ТЕМА
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫВ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ
1. Введение
Мы будем рассматриватьсистемы дифференциальных уравнений вида
/> (I)
где Р (х, у) и Q(х, у) —непрерывные функции, определенные в некоторой области Gевклидовойплоскости (х, у — декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывныечастные производные до порядка не ниже первого. Область может быть какограниченной, так и неограниченной. В частности, область Gможетсовпадать со всей плоскостью (х, у).
Системы вида (I)являются частным случаем систем двух дифференциальных уравнений с двумянеизвестными функциями: независимое переменное tвих правые части явно не входит. Системы дифференциальных уравнений, правыечасти которых не содержат явно независимое переменное, называются автономными. Автономныесистемы дифференциальных уравнений называются также динамическими системами.
Систему (I)мы будем называть динамической системой на плоскости или в плоской области. Мыбудем также говорить, что динамическая система задана или определена в области G.Вдальнейшем мы будем опускать слова «на плоскости» и «в плоской области».
Динамическая система (I),заданная в области G, называетсясистемой класса Сn,еслифункции Р (х, у) и Q(я,у) являются функциями класса Сn,т.е. имеют в области Gнепрерывныечастные производные до порядка nвключительно.
Динамическая система (I)называется системой аналитического класса или аналитической системой, еслифункции Р и Qявляютсяаналитическими функциями в области G.
Очевидно, всякаясистема класса Ck(к >1) является одновременно системой класса Ck1,гдек1
Все рассматриваемые вэтой книге динамические системы являются системами класса />. Поэтомувсюду в дальнейшем под динамической системой мы будем во всяком случае всегдаподразумевать систему класса />, неоговаривая этого явно.
Изложим простейшиесвойства динамических систем в плоской области. Свойства эти характерны дляавтономных систем дифференциальных уравнений. Неавтономные системы (т. е.системы, в правые части которых tвходитявно), вообще говоря, ими не обладают .
2. Геометрическаяинтерпретация динамической системы (I)в пространстве -R3
Рассмотрим обычную длясистемы двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциямигеометрическую интерпретацию, т. е. геометрическую интерпретацию в трехмерномпространстве с декартовыми координатами х, у, t.
Функции Р (х, у) и Q(х, у) нужнопри этом рассматривать как функции трех переменных х, у и t.Нотак как эти функции от tнезависят, то в трехмерном пространстве R3областьюопределения правых частей системы (I)является бесконечная цилиндрическая область Н, образованная всеми прямыми,параллельными оси t, пересекающимиплоскость (х, у) в точках области G.
Решения
/>
системы (I)интерпретируются как кривые, расположенные в области Н. Эти кривые называются интегральнымикривыми системы (I). Мы будем, здесьи всюду в дальнейшем, под решением системы дифференциальных уравненийподразумевать решение, продолженное на максимальный возможный интервал значенийt.
Так как функции Р (х,у) и Q (х, у) вовсяком случае являются функциями класса С1 то для системы (I)во всех точках области Hвыполняютсяусловия теоремы существования и единственности, а следовательно и сама этатеорема. Мы сформулируем ее для системы (I)следующим образом:
Теорема 1. Для любойточки М0(х0,/> )/> Gидля любого t0,/>, существует однои только одно решение
/>
системы (I),удовлетворяющее начальным условиям
/>
определенное для всехзначений t в некоторомопределенном интервале (/>, Т), содержащемt0.(Вчастности, решение может быть определено при всех значениях t,т. е. t может быть равно />, а Т может бытьравно />).
Геометрически теорема 1означает, что через каждую точку области Н проходит интегральная кривая системы(I) и при этом только одна.
Для системы вида (I)справедлива также следующая теорема, которая существенно используется вдальнейшем:
Теорема 2. Пусть /> —замкнутая ограниченная область, содержащаяся в области G(/> /> G),
/> (1)
— решение системы (I),определенное в интервале (/>, Т) и такое,что при всех t на интервале (/>, Т) точка N (/>,/>) все времяостается в области />. Тогда />=/>, T=+/>, т.е.решение (1)определено для всех значений t.
Доказательство. Предположим,что решение
/>
определено при значенииt — t0.Пусть /> — двапроизвольных числа, причем /> > t0.Обозначимчерез /> конечнуюцилиндрическую область пространства />, состоящуюиз всех точек М (t, x,у) таких,что />, а х, у таковы,что точка (х, у) /> /> (рис.1). Интегральная кривая, соответствующая решению (1), проходит через точку М0(t0,/>,/>), принадлежащуюобласти H1.Нотогда, в силу теоремы (А') дополнения, эта интегральная кривая выходит изобласти /> как призначении, большем t0,таки при значении, меньшем t0.Однаковыйти из цилиндрической области /> черезбоковую поверхность этой области интегральная кривая не может, так как в этомслучае, очевидно, нашлась бы точка N(/>), лежащаявне замкнутой области />, чтопротиворечит условию теоремы.
/>
Рис. 1.
Следовательно, рассматриваемаяинтегральная кривая выходит из />через нижнее иверхнее основания (рис. 1). Но это значит, что решение (1) определено при t=/> и t=/>. Таккак /> произвольны, то решение (1) определено при всех значенияхt. Теоремадоказана.
3. Простейшие свойстварешений системы (I)
Мы установим некоторые cвойстварешений системы (I), являющиесяследствием автономности этой системы.
Лемма 1. Если />
есть решение системы (I),определенное на интервале (/>, Т), то
/> (2)
где С —любая постоянная, также есть решение системы (I)и это решение определено на интервале (/> — С, Т — С).
Доказательство. Так как(1) есть решение системы (I),то при всех t/> (/>, Т) имеет местотождественное равенство
/>(/>),/>.
Если заменить в этихравенствах tнаt+C,топри всех t/> (/> —С, Т — С) мыбудем иметь тождественное равенство
/>
/> (3)
Но, очевидно
/>, />
и, следовательно,равенства (3) могут быть записаны в виде
/>
/>
Последние равенствапоказывают, что функции (2) являются решением системы (I).Тот факт, что это решение определено на интервале (/> — С, Т — С), устанавливаетсяпростым рассуждением, которое мы опускаем. Лемма доказана.
С точки зрениягеометрической интерпретации в трехмерном пространстве утверждение леммы 1означает, что линия, получающаяся из любой интегральной кривой путем сдвига еевдоль оси tналюбой отрезок, также есть интегральная кривая. В самом деле, интегральная кривая
/>
получается изинтегральной кривой
/>
сдвигом вдоль оси tнавеличину С.
Лемма 2.
а) Решения системы (I)
/> (1)
и /> (2)
можно рассматривать какрешения, удовлетворяющие начальным условиям с одинаковыми начальными значениямих0и у0и различными начальными значениями переменного t.
б) Два решения,удовлетворяющие начальным условиям с одинаковыми начальными значениямипеременных х0, у0и различными начальными значениями t, могутбыть получены одно из другого заменой tна/> с надлежащимвыбором постоянной С.
Доказательство. Еслирешение (1) соответствует начальным значениям t0,x0,у0так, что
/> (3)
то в силу очевидныхравенств
/> (t0—С+ С) =/> (t0)=x0ψ (t0—С+ С) = ψ (t0)=y0
решение (2)соответствует начальным значениям t0—С,х0, у0, что и доказывает утверждение а).
Далее, рассмотримнаряду с решением (1), соответствующим начальным значениям t0,x0,у0, решение
/> (4)
соответствующееначальным значениям />, x0,у0, где /> t0.Еслив решении
(2) />
величину С взять равнойt0—/>, тооно, очевидно, будет соответствовать тем же начальным значениям />, x0,у0, что и решение (4). В силу единственностирешения, удовлетворяющего данным начальным условиям, отсюда следует
/> , />
что и доказываетутверждение б) леммы.
В дальнейшем,рассматривая наряду с решением (1) решение (2), мы будем часто говорить, чторассматриваются решения, отличающиеся выбором начального значения t.Решение всякой системы двух дифференциальных уравнении, соответствующее любымпроизвольным начальным значениям t0,х0, у0, очевидно, является функцией t,t0,х0,у0, т. е. записывается в виде
х = Ф(t,t0,х0, г/о), y=Ψ (t, t0,х0, у0) (5)
При этом по самомусмыслу функций Ф (t, t0,х0, у0) и Ψ (t,t0,x0,у0), Ф(t0,t0,х0, у0) = х0, Ψ (t0,t0,х0, у0)= у0
Однако в случае системы(1), вследствие автономности этой системы, функции (5) являются по существу нефункциями переменных tиt0,афункциями разности t—t0.Этоустанавливается в следующей лемме:
Лемма 3. Решениесистемы (I) как функции от tи от начальных значений t0, x0, у0, может быть записано в виде
x= />(t—t0, х0, у0), y=ψ(t—t0,х0, у0). (6)
Доказательство.Рассмотрим наряду с решением (5) решение
х = Ф(t,0,х0, у0), y=Ψ (t, 0,х0, у0),
удовлетворяющиеначальным условиям: при t=0,х=х0, у=у0
В силу леммы 1 функции
x=Ф (t — t0,0, х0, у0), y=Ψ (t— t0,0,х0, у0) (7)
также являются решениемсистемы (I). Решения (5) и (7)соответствуют одним и тем же начальным значениям t0,x0,у0. Но тогда эти решения совпадают, т. е.
Ф (t,t0, х0, у0)= Ф (t— t0,0, х0, у0)
Ψ (t, t0,х0, у0)= Ψ (t—t0,0,х0, у0)
Введение обозначений
Ф (t— t0,0, х0, у0)=/>(t—t0, х0, у0),
Ψ (t—t0,0,х0, у0)= ψ(t—t0,х0, у0)
устанавливаетсправедливость утверждения леммы.
