Вычисление радиальныхфункций матье-ханкеля
Н.И. Волвенко, V курс, Институт математики икомпьютерных наук ДВГУ, Т.В. Пак – научный руководитель, доцент, к.ф.-м.н.,и.о. зав. кафедрой КТ
Функции Матье, в отличиеот широко известных специальных функций, таких как полиномы Лежандра, функцииБесселя и Неймана, изучены ещё недостаточно полно. Почти все используемыеметоды расчёта связаны с разложением в ряды по более простым цилиндрическим ит.п. функциям. Недостаток таких методов в том, что они достаточно громоздки иимеют ограниченную применимость.
Функции Матье возникаютпри разделении переменных в уравнении Гельмгольца:
/>, (1)
где /> — некоторая вещественная положительная константа и /> — оператор Лапласа.
Эллиптические координаты />, допускающие разделение переменных связаны сдекартовыми: />, />.
Полагая /> в методе разделенияпеременных, получаем уравнения:
/>, />,
где /> - константа разделения.Эти уравнения являются вариантами уравнений Матье.
Дифференциальноеуравнения Матье имеет вид
/>/>, (2)
где обычно переменная /> имеетвещественное значение, а /> - заданный вещественный ненулевойпараметр.
Собственные значения /> и граничные условия
/> (3)
соответствуют чётнымфункциям Матье />, а собственные значения /> и граничные условия
/> (4)
нечётным функциям Матье
/>
В силу свойств симметрииуравнение (2) имеет 4 типа периодических решений, называемых функциями Матье1-ого рода: чётную π-периодическую, чётную 2π-периодическую, нечётную2π-периодическую, нечётную π-периодическую функции, которые чащевсего обозначаются таким образом: />, />, />, />.
Собственные значения />, отвечающиефункциям />,/>, />, />, обозначаютсячерез />, />, />, />.
Модифицированноеуравнение Матье
/> (5)
получается из уравненияМатье (2) подстановкой />. В зависимости от того, будет в (5)/>или />, это уравнениеимеет либо решение />, либо решение />, которые являютсясоответственно чётной и нечётной функциями от ξ.
Функции, являющиесярешениями уравнения (5), называются радиальными функциями Матье (РФМ).
Различают РФМ 1, 2, 3 и 4рода: />, />, />, />.
Вычисление функцийМатье Iрода
Радиальные функции Матьепервого рода являются решениями ОДУ второго порядка
/>, /> (6)
удовлетворяющие в нулеусловию
/>, если /> (7)
/>, если />
И на бесконечностиусловию
/>~/>, /> (8)
где /> — задано, а /> (/>) — собственные значения задачи (2),(3), (4),
/>
Параметр /> используются дляразличия случаев использования чётного или нечётного номера собственногозначения для π и 2π периодических собственных функций:
/>
Для решения задачи(6)-(8) используем модификацию метода фазовых функций.
Введём замену переменных:
/> (9)
/> (10)
Здесь /> -«масштабирующая» функция, положительная на />, удовлетворяющая условию /> при />, её выборнаходится в нашем распоряжении.
Подставляя (9), (10) висходное уравнение (6) задачи для /> и />:
/> (11)
/> (12)
где /> и />.
Для совместного решениязадач Коши для /> и /> используется следующий приём.Функцию />ищемв точках />.На каждом из отрезков /> вспомогательные функции /> находятся, какрешение задач Коши
/> (13)
где />.
Поскольку для любыхрешений /> и/>,уравнений (12) и (13) справедливо соотношение />, получаем рекуррентные формулы«назад» для вычисления />, />,
/>, />, (14)
причём />.
Итак, краткий алгоритмрешения задачи (6)-(8) состоит в следующем:
1. Решаютсясовместно задачи Коши (11), (12) запоминая в точках разбиения отрезка /> величины />, />, />;
2. Полагая />, по формуле(14) вычисляем />, />;
3. По формуле (10)вычисляем функции />, />;
4. Из (9) и (10)получаем выражение для производной функции />
/>.
В качестве сглаживающейфункции предлагается следующая функция
/>, где />.
Вычисление функцийМатье IIIрода
Волновая радиальнаяфункция Матье-Ханкеля третьего рода является решением обыкновенногодифференциального уравнения второго ворядка на полубесконечном интервале:
/>, />. (15)
Условие на бесконечности
/>~/>, />. (16)
Для уравнения (15)условие (16) эквивалентно условию:
/>,
и при достаточно больших /> линейномусоотношению:
/>, />.
/> (17)
Решение задачи (17)существует, единственно и при достаточно больших /> представимо асимптотическим рядом/>.
Рассмотрим алгоритм нахожденияфункций />.Для их вычисления нужно перенести граничное условие
/>,
где />, справа налево от точки/> до точки />.
Воспользуемся вариантомортогональной дифференциальной прогонки.
По всему отрезку /> переносимсоотношение
/>,
потребовав выполнениеусловия />длявсех />, />, где /> и /> удовлетворяют системедифференциальных уравнений 1-ого порядка
/>.
Функции Матье 3-его родаищем по формуле:
/>,
где />.
Функции Матье 2-ого рода вычисляютсяпо формуле:
/>.
функция матьедифференциальное уравнение
Описанные алгоритмывычисления радиальных функций эллиптического цилиндра опробованы в широкомдиапазоне изменения параметров. Точность результатов определяется точностьюиспользуемого метода Рунге-Кутта для решения соответствующих задач Коши.
Литература
1. Абрамов А.А., Дышко А.Л., Пак Т.В. идр. Численные методы решения задач на собственные значения для системобыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями. – Третья конференцияпо дифференциальным уравнениям и приложениям. – Тезисы докладов. Руссе,Болгария, 1985. – с.4.
2. Миллер У. мл. Симметрия и разделениепеременных / Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 342 с.
3. Справочник по специальным функциям сформулами, графиками таблицами. / Под редакцией М. Абрамовица, И. Стигана. – М.– 1979. – 832 с.: ил.