Густина розподілу імовірностей одновимірної і багатовимірної випадкових величин

Реферат на тему: “Густина (щільність) розподілу імовірностей одновимірної і багатовимірної випадкових величин” a.Густина розподілу (щільність імовірності).
Нехай є неперервна випадкова величина />з неперервною та диференційованою функцією розподілу />.
Густиною ймовірності />називається похідна від функції розподілу випадкової величини.
/>
Функція />характеризує щільність, з якою розподіляються значення випадкової величини в даній точці. Інколи />називають диференціальною функцією розподілу, або диференціальним законом розподілу.
Терміни “щільність розподілу” або “щільність ймовірності” особливо показові при вживанні механічної інтерпретації розподілу. Тобто, />буквально характеризує щільність розподілу маси по />, так звану лінійну щільність. Крива, що відображає щільність розподілу випадкової величини, називається кривою розподілу.
Розглянемо закони розподілу і щільність їх ймовірностей, що найбільш часто зустрічаються:
1) Нормальний закон (закон Гаусса)
Щільність імовірності випадкових величин задається формулою:
/>,
де />— математичне сподівання
/>— середнє квадратичне відхилення.
2) Рівномірний розподіл
/>
3) Показниковий закон
/>,
де
/>/>.
4) Якщо неперервна випадкова величина приймає тільки додатні значення, а щільність ймовірності визначається
/>,
де >0
то закон розподілу називається законом Максвела.
5) Закон Ст’юдента
/>,
де к– параметр розподілу />– значення гама функції, яка визначається:
/>, при />
/>– збігається, так як />
6) Закон розподілу />визначається щільністю ймовірності
/>/>
де k – параметр розподілу.
7) Гама-розподіл має щільність ймовірностей
/>, />
/>
В теорії та на практиці зустрічаються випадкові величини, розподілені і по інших законах. b.Властивості щільності розподілу.
1. Щільність розподілу — невід’ємна функція, тобто геометрично значить, що всі криві вище/>.
/>/>/>
f(x)
/>, отже на усьому інтервалі х (–;) подія вірогідна
Теорема. Імовірність того, що неперервна випадкова величина />прийме яке-небудь значення з інтервалу />рівна визначеному інтегралу:
/>.
Зауваження: функція розподілу />, як і всяка імовірність, є величина безрозмірна. Розмірність щільності розподілу обернена розмірності випадкової величини.
Приклад.
Знайти />випадкової величини, розподіленої за нормальним законом розподілу.
/>
/>
Вводимо заміну
/>, />
/>, отже
/>
/>— інтегральна формула Муавра–Лапласа.
Тоді />. Функція розподілу випадкової величини.
Нехай дискретна випадкова величина задана законом розподілу. Розглянемо подію, яка полягає в тому, що випадкова величина Y прийме яке–небудь значення менше будь–якого числа X. Ця подія має певну ймовірність.
xi
X1--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
5
3
5
8
0,30,5=0,15
6
4
1
5
0,40,1=0,04
7
4
2
6
0,40,1=0,04
8
4
3
7
0,40,1=0,04
9
4
4
8
0,40,2=0,08
10
4
5
9
0,40,5=0,2
11
5
1
6
0,30,1=0,03
12
5
2
7
0,30,1=0,03
13
5
3
8
0,30,1=0,03
14
5
4
9
0,30,2=0,06
15
5
5
10
0,30,5=0,15
Таким чином, закон розподілу числа отриманих балів команди буде:
Xі
4
5
6
7
8
9
10
Pі
0,03
0,07
0,1
0,13
0,26
0,26
0,15
/>
/>
Для обчислення математичного сподівання випадкової величини х2складемо закон розподілу величини />
/>
16
25
36
49
64
81
100
/>
0,03
0,07
0,1
0,13
0,26
0,26
0,15
2) Математичне сподівання
/>
3) Знайдемо дисперсію
/>
/>
4) Функцію розподілу знаходимо за визначенням
/>,
отже
/>;
/>;
/>;
/>;
/>;
/>;
/>;
/>.
Отже графік функції розподілу
/>

Використана література:
Вища математика. Підручник для ВУЗів. – К., 1990.