В дальнейшем решение системы(I), соответствующее начальнымзначениям t0,х0, у0, мы всегда будем записывать в виде(6).
Лемма 4. Если решение
x= />(t—t0, х0, у0), y=ψ(t—t0,х0, у0). (8)
определено при значенииt =t1,и
/> (9) то
/>(t—t0, х0, у0) /> (t—t1,х0, у0)
ψ(t—t0, х0, у0) /> (t—t1,х0, у0) (10)
Доказательство. Изсоотношений (9), очевидно, следует, что решение (8) и решение
x=/> (t—t1,х0, у0), y=/> (t—t1,х0, у0)
являются решениями,соответствующими одним и тем же начальным значениям t1, х1, y1.Нотогда эти решения совпадают, т. е. имеют место равенства (10).
Замечание. Полагая втождествах (10) t = t0,мыполучим
x0= />(t0/> t1, х1, у1), y0= ψ(t0/> t1, х1, у1)
Это, очевидно,справедливо при любых t1, х1, у1 удовлетворяющихсоотношениям (10). Опуская индексы, мы получаем
x0=/> (t0—t,х, у), y0= ψ(t0—t,х, у).
Лемма 5. Если система (I)является системой класса Сn, тoфункции
x0=/>(t—t0, х0, у0), y0= ψ (t—t0, х0, у0)
при всех значениях,входящих в них переменных, при которых эти функции определены, имеютнепрерывные (по совокупности всех переменных) частные производные:
1) по t(или t0)до порядка n+1 включительно,
2) по х0и у0до порядка nвключительно
/>
3). пot (илиt0)и по х0и у0—содержащие по крайнеймере одно дифференцирование по t(или t0)—допорядка n + 1
4. Геометрическаяинтерпретация динамической системы на фазовой плоскости (х, у)
Геометрическаяинтерпретация системы (I)в трехмерном пространстве (х, у, t)внастоящей книге является вспомогательной. Основная геометрическая интерпретацияавтономной системы (1)связана с рассмотрением плоскости (х, у). Эта плоскостьназывается фазовой плоскостью системы (I).
Будем в каждой точке М(х, у) области Gплоскости(х, у) рассматривать вектор vскомпонентами Р (х, у), Q(x,у). Динамическая система (I)определяет, таким образом, в области Gвекторное поле *).
В силу того, что Р (х,у) и Q (х, у) попредположению имеют непрерывные частные производные, векторное поле,определяемое системой (I),является так называемым непрерывно дифференцируемым векторным полем.
Пусть в точке М (х, у) хотябы одна из величин Р (х, у), Q(х, у) необращается в нуль. Тогда длина вектора в этойточке
/>
отлична от нуля, асинус и косинус угла /> (x,у) междуположительным направлением оси х и направлением вектора даются выражениями
/>
В тех точках, в которыходновременно Р (х, у), Q(x,у).
длина вектораобращается в нуль, а направление вектора становится неопределенным. Такие точкиназываются особыми точками векторного поля (или особыми точками системы (1));точки, в которых хотя бы одна из величин Р (x,у), Q (х, у) неравна нулю,— обыкновенными или неособыми точками этого векторного поля. Вовсякой неособой точке М векторного поля угол /> (x,у), непрерывен. В особой точке угол /> (x,у) неопределен, и при стремлении /> и /> к координатамособой точки lim/> может несуществовать.
Пусть
/> (11)
— какое-нибудь решениесистемы (I). Множество точек М (/>(t),ψ (t)), гдеt принимаетвсе значения, при которых определено решение (11), называется траекторией, соответствующейданному решению, а также траекторией векторного поля, заданного динамическойсистемой (І), или просто траекторией данной динамической системы (а такжеиногда фазовой траекторией).
Уравнения (11),очевидно, являются параметрическими уравнениями траектории. Обратно, если данакакая-нибудь траектория, то решение, которому она соответствует, мы будем называтьрешением, соответствующим данной траектории.
В математическойлитературе весьма употребительно векторное обозначение для системыдифференциальных уравнений. Система (I)в этом обозначении запишется в виде векторного уравнения
/> = F(x)
Векторное обозначениечрезвычайно удобно при рассмотрении систем, состоящих из большого числауравнении. Однако в рассмотренном нами случае системы только двухдифференциальных уравнении в этом обозначении нет особой необходимости, п мы небудем пользоваться им для того, чтобы не загромождать изложение различнымисимволиками.]
Если точка М (х, у) траекториине является особой точкой векторного поля, то вектор (Р (х, у), Q(х, у)) являетсякасательным вектором к траектории (рис. 2). Действительно, в силу того, что
/>
есть решение системы (I),имеют место тождества
/> (12)
Но вектор скомпонентами />(t),/> (t),очевидно,является касательным вектором к траектории, и в силу равенств (12) он совпадаетс вектором поля, заданного системой (I).
/>
Рассматривая параметр tкак«время», можно дать следующую «кинематическую» интерпретацию системы (I):решение
/>
можно рассматривать какзакон движения точки по траектории на фазовой плоскости. В каждой точке фазовойплоскости вектор, заданный системой (I),т. е. вектор Р(х, у), Q(х, у), очевидно,равен скорости движущейся точки или «фазовой скорости». Решениям с одними итеми же начальными значениями х0и у0и различныминачальными значениями t0соответствуютдвижения, начинающиеся в одной и той же точке, но в различные начальные моменты«времени» (t0иt*). Точка с координатами(/>)называется также «изображающей» или «представляющей» точкой.
Пусть М (a,b)—особая точка системы (I),так что
P(a,b)=Q(a,b) (13)
Тогда, очевидно, х = a,у = bестьрешение системы (I), и,следовательно, особая точка векторного поля сама является отдельнойтраекторией. Такая траектория называется состоянием равновесия *). Очевидно,также обратно, если у системы (I)есть решение
х = а, y=b (14)
(а иb —некоторые постоянные), то точка a,b непременноявляется состоянием равновесия (особой точкой векторного поля), т. е. для неевыполняются равенства (13). Решение (14), очевидно, вследствие того, что tвнего не входит, определено для всех t.
В дальнейшем для точек х,у области G, длякоторых Р (х, у) =0, Q(х, у) =0, в основном будет использоваться термин «состояние равновесия» (а не особаяточка).
Состояние равновесия М(а, Ь) системы (I) называется изолированным,если существует /> > 0 такое,что в /> -окрестностикроме М не лежит уже более ни одного состояния равновесия.
5. Разбиение области в фазовойплоскости на траектории
Некоторые элементарныесведения о траекториях.
Лемма 6. Всяким двумрешениям, отличающимся только выбором начального значения t0,соответствует одна и та же траектория.
В другой терминологии —«положением равновесия» или «точкой покоя».
Доказательство. В силулемм 1 и 2 всякие два решения, отличающиеся выбором начальных значений t0(ноимеющие одни и те же Начальные значения />), могутбыть получены одно из другого заменой tнаt +С. Но если даны два решении
/> (15)
/> (16)
причем решение (15)определено на интервале (/>, Т), а решение(16) — на интервале (/> — С, Т — С), то,очевидно, им соответствует одна и та же траектория (так как замена в (15) tчерезt +Сявляется просто заменой обозначении переменного). Лемма доказана.
Теорема 3. Через каждуюточку области G проходит одна и толькооднатраектория динамической системы (1).
Доказательство. Пусть М0(х0, у0) — произвольная точка области G.
Тогда в силу теоремы 1(о существовании и единственности решения) при всяком tсуществуетрешение, соответствующее начальным значениям t0,x0,/>
/>
Это, очевидно, иозначает, что через точку х0, у0проходит хотя бы однатраектория L.
Предположим теперь, чточерез одну и ту же точку М0(х0, у0) области Gпроходятдве различные траектории LиL*.
Пусть
/>
— решение,соответствующее траектории L*.Эторешение, очевидно, непременно должно быть таким, чтобы при некотором значении t= t* мы имели бы
/>
но тогда в силу леммы 2при надлежащем выборе С мы должны иметь
/>
и, следовательно (см.лемму 6), траектории LиL* вопрекипредположению не могут быть различны. Теорема доказана.
Замечание 1. Изпроведенного в теореме рассуждения непосредственно вытекает, что всякие дваразличных решения, соответствующих одной и той же траектории, получаются другиз друга заменой tнаt +С,т. е. отличаются друг от друга только выбором начального значения t0(см.лемму 2).
Замечание 2. Пусть прикаком-либо выборе решения, соответствующего траектории L,точкеМ0этой траектории соответствует значение t0,аточке M1—значение t0+/>. Тогда иззамечания 1 следует, что если при некотором другом выборе решения,соответствующего траектории L,точкеМ0соответствует значение t*,тозначению t* +/> соответствует точка/>.
Замечание 3. Еслитраектория целиком лежит в ограниченной замкнутой области /> сG, то в силу теоремы 2соответствующее ей решение определено при всех значениях
t(/> )
В силу теоремы 3динамическая система, заданная в области G,определяетнекоторое семейство траекторий или, как мы будем говорить, некоторое разбиениеобласти G на траектории.
Мы укажем здесьнекоторые основные свойства траекторий. Выше мы уже останавливались на одномчастном типе траекторий, именно, на состояниях равновесия.
Как мы видели, х = а, y=bтогдаи только тогда является состоянием равновесия, когда выполняются условия Р(а, b)= Q(a,b) = 0.
Предположим теперь, чтотраектория L, соответствующаярешению
/>
не является состояниемравновесия. Во всех точках такой траектории, очевидно, выполняется неравенство
/>
Действительно, если быв какой-нибудь точке М*(х*, у*) траектории L,соответствующейзначению t*, имеломесто равенство
/>
т. е. одновременно
/>
и это, очевидно,означало бы, что точка х*, у* является состоянием равновесия. Но состояниеравновесия само является отдельной траекторией, и в силу теоремы 3 точка М*(х*, у*) не может принадлежать отличной от состояния равновесия траектории L.
