ФГОУ ВПО “Чувашскийгосударственный университет имени
И.Н. Ульянова”
Кафедра высшей математики
Курсовая работа
На тему: «Единое пересечение кривыхв пространстве»
Выполнил студент
группы: РТЭ 11-10
Марков К. Ю.
Работу проверил:
Поляков Н.Д.
Чебоксары 2010г.
Содержание
Введение
1 Теоремаединственности для кривых второго порядка
2 Различныеспособы доказательства теоремы единственности для кривых второго порядка
3 Пучоккривых второго порядка
4 Теоремаединственности для поверхностей второго порядка
Список литературы
Введение
Впервыекривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работазаключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать ихвокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность.Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различныегеометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола инесколько вырожденных фигур.
Однако этинаучные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планетыдвижутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит попараболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первуюкосмическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, приувеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижении второй космическойскорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.
1 Теоремаединственности для кривых второго порядка
Докажем что длякривых второго порядка так называемую «теорему единственности». Но сначаладокажем следующее.
Теорема 1. Пусть на плоскости даныпять точек:
M1= (x1,y1), М2 = (х2, у2), М3 = (х3, у3), М4= (x4,y4), М5 = (х5, у5),
из которыхникакие четыре не лежат на одной прямой. Тогда однозначно, с точностью дочислового множителя, определены коэффициентыа11=А, а12=В,а22=С, а1=D, a2=E, a=Hв уравнении
F(x,y)=a11x2 + 2a122xy + a22y2+ 2a1x + 2a2y + a0= 0 (1)
кривойвторого порядка, проходящей через эти точки, откуда следует, что кривая этасуществует и единственна.
При этом,если данные пять точек действительны, то и проходящая через них единственнаякривая второго порядка действительна.
Доказательство. Напишем условие того,что каждая из точек M1, M2, M3, M4,M5 лежит на кривой, заданной уравнением (1) с пока ещенеизвестными коэффициентами а11=А, а12=В, а22=С,а1=D, a2=E, a=H. Получаем систему пятиуравнений:
Ax21+2Bx1yl+Cy21 + 2Dx1+ 2Ey1 +H=0,
Аx22+2Вх2у2+ Cy22 + 2Dx2+ 2Еу2 + Н =0,
Ax23+ 2Bx3y3 + Cy 23 +2Dx3 + 2Еу3 + H=0, (2)
Аx24+2Bx4y4 + Cy24 + 2Dx4+ 2Еу4 + Н=0,
Аx25+2Вх5у5 + Cy25 +2Dx5+ 2Еу5 + H=0.
относительно неизвестныхА, В, С, D, Е, Н. Это — система пяти линейных однородных уравнений с шестьюнеизвестными. При этом, если точки M1, M2, M3,M4, M5 действительны, то и коэффициенты x21, 2x1ylи т. д. в уравнениях (2)действительны. Если система (2) — независима, то неизвестные А, В, С, D, Е, Нопределены однозначно с точностью до числового множителя, и теорема доказана.
Предположим,что система (2) зависима. Тогда одно из уравнений, пусть пятое, есть линейнаякомбинация остальных четырех. Следовательно, всякая шестерка чисел А, В, С, D,Е, Н, удовлетворяющая первым четырем уравнениям (2), удовлетворяет и пятомууравнению (2), а это значит, что всякая кривая (1), проходящая через четыреточки M1, M2, M3, M4,проходит и через пятую точку M5. Покажем сначала, что вэтом случае три точки из числа четырех M1, M2, M3,M4, лежат на одной прямой. В самом деле, в противном случаемы могли бы провести через точки M1, M2, M3,M4, две пары прямых, т. е. две распадающиеся кривые второгопорядка:
во-первых, M1M2и M3M4,
во-вторых, M1M3и M2M4
Обе этираспадающиеся кривые проходят через четыре точки M1, M2,M3, M4 не имеют других общих точек; междутем у них должна была бы быть еще и пятая общая точка, а именно точка M5.Противоречие! Итак, утверждение доказано: из четырех точек M1, M2,M3, M4 три, пусть M1, M2,M3, лежат на одной прямой d.
