Дискретная задача оптимального управления

--PAGE_BREAK--
Методы синтеза и определения состояния обьекта

При диагностировании объектов обычно рассматриваются и учитываются только два характерных состояния:

•        объект функционирует;

•        объект не функционирует.

Однако с учетом комплектующих объекта (блоков, агрегатов, деталей) фак­тическое число состояний может быть существенно больше, например:

•        первый блок объекта функционирует;

•        второй блок объекта не функционирует;

•        третий блок объекта функционирует и т.д.

В этой связи задача определения числа состояний объекта по существу сво­дится к задаче определения числа таких блоков или агрегатов, отказ которых при­водит к отказу всего объекта в целом.

В общем случае, когда объект состоит изNкомплектующих, возможное число состояний может быть определено по формуле

S
=2
n
.

Число состояний, когда объект не функционирует (объект отказал), равно

S

=
S
— 1.

Например, пусть рассматриваемый объект состоит из двух последовательно соединенных комплектующих (агрегатов).



1



2









Рис. 10. Схема объекта из двух агрегатов

Тогда можно выделить четыре возможные состояния объекта:

•        отказал первый агрегат;

•        отказал второй агрегат;

•        отказали первый и второй агрегаты;

•        объект функционирует (не отказали ни первый, ни второй агрегаты).

Из общего числа состоянийSчисло неработоспособных состоянийSNможет быть определено по формуле

SN
= 2
N
— 1.

Очевидно, что при последовательном соединении элементов в рассматри­ваемом примере состояния 1,2,3 свидетельствуют о неработоспособности всей системы. Число состояний, соответствующих отказу всего объекта, 4 — 1= 3.

При контроле реальных технических систем, состоящих из большого числа элементов, даже при учете для каждого элемента только двух состояний общее количество возможных состояний оказывается чрезвычайно большим. Например, у объекта, состоящего из 200 деталей, общее число возможных состоянийS
=
2200,а число состояний неправильного функционированияSN
=
2200-1

Для уменьшения числа учитываемых состояний объекта принимают следующие допущения:

•        Вероятность одновременного возникновения в системе отказов двух и более элементов пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью отказа только одного элемента. Фактически это означает, что число неработоспособных состоя­ний системы может быть определена по формуле

S
n
=
N
,

гдеN— количество элементов в системе (в объекте контроля).

•        Можно исключить из рассмотрения отказы тех элементов, вероятность отказа которых мала, или их отказы не имеют опасных последствий. В этой связи число возможных состояний, практически приводящих к отказу всего объекта, равна

S
n

N
.

Перечисленные допущения позволяют существенно (на несколько поряд­ков) снизить размерность числа рассматриваемых состояний у контролируемых объектов.

Последовательность выбора контролируемых состояний и их признаков рассмотрим на примере упрощенной схемы системы, которая представлена на рис.11.

Cледует, что рассматриваемая система состоит из девяти эле­ментов. При этом общее количество ее возможных неработоспособных состояний S
n

=29
-1 = 511.

4.2.
Определение контролируемых параметров

Если допустить, что одновременно может отказать только один блок, то число неработоспособных состояний составитSN
=
N
=9.Отбросив маловероятные отказы (блоки 6, 7, 8, 9), получим, что наиболее вероятное количество неработо­способных состояний системыSNравно всего лишь 5. Такими состояниями яв­ляются:

•       — отказ блока №1;

•       — отказ блока №2;

•       — отказ блока №3;

•       — отказ блока №4;

•       — отказ блока №5.

В качестве признаков перечисленных состояний будем использовать откло­нение от установленной нормы значений тех или иных параметров. В рассматри­ваемом примере такими признаками могут быть: 1 — повышение уровня шума, 2 — повышение давления, 3 — повышение температуры, 4 — величина напряжения, 5 — величина силы тока, 6 — величина сопротивления обмоток, 7 — величина сопро­тивления контакта, 8 — величина сопротивления изоляции.

В общем случае между состояниямиSjи их признакамиXjмогут встречать­ся виды взаимосвязи, представленные на рис.12.

— между признакомX и состояниемSiимеется взаимосвязь

(иначе — признакXiреагирует на состояние S)

— несколько признаков Xj… Х+„ реагируют на одно

состояние S;

один признакXiреагирует на несколько состояний

(
S
i
..-
S
i
+
n

Xisi— признакXiи состояниеSiне связаны друг с другом (иначе —                         признак Xiне реагирует на состояниеS
)
                    Минимизация набора контролируемых параметров

•                    Для определения минимального и достаточного количества признаков вна­чале из всех предварительно отобранных необходимо исключить явно нерацио­нальные (табл. 2) (например, с точки зрения сложности их выявления и контро­ля или которые дублируют другие признаки и т.д.). Затем из оставшихся призна­ков в минимально необходимую и достаточную группу отбирают такие, которые несут максимум информации при каждой очередной проверке. Процесс отбора в минимально необходимую и достаточную группу прекращают, как только ото­бранные признаки в сумме окажутся способными нести информацию обо всех со­стояниях контролируемого объекта. Описанный подход к определению мини­мального количества контролируемых параметров (признаков состояния) нашел наибольшее распространение, именно поэтому ниже он рассматривается деталь­но.

