Содержание
Задание № 1
Задание № 2
Задание № 3
Задание № 4
Задание № 5
Задание № 7
Задание № 8
Задача № 4
Задача № 5
Задача № 6
Список литературы
Задание № 1
3. б) Найти пределы функции:
/>
Решение
Одна из основных теорем, на которой основановычисление пределов:
Если существуют
/> и />, то: />
/>
/>
Следовательно:
/>
Ответ: предел функции
/>
Задание № 2
3. б) Найти производную функции:
/>
Решение
Воспользуемся правилом дифференцирования сложныхфункций:
Пусть y= f(x);u= g(x),причем область значений функции uвходит в область определения функции f.
Тогда
/>
Применим это правило к заданной функции:
/>
Ответ: />
Задание № 3
3. Исследовать функцию и построить ее график:
/>
Решение
1. Найдемобласть определения функции:
D(y)=R
2. Исследуемфункцию на четность и нечетность, на периодичность.
Условие четности: f(x)=f(-x)
Условие нечетности: f(-x)=-f(x)
при x=1:y=0
при x=-1:y=-4
Условия не выполняются, следовательно, функция не являетсячетной и нечетной.
Периодической называется такая функция, значениякоторой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного отнуля) числа – периода функции.
Функция
/>
не периодична.
3. Найдемпромежутки знакопостоянства, выясним поведение функции на концах промежутков.
y=0 при />
/>
/>; />
/>
Следовательно, имеем три промежутка:
/>
Определим знак на каждом промежутке:
при x=-1 y=-4
при x=0,5 y=0,125 > 0
при x=2 y=2 > 0
Тогда: для
/>, для />
Рассмотрим поведение функции на концах промежутков:
/>
/>
/>
4. Найдемпромежутки монотонности функции, ее экстремумы.
Найдем производную функции:
/>
/>
при
/>, />
— точки экстремума, они делят область определенияфункции на три промежутка:
/>
Исследуемая функция в промежутке
/> – возрастает
/> – убывает
/> - возрастает
5. Найдемпромежутки выпуклости графика функции, ее точки перегиба.
Найдем вторую производную функции:
/>
/> при /> - точка перегиба
/>
Для
/> />,
следовательно, график функции на этом интервалевыпуклый вверх.
Для
/> />,
следовательно, график функции на этом интервалевыпуклый вниз.
6. Пополученным данным построим график функции.
/>
Рис. 3 График функции />
Задание № 4
Найти интеграл:
3. />
Решение
Неопределенным интегралом функцииf(x)называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x)+ C.
Записывают:
/>
Условием существования неопределенного интеграла нанекотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Замена переменной в неопределенном интегралепроизводится с помощью подстановки:
/>
/>
Ответ: />.
Задание № 5
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,используя определенный интеграл. Сделать чертеж.
/>, />, />, />.
Решение.
Построим график функции: />
при х=-2: y = 12
при х=-1: y = 5
при х=0: y = 0
при х=1: y = -3
при х=2: y = -4
при х=3: y = -3
при х=4: y = 0
при х=5:y = 5
/>
Рис. 1 График
Найдем точки пересечения графика функции с осью Оx:
/>
/>
/>
/> />
Определим площадь полученной фигуры черезопределенный интеграл:
/>/> кв. ед.
Ответ: площадь фигуры, ограниченной заданнымилиниями = 13 кв. ед.
Задание № 7.
Найти общее решение или общий интегралдифференциального уравнения, решить задачу Коши для заданных начальных условий:
/>, /> при />
Решение
Общий вид дифференциального уравнения: />
Общим решением дифференциального уравнения первогопорядка называется функция /> от переменной xи произвольной постоянной C,обращающая уравнение в тождество. Общее решение, записанное в неявном виде />, называетсяобщим интегралом.
Решение, полученное из общего при фиксированномзначении С: />,где /> -фиксированное число, полученное при заданных начальных условиях />, называется частнымрешением, или решением задач Коши.
Найдем общее решение или общий интеграл:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> -
общее решение дифференциального уравнения
Найдем частное решение для /> при />
/>
Получаем: />
Ответ: /> - любое число.
Задание № 8
Найти вероятность случайного события.
