1. Задача 1. В урнечетыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найтивероятность того, что один из этих шаров — белый, а другой — черный.
Решение.
Обозначим через Асобытие, состоящее в том, что один из этих шаров — белый, а другой — черный.
Вероятность события Анайдем используя условную вероятность.
/> = 0,278
/> – вероятность того, что первый шарбелый. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.
/>– вероятность того, что второй шарчнрный. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.
Ответ: 0,278.
2. Задача 2. Приведенасхема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом.Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупностисобытиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветвицепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5соответственно равны q1=0,1;q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4;q5=0,5. Найти вероятность того, чтосигнал пройдет со входа на выход.
Решение.
/>
Пусть событие /> состоит в том, что сигналпройдет с входа на выход.
/>,
где /> – событие, состоящие втом, что i-ый элемент находится в рабочемсостоянии.
Т.к. события /> - независимые совместныесобытия.
/>
Ответ: 0,994.
3. Задача 3. На трехавтоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30%продукции производится первым станком, 25% — вторым и 45% — третьим.Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна0,99, на втором — 0,988 и на третьем — 0,98. Изготовленные в течение дня натрех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определитьвероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.
Решение. Событие Асостоит в том, что что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.
Гипотезы Н1, Н2,Н3.
/> – деталь изготовлена на первомстанке;
/> – деталь изготовлена на второмстанке;
/> – деталь изготовлена на третьемстанке;
Гипотезы Нiобразуют полную группу событий.
Воспользуемся формулойполной вероятности:
/> – полная вероятность.
/>=/>;/>=/>;
/>=/>;/>=/>;
/>=0,45; />=/>;
Тогда
/>. = 0,015.
Ответ: 0,0,015.
4. Задача 4. Игральнуюкость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?
Решение.
Найдем /> – наиболее вероятное числовыпадений 6.
Наивероятнейшее число /> определяют из двойногонеравенства:
/>;
/> – вероятностьпоявления события в каждом из /> независимыхиспытаний. /> – вероятность того, чтопри одном испытании выпадет 6 (по формуле классической вероятности). />. /> – по условию.
/>;
/>
Так как /> – целое число, тонаивероятнейшее число звонков равно />.
Ответ: 2.
5. Задача 5. Дискретнаяслучайная величина /> может приниматьодно из пяти фиксированных значений />, />, />, />, /> с вероятностями />, />, />, />, /> соответственно. Вычислитьматематическое ожидание и дисперсию величины />.Рассчитать и построить график функции распределения.
Решение.
Таблица 1.
/> 1 4 5 7 8
/> 0,3 0,3 0,1 0,15 0,15
Найдем числовыехарактеристики данного распределения.
Математическое ожидание
/>/> = 4,25
Дисперсию определим поформуле: />.
/>/>= 24,55.
Тогда />
Найдем функциюраспределения случайной величины.
/>.
/>
Построим график этойфункции
/>
6. Задача 6. Случайнаявеличина /> задана плотностьювероятности
/>
Определить константу />, математическое ожидание,дисперсию, функцию распределения величины />,а также вероятность ее попадания в интервал [0;/>]
Решение.
Коэффициент /> найдем используя свойствофункции плотности распределения: />. Таккак функция плотности распределения принимает отличные от нуля значения наинтервале />, то />.
Вычислим определенныйинтеграл:
/>.
Следовательно, />, />.
/>
Математическое ожидание /> найдем по формуле:
/>.
Т.к. плотностьраспределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке [0, />], то
/> = />=
=/> = />.
Вычислили интеграл,используя формулу интегрирования по частям.
Найдем дисперсию />, т.к. плотностьраспределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке
[0, />], то />.
/>=/>.
/>
Найдем />.
Воспользуемся формулой />=/>.
/>=/>
Найдем функциюраспределения СВ Х.
При
/>. />
При
/>. />
При
/>. />
/>
7. Задача 7. Случайнаявеличина /> распределена равномерно наинтервале />. Построить графикслучайной величины /> и определитьплотность вероятности />.
Решение.
Найдем плотностьраспределения случайной величины />.Случайная величина /> распределенаравномерно на интервале />,поэтому на этом интервале />, внеэтого интервала />.
Построим график функции /> на интервале /> и в зависимости от числаобратных функций выделим следующие интервалы:
/>;
/>;
/>
/>
Так как на интервалах /> и /> обратная функция несуществует, то для этих интервалов />.
/>
На интервале /> одна обратная функция />, следовательно />/>
На интервале /> две обратных функции /> и />, следовательно />.
Найдем производныеобратных функций
/>; />.
