/>Оглавление
Введение
1. Понятие поверхностного интеграла
2. Свойства поверхностного интеграла
3. Поток векторного поля через поверхность
Заключение
Список литературы
/>Введение
Данная работа посвященадискретной теории поля.
Цель данной работырассмотреть дискретную теорию поля.
Задачи:
- Определитьпонятие поверхностного интеграла.
- Рассмотретьосновные свойства поверхностных интегралов.
- Рассмотретьпримеры вычисления поверхностных интегралов.
- Рассмотреть потоквекторного поля через поверхность, как механический смысл поверхностногоинтеграла.
Методологической итеоретической основой при написании работы послужила учебная литература и трудыотечественных и зарубежных авторов.
1. Понятиеповерхностного интеграла
Рассмотрим некоторуюповерхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S1, S2,…, Sn (при этом площадь каждой части тожеобозначим Sn). Пусть в каждой точке этойповерхности задано значение функции f(x, y, z) (Рис. 1).
/>
Выберем в каждой части Si точку Mi (xi, yi, zi) и составим интегральную сумму
/>.
Если существует конечныйпредел при /> этой интегральнойсуммы, не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек Mi, то он называется поверхностныминтегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) поповерхности S и обозначается
/>.
Разобьем поверхность S на части S1, S2,…, Sn, выберем в каждой части Si точку Mi(xi, yi, zi), и умножим f(Mi) на площадь Di проекциичасти Si на плоскость Оху. Если существуетконечный предел суммы
/>,
не зависящий от способаразбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называется поверхностныминтегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается
/>
Подобным образом можнопроектировать части поверхности на координатные плоскости Оxz и Оyz. Получим два других поверхностныхинтеграла 2-го рода:
/> и />.
Рассмотрев сумму такихинтегралов по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интегралвторого рода общего вида:
/>
Свойства поверхностного интеграла.
Рассмотрим свойстваповерхностных интегралов первого рода:
1. />, где S – площадь поверхности.
2. />, k=const
3. />
4. Если поверхностьразделена на части S1 и S2, то
/>
5. Если />, то />
6. />
7. Теорема осреднем.
Если функция F(x, y, z)непрерывна в любой точке поверхности S, то существует точка (a, b, g) такая,что
/>
S – площадь поверхности.
Каковабы ни была функция f(x, у, z), определеннаяв точках поверхности (S) и ограниченная:
/>,
имеетместо равенство
/>
впредположении существования одного из этих интегралов (что влечет за собой исуществование другого).
Таким образом, для сведенияповерхностного интеграла первого типа к обыкновенному двойному нужно лишьзаменить координаты х, у, z ихвыражениями через параметры, а элемент площади dS — его выражением в криволинейных координатах.
Рассмотрим несколькопримеров вычисления поверхностных интегралов.
Пример 1. Вычислитьинтеграл/> по верхней сторонеполусферы
/>
Решение.
Преобразуем уравнениеповерхности к виду:
/>
/>
/>
Заданная поверхностьпроецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:
/>
/>
Для вычисления двойногоинтеграла перейдем к полярным координатам:
/>
/>
Пример 2. Вычислитьповерхностный интеграл /> распространенныйна поверхность (S) эллипсоида:
/>.
Решение.
Если воспользоватьсяпредставлением эллипсоида:
/>, />,/> />,
то элемент поверхностипредставиться в виде
/>.
С другой стороны,подынтегральная функция
/>.
По соображениям симметриивычисление приводится к первому октану, так что
/>/> Потоквекторного поля через поверхность.
/>
Поопределению
/>.
Каждоеслагаемое суммы
/> (*)
можетбыть истолковано механически следующим образом: это произведение равно объемуцилиндра с основанием />, и высотой />. Если вектор F есть скорость жидкости, протекающейчерез поверхность а, то произведение (*) равно количеству жидкости, протекающейчерез площадку />; за единицу времени в направлении вектора /> (Рис. 3).
Выражение/> дает общее количество жидкости,протекающей в единицу времени через поверхность /> в положительном направлении, если под вектором F подразумевать вектор скорости течения жидкости в даннойточке. Поэтому поверхностный интеграл называется потоком векторного поля F через поверхность />.
Изопределения поверхностного интеграла следует, что если поверхность /> разбить на части />, />, ..., />, то
/>
Выразимединичный вектор я через его проекции на оси координат:
/>.
Подставляяв интеграл выражения векторов F и n через их проекции, получим:
/>
Произведение/> есть проекция площадки /> на плоскость Оху; аналогичное утверждение справедливои для произведений:
/>
где />, />, />
проекцииплощадки /> на соответствующие координатныеплоскости.
/>
Наосновании этого интеграл записывают также в другой форме:
/>
Пример.
Найти поток векторногополя /> через часть плоскости /> ограниченную координатнымиплоскостями (нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz).
Решение.
Проекцией даннойповерхности на координатную плоскость Оху является треугольник с вершинами вточках А(0;0), В(0;1), С(½; 0). Найдем координаты единичной нормали кплоскости:
/>
Вычислим соответствующийповерхностный интеграл:
/>
/>Заключение
В данной работе быларассмотрена дискретная теория поля. Вначале было введено понятие поверхностногоинтеграла. Поверхностный интеграл первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S обозначается
/>.
Поверхностный интегралвторого рода общего вида:
/>
Далее рассматриваютсясвойства поверхностного интеграла первого рода. Поверхностный интеграл первоготипа сводиться к обыкновенному двойному. Рассмотрены примеры вычисленияповерхностных интегралов.
Рассмотрен механическийсмысл интеграла, откуда следует, что поверхностный интеграл есть потоквекторного поля F черезповерхность />. Приведен пример вычисления потока векторного поля через частьплоскости.
/>Список литературы
1. Пискунов Н.С.Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: «Наука», 1976. – 544с.
2. Титаренко В.И.,Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. М.:МАТИ, 2006. – 410 с.
3. Фихтенгольц Г.М.Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: «Наука», 1969. – 656 с.
4. http://matclub.ru/lec3/lec42.htm
5. http://ftoe.ru/list8/du43.htm