Рассмотрим вопрос отом, могут ли быть у траектории, отличной от состояния равновесия,«самопересечения», т. е. возможно ли, чтобы существовали значения t1иt2,t1/> t2такие,чтобы соответствующие им точки траектории совпадали.
Ответ на этот вопросдается следующей леммой:
Лемма 7. Пусть траекторияL, соответствующая решению
/> (/>
отлична от состоянияравновесия, и пусть существуют значения t,t1 иt2(/>
/>
Тогда решение (17)определено при всех значениях
t(т. е. />)
функции /> , /> являются периодическими функциями t,а соответствующая траектория—простой гладкой замкнутой кривой.
Доказательство. Пусть
/> (18)
Рассмотрим наряду срешением (17) решение
/> (19)
определенное наинтервале
(/> — С, Т — С)
где С = t2—t1(см.лемму 1).
Из равенств (18)следует, что решения (17) и (19) удовлетворяют одним и тем же начальнымусловиям (при t=t1, x = х0, у =у0).Но тогда эти решения совпадают, а следовательно, совпадают интервалы значений t,накоторых они определены. Но интервалы (/>, Т) и (/> — С, Т — С) приС/>0 могутсовпадать лишь в том случае, когда />=-/>, Т =+/>.
Таким образом, мы показали,что решения (17) и (19) определены для всех t(/> ). Далее, изсовпадения решений (17) и (19) следует, что при всех t(—/> )
/> (20)
где C= t2—t1 >0.Это, очевидно, означает, что функции /> (t)и/>(t)—периодические функции с общим периодом 0 = t2—t1.Пусть
/>) (21)
— наименьшееположительное число, при котором имеют место равенства
/> (22)
Такое число непременносуществует. Действительно, в противном случае можно было бы указатьпоследовательность положительных чисел {/>} таких, что
/> и />
Очевидно, тогда прилюбом nилюбом целом |k|
/>
или, зафиксировавкакое-нибудь t0,можнонаписать
/>
Таким образом, каждаяиз функции /> (t)и/>(t)принимает одно и то же значение, равное соответственно /> (/>) и/>(/>) при всехследующих значениях t
/>
где N может быть любымцелым числом, а /> сколь угодномало при достаточно большом n.Следовательно,какое бы значение t* мы ни взяли,либо t* =t/> и тогда />, либоt* попадает внекоторый интервал (t0+(k-1)/> , t0+/> />) или
(t0—(k-1)/> , t0--/> /> ) и в силу того,что Qnскольугодно мало при достаточно большом n,существуютсколь угодно близкие к t*значенияt', при которых
/>
Но тогда в силунепрерывности функций />(t),/>(t)мы,очевидно, также имеем
/>
Это означает, чтофункции />(t),/>(t)—постоянные, т. е. траектория Lсостояниеравновесия, что противоречит условию теоремы.
Очевидно, все точкитраектории Lмогутбыть получены при изменении tвуравнениях (17) от t0доt0+/>0(t0/> t/> t0-/>0),где t0—любое фиксированное число. Так как по самому определению />0есть наименьшее число, при котором выполняются равенства(22), то всяким двумзначениям />и t",t0/> заведомосоответствуют различные точки траектории L.Этои означает, что траектория Lявляетсяпростой замкнутой кривой. В силу леммы 5 эта замкнутая кривая, очевидно,гладкая. Таким образом, лемма доказана.
Решение, в которомфункции /> (t)и/>(t)—периодические функции t,называетсяпериодическим решением. Наименьшее число />0> 0, при котором выполняются равенства (22),— периодом этого решения.
Траектория L,соответствующаяпериодическому решению, называется замкнутой траекторией. Очевидно, всерешения, соответствующие данной замкнутой траектории, являются периодическимирешениями с одним и тем же периодом. Всякая траектория, не являющаяся замкнутойтраекторий или состоянием равновесия, называется незамкнутой траекторией.
Из леммы 7 следует, чтоу траекторий системы (I)не может быть «самопересечений», т. е. что всякая часть незамкнутой траектории,соответствующая значениям tвлюбом конечном сегменте, является простой гладкой дугой.
Таким образом, мыполучили следующие основные элементарные сведения о траекториях. Траекторияможет быть: 1) состоянием равновесия, 2) замкнутой траекторией, 3) незамкнутой(несамопересекающейся) траекторией. Эти сведения являются предварительными, таккак возможный характер незамкнутых траекторий остается невыясненным.
6. Сопоставлениегеометрической интерпретации в пространстве R3 и геометрической интерпретациина фазовой плоскости
Как мы уже указывали,каждому решению системы (I)соответствует в />интегральнаякривая.
Траектория, очевидно,является проекцией этой интегральной кривой на плоскость (x,у). Из леммы 4 следует, что в траекторию проектируются те и только теинтегральные кривые пространства /> ,которыеполучаются из одной такой кривой (и, следовательно, друг из друга) сдвигом напроизвольный отрезок вдоль оси t.Такимобразом, устанавливается естественное соответствие между траекториямидинамической системы на фазовой плоскости и интегральными кривыми впространстве />. При этом могут представиться следующие случаи взависимости от характера траектории L:
Lестьсостояние равновесия М (а, Ь). Соответствующая интегральная кривая в /> является прямойх = а, у = b, параллельнойоси tипроходящей через точку М. При сдвиге вдоль оси tэтапрямая переходит сама в себя.
2) Lестьзамкнутая траектория, соответствующая решению с периодом />0.Соответствующие интегральные кривые имеют характер «винтовых линий» с шагом />0и проектируются в траекторию L.Присдвиге вдоль оси tнаотрезок С каждая интегральная кривая переходит в другую кривую, если С некратно />0,и сама в себя, если С кратно />0(рис. 3).
3) L—незамкнутая траектория. Каждая интегральная кривая, соответствующая траектории L,прилюбом сдвиге вдоль оси t,отличномот нулевого, переходит в другую интегральную кривую (рис. 4).
/>
Рис. 3. Рис. 4.
Подчеркнем следующиеэлементарные факты. Точка, двигаясь по траектории, отличной от состоянияравновесия (т. е. «изображающая точка» с координатами х = /> (t),y= />(t)), неможет стремиться к точке какой-либо отличной от нее траектории при t,стремящемсяк конечному значению. Действительно, в противном случае, интегральные кривые впространстве (x, у, t)пересекалисьбы, что невозможно в силу теоремы 1. В частности, точка, двигаясь потраектории, отличной от состояния равновесия, может стремиться к состояниюравновесия либо при t/> />, либо при />
7. Направление на траектории.Изменение параметризации
Пусть L—траектория системы (I) и
х = /> (t),y = /> (t)
— какое-нибудь соответствующееей решение.
Мы введем на траекторииL определенноенаправление в качестве положительного. Именно, будем считать положительнымнаправлением на Lнаправлениев сторону возрастания t.Притаком определении можно сказать, что положительное направление в каждой точкетраектории Lсовпадаетс направлением вектора, заданного в этой точке системой (I).
Пользуясь«кинематической» интерпретацией, можно сказать, что положительное направлениена L естьто направление, в котором точка с координатами х = /> (t),y = /> (t)движетсяпо траектории при возрастании tипри котором направление ее скорости в каждой точке совпадает с направлениемфазовой скорости.
Введенное таким образомположительное направление на Lнезависит от того, какое из решений, соответствующих траектории L,мывозьмем (так как все такие решения получаются одно из другого заменой tна/>
В дальнейшем мы будемобычно опускать слово «положительное», т. е. под направлением на траектории Lсистемы (I)мы будем подразумевать положительное направление, определяемое (или, какговорят, индуцируемое) на Lэтой системой.
Рассмотрим наряду с системой(I) систему
/>(I')
Векторное поле системы(I') получается из векторного полясистемы (I), если изменитьнаправление каждого вектора на противоположное (не меняя длин векторов).
Непосредственнойпроверкой устанавливается, что каждому решению
х = /> (t),y = /> (t) (23)
системы (I)соответствует решение
х = /> (-t),y = /> (-t) (24)
системы (I').Отсюда очевидно, что системы (I)и (1') имеют одинаковые траектории, но индуцируют на траекториях противоположныенаправления. Таким образом, переход от системы (I)к системе (I') можно рассматривать,как изменение параметризации на траекториях, именно, как замену параметра tпараметром—t.
Рассмотрим более общийслучай изменения параметризации на траекториях системы (1). Пусть f(х,у) —функция класса C1, заданнаяв области G. Предположим,что функция f(х, у) отличнаот нуля во всех точках области G,отличныхот состояний равновесия системы (1), и имеет в них один и тот же знак.
Рассмотрим наряду ссистемой (I) систему
/> (I*)
В силу предположений,сделанных относительно функции f(х,у), очевидно,что состояния равновесия системы (I)совпадают с состояниями равновесия системы (I*).
Лемма 8. Если
х = /> (t),y = /> (t) (25)
есть решение системы (I),причем соответствующая ему траектория отлична от состояния равновесия, тосуществует монотонная функция класса C1(t) =/> (s)такая, что пара функций
/> (26)
является решениемсистемы (I*).
Доказательство. Задаваякакое-нибудь начальное значение t0,t0/>(/>, Т), где (/>, Т) — интервалопределения решения (25), и произвольное s0,рассмотримследующую функцию s(t)
/>
Так как f(х,у) необращается в нуль в точках, отличных от состояний равновесия, то s(t)являетсямонотонной функцией класса С1, определенной на интервале (/>, Т). Очевидно,существует обратная функция
/>(s),определенная в некотором интервале (/> S),такжекласса С1, монотонная. Очевидно,
/>
Поэтому
/>(27)
/>
/>
Последние соотношенияпоказывают, что функции (26) являются решением системы (I*).Нетрудно видеть, что (/> S),являетсямаксимальным интервалом определения решения (26), так как в противном случаеинтервал (/>, Т) не был бымаксимальным для решения (25). Лемма доказана.
