/>/>/>/>/>/>/>Цель курсовой работы
/>/>/>/>/>/>/>
Исследовать и изучить геометрические свойства кривыхвторого порядки (эллипса, гиперболы и параболы), представляющих собой линиипересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины, атакже научиться строить графики данных кривых в канонической и прямоугольнойдекартовой системах координат.
/>/>/>/>/>/>Постановка задачи
Дано уравнение кривойвторого порядка:
/>. (1)
Задание. Для данного уравнения кривойвторого порядка с параметром />:
I. Определить зависимость типа кривойот параметра /> с помощью инвариантов.
II. Привести уравнение кривой при /> кканоническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворотакоординатных осей.
III. Найти фокусы, директрисы,эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.
IV. Получить уравнения каноническихосей в общей системе координат.
V. Построить график кривой вканонической и общей системах координат.
/>Получениеканонической системы координат. Построение графиков
I.Тип кривой второго порядка взависимости от параметра />
В прямоугольнойдекартовой системе координат /> кривая второго порядка задается вобщем виде уравнением:
/>,
если хотя бы один изкоэффициентов />, />, /> отличен от нуля.
Для уравнения кривойвторого порядка (1) имеем:
/>
Теперь определим типданной нам кривой (1) с помощью инвариантов. Инварианты кривой второго порядкавычисляются по формулам:
/>;
/>;
/>.
Для данной кривой ониравны:/>
1). Если />, то уравнение кривой (1)определяет кривую параболического типа, но />. Таким образом, если />, то уравнение(1) определяет кривую параболического типа. При этом />, то есть: если />, то уравнение (1)определяет параболу.
2). Если/>, то данная кривая —центральная. Следовательно, при /> данная кривая — центральная.
· Если />, то уравнение(1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если />, то данная кривая естькривая эллиптического типа. Но при этом />. В соответствии с признакамикривых второго порядка получим: если/>, то уравнение (1) определяет эллипс.
· Если />, то уравнение(1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если />, то уравнение (1) определяеткривую гиперболического типа.
а) Если /> и />, то уравнение (1)определяет две пересекающиеся прямые. Получим:
/>
Следовательно, если />, то уравнение(1) определяет две пересекающиеся прямые.
б) Если /> и />, то данная кривая —гипербола. Но /> при всех /> за исключением точки />.Следовательно, если />, то уравнение (1) определяет гиперболу.
Используя полученныерезультаты, построим таблицу:
Значение параметра β
/>
/>
/>
/>
/>
Тип кривой Эллипс Парабола Гипербола Две пересекающиеся прямые Гипербола
II. Переход от общего уравнения кривой кканоническому
Рассмотрим теперь случай,когда/>, иисследуем данное уравнение кривой второго порядка с помощью инвариантов. Извышеприведенной таблицы видим, что при /> уравнение (1) определяетгиперболу и принимает вид:
/> (2.1)
Приведем уравнение кривой(2.1) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса иповорота координатных осей.
