Содержание
1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение
3. Интегральное исчисление функции одного переменного
1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
1. Вычислить предел: />.
Решение.
При /> имеем
/>
Следовательно,
/>
/>
2. Найти асимптоты функции: />.
Решение.
Очевидно, что функция не определена при />.
Отсюда получаем, что
/>
Следовательно, /> – вертикальная асимптота.
Теперь найдем наклонные асимптоты.
/>
/>
Следовательно, /> – наклонная асимптота при />.
3. Определить глобальные экстремумы: />при />.
Решение.
Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим />.
/>.
А затем находим критические точки.
/>
/>
/>
Теперь найдем значение функции на концах отрезка.
/>.
Сравниваем значения и получаем:
/>
4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: />.
Решение.
Сначала находим />.
/>.
Затем находим критические точки.
/>
x
/>
–3
/>
/>
/>
–
+
+
/>
убывает
min
возрастает
возрастает
возрастает
Отсюда следует, что функция
возрастает при />,
убывает при />.
Точка /> – локальный минимум.
/>
5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции: />.
Решение
Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.
/>.
/>.
/>.
x
/>
–2
/>
1
/>
/> --PAGE_BREAK--
–
–
+
/>
вогнутая
перегиб
выпуклая
перегиб
вогнутая
Отсюда следует, что функция
выпуклая при />,
вогнутая при />.
Точки />, />– точки перегиба.
2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение»
1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции />.
Решение.
1) Область определения функции
/>.
2) Функция не является четной или нечетной, так как
/>.
3) Теперь найдем точки пересечения с осями:
а) с оx: />, б) с oy />.
4) Теперь найдем асимптоты.
а) />
А значит, /> является вертикальной асимптотой.
б) Теперь найдем наклонные асимптоты
/>
/>
Отсюда следует, что
/>является наклонной асимптотой при />.
5) Теперь найдем критические точки
/>
/>
/>не существует при />.
6) />
/>
/>не существует при />
x
/>
/>
2
/>
4
/>
/>
+
–
Не сущ.
–
+
/>
–
–
–
Не сущ.
+
+
+
y
возрастает
выпуклая
max
/>
убывает
выпуклая
не сущ.
убывает
вогнутая
min
/>
возрастает
вогнутая
Построим эскиз графика функции />
/>
2. Найти локальные экстремумы функции />.
Решение.
Сначала найдем частные производные
/>
Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных. продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
То есть мы получили одну критическую точку: />. Исследуем ее.
Далее проведем исследование этой точки.
Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка
/>
Для точки />:
/>
/>.
Следовательно, точка />не является точкой экстремума.
Это означает, что точек экстремума у функции
/> нет.
3. Определить экстремумы функции />, если />.
Решение.
Сначала запишем функцию Лагранжа
/>.
И исследуем ее
/>
(Учитываем, что по условию />)
/>
/>
То есть мы получили четыре критические точки.
В силу условия />нам подходит только первая />.
Исследуем эту точку.
Вычислим частные производные второго порядка:
/>
Отсюда получаем, что
/>
Теперь продифференцируем уравнение связи
/>.
Для точки />
/>
Далее получаем
/>
/>
/>
/>
То есть мы получили отрицательно определенную квадратичную форму.
Следовательно, />– точка условного локального максимума.
/>.
3. Интегральное исчисление функции одного переменного
1–3. Найти неопределенный интеграл
1. />.
Решение.
/>
/>
/>
/>
/>.
2. />.
Решение.
/>
/>
/>
/>
/>
/>.
3. />
Решение.
/>
/>.
4. Вычислить />.
Решение.
/>
/>.
5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми
/>.
Решение.
/>
/>
/>
/>
/>.