />,
следовательно,
/>.
Отсюда длина ломанойлинии равна
/>.
Переходя к пределу вданной интегральной сумме, когда число звеньев ломаной стремится кбесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю, получаем длинукривой линии в прямоугольной системе координат:
/>.
Данный интегралсуществует, поскольку по условию производная /> непрерывна.
Из полученной формулыможно получить выражение для дифференциала дуги, которое используется как вматематике, так и в некоторых задачах теоретической механики. Пусть положениеправого конца кривой линии является переменной величиной, тогда ее длина будетфункцией точки, в которой она заканчивается, то есть
/>.
Возьмем производнуюданного интеграла по переменному верхнему пределу (п. 1.):
/>.
Отсюда следует, что
/>.
6. Длина дуги кривой приее параметрическом задании
Рассмотрим теперь случай,когда кривая, длину которой необходимо вычислить, задана параметрически, тоесть /> при этом изменение /> от /> до /> приводит к изменению /> от /> до />. Пусть функции /> и /> непрерывны вместе сосвоими производными на отрезке /> и приэтом />. Тогда />, а />. Подставим значение даннойпроизводной и дифференциала в формулу для длины дуги в прямоугольной системекоординат (п. 5):
/>.
В случае пространственнойкривой ее параметрическое задание будет выглядеть следующим образом:
/>
Если указанные функциинепрерывны вместе со своими производными на отрезке />,то можно доказать, что длина данной кривой вычисляется по формуле
/>.
7. Длина дуги в полярнойсистеме координат
Если кривая задана вполярной системе координат, то она описывается функцией />, где />. Пусть /> непрерывна вместе со своейпроизводной на отрезке />.
Перейдем от полярной кпрямоугольной системе координат: />. Но таккак />, то получаем, что />. Иначе говоря, /> и /> выражены через параметр />, поэтому можновоспользоваться формулой для длины дуги при ее параметрическом задании (п. 6.):
/>
Возведя в квадратвыражения в скобках и выполнив элементарные преобразования, получаем:
/>.
Обычно данную формулузаписывают следующим образом:
/>.
8. Вычисление объемов телпо известным площадям поперечных сечений
Определенный интеграл внекоторых случаях может быть использован и для вычисления объемов тел. Этоможно сделать, когда известны площади всех их поперечных сечений.
/>
Пусть некоторое тело,объем которого необходимо определить, расположено вдоль оси /> между точками /> и />. Пусть это тело обладаеттем свойством, что известна площадь /> еголюбого поперечного сечения плоскостью />,то есть плоскостью, перпендикулярной оси />.Так как в общем случае величина этого сечения будет меняться, то />. В случае, еслиповерхность тела является гладкой, а тело сплошным, то /> будет непрерывнойфункцией.
Разобьем отрезок /> точками /> на частичные отрезки и вкаждой полученной точке проведем плоскость, перпендикулярную оси />. Все тело при этомразобьется на слои, а его объем будет равен сумме объемов всех полученныхслоев: />.
Найдем приближенновеличину объема />-ого слоя />. Для этого рассмотримотрезок />, длина которого равна />. Возьмем некоторую точку /> и проведем в ней секущуюплоскость, перпендикулярную оси />. Если /> достаточно мало, то слой,соответствующий объему />, можнопрактически считать прямым цилиндром с поперечным сечением равным />. Но в этом случае, как и укругового цилиндра, />. Отсюда следует,что
/>.
Полученное выражениеявляется интегральной суммой. Так как функция /> поусловию непрерывна, то предел этой суммы при /> и/> существует и равенопределенному интегралу:
/>.
Итак, объем тела сизвестными поперечными сечениями равен:
/>.
9. Объем тела вращения
Рассмотрим теперь тело,полученное в результате вращения криволинейной трапеции вокруг оси />. Пусть основанием этойтрапеции является отрезок />,расположенный на оси />, и она ограниченанепрерывной кривой />. В этом случае влюбом сечении полученного тела плоскостью, перпендикулярной оси />, будет круг, радиускоторого совпадает со значением функции /> вданной конкретной точке. Поэтому площадь сечения будет равна />.
Подставив данноевыражение в формулу для объема тела с известными площадями поперечных сечений,приведенную в предыдущем параграфе, получим:
/>.
Если трапеция вращаетсявокруг оси />, то должна быть заданафункция /> на отрезке />. В этом случае объем телавращения равен:
/>.
Литература
1. КрищенкоАлександр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие длястудентов высших учебных заведений. Изд-во «Академия», 2009. – 208c.
2. МакарычевЮрий Тригонометрия. Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2004. – 360 с.
3. ПотаповМихаил Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарными функциями.Издательство: ЭКЗАМЕН XXI, 2008. – 160 с.
4. Тоом А.,Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. – 200 с.