Докажем, чтона той же прямой d лежит и четвертая точка (M4 или M5).Пусть ни M4, ни M5 не лежат па прямой d.
/>
Проведемчерез точку M4 произвольную прямую d', не проходящуючерез точку M5. Имеем снова кривую второго порядка, а именнопару прямых d и d', проходящую через точки M1, M2,M3, M4, но не проходящую через M1,— опять получили противоречие.
Итак, мыдоказали: если уравнения (2) зависимы, то из точек M1, M2,M3, M4, M5 четыре лежат на однойпрямой. Теорема 1 доказана.
Теорема2(теорема единственности). Если два уравнения второй степени
F(x, y) =a11x2+ 2a122xy+ a22y2+ 2a1x+ 2a2y+ a= 0 (3)
и
F′(x,y) =a′11x2 + 2a′122xy + a′22y2+ 2a′1x + 2a′2y + a′0= 0 (4)
удовлетворяются одним итем же множеством точек С комплексной плоскости, то одно из этихуравнений получается из другого почленным умножением на некоторой числовоймножитель.
Добавление ктеореме 2. Если известно лишь, что множество действительных точек плоскости,удовлетворяющих уравнениям, (3) и (4), одно и то же и состоит более чем изодной точки, то Утверждение теоремы2 остается в силе (каждое из уравнений (3),(4) получается из другого умножением на числовой множитель).
Докажемсначала частный случай этой теоремы, а именно случай, когда множество всехточек, удовлетворяющих уравнению (3), есть некоторая прямая d (т. е.когда линия, определяемая этим уравнением, есть пара совпадающих, непременнодействительных, прямых). Перейдя к системе координат, осью ординат которойявляется прямая d, можем предположить, что ее уравнение есть х = 0.Достаточно доказать, что в этом случае F(x, у) = a11x2.
Уравнение (3),по предположению, удовлетворяется точками M=(0, у) при любом у, итолько этими точками. Поэтому, подставив в (3) значение х=0, получимтождество относительно у:
a22y2+ 2а2у + a= 0.
Это значит,что a22= a2= a= 0 и уравнение (3) имеет вид
F(x, у) = х(a11х + 2a12y+ 2a1) = 0. (5)
Оноудовлетворяется, кроме точек оси ординат, еще и всеми точками прямой d':
a11х + 2a12y+ 2a1= 0.
Но уравнение(5) должно удовлетворяться только точками оси ординат, поэтому прямая d'совпадает с прямой х = 0, что имеет место лишь при a11 ≠ 0, a12= a1= 0.
Тождество F(x,у)=a11x2, а вместе с тем и разбираемый частный случайтеоремы доказаны.
Пусть теперькривая, определяемая уравнением (1), не есть пара совпадающих прямых. Тогда наней можно найти пять точек M1, M2, M3,M4, M5 , из которых никакие четыре не лежат наодной прямой. Это очевидно, если кривая (3) нераспадающаяся: тогда никакие триее точки не лежат на одной прямой, и, следовательно, в качестве точек M1,M2, M3, M4, M5 можновзять любые пять точек, удовлетворяющих уравнению (3). Если же кривая (3)распадается па пару различных прямых d и d′, то достаточно взять триточки на одной из этих прямых, а две другие — на другой. Точки (из которыхникакие четыре не лежат на одной прямой) лежат и на кривой (3), и на кривой (4);поэтому, в силу теоремы, левые части уравнений (3)и(4) могут отличаться лишьпостоянным множителем. Теорема 2 доказана.
Если (3) неесть мнимый эллипс или пара мнимых (сопряженных) прямых, т. е. если онасодержит более одной действительной точки, то множество ее действительных точекбесконечно, и поэтому точки M1, M2, M3,M4, M5 в предыдущем рассуждении могут бытьпредположены действительными. Этим доказано и добавление к теореме 2.