•                    Таблица 2

Параметры

Состояния

Информативность

Si

S2

S3

S4

S5

1Х
.

Zx
i

Xi

2

1









0,72

4

X2

4



1







0,72

4

X

5











072

4

X4

8

1

1



1

1

0,72

4

X



1

1



1

1





X,

7



1



1

1

0,97

6

X7

6



1



1

1

097

6

X,

1







1



0,72

4

•                    Для наглядности решать задачу определения минимального количества при­знаков будем поэтапно, иллюстрируя практическим примером.

•                    На первом этапеанализируются данные предварительно составленной таблицы взаимосвязей состояний и признаков (см. табл. 4.1 лекция 5), а также информативности признаков. При этом зачеркиваются строки, соответствующие следующим признакам (см. табл. 2):

•                   
•        признакам, которые не реагируют ни на одно из состояний, (то есть призна­кам, содержащим в строке одни нули). В таблице таких признаков нет;

•        признакам, которые реагируют на все состояния, (то есть признакам, содер­жащим в строке одни единицы). В таблице таким признаком является х5 (повышение температуры);

•        признакам, которые дублируют другой признак, (то есть имеют одинаковое расположение единиц и нулей). Из двух и более одинаковых по информа­тивности признаков вычеркивают тот (те), которые сложнее контролировать в эксплуатационной практике.

В таблице одинаковыми по информативности являются признаких2 их3, а также признаких6 и Х7. В первой группе более сложно контролируемым является признакх3, а во второй — признак х7. Именно эти два признака и должны быть вы­черкнуты.

Вычеркнутые строки (а соответственно — вычеркнутые признаки) из даль­нейшего рассмотрения исключаются. По результатам первого этапа формируется сокращенная таблица (табл. 4.3).

Таблица 4.3

Параметры

Состояния

Информативность

Si

S2

S3

S4

S5

Ixi

Zx
i

xi

1









0,72

4

x2



1







0,72

4

x4

1

1



1

1

0,72

4

X6



1



1

1

0,97

6

x8







1



0,72

4
    продолжение
--PAGE_BREAK--
На втором этапепутем последовательного условного разбиения сокращен­ной таблицы (матрицы) на ряд более мелких таблиц (подматриц) выполняется от­бор необходимого и достаточного количества признаков. Речь идет о последова­тельном условном разбиении предыдущей таблицы. При каждом разбиении опре­деляется самый информативный признак, включаемый в искомую группу мини­мально необходимых и достаточных признаков.

Условное разбиение исходной матрицы на подматрицы осуществляется в следующей последовательности:

•        В исходной матрице устанавливается и фиксируется наиболее информа­тивный признак (в нашем примере этоx
6
)(см. таблицу 4.3).

•       Рассматривая строку наиболее информативного и зафиксированного при­знака, выявляют состояния, на которые данный признак реагирует (в нашем при­мере этоS
2
,
S
4иS5), а также на какие не реагирует (в нашем примере этоS
1иS3) (см. таблицу 4.3).

•         Состояния, на которые наиболее информативный признак реагирует (в нашем примере этоS
2
,
S
4иS5), образуют столбцы правой подматрицы (табл. 4.4). Строки правой подматрицы образуют те признаки, которые реагируют хотя бы на одно из указанных в столбце состояний (в нашем примере этоx
2
,
x
4иx8).Эле­ментами правой подматрицы являются единицы или нули, переписываемые из

исходной матрицы (см. табл. 4.3) и стоящие в ней на пересечении соответствую­щих строк и столбцов.

Таблица 4.4

Параметры

Состояния

Информативность

S,

S4

S5

Zx
i

X,

1





2

X4

1

1

1



X»



1



2

•        Состояния, на которые выделенный ранее параметр не реагирует (в на­шем примере этоSiиS3), образуют столбцы левой подматрицы (табл. 4.5). Строки левой подматрицы образуют те параметры, которые реагируют хотя бы на одно из указанных в столбцах состояния (в нашем примере этоX
1иX
4
).Элементами ле­вой подматрицы являются единицы или нули, переписываемые из соответствую­щих мест исходной матрицы (см. табл. 4.3).

•       Для каждого параметра в левой и правой подматрицах рассчитываются показатели информативности параметров (отдельно для каждой подматрицы):
гдеl— количество подматриц, в которые включен рассматриваемый признакxi; mi— количество единиц в каждойi-й подматрице по рассматриваемому признаку xi
;
ni— количество нулей в каждойi-й подматрице по рассматриваемому признаку

Параметры

Состояния

Информативность

Si

S3

Zx
i



1



1

X4

1



1

Рассчитанные значенияIxiиZxtпо каждому признаку вписываются в соот­ветствующие строки и столбцы подматриц, так как это показано в таблицах 4.4 и 4.5.

