Делениепроизвольно заданного угла на 3 равновеликие части. Трисекция угла
Россия. г. Пенза
Е. И. Терёшкин.
Возьмем прямой угол BAD (чертеж1) достроим его даквадрата ABCD, примем сторону квадрата за 1. Продолжим стороны BC и DC довеличины равной />. Поставим точки M и N. Соединимточки M и N с точкой A и наш прямой угол BAD разделен на 3 равновеликие частит.е. />
/>
Чертеж 1.
/>
Чертеж 2.
Но чтобы делить другие углы надо найти некоторуюзакономерность. Из точки C радиусом CM опишем окружность.
/>.
/>.
/>.
/>.
/>.
По теореме Пифагора находим />. Из точки /> радиусом />опишем окружность. Из точки/> черезточку /> проводимлинию до пересечения с большой дугой и ставим точку />. />, />.
/>.
/> - диаметры большого круга.Проводим линию />, она пересекает малый круг вточке />. Източки />,через точку /> проводимлинию до пересечения с большой дугой, ставим точку />. Соединяем точки /> и />.
/>.
/>
/>.
Рассмотрим треугольник /> чертеж 2. />. По теореме косинусов />. Проведемлинию /> допересечения с />. />
/>
По теореме Пифагора /> Из точки /> проводим линию />. /> подобен />, значит
/>
Рассмотрим />, т.к. этот угол вписанный иопирается на диаметр, а /> в этом треугольнике будет средняялиния, а значит /> По теореме косинусов />, значит /> но />, значит линия/> проходитчерез точку />,т.е. через центр квадрата.
Далее чертим две пересекающиеся прямые, чтобы верхний инижний вертикальные углы были тупыми (чертеж 3) и острыми (чертеж 4). В местахпересечения ставим точки />. Из точек /> любым радиусомописываем окружность.
/>
Чертеж 3. Чертеж4.
Там где стороны верхнего тупого угла (чертеж 3) и острого( чертеж 4) пересекаются с дугой окружности ставим точки M и N. Проводимбиссектрисы обоих тупых углов ( чертеж 3) и острых углов ( чертеж 4). Там гдебиссектрисы пересекаются с окружностями ставим точки /> и />. Из точек /> радиусом /> описываем окружности. Тамгде биссектрисы пересекаются с нижней точкой окружности ставим точки F.Соединяем точки N с точками F. В местах пересечений линий NF с малойокружностью ставим точки Е. Из точек /> через точки Е проводим линии допересечения с большой дугой и ставим точки />. Соединяем точки М с точками />. В местахпересечений линий М/>и />F ставим точки О. От точек О всторону точек F по биссектрисам откладываем расстояние СО. Получаем точки А. Източек А // МС проводим линии до пересечения с продолжениями линий CN и ставимточки В. Из точек А // ВС проводим линии до пересечения с продолжениями линийМС и ставим точки D. Соединяем точки М с точками А и точки N с точками А. />Если требуетсяразделить начальные углы MCN на три равновеликие части, то из точек С направляявверх проводим линии параллельные AM и AN.
Теперь в местах пересечения АМ и ВС ставим точки Р, а вместах пересечения AN и СD ставим точки Q. Соединяем точки М с точками N. Вместах пересечения хорды MN с биссектрисой А/>ставим точку />. Треугольники АМ/>и А/>N равны по двумкатетам. Треугольники АРС и АСQ равны, т.к. /> а АС – общая. Следовательно вобоих чертежах РС=СQ, а ВР=QD и АР=АQ. Далее вынесем оба наших ромба АВСD вотдельные чертежи.
/>
Чертеж 5.
На чертеж 5 (а, б) вынесены ромбы АВСD с тупыми и острымиуглами как и на чертежах 3 и 4. Только вместо букв Р и Q применим буквы М и N.Из доказанного ранее известно, что это ромбы, т.е. АВ=ВС=СD=АD, ВМ=ND, и АМ=АN.
Из точек А, радиусом АВ проводим дуги ВD, Из точек М,радиусом ВМ проводим дуги ВF до пересечения с дугами ВD. Из точек N радиусом DNпроводим дуги DЕ до пересечения с дугами ВD. Соединяем точки Е с точками N, аточки F с точками М. ВМ=МF=EN=DN. Соединяем точки А с точками Е и F. Проводимхорды BF и ЕD,
Фигуры АВМF состоят из двух равнобедренных треугольниковАВF и ВМF имеющих общее основание BF. Значит линии АМ делят эти фигуры на дваравных треугольника АВМ и АМF, треугольники равны по трем сторонам.
Фигуры АЕND состоят из двух равнобедренных треугольниковАЕD и ЕND, имеющих общее основание ЕD. Значит линии АN делят эти фигуры на дваравных треугольника АЕN и АND, треугольники равны по трем сторонам.
Треугольники АВМ равны треугольникам AND по тремсторонам, значит и треугольники АМF равны треугольникам АЕN. Следовательно вобоих чертежах />, а />и фигуры АВМF равны фигурам AENDкаждая в своем чертеже. Но точки Е на линиях АМ могут находиться, а могут и ненаходиться и точки F на линиях АN могут находиться, а могут и не находиться.
Рассмотрим на обоих чертежах по два четырехугольника:ромбы АВСD и фигуры АЕND. Сумма углов у обоих одинакова. /> а /> значит /> или />
В обоих чертежах /> равны фигурам АЕND.
/>.
В результате получается:
/>
или
/>
Рассмотрим в обоих чертежах фигуры АВМF и ромбы АВСD.
/>
или
/>
следовательно
/>
или /> Но где находятся точки Е и F покане известно.
/>
Чертеж 6.
/>
Чертеж 7.
На чертежах 6 (а, б) и 7 (а, б) указанны возможныеварианты расположения точек Е и F относительно угла МАN.
Так как углы МАN симметричны относительно биссектрисромбов АС, потому что, /> а />, значит точки Е и F если и ненаходятся на линиях АМ и АN, то находятся на одинаковом расстоянии от этихлиний. Иными словами /> и />, если таковые углы существуют, тоэти углы равны между собой. Если /> меньше /> то /> больше /> на 2/>И наоборот если /> больше/>то />меньше /> на 2/>
На чертеже 6 (а, б) рассмотрим />(вместе равны фигуре АЕND) и ромбАВСD.
/>
или
/>
На чертеже 7 (а, б) рассмотрим /> и ромб АВСD.
/>
/>
Получится, что
/>
/>
/>
Но /> и /> могут быть равны каким-либоуглам, если />.
Следовательно, наши углы NAF и EAM = 0, и точка Енаходится на линии АМ, а точка F находится на линии AN и />.
Угол больше развернутого этот способ не делит на триравновеликие части. Значит, его надо разделить пополам, любую из половинокразделить на три части и взять 2/3. Это и будет 1/3 делимого угла.