2 Разныеспособы доказательства теоремы единственности
Преимуществопредлагаемого второго доказательства заключается в том, что оно легко можетбыть перенесено на случай поверхностей F{x, у, z) = 0 (и даже на случай (n-1) -мерных поверхностейвторого порядка в n-мерном пространстве).
Обозначимчерез Cмножество точек, лежащих на кривой
F(x, у) =а11х2 + 2а12ху + а22у2 +2а1х + 2а2у + а0= 0 (6)
т. е.множество всех точек М=(х, у) комплексной плоскости, удовлетворяющихуравнению (6). Предположим, что множество С совпадает с множеством всехточек комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению
F(x, y) = b11x2 + 2b12xy + b22y2+ 2b1x + 2b2y + b0= 0 (7)
Вспомним, чтонеасимптотические направления {α: β} по отношению к кривой (6)характеризуются тем, что имеется прямая данного направления {α: β} имеющаяс множеством С ровно две (различные) общие точки,поэтому всякое направление, неасимптотическое для одной из двух кривых (6) и (7),будет неасимптотическим и для другой кривой.
Выбираем некотороеопределенное неасимптотическое направление {α: β} для кривых (6) и (7).
Одну из прямых d направления {α: β} примем заось ординат, а диаметр, сопряженный направлению {α: β}, — за ось абсцисс координатной системы О'х'у'. Из результатов предыдущего параграфаследует, что уравнения (3), (6) получат в системе координат О'х'у'
вид
F′(x′,y′) = а′22у′ 2 + а′11х′2 + 2а′1x′ + а′0=0 (8)
F′(x′, y′) = b′22y′2 + b′11x′ 2 + 2b′1y′+ b′0= 0 (9)
Здесь a′22≠0 (и b′22≠0 ), в противном случаеединичный вектор {0, 1} оси у', удовлетворяющий уравнению
φ′(x′, y′) = а′11х′ 2 +а′22у′ 2 = 0,
имел бы,вопреки предположению, асимптотическое направление. Пересечение множества С сосью у' = 0 обозначим через C. Возможны следующиеслучаи:
1° Множество С0пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (и тогдакаждое) из
f(x')= a′11x′2+2a′1x′+a′0=0
f(x') = b′11x′2+2b′1x′+b′0= 0
противоречиво,т. е.
/>
Множество Cпусто
Сногочленов f(x'), f(x') тождественно равенотличной от нуля постоянной а'0, соответственно b′0.
2° Множество С0совпадает со всей прямой у' = 0. Это происходит тогда и только тогда,когда каждый из многочленов f(x'), f(x') тождественно равеннулю.
/>
Множество Cсовпадает с прямой y′o′
3° Ни одни изслучаев 10, 20не имеет места. Тогда множество С0состоит или из одной точки, или из пары (быть может, совпадающих между собою)точек, являющихся парой корней как уравнения
a′11x′2+2a′1x′+a′0= 0 (10)
так и уравнения
b′11x′2+2b′1x′+b′0= 0 (11)
/>
Множество C0 состоит из одной точки А
Рассмотримближе этот случай. Так как уравнения (10) и (11) имеют одни и те же корни, топри некотором μ ≠ 0 имеем
b′11x′2+2b′1x′+b′0 =μ(a′11x′2+2a′1x′+a′0)
и, значит,полагая λ=b′22:a′22, имеем
F′(x′,y′) = а′22у′ 2 + (а′11х′2 + 2а′1x′ + а′0),
F′(x′, y′) =λb′22y′ 2 + μ(b′11x′2 + 2b′1y′ + b′0)
Докажем, что λ=μ. Для этого дадимпеременному х' значение x′=x′1, являющаяся корнемуравнения
а′11х′2 + 2а′1x′ + а′0=1
и найдем значениеy′, удовлетворяющееуравнению
F′(x′1,y′) = а′22у′ 2 + 1 = 0
/>
т. е. y′1= ± (- 1: a′22 )0,5.