Уравнения (25) и (26)являются, очевидно, различными параметрическими уравнениями одной и той жетраектории. Поэтому из леммы 8 следует, что динамические системы (I)и (I*) имеют одни и те же траектории, нос различными параметризациями на них. При переходе от системы (I)к системе (I*) направления натраекториях остаются неизменными, если f(х,у) >0, и меняются, если F(x,y)
Предположим теперь, чтофункция f(х, у) можетобращаться в нуль в точках, отличных от состояний равновесия системы (I),а также может менять знак в области G.Рассмотримснова систему (I*). Очевидно,состояниями равновесия системы (I*)являются все состояния равновесия системы (I),а также все точки области G,которыене являются состояниями равновесия системы (1), но в которых f(х,у) =0.
Кривая f(х,у) =0 называется особой линией системы (I*)(каждая точка этой кривой является состоянием равновесия системы (I*)).
Рассмотрим теперьтраекторию Lсистемы(I), отличную от состояния равновесия.Если на траектории Lфункцияf(х, у)/> 0,то так же, как и выше, Lявляетсятраекторией системы (I*)с измененной, вообще говоря, параметризацией.
Если же на траектории Lимеютсяточки кривой f(х, у) =0, то все точки L, отличныеот этих точек, распадаются, как легко видеть, на конечное или счетное числогладких кривых, являющихся траекториями системы (I*)(рис. 5). Направление на каждой такой траектории совпадает с направлением на L,еслина этой траектории f(х, у) >0, и не совпадает в противном случае.
Таким образом, каждаятраектория системы (I) либо являетсятраекторией системы (I*),либо состоит из конечного или бесконечного множества траекторий системы (I*).
В дальнейшем, в рядепредложений и в примерах мы неоднократно будем встречаться с динамическимисистемами вида
/> (/>)
где Р (х, у), Q(х, у) —функции класса CN(/> >1) или аналитические, f(х,y) — функция классаCNилианалитическая, которая может обращаться в нуль в области G(вкоторой рассматривается система). Очевидно, в точках, где (х, у) = 0, правые частирассматриваемой системы (I**)не определены. Однако при указанном виде правых частей можно путем заменыпараметра tпривестирассмотрение системы (I**)к рассмотрению системы вида (I).
Действительно, полагаяпри х и у, необращающих в нуль f(х,у), dt=f(х,у) d/>, мыполучаем систему
/> (I***)
Эту же систему мы будемрассматривать при х и у, обращающих в нуль функцию f(х,у) (чтосоответствует доопределению по непрерывности), так что система (I***)будет определена во всей области G.Очевидно,во всякой части области G,вкоторой f(х, у) необращается в нуль, траектории системы (I**)и (I***) совпадают как точечныемножества, однако, параметры на них различны. При этом там, где f(х,у) >0, направление по /> совпадает снаправлением по t, атам, где f(х, у)
8. Терминология иобозначения
В случае, когдарешения, соответствующие данной траектории L,определеныдля всех значении t(/>), мы будеминогда, желая подчеркнуть это, называть такую траекторию Lцелой траекторией. В силу теоремы 2 всякая траектория,лежащая в ограниченйой части плоскости, у которой расстояние любой ее точки отграницы области Gбольшенекоторого />0>0, заведомо является целой траекторией.
Обратное неверно.Траектория, у которой есть точки, сколь угодно близкие к границе области G,можеткак быть, так и не быть целой траекторией.
Пусть М0—точка траектории L, которая привыбранном решении соответствует значению t=t0.Еслирешение определено при всех t(t>t0),то множество точек траектории L,соответствующихзначениям t>t0,называетсяположительной полутраекторией, выделенной из траектории L,иобозначается через L(+)или />. Аналогичноесли решение определено при всех t/> t0,томножество точек траектории L,соответствующихзначениям t/> t0,называетсяотрицательной полутраекторией, выделенной из траектории L,иобозначается через /> или/>. Очевидно,если взять другое решение, соответствующее траектории L,прикотором точке М0соответствует значение t1/> t0,тоточки полутраектории /> (или /> ) будутсоответствовать значениям />. ТочкуМ0мы иногда будем называть «концом» полутраектории. В дальнейшемнам часто придется рассматривать полутраекторию без указания на то, является лиона положительной или отрицательной. В этом случае мы будем обозначатьполутраекторию через U'или L\j0.Вслучае, когда траектория Lявляетсясостоянием равновесия или замкнутой траекторией, всякая положительная и всякаяотрицательная полутраектория, выделенная из нее, совпадает с ней самой.Полутраекторию, выделенную из незамкнутой траектории, мы будем называть незамкнутойполу траекторией, а полутраекторию, выделенную из замкнутой траектории(очевидно, совпадающую с этой траекторией), будем называть замкнутой полутраекторией.
В математическойлитературе решение системы (I)часто называют движением. Эта терминология находится в соответствии с«кинематическим» истолкованием динамической системы. Мы также будемпользоваться этой весьма употребительной терминологией. Таким образом, мы будемговорить о движении, соответствующем данным начальным значениям, о траектории,соответствующей данному движению, о движении, соответствующем даннойтраектории, или, иначе, о движении на траектории (т. е. о решении,соответствующем данной траектории), о периодическом движении и т. д.
Будем также говорить,что траектория L при t= t0проходит через точку М0, подразумевая при этом,что на траектории Lвыбранонекоторое определенное движение и при этом движении точке М0соответствуетзначение t = t0.Точнотак же мы будем говорить: «точка М1 траектории Lсоответствуетзначению t=t1» или «траектория при t=t1пересекаетданную дугу /> и т. д.,подразумевая под этим, что при данном выбранном движении на Lточка М1 или общая точка траектории Lидуги /> соответствуетзначению t= t1ит. д.
Мы будем частопользоваться следующими выражениями: «траектория Lпривозрастании (или убывании) входит в данную область или выходит из даннойобласти», «траектория при t>T0остаетсяв данной области» и другими аналогичными выражениями, не требующими пояснения. Крометого, укажем следующие обозначения. Если
х = /> (t),y = /> (t) (28)
— какое-нибудь движение(т. е. решение), то точку с координатами /> (t),/> (t)мыбудем обозначать через М (t)ирешение (28) — через М=М (t).Еслиуказаны начальные значения, которым соответствует рассматриваемое движение, т.е. движение (решение) записано в виде
x=/> (t— t0,х0, у0), y= />(t— t0,х0, у0), (29)
то, обозначая через М0точку х0, у0, мы будем записывать точку с координатами /> (t—t0,х0, у0), />(t— t0,х0, у0) в виде М (t— t0,M0)и решение (29) —в виде М = М (t—t0,M0).
9. Теорема онепрерывной зависимости от начальных значений
Наряду с теоремой осуществовании и единственности решения основной теоремой теориидифференциальных уравнений является теорема о непрерывной зависимости отначальных значений.
Мы сформулируем здесьэту теорему для рассматриваемых нами автономных систем вида (I).
Теорема 4. Пусть
x=/> (t— t0,х0, у0), y= />(t— t0,х0, у0)
— решение системы (I),определенное на интервале (/>, Т), а /> и /> (/> ) — двапроизвольных числа из этого интервала. Тогда, каково бы ни было /> >0, существует такое /> >0, что, если
/>
то решение x= />(t— t0,/>), y= />(t— t0,/>) определено привсех значениях t,/> t /> /> при всех этихзначениях t выполняются неравенства
/>
/>
Замечание. Функции />(t—t0,x0,y0),/> (t—t0,x0,y0)посамому своему определению являются непрерывными функциями t—t0.
/>
Рис. 6.
Так как в силунастоящей теоремы эти функции непрерывны по переменным х0, у0и равномерно непрерывны относительно tнавсяком замкнутом конечном промежутке значений t,то,очевидно, эти функции непрерывны по совокупности своих аргументов при всех техзначениях этих аргументов, при которых они определены.
Теорема 4 может бытьтакже сформулирована в следующей геометрической форме, которой мы в основном будемпользоваться в дальнейшем.
Теорема 4'. Пусть
М0(х0,у0) и M1(x1y1)
— две точки произвольнойтраектории L, соответствующиезначениям t0и t1 переменногоt. Тогда для любого /> > 0 можноуказать такое /> > 0, чтоесли точка М'0/> (М0),то проходящая через эту точку при t=t0траектория L' определена для всех tв промежутке /> (или t0/>) и точка М'траектории L', соответствующаялюбому значению t из этогопромежутка, лежит в />-окрестноститочки М траектории L,соответствующей тому же t(рис.6).
Докажем лемму, непосредственновытекающую из теоремы 4.
Лемма 9. Пусть К — замкнутоеограниченное множество, целиком лежащее в G.Всегда существует h0>0 такое, что при любом t0решение
x= />(t— t0, x0, y0), y=/> (t— t0, x0, y0) (30)
для любой точки М0(х0, у0) /> К заведомоопределено при всех значениях tиз промежутка
t0-h/>t/>t0+h.