•      Условно считая каждую ранее полученную подматрицу за исходную мат­рицу, повторяются (для каждой подматрицы отдельно) все действия по пунктам 1...5. Итеративное (повторяющееся) дробление на подматрицы повторяется до тех пор, пока реагирование или не реагирование того или иного признака однозначно не укажет на строго определенное состояние контролируемого объекта. Пример такого «ветвящегося» от исходной матрицы процесса дробления представлен на рисунке 14.

•      Решение задачи прекращается, как только путем выделения и фиксирова­ния наиболее информативных признаков будут однозначно указаны все состояния контролируемого объекта.

Третий этап является завершающим. На этом этапе анализируются и оформляются результаты выполнения первых двух этапов. Оформление результатов аключается в заполнении итоговой таблицы. Все состояния контролируемого объекта образуют столбцы (в нашем примере этоSi
,
S
2
,
S
3
,
S
4
,S5).Все наиболее информативные признаки, выявленные на втором этапе, образуют строки итого­вой таблицы (табл. 4.6) (в нашем примере этох1г х2, х6, х8). Элементами итоговой таблицы, проставляемыми на пересечении столбцов и строк, являются символы "+" или "-". Эти символы могут быть легко проставлены, если воспользоваться рис.14.

Параметры

Состояния

Si

S2

S3

S4

S5

Xi

-



+





X2



-





+

Хб

+

-

+

-

-

Х8



+



-

+



Si

S2

S3

S4

S5

 
Xi

1









 
X2



1







 
X4

1

1



1

1

 
Хб



1



1

1

 
X8







1



 


S2

S4

S5

 
X2

1





 
X4

1

1

1

 
Х8



1



 




S1

S3

Xi

1



X4

1



+

S4

S3

Si

Х 2

S2 1

S5

X4

1

1

+

S2

Примечание: «+» — если при проверке параметра он в норме; «-» — не в норме Рис.Схема выявления состояний

На завершающем этапе оформляют матрицу кодов, которую можно пони­мать и как искомую группу контролируемых параметров и как алгоритм (в мат­ричном виде) поиска места отказа в объекте диагностирования (табл.4.7).

Рассмотренные процедуры формирования достаточного набора контроли­руемых параметров позволяют заключить:

— подход И.М. Синдеева позволяет уменьшить до минимума число контро­лируемых параметров (с 7 до 4);



Параметры

Состояния

Sj

S2

S3

S4

S5

Xj

-

+

+

+

+

X2

+

-

+

+

+

Хб

+

-

+

-

-

X8

+

+

+

-

+

•   достаточное число контролируемых параметров оказалось меньше числа состояний объекта, что возможно благодаря комплексному использованию ре­зультатов замера параметров при диагностировании объекта;

•   таблица кодов представляет эффективный алгоритм поиска места отказа в системе. Так, при наличии отказа в системе необходимо замерить четыре пара­метра(
Xj
,

X
2
,
X
6иX8).Если параметрX
]окажется не в норме, а три другие пара­метра(
X
2
,
X
6

и
X
8
) -в норме, то произошло событиеS
](отказ блока №1). Если по­сле замеров четырех параметров параметрыX] иX
8окажутся в норме, а парамет­рыX
2иX
6— не в норме, то произошло событиеS
2— отказ блока №2 и т.д.

Необходимо отметить, что в соответствии с ГОСТ алгоритмы поиска места отказа обычно оформляют в виде графической схемы.

Г — проверяемый параметр «годен» (соответствует требованиям документации); НГ — проверяемый параметр «не годен»; Xj— i-ый проверяемый параметр; Sj— отказ j-ой сборочной единицы (агрегата).

— подход И.М. Синдеева позволяет уменьшить до минимума число контро­лируемых параметров (с 7 до 4);



Параметры

Состояния

Sj

S2

S3

S4

S5

Xj

-

+

+

+

+

X2

+

-

+

+

+

Хб

+

-

+

-

-

X8

+

+

+

-

+

•   достаточное число контролируемых параметров оказалось меньше числа состояний объекта, что возможно благодаря комплексному использованию ре­зультатов замера параметров при диагностировании объекта;

•   таблица кодов представляет эффективный алгоритм поиска места отказа в системе. Так, при наличии отказа в системе необходимо замерить четыре пара­метра(
Xj
,

X
2
,
X
6иX8).Если параметрX
]окажется не в норме, а три другие пара­метра(
X
2
,
X
6

и
X
8
) -в норме, то произошло событиеS
](отказ блока №1). Если по­сле замеров четырех параметров параметрыX] иX
8окажутся в норме, а парамет­рыX
2иX
6— не в норме, то произошло событиеS
2— отказ блока №2 и т.д.

Необходимо отметить, что в соответствии с ГОСТ алгоритмы поиска места отказа обычно оформляют в виде графической схемы.

S3

Отказ системы

НГ S4

Рис.Схема алгоритма поиска места отказа:

Г — проверяемый параметр «годен» (соответствует требованиям документации); НГ — проверяемый параметр «не годен»; Xj— i-ый проверяемый параметр; Sj— отказ j-ой сборочной единицы (агрегата).
    продолжение
--PAGE_BREAK--