Условие: Брошена игральная кость. Какова вероятностьтого, что выпадет нечетное число очков? Что выпадет шестерка»?
Решение.
Вероятностью события А называется математическая оценкавозможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события Аравна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общемучислу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.
/>
…
Исход опыта является благоприятствующим событию А,если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появлениесобытия А.
Обозначим в данной задаче выпадение нечетного числа– событие А, выпадение «шестерки» – событие В. На игральной кости шесть граней,очевидно, что на трех из них число нечетное, на одной – «шестерка».
Тогда в соответствии с записанными выше формуламиполучаем:
/> />.
Ответ: 1. вероятность выпадения нечетного числаравна />;
2. вероятность выпадения «шестерки» равна />.
Методы вычислений и ЭВМ
Задача № 4.
Внедрение автоматизированного способа обработкиинформации снизило расходы на ее обработку с 238200 руб. до 50175 руб.Определите, на сколько процентов снизились расходы на обработку информации.Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК.
Решение:Схема решения Алгоритм Результат
238200 – 100 %
50175 – х %
/>
/> 21,064 %
Задача № 5
Расходы на перевозку почты во II кварталеуменьшились на 2,5 % по сравнению с I кварталом; в III квартале увеличились на2,9 % по сравнению со II кварталом; IV квартале они вновь увеличились на 3,1 %по сравнению с III кварталом. Определите с точностью до 0,1 %, как изменилисьрасходы в IV квартале по сравнению с I кварталом. Запишите рациональныйалгоритм вычислений на МК.
Решение:
По условию задачи задано последовательное изменениеначального показателя N=100 процентов на
Р1=2,5 %, Р2=2,9 %, Р3= 3,1 %.
Тогда:
Nn = 100(1-2,5/100)(1+2,9/100)(1+3,1/100) =100(1-0,025)(1+0,029)(1+0,031) = 100*0,975*1,029*1,031 = 103,4 %
Алгоритм выполнения этого вычисления на МК:
100 – 2,5 % + 2,9 % + 3,1 %
Задача № 6
Бригаде монтажников за месяц начислено 16713 руб.Распределите заработную плату между членами бригады пропорционально следующимданным. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК, а также решениезадачи с помощью табличного процессора (Excel, Super Calc и др.). Точность 0,01руб.Табельный номер Часовая тарифная ставка, руб Отработано часов К оплате, руб 03 6,6 165 04 8,8 72 05 7,5 216
Алгоритм решения на МК:
6,6 * 165 М+
8,8 * 72 М+
7,5 * 216 М+
16713 /MR MR * 1089 = М+
C C 633,6 = М+
1620 = М+MR
C
Решение задачи с помощью табличного процессора Excel:
1. Вводназваний граф документа:Адрес клетки Вводимая строка А1 Табельный номер А2 03 А3 04 А4 05 В1 Начислено, руб. (всего) С1 Часовая тарифная ставка, руб. D1 Отработано часов Е1 К оплате, руб.
2. Вводисходных данных:Адрес ячейки Исходные данные В2 16713 С2 6,6 С3 8,8 С4 7,5 D2 165 D3 72 D4 216
3. Вводрасчетных формул:Адрес ячейки Исходные данные F2 С2*D2 F5 =СУММ(F2:F4) E2 $B$2/$F$5*F2 E5 =СУММ(Е2: Е4)
4. Конечныйрезультат:Табельный номер Начислено, руб. (всего) Часовая тарифная ставка, руб. Отработано часов, ч. К оплате, руб. Ставка, руб. 03 16713 6,6 165 5445,00 1089,00 04 8,8 72 3168,00 633,60 05 7,5 216 8100,00 1620,00 16713,00 3342,60
Список литературы
1. ВыгодскийМ.Я. Справочник по высшей математике. – М.: АСТ, 2005. – 991 с.
2. ГусакА.А., Гусак Г.М., Бричкова Е.А. Справочник по высшей математике. – Минск.ТетраСистемс, 2004. – 640 с.
3. ГмурманВ.Е. Теория вероятности и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998.– 479 с.
4. МиносцевВ.Б. Курс высшей математики. Часть 2. М. 2005. – 517 с.
5. ПономаревК.К. Курс высшей математики. Ч. 2. – М.: Инфра-С, 1974. – 520 с.