Доказательство.Предположим, что лемма несправедлива, т. е. для любого h>0 найдется такая точка М /> К, чторешение (30), которое мы для краткости запишем в виде M= M(t— t0,/>),не определено на всем сегменте [t0— h, t0+h]. Тогда существуетпоследовательность стремящихся к нулю положительных чисел { /> } ипоследовательность точек { /> } множестваК таких, что решение M= M(t— t0,/>)не определено на всем сегменте [t0—hn, t0+hn]. Таккак по предположению К — замкнутое ограниченное множество, то из { />} всегдаможно выбрать последовательность, сходящуюся к некоторой точке М* множества К. Поэтомумы можем без ограничения общности считать, что сама последовательность { /> } сходитсяк некоторой точке M* /> К. Рассмотримрешение M = M(t—t0,М*). Всегдасуществует h* >0 такое, что это решение во всяком случае определено при значениях tнасегменте [t0—h*,t0+ h*]. В силу теоремы 4тогда и всякое решение
M=M(t— t0,Mn)
при достаточно большом nопределенона сегменте [t0—h*, t0+h*]. Hohn 0), и,следовательно, решение М = М (t—t0,Mn) должнобыть определено при всех значениях tизсегмента [t0—hn, t0+hn],что противоречит выбору точек Мn.Леммадоказана.
10. Замена переменных
Предположим, чтообласть определения Gсистемы(I) ограничена, и рассмотрим регулярноеотображение этой области на некоторую область G*плоскости(и, v).
Пусть это отображениезадается формулами
x=f(u,v), y= g(и, v) (Т)
или эквивалентными им формулами
x= f*(x,y),y=g*(x,y), (Т*)
где функции f,g, f*,g* являютсяфункциями класса С2. Мы будем предполагать также, что G*—ограниченная область; для этого необходимо и достаточно, чтобы функции f*и g* былиограниченными в области G.
Переменные и и vможнорассматривать, как известно, не только как декартовы координаты на плоскости (и,v), но и каккриволинейные координаты в области Gплоскости(х, у). Тогда (Т) и (Т*) являются формулами замены переменных или преобразованиякоординат.
Пусть после перехода ккоординатам и, vсистема(I) принимает вид
/> =U(u,v), /> =V(u,v). (31)
При этом мы имеем,очевидно,
/> g(u,v)) + /> Q(f(u,v), g(u,v)), (32)
V(u,v) = />P(f(u,v), g(u,v)) + /> Q(f(u,v), g(u,v)).
Таким образом, припереходе к новым координатам и, vвекторт с координатами Р (х, у), Q(х, у) преобразуетсяв вектор т* с координатами U(и, v), V(и, и), связаннымис Р (х, у), Q (х, у) выражениями(32).
При отображении (Т)всякая траектория системы (I)
x= />(t),y = />(t)переходитв траекторию системы (31)
/> (33)
и, обратно, приотображении (Т*) траектории системы (31) переходят в траектории системы (I).Нетрудно убедиться непосредственно, что пара функций (33) является решениемсистемы (31).
В дальнейшем мы будемрассматривать не только регулярные преобразования координат. В частности, мычасто будем пользоваться переходом к полярной системе координат, который,очевидно, не является регулярным преобразованием координат.
Действительно, при преобразованиик полярным координатам
/>
во-первых нарушаетсявзаимная однозначность, а во-вторых функциональный детерминант
/> , обращается внуль, при />
11. Дифференциальноеуравнение, соответствующее динамической системе
Если разделить одноуравнение системы (I) на другое, томы получим либо дифференциальное уравнение
/> (II)
либо дифференциальноеуравнение
/>. (/>)
Рассмотрим сначалауравнение (II). Пусть /> какая-нибудьточка области G. В силу теоремы осуществовании и единственности решения, если при значениях />, P(/>)/>, то существуетединственное решение y=f(x),соответствующее начальным значениям />, и,следовательно единственная интегральная кривая уравнения (II),проходящая через точку />
В каждой точке этойкривой угловой коэффициент касательной задается уравнением (II).
Пусть
х = /> (t),у =/> (t)
— решение системы (I),соответствующее начальным значениям t0,x0y0. Выражаяt вблизизначений t0,х0, у0 как функцию х, t=/>(х) (этовозможно в силу того, что по условию />' (t0)= Р (x0,y0)/> 0)и подставляя в функцию у =/> (t),мы,как нетрудно видеть, получаем решение уравнения (II)
y= />(/>(x))= f(x)
Очевидно, интегральнаякривая уравнения (II) в точках, вкоторых она определена, совпадает с траекторией системы (I)или является частью этой траектории.
/>
Рис. 7
Предположим, чторешение у = f (х) определенона интервале (x1, x2),и пусть х стремится к одному из концов этого интервала, например х />x1(все сказанное в этом случае может быть повторено для случая, когда х/>х2). Наосновании общих теорем нетрудно видеть, что если при х />x1точкас координатами (x, f(х))нестремится к границе области G,тоона стремится к точке М (x1,f (x1)),длякоторой Р (x1,f (x1))=0, т. е. к точке, в которой уравнение (II)теряет смысл. Если при этом Q(x1,f (x1))/> 0,то точка М, очевидно, является такой точкой траектории системы (I),в которой касательная параллельна оси у (рис. 7). В окрестности такой точкиестественно рассматривать уравнение (II*),и как «продолжение» интегральной кривой, соответствующей данному решению у = f(x)уравнения(II), рассматривать интегральнуюкривую уравнения (II*), проходящуючерез точку М(x1,f (x1)).Очевидно, в окрестности всякой точки, в которой ни Р (х, у), ни Q(х, у) необращается в нуль, решение уравнения (II*)может быть получено из решения у = f(х) уравнения(II), если в нем х выразить какфункцию у, х =g (у), ачасти соответствующих интегральных кривых уравнений (II)и (II*), лежащие в достаточно малойокрестности такой точки, совпадают.
Совершенно аналогично вточке N (/>), в которой Q(g (у1),y1)=0, а Р(g(у1),y1)/> 0,естественно «продолжением» интегральной кривой уравнения (II*)считать проходящую через эту точку интегральную кривую уравнения (II).
Нетрудно убедиться втом, что множество точек, состоящее из точек интегральной кривой уравнения (II).проходящей через некоторую, отличную от состояния равновесия системы (I)точку М0(х0, у0) области Gивсех «продолжений» этой интегральной кривой в указанном выше смысле, совпадаетс траекторией, проходящей через точку М0.
Таким образом, одновременноезадание уравнений (II) и (II*)определяет все траектории системы (I),отличные от состояний равновесия. Но в то время, как при рассмотрении системы (I)траектории определяются с помощью параметрических уравнении, при рассмотренииуравнений (II) и (II*)траектории определяются уравнениями в переменных х и у (уравнениями вдекартовых координатах). В дальнейшем, рассматривая одновременнодифференциальные уравнения (II)и (II*), мы не будем выписывать оба этиуравнения: выписывая одно из этих уравнений, мы будем подразумевать, чторассматриваются оба. Мы будем также пользоваться следующими симметричнымиотносительно х и у записями уравнений (II)и (II*), именно
/>
/> (III)
Траектории системы (I),отличные от состояния равновесия, мы будем называть интегральными кривыми уравнения(III) (а также, не совсем точно, интегральнымикривыми уравнения (II) или (II*)).
Точки, в которых одновременно
Р(х, у) = 0 иQ(x,у)= 0
и оба уравнения (II)и (II*) теряют смысл, называются особымиточками уравнений (II), (II*)или (III). Таким образом,состояниям равновесия системы (I)соответствуют особые точки уравнении (II),(II*) или (III)и, наоборот, особым точкам — состояния равновесия.
В то время, как система(I) определяет в области Gфазовойплоскости векторное поле, состоящее из векторов />(х, у) скомпонентами Р (х, у), Q(х, у),уравнение (III) (или пара уравнений (II)и (II*)) определяет поле направлений илиполе линейных элементов. Линейным элементом называется точка М и проходящийчерез эту точку ненаправленный прямолинейный отрезок, для которого М являетсявнутренней точкой. Поле линейных элементов, определенное уравнением (III),получается, если через каждую точку М (х, у) области провести прямолинейныйотрезок, имеющий угловой коэффициент />(если /> 0, тосоответствующий отрезок параллелен оси у).
Очевидно, линейныйэлемент, соответствующий точке М (х, у), лежит на касательной к траектории,проходящей через точку М.
Если функция класса /> f(x, у) не обращается внуль в области G, тосистеме
/> , /> (I*)
соответствует,очевидно, то же дифференциальное уравнение (II)
/> , что и системе/>, />
Отсюда вторичновытекает доказанное в п. 7 утверждение, что системы (I)и (I*) имеют одни и те же траектории.Если функция f(х, у) обращаетсяв нуль в точках области G,то,рассматривая уравнение
/>
мы, очевидно, «теряем»особые точки системы (I*)(неявляющиеся состояниями равновесия системы (I)),для которых f(х,y)= 0.
12. Изоклины
Кривые, расположенные вобласти Gиимеющие уравнение
Q(x,у) /> С />Р (х, у) = 0 (34)
(С —постоянное) или уравнение
Р(x,y) = 0, (35)
называются изоклинами (линиямиравного наклона) системы (I)или уравнения (III). Эти кривыеобладают, очевидно, тем свойством, что траектории системы (I),проходящие через все отличные от состояний равновесия точки каждой кривой,имеют в этих точках одинаковые направления касательных. Именно, угловыекоэффициенты траекторий в точках изоклины (34) равны С, а в точках изоклины(35) равны />. Таким образом,направление касательной к траектории меняется только при переходе точки с однойизоклины на другую.
Изоклины Q(х, у) =О и Р (х, у) = 0 называются главными изоклинами. В точках первой из нихкасательные к траекториям горизонтальны, а в точках второй — вертикальны.Поэтому главные изоклины называют также изоклинами горизонтальных, соответственновертикальных, наклонов.
Очевидно, все состоянияравновесия лежат на каждой из изоклин и, обратно, общие точки любых двухизоклин (различных) являются состояниями равновесия системы. В частности,состояния равновесия являются общими точками двух главных изоклин.
