План
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задача 7
Задание 8
Литература
Задание 1
Мебельной фабрике для изготовления комплектов корпусноймебели необходимо изготовить их составные части — книжный шкаф, шифоньер, тумбадля аппаратуры. Эти данные представлены в таблице: Наименование составных частей Виды комплектов корпусной мебели 1 2 3 4 Книжный шкаф 1 1 1 1 Шифоньер 1 1 1 1 Пенал 1 1 Тумба 1 1
В свою очередь, для изготовления этих составных частейнеобходимы три вида сырья — стекло (в кв. м), ДСП (в кв. м), ДВП (в кв. м),потребности в котором отражены в следующей таблице:Вид сырья Составные элементы Кн. шкаф Шифоньер Пенал Тумба Стекло 0,9 0,2 1,2 ДСП 6 6,5 6 2,5 ДВП 2,9 1,7 1,4 0,6
Требуется:
1) определить потребности в сырье для выполнения плана поизготовлению стенок первого, второго, третьего и четвертого вида в количествесоответственно x1, x2,x3 и x4 штук;
2) провести подсчеты для значений x1= 50, x2 = 30, x3= 120 и x4=80.
Решение: составим условия для определения числа составныхчастей в зависимости от числа и вида комплектов мебели. Пусть n1,n2, n3 и n4 — число шкафов, шифоньеров, пеналов и тумб,соответственно.
Тогда условия будут выглядеть следующим образом:
n1 = x1 + x2
n2 = x1 + x2+ x4
n3 = x1 + x2+ x3
n4 = x1+ x2 + x3+ x4
Составим условия определяющие потребности в сырье взависимости от вида деталей. Пусть y1, y2 и y3 — потребности в стекле, ДВП и ДСП, соответственно:
y1 = 0,9n1 + 0,2n3+ 1,2n4
y2 = 6n1 + 6,5n2+ 6n3 + 2,5n4
y3 = 2,9n1 + 1,7n2+ 1,4n3 + 0,6n4
Теперь подставим вместо ni — полученные ранее равенства.
y1 = 0,9· (x1+ x2) + 0,2· (x1 + x2 + x3) + 1,2·(x1 + x2 + x3 + x4)
y2 = 6· (x1+ x2) + 6,5· (x1 + x2 + x4) + 6· (x1+ x2 + x3) + 2,5· (x1 + x2 + x3+ x4)
y3 = 2,9· (x1+ x2) + 1,7· (x1 + x2 + x4) + 1,4·(x1 + x2 + x3) + 0,6· (x1 + x2+ x3 + x4)
Приведем подобные
y1 = 2,3x1+ 2,3x2 + 1,4x3+ 1,2x4, y2 =21x1 + 21x2 + 8,5x3 + 9x4
y3 = 6,6x1+ 6,6x2 + 2x3 +2,3x4
Проведем подсчеты для значений
x1 = 50, x2 = 30, x3= 120 и x4 = 80
y1 = 2,3 * 50 + 2,3 * 30 + 1,4 *120 + 1,2 * 80 = 448 кв. м.
y2 = 21 * 50 + 21 * 30 + 8,5 * 120+ 9 * 80 = 3420 кв. м.
y3 = 6,6 * 50 + 6,6 * 30 + 2* 120 + 2,3 * 80 = 952 кв. м.
Задание 2
Пусть aij — количествопродукции j, произведенной предприятием i, а bi — стоимостьвсей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значенияaij и biзаданы матрицами A и Всоответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида,производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимосоставить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремяспособами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).
/>, />
Решение:
Составим систему уравнений:
/>
Матричное уравнение выглядит следующим образом:
A · X = B
Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1
A-1 · A · X = A-1 · B;
E · X = A-1 · B;
X = A-1 · B
Найдем обратную матрицу A-1
Δ = 4 * 12* 4 + 12 * 7 * 13 + 14 * 7 * 9 — 9 * 12 * 7 — 12 * 14 * 4 — 4 * 7 * 13 = 374
/>;
/>
/>
X =/>·/> = /> = />
Решим систему методом Крамера
Δ = 374
Δ1 = />= 97 * 12 * 4+ 129 * 7 * 13 + 14 * 7 * 109 — 109 * 12 * 7 — 129 * 14 * 4 — 97 * 7 * 13 = 1870
Δ2 = />= 4 * 129 * 4+ 12 * 7 * 109 + 97 * 7 * 9 — 9 * 129 * 7 — 12 * 97 * 4 — 4 * 7 * 109 = 1496
Δ3 = />= 4 * 12 * 109+ 12 * 97 * 13 + 14 * 129 * 9 — 9 * 12 * 97 — 12 * 14 * 109 — 4 * 129 * 13 = 1122
x1 = Δ1/Δ = 1870/374 = 5, x2 = Δ2/Δ = 1496/374 = 4
x3 = Δ3/Δ = 1122/374 = 3
Решим систему методом Гаусса
/> => /> =>
/> /> =>/>
=>/> => />Задание 3
Найти частные производные первого и второго порядковзаданной функции:
/>
Решение:
/>
/>
/>
/>
/>Задание 4
Задана функция спроса />,где p1, p2 — цены на первый и второй товары соответственно.
Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товарявляется исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемогои альтернативного товаров.
В процессе решения отметить, какими являются данные товары — взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.
/>
Решение:
Эластичность спроса по цене равна первой производной отфункции спроса:
/>
эластичность отрицательная, следовательно, первый товар — исследуемый.
/>
эластичность отрицательная.
Товары являются товарами дополнителями, т.к рост цен на второйтовар, как и рост цен на первый товар приводит к снижению спроса.Задание 5
В таблице приведены данные о товарообороте магазина запрошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощьюметода наименьших квадратов. Воспользовавшись найденным уравнением прямой,сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводитьзадачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных иполученную прямую. Проанализировав чертеж, сделайте выводы. Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Товарооборот, (тыс. р) 22 4,4 37 57,4 55,4 72 91,6 78,4 58 59 42 37,6
Решение:
Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.
Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у= а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает изметода наименьших квадратов):
/>
По исходным данным рассчитываем Sх, Sу, Sух, Sх2,Sу2. t y x yx
x2
y2
/> 1 22,0 1 22,0 1 484,00 36,688 2 4,4 2 8,8 4 19,36 39,332 3 37,0 3 111,0 9 1369,00 41,976 4 57,4 4 229,6 16 3294,76 44,62 5 55,4 5 277,0 25 3069,16 47,264 6 72,0 6 432,0 36 5184,00 49,908 7 91,6 7 641,2 49 8390,56 52,552 8 78,4 8 627,2 64 6146,56 55, 196 9 58,0 9 522,0 81 3364,00 57,84 10 59,0 10 590,0 100 3481,00 60,484 11 42,0 11 462,0 121 1764,00 63,128 12 37,6 12 451,2 144 1413,76 65,772 Итого 614,8 78 4374 650 37980,16 614,76
/>; />; />;
/>; />
Уравнение регрессии: />=34,06 + 2,642 · х
Рассчитаем по данному уравнению значения для /> и запишем их вдополнительный столбец исходных данных. Найдем прогноз на полгода вперед:
/>= 34,06 + 2,642 *18 = 81,636 тыс. руб.
Найдем прогноз на год вперед:
/>= 34,06 + 2,642 *24 = 97,5 тыс. руб.
/>
Полученные графики говорят о плохом отражении исходныхданных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности втоварообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.Задание 6
Исследовать на экстремум следующую функцию:
/>;
Решение:
Найдем первые частные производные и определим точкипотенциальных экстремумов (там где производные равны нулю).
/>= 2x + y — 4; />= 4y+ x — 2;
/>; />; />; />; />
Найдем вторые производные и их значения в точке (2; 0)
/>= 2 = А, />= 1 = B
/>= 4 = C, Δ = AC — B2 = 2 * 4 — 1 = 7
Т.е. в точке (2; 0) имеется экстремум.
Т.к. А > 0, то точка (2; 0) минимум функции.Задача 7
Пусть функция полезности задана как
/>
где x и y — количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функцииполезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При даннойстоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на ихпокупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезностьдля потребителя максимальна. А = 11, В = 17.
Решение:
Полезность максимальна при равенстве первых производных:
/>= />; />= />; /> = />; /> = />
Ограничение стоимости задается неравенством 11x + 17y ≤140
Составим систему.
/>; />; />; />
Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 4,46ед. А и 5,35 ед.в.Задание 8
Заданы функции спроса и предложения в зависимости отколичества товара Q: /> и/>. Под функциями спроса ипредложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товарана рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя приравновесном состоянии спроса и предложения.
/> и />,
Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:
D (Q) = S (Q); /> = />; />; — />t2 — 10t + 200 = 0
t1 = — 34,685 и t2 = 12,685, t1 — не удовлетворяет условию
/>=12,685;Q = 160,9 ед.
При этом цена составит: Р = 10 * 12,685 = 126,85 ден. ед.
Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверхукривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишкипотребителя:
Sпотр = /> — 126,85 · 160,9 = /> — 20410,165 =
= 200 * 160,9 — 5/22 * 160,9 — 20410,165 = 11733,27 ден. ед.
Излишки производителя равны площади фигуры ограниченнойсверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдемизлишки производителя:
Sпроизв = 126,85 · 160,9 — /> = 20410,165 — />=
= 20410,165 — 5 * 12,6853 = 10204,5 ден. ед.
Литература
1. Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. — М.: Банки и биржи,ЮНИТИ, 1997.
2. Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА,2007.
3. И.А. Зайцев. Высшая математика. -М.: Высшая школа, 1998.
4. Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Подред. Н.Ш. Кремера. — ВЗФЭИ, 2006.