Учитывая, что />, получим
/>; />.
В результате получим:
/>.
Таким образом, плотностьвероятности величины /> равна:
/>
8. Задача 8. Двумерныйслучайный вектор /> равномернораспределен внутри области В. Двумерная плотность вероятности /> о любой точке этой областиВ:
/>
Вычислить коэффициенткорреляции между величинами /> и />.
Решение.
Построим область />
/>
Найдем значение константы/>. Воспользуемся свойствомфункции />
/>
Поскольку /> принимает отличные от нулязначения внутри области />, тополучим
/> = />.
Следовательно, />. Значит, />
Значение коэффициентакорреляции вычислим по формуле
/>
Корреляционный моментвычислим по формуле
/>
/>.
/>.
/>.
/>.
Определим корреляционныймомент
/>
/>
Ответ: />
/>9. Задача 9. По выборке одномерной случайной величины
1. Получитьвариационный ряд;
2. Построитьгистограмму равноинтервальным способом;
3. Построитьгистограмму равновероятностным способом;
4. Вычислить оценкиматематического ожидания и дисперсии;
5. Выдвинутьгипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощикритерия согласия /> и критерияКолмогорова (/>)0,22 0,42 0,07 1,69 0,42 0,94 1,81 2,24 0,74 0,75 0,80 2,59 0,55 0,43 0,51 0,38 1,41 0,73 0,03 0,96 0,63 0,17 0,10 0,09 1,09 1,52 2,97 0,91 1,53 0,55 1,23 1,27 0,75 1,55 0,88 0,57 0,31 1,04 1,71 1,39 1,16 0,86 1,13 0,82 2,02 1,17 0,25 0,64 0,07 0,11 1,99 0,71 2,17 0,23 2,68 1,82 1,19 0,05 1,23 4,70 0,37 0,40 1,31 0,20 0,50 2,48 0,32 1,41 0,23 1,27 0,33 1,48 0,52 0,68 0,30 0,40 0,24 1,52 0,17 0,17 0,83 1,20 0,65 0,05 1,45 0,23 0,37 0,09 3,66 0,28 0,77 0,11 1,95 0,10 0,95 0,65 4,06 3,16 0,51 2,02
Решение.
Найдем размах вариации />. />0,03; /> 4,70;
/>4,70–0,03 = 4,67.
Вариационный ряд распределения имеет вид:
/>
/>
/>
/> 0,03 1 0,86 1 0,05 2 0,88 1 0,07 2 0,91 1 0,09 2 0,94 1 0,1 2 0,95 1 0,11 2 0,96 1 0,17 3 1,04 1 0,2 1 1,09 1 0,22 1 1,13 1 0,23 3 1,16 1 0,24 1 1,17 1 0,25 1 1,19 1 0,28 1 1,2 1 0,3 1 1,23 2 0,31 1 1,27 2 0,32 1 1,31 1 0,33 1 1,39 1 0,37 2 1,41 2 0,38 1 1,45 1 0,4 2 1,48 1 0,42 2 1,52 2 0,43 1 1,53 1 0,5 1 1,55 1 0,51 2 1,69 1 0,52 1 1,71 1 0,55 2 1,81 1 0,57 1 1,82 1 0,63 1 1,95 1 0,64 1 1,99 1 0,65 2 2,02 2 0,68 1 2,17 1 0,71 1 2,24 1 0,73 1 2,48 1 0,74 1 2,59 1 0,75 2 2,68 1 0,77 1 2,97 1 0,8 1 3,16 1 0,82 1 3,66 1 0,83 1 4,06 1 4,7 1
Построим гистограмму равноинтервальным способом. Число интервалов рассчитаем по формуле />/>. Длиначастичного интервала вычисляется по формуле
/>.
Полученные значения запишем в таблицу№
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1 0,03 0,497 0,467 34 0,34 0,73 2 0,497 0,964 0,467 27 0,27 0,58 3 0,964 1,431 0,467 15 0,15 0,32 4 1,431 1,898 0,467 10 0,1 0,21 5 1,898 2,365 0,467 6 0,06 0,13 6 2,365 2,832 0,467 3 0,03 0,06 7 2,832 3,299 0,467 2 0,02 0,04 8 3,299 3,766 0,467 1 0,01 0,02 9 3,766 4,233 0,467 1 0,01 0,02 10 4,233 4,7 0,467 1 0,01 0,02
Равноинтервальная гистограмма имеет вид:
/>
Построим гистограмму равновероятностным способом.№
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1 0,03 0,17 0,14 10 0,1 0,7143 2 0,17 0,25 0,08 10 0,1 1,2500 3 0,25 0,42 0,17 10 0,1 0,5882 4 0,42 0,57 0,15 10 0,1 0,6667 5 0,57 0,77 0,2 10 0,1 0,5000 6 0,77 0,96 0,19 10 0,1 0,5263 7 0,96 1,27 0,31 10 0,1 0,3226 8 1,27 1,53 0,26 10 0,1 0,3846 9 1,53 2,17 0,64 10 0,1 0,1563 10 2,17 4,7 2,53 10 0,1 0,0395
Равновероятностная гистограмма имеет вид:
/>
Оценку математическогоожидания вычислим по формуле
/>1,00.