13. Понятия «интеграл»,«интегральная кривая», «общий интеграл». использующиеся в классическойлитературе при рассмотрении аналитических систем
В этом пункте мы введемпонятия «интеграл», «интегральная кривая», «общий интеграл» дифференциальногоуравнения или системы уравнений так, как это обычно делается в классическойлитературе при рассмотрении аналитических дифференциальных уравнений и систем.
Мы останавливаемсяздесь на указанных понятиях, не играющих роли в излагаемой дальше теории ввидутого, что они часто используются в дальнейшем при рассмотрении примеров.
Пусть рассматриваемая система(I)
/>Р(х, у) />Q(x,у)
является аналитическойв области G. Соответствующееэтой системе дифференциальное уравнение запишем в симметричной форме (III)
/>
интегралдинамический плоскость траектория
Пусть функция F(х, у) удовлетворяетследующим условиям:
а) она являетсяаналитической во всех точках кривой, заданной соотношением
F(x,y)= 0, (36)
б) во всех точкахкривой (36) тождественно выполняется равенство
/>(х, у) Р(х, y)+ />(x,y)Q(x,y)=0. (37)
Тогда соотношение (36)называется интегралом или частным интегралом уравнения (III)или системы (I), а кривая,определяемая этим соотношением, интегральной кривой уравнения (III)или системы (I).
Пусть F(х, у) =0 — интеграл системы (I).Рассмотрим соответствующую интегральную кривую. Эта кривая может иметь в числесвоих точек состояния равновесия системы (I),а также точки, в которых одновременно F'x(х, у) = F'y(х, у) = 0, т. е. особые точки кривой (36).
Покажем, что всякий “кусок”интегральной кривой, не содержащий состояний равновесия системы (I)и не имеющий особых точек, является траекторией системы (I)или представляет часть такой траектории.
В самом деле,рассмотрим произвольную точку М0(х0, ус) такогокуска кривой (36). Предположим, что в этой точке
F'y(x0,у0) /> 0
Тогда в некоторой окрестноститочки М0кривая может быть задана уравнением вида y= f(x),причём
/>
для всех точек кривой вэтой окрестности. Так как F'y(х0, у0) /> 0, тов окрестности точки М0, F'y(x, у) также отлична отнуля. Из соотношения (37)
F'x(x,y)P(x,y) + F'y(x,y)Q(x,y)=0
следует, что Р (х, у) /> 0 вокрестности точки М0и что
/>
Но это значит, чтофункция y = f(x)удовлетворяетуравнению (II)
/>
Аналогичнорассматривается случай, когда F'x(x0,у0) /> 0.Таким образом, рассматриваемый кусок кривой (36) является куском интегральнойкривой в смысле п. 11, т. е. представляет траекторию или часть траекториисистемы (I).
Рассмотрим теперьсемейство кривых
F{x%у, С)= 0, (38)
определенное длязначений С в некоторой области (обычно в некотором интервале).Соотношение (38) называетсяобщим интегралом уравнения (III)или системы (1), если каждая кривая семейства (38) является интегральной кривойв определенном выше смысле и если каждая точка области Gпринадлежит по крайней мере одной из кривых (38).
Из этого определенияследует, в частности, что если некоторая функция Ф (х, у) определена в области Gиявляется аналитической во всех точках этой области, за исключением, быть может,состояний равновесия системы (I),и удовлетворяет в области тождеству
Ф'х(х, у)/>Р(х, у) + Ф'y(х, y)/>Q(x,y) /> 0, тосоотношение
Ф(x,y) = С (39)
является общиминтегралом системы (I).
Если у системы (I)(или уравнения (III) существуетобщий интеграл вида (39), причем Ф (x,у) есть функция, аналитическая во всех точках области G,то,говорят, что система (I)(или уравнение (III)) имеет вобласти G аналитический интеграл.В частности, системами вида (I),имеющими аналитический интеграл, являются так называемые гамильтоновы системы,о которых уже говорилось во введении
/>
где Н (x,у) — аналитическая функция. H(х, у) = С является аналитическим интегралом (так называемым«интегралом энергии») этой системы.
Знание аналитическогоинтеграла системы (I) в некоторыхчастных случаях помогает проводить качественное исследование системы (I).
14. Примеры
Мы приведем здесь рядпростых примеров динамических систем, поясняющих материал, изложенный в предыдущихпунктах.
Во всех указанныхпримерах динамические системы определены на всей плоскости. Приведем сначаладва простейших примера динамических систем без состояний равновесия.
Пример 1.
/>
Траектории — прямые,параллельные оси х
/>
Состояний равновесия,очевидно, нет, все траектории (совпадающие с интегральными кривыми) являютсяцелыми траекториями.
Пример 2.
/>
/>.
Состояний равновесиянет, траектории не являются «целыми траекториями» ввиду того, что точки па этихтраекториях уходят в бесконечность при t,стремящемсяк конечному значению. Именно
/> при t+c1/>(2k+1).
Пример 3
/> (40)
где a1иa2 имеютодинаковые знаки.
На плоскости (х, у) (т.е. на фазовой плоскости системы (40)) эта система задает векторное поле,примерно изображенное на рис. 8, а при a1 0, а2 >0. Прямые на этом рисунке являются изоклинами.
Система (40), очевидно,имеет единственное состояние равновесия О (0, 0). Решая систему (40) каклинейную с постоянными коэффициентами, легко видеть, что решение, соответствующееначальным значениям t0,x0,у0, имеет вид
/> (41)
Очевидно, в согласии слеммой 3 это решение является функцией t—t0.
Траектории системы (40)проще всего получить, исключая tвуравнениях (41), т. е. переходя к декартовым координатам. Мы получаем
/>
Полагая при уо />0 /> ,получим «параболы»
/> (42)
а при у0= 0x=0 (43)
Из (42) при С = 0 мыполучаем у =0 .
Нетрудно видеть, чтоесли перейти от системы (40) к одному уравнению, например, записанному в виде
/> или в виде />
и проинтегрировать его,то в качестве интегральных кривых в смысле п. 13 мы получим «параболы» (42) идве оси координат.
/>
а) b)
Рис. 8
Отметим здесь же, что,как было указано в п. 13, уравнение (44) задает поле линейных элементов: онопредставлено на рис. 9.
Траекториями системы(40) являются те части (половины) парабол (42) и координатных осей х = 0 и у = 0,на которые эти кривые разбиваются состоянием равновесия О (0, 0). Изсоотношений (41) видно, что если a1 ,а если a1 >0, a2 >0, то при t/>. Мы будемсокращенно говорить, что траектория стремится к состоянию равновесия О соответственнопри t/> или t/>.
/>
Рис. 9
Напоминаем, что когда«изображающая» точка, двигаясь по отличной от состояния равновесия траектории,стремится к некоторому состоянию равновесия А (х0, у0), топри этом |t|/>. Действительно,как это уже указывалось в п. 6, если бы tстремилоськ конечному значению />, то этоозначало бы, что через точку пространства (х, у, t)скоординатами />, х0,у0проходят две интегральные кривые: одна — прямая, параллельная осиt, соответствующаясостоянию равновесия А (х0, у0), и другая,соответствующая траектории L.Это,очевидно, противоречит теореме о существовании и единственности решения.
Таким образом,разбиение на траектории, определенное системой (40) (с указанными натраекториях направлениями *)[ Если особых линий нет, то для того, чтобынаметить направление на траекториях, достаточно наметить направление вкакой-либо одной точке, тогда во всех других точках направление определяется изсоображений непрерывности. Определить же направление в какой-либо точке х0,у0, в которой Р (х0, у0) =/= 0, можно,вычисляя в этой точке Р (х0, у0) и определяя в этой точкезнак Р (х0, у0); если Р (х0, у0) >(),то в точке (х0, yQ)dx/dt>0, а значит, вблизи этой точки при движении по траектории в сторону возрастанияt xвозрастает,что н определяет направлении на траектории, проходящей через точку (а;0,у0). Совершенно аналогично можно наметить направления натраекториях, рассматривая знак dyidtвточке, в которой Q {х0,у0) М 0. 2)]), имеет вид, указанный на рис.10. Состояние равновесия такого типа называется узлом, устойчивым в случае a10,a2 >0(рис.10, б).
Рассмотрим еще интерпретациюрешений системы (40), т. е. интегральные кривые системы (40) в трехмерномпространстве ℝ 3 скоординатами х, у, t. Изформул (41) следует, что интегральными кривыми системы (40) в пространстве (х,у, t) являются
/>
Рис. 10.
1) ось t,т.е. х = 0, у = 0 (эти уравнения получаются из уравнений (41) при х0=у0= 0); она проектируется в состояние равновесия О фазовой плоскости;
2) показательные кривые
/>
расположенные вкоординатных полуплоскостях х > 0, у = 0 или х , если а1, если а1> 0; эти кривые проектируются в положительную и отрицательную полуосиабсцисс, являющиеся траекториями системы;
3)показательные кривые
х = 0, />
аналогичные кривым типа2);
4) кривые
/> (хо/>0, уо/>0),
расположенные напараболических цилиндрах
/> ,(С /> 0)
с образующимипараллельными оси t. Осьt разбивает каждый такой цилиндр надве «половины» и каждая интегральная кривая типа 4) лежит целиком в однойполовине цилиндра и асимптотически стремится к оси tприt />, если a1, если a1> 0, a2> 0.Интегральные кривые типа 4) получаются друг из друга сдвигом вдоль оси t.To же справедливо для интегральныхкривых типа 2)или 3)
/>
а) б)
Рис.11
Пример 4
/> (45)
(а — отличная от нуляпостоянная).