Значит, точка(x′1, y′1 ) принадлежит множеству С;следовательно,
F′(x′1,y′1) = λа′22у′2 + μ·1= λа′22( — 1: a′22)+ μ= 0
т. е. λ=μ,и F′(x′, y′)=λF′(x′, y′), значит, и
F(x, y)=λF(x, y).
Итак, вслучае 3° теорема доказана. В случае 2° имеем
F′(x′,y′)=а′22у′ 2, а′22≠0,F′(x′, y′)=b′22у′2, b′22≠0.
Полагая λ= b′22: a′22, получим F′(x′,y′)= F′(x′, y′) —утверждение теоремыверно и в этом случае.
Наконец, вслучае 1° уравнения (8) и (9) принимают вид
F′(x′,y′) = а′22у′ 2 + a′0=0, a′0≠0,
F′(x′, y′) = b′22у′2 + b′0=0 b′0≠0
— множество Сесть пара прямых, определенная каждым из уравнений
y′=±(-(a′0: a′22)0,5)или y′=±(-(b′0 :b′22)0,5).
Для тогочтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобыбыло
(a′0: a′22)=( b′0: b′22),т.е. b′22=λa′22,b′0=λa′0 при λ=( b′22:a′22).
Теоремадоказана во всех случаях.
3 Пучоккривых второго порядка
Пусть M1,M2, M3, M4, — четыре точки,не лежащие на одной прямой. Задавая по произволу еще одну точку M5 (неколлинеарную никаким трем из точек M1, M2, M3,M4, получим, по теореме 1, единственную кривую второгопорядка, проходящую через точки M1, M2, M3,M4, и точкуM5 .
Поэтомумножество всех кривых второго порядка, проходящих через четыре точки M1,M2, M3, M4, бесконечно. Этомножество кривых называется пучком кривых второго порядка, определяемым точкамиM1, M2, M3, M4.
Будемобозначать кривую той же буквой F, которой обозначена левая часть F(x,у) ее уравнения (1), так что F и λF при любом λ≠0 — это одна и та жекривая. Если
F (х, y) =λ1F1(x, y) + λ2F2(x, y),
то будемговорить, что кривая F есть линейная комбинация (с коэффициентами λ1 и λ2) кривых F1и F2. Если кривые F1 и F2принадлежат пучку, определяемому точками Mi = (xi, yi) (i = l, 2, 3, 4),то уравнения F1(x, у)=0 и F2(x, у)=0удовлетворяются, если в них подставить значения х = xi, у = yi при любых i = l, 2, 3,4. Но тогда и уравнение λ1F1(x, y) + λ2F2(x, y)=0 будет при х = xi, у = yiудовлетворяться. Другимисловами, всякая кривая, являющаяся линейной комбинацией двух (или более)кривых, принадлежащих данному пучку, принадлежит этому пучку. Докажем обратноепредложение. Пусть в пучке кривых второго порядка выбраны две определенныекривые F1 и F2. Тогда всякая кривая Fданного пучка есть линейная комбинация этих двух кривых F1 и F2.
Пусть пучокопределен четверкой точек M1, M2, M3,M4. Возьмем на кривой F какую-нибудь точку M5,не коллинеарную ни с какими тремя из точек M1, M2,M3, M4. Кривая F есть единственнаякривая второго порядка, проходящая через точки M1, M2,M3, M4, M5. Поэтому длядоказательства сделанного утверждения достаточно найти такую линейнуюкомбинацию λ1F1 + λ2F2 чтобы кривая
λ1F1(x, y) + λ2F2(x, y)=0 (12)
проходила через точку M5= (х5, у5), т. е. достаточно определить λ1 и λ2, вернее, их отношение λ1:λ2, из условия
λ1F1(х5, у5)+ λ2F2(х5, у5), (13)
Итак, любойпучок кривых второго порядка вполне определен, если даны две какие-нибудькривые F1 и F2 из этого пучка: он состоит из всех кривых,являющихся линейными комбинациями λ1F1 + λ2F2 двух данных. Все этикривые определяются значениями одного параметра— отношением λ = λ1:λ2 двух коэффициентов влинейной комбинации λ1F1 + λ2F2. Другими словами, пучоккривых второго порядка является одномерным многообразием кривых — совершенно втом же смысле, в каком пучок прямых является одномерным многообразием прямых (апучок плоскостей — /> />
одномерныммногообразием плоскостей).