Оценку дисперсии вычислимпо формуле:
/>, />0,82,
Построим доверительныйинтервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии:
/>
В нашем случае
/>1,00, />0,82,/>, />, />.
/>; />
Доверительный интервалдля математического ожидания />.
Доверительный интервалдля дисперсии
/>, />=1,96 (/>).
/>
/>
По виду равноинтервальнойгистограммы выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена попоказательному закону:
H0: />
H1: />
Определим оценкунеизвестного параметра />
/>
Предполагаемый законраспределения />. Найдемвероятности попадания в каждый из интервалов
/>
Теоретические частотынайдем по формуле
/>№
Интервалы
[xi; xi+1)
/>
/>
/>
/>
/> 1 0,03 0,497 0,36 36,00 -2,00 4,00 0,1111 2 0,497 0,964 0,23 23,00 4,00 16,00 0,6957 3 0,964 1,431 0,14 14,00 1,00 1,00 0,0714 4 1,431 1,898 0,09 9,00 1,00 1,00 0,1111 5 1,898 2,365 0,06 6,00 0,00 0,00 0,0000 6 2,365 2,832 0,04 4,00 -1,00 1,00 0,2500 7 2,832 3,299 0,02 2,00 0,00 0,00 0,0000 8 3,299 3,766 0,01 1,00 0,00 0,00 0,0000 9 3,766 4,233 0,01 1,00 0,00 0,00 0,0000 10 4,233 4,7 0,01 1,00 0,00 0,00 0,0000
/>НАБЛ= 1,24
Число степеней свободы /> определяют по формуле />. По таблице критерияПирсона находим: />. Так как />, то нет основанийотвергать гипотезу о показательном распределении. Проверим гипотезу опоказательном распределении с помощью />-критерияКолмогорова. Теоретическая функция распределения F0(x)показательного закона равна
/>
Проверим гипотезу онормальном распределении с помощью />-критерияКолмогорова. Все вспомогательные расчеты сведем в таблицу.№
Интервалы
[xi; xi+1)
частота в интервале
/>
/>
/>
/> 1 -2,951 7 34 0,34 0,36 0,02 2 -2,513 10 27 0,61 0,59 0,02 3 -2,075 8 15 0,76 0,73 0,03 4 -1,637 12 10 0,86 0,82 0,04 5 -1,199 14 6 0,92 0,88 0,04 6 -0,761 11 3 0,95 0,91 0,04 7 -0,323 9 2 0,97 0,93 0,04 8 0,115 4 1 0,98 0,95 0,03 9 0,553 16 1 0,99 0,96 0,03 10 0,991 9 1 1,00 0,97 0,03
/>; />.
То таблице квантилейраспределения Колмогорова по уровню значимости /> находимкритическое значение />.
Так как />, то нет основанийотвергать гипотезу о нормальном распределении.
/>
10. Задача 10. По выборкедвумерной случайной величины
1. Вычислить оценкукоэффициента корреляции;
2. Вычислитьпараметры линии регрессии /> и />;
3. Построитьдиаграмму рассеивания и линию регрессии;
Решение
Найдем числовыехарактеристики величин /> и />.
/> 0,88; /> 0,10.
/>1,59; />.
/>1,76; />.
Корреляционный моментравен:
/>–0,23
Найдем уравнениярегрессии />
где />; />
Уравнение регрессии имеетвид:
/>.
/>
Коэффициент корреляцииравен:
/>.
Найдем интервальнуюоценку.
/>.
/>,
/>
/>
Проверим гипотезу оботсутствии корреляционной зависимости />.
Проверим нулевую гипотезу/>: о равенстве нулюгенерального коэффициента корреляции, при конкурирующей гипотезе />.
/>.
По таблице критическихточек распределения Стьюдента, по заданному уровню /> ичислу степеней свободы /> найдемкритическую точку /> двустороннейкритической области. />.
Так как /> – нулевую гипотезупринимаем.