Векторное поле,определенное этой системой (при а
Решая систему (45) каклинейную систему с постоянными коэффициентами, мы получим решение,соответствующее начальным значениям t0,х0, у0в следующем виде (оно, очевидно,является функцией t—t0всогласии с леммой 3):
/> (46)
/>
/>
Рис.12
Характер траекторийрассматриваемой системы удобнее исследовать, переходя к полярным координатам.Пусть />0и/>0—полярные координаты точки М0(х0, у0). Полагаях = /> cos/>, у = /> sin/>, нетрудно найтиуравнение траекторий /> = /> (t),/> = /> (t)вполярных координатах (здесь /> (t),/> (t)—непрерывныефункции от t, /> (t)>0, />. />(t0)=/> ). Мыполучим после элементарных вычислений
/> (47)
Исключая t,получаем
/> (48)
Уравнение (48) дает,очевидно, все траектории системы (46). Если /> эти траекторииявляются логарифмическими спиралями. При /> = 0 получаетсясостояние равновесия О (0, 0).
Первое из двухуравнений (47) показывает, что все траектории стремятся к состоянию равновесия Опри />, если а , если а > 0(рис. 13, б). Состояние равновесия такого типа, как в данном примере, называетсяфокусом, устойчивым в случае а 0.
Уравнение
/>
соответствующее системе(45), является однородным. Интегрируя его с помощью подстановки /> = и или />= и, мыполучим соотношение
/> (49)
/> (50)
Первое из соотношенийявляется общим интегралом системы (в смысле п. 13) во всякой области, несодержащей точек оси у (т. е. точек х = 0), а второе — во всякой области, несодержащей точек оси х. Однако, ни одно из этих соотношений не является встрогом смысле слова общим интегралом системы в области, содержащей точку О. «Целую»интегральную кривую, расположенную в такой области, можно получить, «склеивая»куски кривых (49) и (50).
Рассмотриминтерпретацию в трехмерном пространстве. Как и в предыдущем примере, ось tявляетсяинтегральной кривой системы (45) в пространстве (х, у, t).Остальныеинтегральные кривые расположены на цилиндрических поверхностях, имеющих своиминаправляющими спирали (48), а образующими — прямые, параллельные оси t.Этиинтегральные кривые асимптотически приближаются к оси tпри
t/>, если а ,если а > 0
Отметим, что хотя формытраекторий в примерах 3 и 4 при a10, а2 > 0 и а > 0) соответственно существенно отличаются, но внекотором смысле поведение траектории в том и в другом случае одинаково:именно, в обоих примерах все отличные от состояния равновесия траектории при t/> (илиt /> )стремятся к состоянию равновесия.
/> />
а) б)
Рис. 13
Впоследствии, уточнивпонятие «качественной структуры» разбиения на траектории, мы будем считать впримерах 3 и 4 «качественную структуру» разбиения на траектории одинаковой.
Пример 5
Эта система получаетсякак частный случай системы (45) при а = 0. Решения, соответствующие начальнымзначениям t0,x0,у0, имеют вид
х =х0cos(t—t0)—у0sin (t—t0) (52)
у= x0sin (t —t0) + y0cos (t — t0).
Непосредственнойпроверкой (или используя (52)) нетрудно убедиться, что является общиминтегралом системы. Таким образом, в этом случае система имеет аналитическийинтеграл.
х2 + у2= С (53)
Траекториями системы,очевидно, являются состояние равновесия О (0, 0) и замкнутые траектории — концентрическиеокружности с центром в начале координат (рис. 14). Решения (52),соответствующие замкнутым траекториям — окружностям, являются периодическимифункциями с периодом 2/>.
/>
Рис. 14
Интегральными кривыми втрехмерном пространстве (x,у, t) являются ось tивинтовые линии, расположенные на круглых цилиндрах с направляющими (53). Шагкаждой винтовой линии равен 2/> (рис. 15).
Пример 6
/>
Рис. 15
Векторное полеизображено на рис. 16.
Решение системы, соответствующееначальным значениям t0,х0, у0, имеет вид
/> (55)
Точка О(0, 0) —состояние равновесия. Система имеет аналитический интеграл
ху = С. (56)
Интегральными кривыми приС /> 0являются гиперболы (56) и при С = 0 — координатные оси х = 0 и у =0. Каждаягипербола состоит из двух траекторий (ее ветвей) и каждая из координатных осей— из трех траекторий (состояния равновесия О и двух полуосей). Соответствующееразбиение на траектории указано на рис. 17.
Из выражений (55)очевидно, что траектории, являющиеся полупрямыми оси х (получающаяся из (55)при у0=0), стремятся к состоянию равновесия при t/>, а траектории,являющиеся полупрямыми оси у, при t/>. Другихтраекторий, стремящихся к состоянию равновесия О, система не имеет.
Состояние равновесиятакого типа, как у данной системы, называется седлом. Траектории, стремящиеся кседлу О, в данном случае полупрямые х =- 0 и у = 0 — называются сепаратрисами седла.
Траектории, скольугодно близкие к сепаратрисе седла, при неограниченном возрастании tудаляютсяот сепаратрис. Такое поведение траекторий, очевидно, ни в какой мере непротиворечит теореме 4 (о непрерывной зависимости от начальных значений), таккак эта теорема рассматривает поведение близких траекторий только на конечномпромежутке значений t. Нетрудноубедиться в том, что если взять за исходную траекторию сепаратрису, то длялюбого конечного промежутка значений tтеорема4, очевидно, выполняется. Но при увеличении рассматриваемого промежуткавеличину б (см. теорему 4') нужно брать все меньше и меньше. Рассмотрениеинтегральных кривых системы (54) в пространстве (х, у, t)аналогичнопроведенному в предыдущих примерах, и мы его опускаем.
Рассмотрим теперьнесколько более сложных примеров, именно, несколько примеров нелинейныхдинамических систем. При этом будем рассматривать только разбиение натраектории фазовой плоскости, заданное этими системами, не обращаясь уже большек пространству (х, у, t),какв примерах линейных систем.
/>
Рис. 16. Рис.17
/>
Рис. 18
Сделаем предварительноследующее элементарное замечание, являющееся, однако, весьма существенным для пониманиянекоторых основных свойств разбиения на траектории: в окрестности всякой точки,отличной от состояния равновесия в «малом», траектории ведут себя «аналогично параллельнымпрямым». Это наглядно иллюстрируется рис. 18. Далее, сделаем еще одно предварительноезамечание. Пусть наряду с системо
/> Р(х, у),/>= Q(x,у) (l)
задана система
/> = (х, y)/>f(x,y)Q(x,у),
/> Q(x,y)/>f(x,y)P(x, y), (/>)
где f(x,y) — функция классаСN,илианалитическая, определенная в той же области, что и система (I).
Легко видеть,что состояния равновесия системы (I)совпадают с состояниями равновесия системы (/>).Вкаждой точке области Gрассмотримвекторы />и /> , определенныесоответственно системой (I)и(/>).Если обозначитьчерез /> и /> углы междуположительным направлением оси х и векторами /> и/>,соответственно, то, очевидно
/>
Тогда тангенс угла междувектором /> ивектором /> даетсявыражением.
/> (57)
Отметим, что в любой неособойточке области Gскалярноепроизведение
(/>) = P2+Q2>0
Следовательно, векторы /> и/> неперпендикулярны.
Формулы (57) означают,как мы будем сокращенно говорить, что векторное поле системы (/>) повернуто по отношениюк векторному полю системы (I)на острый угол, тангенс которого равен f.
Пример 7
/> (58)
/>
Легко видеть, чтосистема (58) имеет вид системы (/>), в которой Р(х, у) = — у, Q (х, у)=х иf(х, у) = х2 +у2 — 1. Системой же
/>Р (х, у), /> = Q(x,у)
является система (51) примера5. Отсюда следует, что система (58), так же как и (51), имеет единственноесостояние равновесия О (0, 0) и что векторное поле системы (58) повернуто поотношению к нyлю системы (51) наострый угол, тангенс которого равен
х2+у2—1
Этот угол, очевидно,положителен в точке, где
(x2+у2 — 1) > 0, и отрицателен,
где (х2+ у2— 1)
Учитывая знак выражениях2 + у2 — 1, нетрудно убедиться в том, что при С > 1траектории системы (58) входят внутрь окружностей х2 + у2= С и выходят из таких окружностей при С
Непосредственнойпроверкой легко убедиться, что окружность
х2 + у2— 1=0
есть интегральнаякривая системы (58) и, следовательно, является ее замкнутой траекторией. В силуустановленной выше связи между векторными полями систем (51) и (58) траектории
х2 + у2= С (59)
системы (51) являются цикламибез контакта для траекторий системы (58), т. е. траектории системы (58) при С /> 1ни в одной точке не касаются окружностей (59). Окружность жex2+y2= l являетсяодновременно траекторией обеих систем (51), (58).
На основании всеговышеизложенного представляется геометрически очевидным, что траектории системы(58) имеют характер, представленный на рис. 20. Строго можно доказать это найдяуравнения траекторий в полярных координатах. Полагая
/> или />
мы найдём
/>, (60)
/>
и /> (61)
/> />
Рис. 19. Рис.20
Интегрируя последнееуравнение, мы получим
/>
Это и есть уравнениетраекторий в полярных координатах. Траектории, проходящей через точку М0(/>0,/>0),соответствует значение
С =/>
Если
/>0>1,то С > 0 и /> >1; />1 при /> и /> при />
(Очевидно,при этом /> изменяется винтервале
/> .) />
является решением уравнения(61). Если />0
/> при /> и />1 при />
Отсюда следует, чтотраектории системы имеют вид, указанный на рис. 20. Второе из уравнений (60)показывает, что если траектория проходит через точку
М0(/>0,/>0)
при t=t0,то/>= t+ (/>0— t0)
Состояние равновесия О (0,0) так же, как и в случае линейной системы (45) примера 4, является фокусом,причем неустойчивым.
Траектория х2+ у2 — 1 = 0 (в отличие от того, что было в примере 6) не окруженазамкнутыми траекториями. Она сама является изолированной замкнутой траекторией,и все траектории, проходящие через точки достаточно малой ее окрестности,стремятся к ней при t/>. Такаязамкнутая траектория называется предельным циклом.