Понятие пучкакривых позволяет очень просто найти уравнение кривой второго порядка, проходящейчерез заданные пять точек M1, M2, M3,M4, M5. В самом деле, возьмем четыре точки изчисла данных пяти, например M1, M2, M3,M4.
Легконаписать уравнения прямых:
d1: M1M2d′1: M3M4,
d2: M1M3 d′2: M2M4 .
Теперь имеемдве распадающиеся кривые второго порядка: кривую F1 распадающуюсяна пару прямых d1 и d′1, и кривую F2,распадающуюся на прямые d2 и d′2.Многочлены F1(х, у) и F2(х, у)суть произведения трехчленов первой степени, являющихся левыми частямиуравнений, соответствующих прямым d1 и d′1, d2 и d′2. Распадающиеся линии F1и F2, очевидно, проходят через точки M1, M2,M3, M4 т. е. принадлежат пучку,определяемому этими точками. Остается только определить отношение λ1:λ2 из условия, чтобы криваяλ1F1 + λ2F2 проходила через точку M5= (х5, у5), этим условием является равенство (13),из которого находим
λ1:λ2 = — F2(х5, y5): F1(x5, у5).
4 Теорема единственностидля поверхностей второго порядка
Теорема 3. Два многочлена второйстепени F1(x, у, z) и F2(х, y, z) тогда и только тогдаимеют одно и то же нулевое многообразие, когда они пропорциональны между собою,т. е. когда один из них получается из другого умножением на некоторое число λ≠0 .
Как н вслучае многочленов от двух переменных, только одна половина этой теоремынуждается в доказательстве: надо доказать, что два многочлена второй степениF1(x, у, z) и F2(х, y, z), имеющие одно и то женулевое многообразие CF1 = CF2 =C, пропорциональны междусобою.
Рассмотримповерхности
F1(x,у, z)=0 (14)
и
F2(х,y, z)=0 (15)
Беремкакое-нибудь направление {α: β: γ}, неасимптотическое дляповерхности (14); оно будет неасимптотическим и для поверхности (15).
Диаметральнаяплоскость π поверхности (14), сопряженная направлению {α: β:γ}, будет и диаметральной плоскостью поверхности (15), сопряженной тому женаправлению.
Возьмемтеперь систему координат O'x'y'z', ось z' которой имеетнаправление {α: β: γ}, а две другие оси лежат в плоскости π.В этой системе координат уравнения (14) и (15) примут соответственно вид
F′1(x′,у′, z′)=a′33z′ 2+f′1(x′, y′) = 0 (16)
F′2(x′,у′, z′)=a′33z′ 2+f′2(x′, y′) = 0 (17)
где
f′1(x′,y′)=a′11x′ 2+ 2a′12x′y′+ a′22y′ 2+2a′1x′ + 2a′2y′+a′0
f′2(x′,y′)=b′11x′ 2+ 2b′12x′y′+ b′22y′ 2+2b′1x′ + 2b′2y′+b′0
Здесь a′33 ≠0 (и b′33 ≠0), впротивном случае единичный вектор {0, 0, 1} оси z', удовлетворяяуравнению
φ′1(x′,у′, z′)=a′11x′ 2+ 2a′12x′y′+ a′22y′ 2+ a′33z′2 = 0 ,
был бы векторомасимптотического направления для поверхности (14) (соответственно для (15)) —вопреки нашим предположениям.