Мы установили, что даннаякривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническомувиду для уравнения центральной кривой. Совершим параллельный перенос началакоординат в точку />. При этом координаты />произвольнойточки /> плоскостив системе координат /> и координаты /> в новой системекоординат /> связанысоотношениями
/>
Подставляя эти выраженияв уравнение (2.1), получим:
/> (2.2)
Раскрывая скобки иприводя подобные члены, получим:
/>
/>
/> (2.3)
В уравнении (2.3)коэффициенты при /> приравняем к нулю. Получимсистему уравнений относительно />
/> (2.4)
Решив систему (2.4),получим:
/>
Центр кривой /> имееткоординаты />,/>. Поставимнайденные значения /> в уравнение (2.3). В новойсистеме координат /> в уравнении (2.3) коэффициентыпри /> равнынулю и уравнение примет вид
/>,
/>
/>. (2.5)
Так как />, то дальнейшее упрощениеуравнения (2.5) мы достигаем при помощи поворота осей координат на угол />. При поворотеосей координат на угол /> координаты /> произвольной точки /> плоскости всистеме координат /> и координаты /> в новой системекоординат /> связанысоотношениями
/> (2.6)
Подставляя (2.6) вуравнение (2.5), получим
/>
Раскроем скобки иприведем подобные члены
/>
Приводя подобные члены,получим уравнение
/> (2.7)
Теперь выберем такой угол/>, что вуравнении (2.7) коэффициент при произведении /> равен нулю. Получим уравнениеотносительно синуса и косинуса угла />:
/>. (2.8)
Разделим правую и левуючасти данного уравнения почленно на />. Мы можем это сделать, так как />, потому чтоесли /> (тоесть />), топри подстановке /> в уравнение (2.8) получим, что и />, чтопротиворечит основному тригонометрическому тождеству />. Получим уравнение
/>. (2.9)
Решая уравнение (2.9),получим
/>, />.
Зная значение тангенса,можно вычислить значения синуса и косинуса по следующим формулам: />, />. Подставляясоответствующие значения тангенса, получаем:
/>
Возьмем для определенности/>. Тогдасоответствующие значения синуса и косинуса есть
/>, (2.10)
Подставляя (2.10) вуравнение (2.7), получаем:
/>
и преобразовав данноеуравнение, получим уравнение вида:
/>
И, соответственно,уравнение
/> (2.11)
— это каноническоеуравнение исходной гиперболы.
III.Фокусы, директрисы, эксцентриситет иасимптоты кривой
Пусть /> и /> — фокусы, /> —эксцентриситет, /> — центр, а /> — директрисы даннойгиперболы. Известно, что фокусы имеют координаты: />, />, где /> и />. Для данного уравнения гиперболы(2.11) получаем, что />, />, и значит />. Отсюда получаем />, />.
Эксцентриситет гиперболы(2.11)
/>.
Директрисы гиперболызадаются уравнениями: /> и />. Подставляя найденные значения /> и />, получаем:
/>
Прямые /> и /> в канонической системекоординат /> называютсяасимптотами гиперболы. Для данной гиперболы (2.11) асимптоты имеют вид:
/>
IV. Уравнения осей гиперболы в общей системе координат
Теперь напишем уравненияосей новой системы />в исходной системе координат />.
Так как система /> — каноническаядля данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой — />, то есть оси /> и />проходят черезточку />.
В пункте II было установлено, что угловойкоэффициент оси />.
Уравнение прямой,проходящей через данную точку /> с заданным угловым коэффициентом />, имеет вид />.Следовательно, ось /> в системе координат /> заданауравнением />,или />, гдев роли точки/>выступает центр гиперболы точка />.
Так как ось /> перпендикулярнаоси />, тоее угловой коэффициент />. Следовательно, ось /> в системекоординат /> заданауравнением />,или />.
V. Построение графиков гиперболы
Используя полученные входе выполнения задания данные, построим гиперболу (2.1) в исходной системекоординат /> (см.рис. 1) и гиперболу (2.11) в канонической системе координат (см. рис. 2).
/>
Рисунок 1.
/>
Рисунок 2.
/>/>/>/>/>/>Вывод
Таким образом, извышеприведенного решения видим, что с помощью инвариантов можно отследить типкривой второго порядка с параметром />, а используя параллельный переноси поворот осей координат, можно привести кривую второго порядка от общего видак каноническому.
Список используемой литературы
/>/>1. Л.В. Бобылева, Л.С. Брюхина. Линейная алгебра ианалитическая геометрия. Исследование кривых второго порядка.— Дубна:Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.
2. Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.:Физматлит, 2002.
3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.— М:Наука, 1966.
4. А.В. Ефремов, Б.П. Демидович. Сборник задач по математикедля втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа (Ч. 1). — М.:Наука, 1993.