/>
Подчеркнем, что накаждой траектории, лежащей вне предельного цикла, tизменяетсяот конечного значения
/>до + />
Это можно выразить, сказав,что при убывании tточкана такой траектории уходит на бесконечность в конечное время. Таким образом,траектории, лежащие вне предельного цикла, не являются целыми. Напротив, всетраектории, лежащие внутри предельного цикла, очевидно, являются целыми, т. е. tнаних меняется от /> до />. Направление натраекториях может быть установлено непосредственно из системы.
Так, например, при х = 0и у > 0 мы имеем /> х убывает.Этого, очевидно, достаточно для определения направления на всех траекторияхрассматриваемой системы.
Пример8
/> (62)
Система имеет два состоянияравновесия О(0, 0) и А (4, 0). Система, очевидно, имеет аналитический интеграл
/>— 6x2/> x3= C. (63)
Характер семейства кривых(63) нетрудно установить, рассматривая вспомогательное семейство кривых:
и = 6х2 — х3+С. (64)
Так как у = />, тосемейство кривых (64) имеет вид, представленный на рис. 21. a,а семейство кривых (63) — вид, представленный на рис. 21, б. Состояниеравновесия О (О, 0) лежит на интегральной кривой (63) при С = 0. Этаинтегральная кривая состоит из четырех траектории состояния равновесия О, двухнезамкнутых траекторий, одна из которых стремится к О при t/>, а другая при t/> и «петли»,стремящейся к состоянию равновесия О как при t/> , так и при t/>.
Нетрудно убедиться втом, что состояние равновесия А (4, 0) принадлежит кривой (63), соответствующейС = —32. Эта кривая состоит из одной ветви и изолированной точки-состоянияравновесия А. Остальные интегральные кривые не содержат состояний равновесия.При С 0 кривая состоит из однойветви (расположенной справа от кривой (63) при С = 0). Каждая ветвьинтегральной кривой (при С /> 0)является траекторией.
Состояние равновесия А являетсяцентром (см. пример 5). Состояние равновесия О — седло, стремящиеся к нему при t/>или t/> траектории —сепаратрисы седла (см. пример 6).
Заметим, чтосепаратрисой седла называется не траектория, а полутраектория. При этом, говоряо сепаратрисах, стремящихся к седлу, мы не считаем различными сепаратрисы, изкоторых одна является частью другой (например, С10 и С20 нарис. 22). С этой точки зрения в рассматриваемом примере к седлу стремится 4сепаратрисы. Две из этих сепаратрис принадлежат одной и той же траектории—«петле».
Направление на траекторияхможет быть установлено, если, например, в первом уравнении (62) положить х = 0,у > 0. Мы получаем
/>
что позволяет определитьнаправление на траекториях (рис. 21, б).
Пример 9
/> (65)
Поле системы (65) можетбыть получено, если поле системы (62) повернуть на постоянный угол /> такой, что tg/> = а. Следовательно,траектории системы (65) ни в одной точке не касаются траекторий системы (62). Вчастности, замкнутые траектории системы (62) являются циклами без контакта длятраекторий системы (65).
Для определенностипредположим, что угол /> , стремится ксостоянию равновесия (А), а при возрастании tвыходитиз области, заполненной замкнутыми траекториями.
Состояние равновесия О (0,0) системы (65) является так же, как у системы (62), седлом. Однакорасположение сепаратрис седла у системы (65) (рис. 22) отличается отрасположения сепаратрис системы (62).
И можно сказать, чтосепаратриса системы (62) после поворота поля, т. е. после перехода к системе(64), «разделяется» на две сепаратрисы.
Сепаратрисы Lсистемы(65), лежащие слева от оси у, расположеныаналогично сепаратрисам системы (62).
Пример 10
/>
Приравнивая нулю правыечасти, мы находим состояния равновесия системы
О (0,0), F1(—1,0), F2(1,0)
Легко убедиться, что
/> (67)
есть общийаналитический интеграл системы (66).
Исследование системыкривых ((57) легко провести полностью аналогично тому, как это было сделано впримере 8. Пользуясь вспомогательным семейством кривых
/>, (68)
нетрудно построитьсемейство кривых (67) (рис. 23). Интегральная кривая
/>
состоит из трехтраектории — двух петель nсостоянияравновесия 0(0, 0). При С > 0 каждая кривая (67) представляет собой однузамкнутую кривую (овал), при С 1 мы получаемдве изолированные точки — состояния равновесия F1иF2.
Состояние равновесия О/> седло,состояния равновесии F1иF2—центры.
/>
Рис. 22 Pис. 23
Пример. 11
/> (69)
/>
Легко видеть, чтовекторное поле системы (69) повернуто но отношению к векторному полю системы(66) примера 10 на острый угол, тангенс которого равен /> (/>— 2х2/> х4).Далее,непосредственно проверяется, что соотношение
(/>— 2х2/> х4)= 0 (70)
является интеграломсистемы (69). Поэтому кривая (70), представляющая интегральную кривую системы(66), является также интегральной кривой системы (69).
Наконец, заметим, чтовнутри кривой (70) выражение />— 2х2/> х4 меньше0, а вне — больше нуля. Сравнивая векторные поля систем (66) и (69), нетрудновидеть, что все замкнутые траектории системы (66) (рис. 23) являются цикламибез контакта для траекторий системы (69).
На основании этого,можно показать, что разбиение на траектории имеет вид, представленный на рис.24. а, при /> > 0 и нарис. 24.б при /> > 0 всетраектории, лежащие вне кривой (70) при tвозрастающем,уходят на бесконечность, а при t/> «накручиваются»на кривую (70). Траектории, лежащие внутри кривой (70) при t/>, «накручиваются»на однуизпростых замкнутых кривых, составляющих часть кривой (70), а при t/> стремятся кодному из состояний равновесия F1иF2,которыеявляются «фокусами».
/>
Рис. 24.а. Рис.24.6.
Состояние равновесия О —седло, кривая (70) является предельным континуумом для траекторий,расположенных вне нее, а каждая ее петля (вместе с состоянием равновесия О) —предельным континуумом для траекторий, расположенных внутри этой петли.Аналогично обстоит дело при
/>
15. Выводы
Приведенные вышепримеры, на которых был проиллюстрирован целый ряд установленных вышепредложений, одновременно являются примерами «исчерпывающего» исследования«качественной структуры» разбиения на траектории, т. е. «исчерпывающего»качественного исследования динамической системы.
С точки зрениякачественного исследования знание точной формы траектории не представляетинтереса: мы уже подчеркивали это, указывая на одинаковое «качественноеповедение» траекторий в случае узла и фокуса. Однако существенный интереспредставляет, например, знание числа состояний равновесия, факт наличия илиотсутствия изолированной замкнутой траектории — предельного цикла, ход сепаратриси так далее.
В приведенных вышепримерах «исчерпывающее» качественное исследование разбиения на траекторииудалось провести ввиду простоты рассматриваемых динамических систем. В примерах1—6 динамические системы являлись линейными. В других примерах полученыобозримые аналитические выражения для решения или интегралов. Это позволяло полностьюрешить вопрос о характере разбиения на траектории. Исследование характераразбиения на траектории в примерах 9 и 11 было проведено, опираясь нарезультаты примеров 8 и 10, на понятие циклов и кривых без контактов и насвойства поворота поля.Конечно, такое элементарное и исчерпывающее качественноеисследование, как правило, не удается провести в случае произвольнойдинамической системы вида (I).
Мы не можем рассчитыватьполучить элементарные выражения для решений или интегралов в случаепроизвольной динамической системы. Вследствие этого даже очень простые но видудинамические системы, имеющие интерес в прикладных вопросах, требуют для своегокачественного исследования создания специальных приемов. Примером этому можетслужить «система Ван-дер-Поля»
/>
качественномуисследованию которой посвящено большое количество работ. Таким образом,естественно встает вопрос об отыскании регулярных методов качественногоисследования динамических систем или хотябы о достаточно эффективных приемах такого исследования.
Подчеркнем еще раз, чтодаже в тех случаях, когда у рассматриваемой динамической системы существуетаналитический интеграл (в смысле п. 13) и найдено его аналитическое выражение
Ф(х, у) = С (71)
(как это имело место впримерах 8 и 9), вопрос качественного исследования разбиения на траектории, какправило, не делается тривиальным. Он сводится, правда, к вопросу качественногоисследования семейства кривых (71). Однако в настоящее время не существуетрегулярных методов качественного исследования семейства кривых (71) илиотдельной кривой
F(x,y) = 0
Такие методыотсутствуют даже в том случае, когда функции Ф (х, у) и F(х, у) являютсямногочленами.Поэтому ни в какой мере не следует думать, что знаниеаналитического интеграла (в тех случаях, когда он существует) сразу же решаетзадачу качественного исследования динамической системы: оно просто сводит однузадачу — задачу непосредственного исследования разбиения на траектории,заданного системой (I) — к задачекачественного исследования семейства кривых вида (71).Поэтому представляетсяцелесообразным отыскание методов или приемов непосредственного качественногоисследования системы (I),без предварительного нахождения аналитических выражений для решений. Прежде чемпереходить к описанию таких приемов, естественно установить некоторые общиесвойства разбиения на траектории. Необходимо выяснить: каким вообще может бытьразбиение на траектории, определенное системой (I).Вопросом, который при этом возникает первым, является вопрос о том, какие типытраекторий вообще возможны у динамических систем вида (I).В п. 5 было установлено, что траектории могут быть состояниями равновесия,замкнутыми и незамкнутыми траекториями. Однако это еще слишком общие,неконкретные сведения о возможном характере траектории (в случае незамкнутойтраектории).