Нам надодоказать пропорциональность многочленов F1(x, у, z) и F2(х,y, z) т. е. пропорциональность тождественно равных им многочленов F′1(x′, у′, z′) и F′2(x′, у′, z′). Для этого обозначим черезС0 пересечение множества С с плоскостью z' = 0.Множество С0 есть множество всех точек плоскости О'х'у',в которых обращается в нуль один какой-нибудь (и, следовательно, любой) измногочленов f′1(x′, y′), f′2(x′, y′). Другими словами, это есть(лежащее в плоскости О'х'у') нулевое многообразие каждого из этихмногочленов.
Возможныследующие случаи:
1° Множество С0пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когдакакое-нибудь (н тогда каждое) из равенств f′1(x′, y′)=0, f′2(x′, y′)=0 противоречиво, т. е.когда одни какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f′1(x′, y′), f′2(x′, y′) тождественно равенотличной от нуля постоянной а'0, соответственно b'„.
2° Множество совпадаетсо всей плоскостью О'х'у'. Это происходит тогда и только тогда, когдаодин какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f′1(x′, y′), f′2(x′, y′) тождественно равен нулю.
3° Ни один изслучаев 1°, 2° не имеет места. Тогда множество С0 естьмножество всех точек кривой второго порядка, определяемой в плоскости О'х'у'каждым из уравнений
f′1(x′, y′)=0, f′2(x′, y′)=0 . (18)
В этом случаев силу теоремы единственности для многочленов второй степени от двух переменныхимеем f′2(x′, y′) = μ f′1(x′, y′) при некотором μ≠0.Полагая λ=z′33: a′33 (что возможно, так как a′33≠0), можемнаписать
F′1(x′,у′, z′)= a′33z′2+ f′1(x′,y′),
F′2(x′,у′, z′)=λ a′33z′2+μ f′2(x′,y′),
Для тогочтобы доказать в случае 3° пропорциональность многочленов F′1(x′, у′, z′) и F′2(x′, у′, z′), надо только показать,что μ = λ… Так как многочлен f′1(x′, y′), не равен тождественнопостоянной, то существуют значения x′=x′1, у' = у'1,для которых f′1(x′1, у'1).Найдятакие значения, решаем относительно z' уравнение
F′1(x′1, у′1,z′1) = a′33z′2+ 1 =0
Получаем z′1 = (1 :a′33 )0,5. Итак, точка M1 = (x′1, у′1,z′1) принадлежит множеству С. Следовательно,
F′2(x′1,у′1,z′1) = λa′33(1: a′33)+ μ 1 = 0, т. е. μ = λ.
Итак, вслучае 3° утверждение теоремы 3 доказано. В случае 2° имеем
F′1(x′, у′, z′)= a′33 z′2, a′33 ≠0,
F′2(x′, у′, z′)= b′33 z′2, b′33 ≠0
и,следовательно, полагая λ=(b′33: a′33), имеем F′2(x′, у′, z′)=λF′1(x′, у′, z′) — утверждение теоремы 2верно и в этом случае.
Наконец, вслучае 1° уравнения (16′), (17') принимают вид
F′1(x′,у′, z′)=a′33 z′2+a′0, a′0≠0
F′2(x′, у′, z′)= b′33z′2+b′0, b′0≠0
Для тогочтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобыбыло b′33 =λa′33, b′0 =λa′0 при λ= (b′33: a′33 )
Теорема 3доказанаво всех случаях.
Список литературы
1. АлександровП.С. Лекции по аналитической геометрии. Наука, 1968
2. АнастасянЛ.С. Геометрия. Просвещение, 1973. ч 1
3. АнастасянЛ.С. Геометрия. Просвещение, 1987. ч 2
4. БазылевВ.Т. Геометрия. М., 1974. ч 1
5. ЕфимовН.В. Квадратичные формы и матрицы. Наука, 1967
6. ПарнасскийИ.В. Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадратики. Просвещение,1978.
7. ПогореловА.В. Аналитическая геометрия. Наука, 1968