СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Кафедра геометрии
Курсовая работа на тему:
«Выпуклые фигуры»
Выполнила студентка
2 курса ФМФ специальности
«Физика» гр. «А»
Валаева С.В.
Ставрополь 2007г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение...................................................................................................................3
Выпуклыефигуры………………………………………………………………...5
Кривые постоянной ширины и ихприменение....................................................7
Свойства кривыхпостоянной ширины...............................................................14
Литература.............................................................................................................17
ВВЕДЕНИЕ.
Понятие выпуклостивозникло в античные времена. Оно встречается в сочинениях Архимеда, «О шаре ицилиндре», есть такие слова: «Я называю выпуклыми в одну и ту же сторону такиеповерхности, для которых отрезки, соединяющие две точки, будут… находиться поодну сторону от поверхности».
В новое время изучениевыпуклых фигур началось в XIXвеке. Как отдельная ветвь геометрии, выпуклая геометрия родилась в трудахО.Коши, Я.Штейнера и Г.Минковского.
У нас в стране задачи овыпуклых фигурах были популярны в довоенных школьных математических кружках.Выдающийся математик Лев Генрихович Шнирельман, один из организаторовматематического кружка при Московском университете, избрал одной из тем длязанятий выпуклую геометрию. Эта тема была подхвачена Давидом Шклярским, аспирантоммехмата, математиком, подававшим большие надежды, но не вернувшимся с войны.Шклярский придал кружку совершенно иную форму, сохранившуюся и до нашеговремени. Основное внимание стало уделяться решению не-стандартных задач.Выпуклость оказалась благодатнейшей почвой для развития геометрическихспособностей: красота и значимость ее результатов сочетались с совершеннойэлементарностью постановок задач и средств их исследования.
На базе многолетнихзанятий по выпуклости геометрии со школьниками и студентами И.М. Яглом и В.Г. Болтянский,участники кружка Шклярского, продолжившие его дело, написали замечательнуюкнигу « Простейшие выпуклые фигуры».
На Западе происходитнастоящий «выпуклый бум», связанный с рождением нового направлении в теорииэкстремума, получившего названия линейного программирования. Это направлениезародилось в нашей стране. Его родоначальником был Леонид ВитальевичКанторович, удостоенный за свой вклад в теорию линейного программирования иэкономику Нобелевской премии. Результаты Канторовича были переоткрыты наЗападе, там было осознано значение выпуклых экстремальных задач при решенииактуальных проблем экономики и военно-промышленного комплекса, многиеисследователи приняли участие в развитии новой дисциплины, получившей названиевыпуклого анализа.
Здесь мне хочетсякоснуться некоторых узловых тем выпуклого анализа, сделав упор на ихгеометрическую суть.
Выпуклые фигуры.
/>
/>
Многоугольник (и вообще любую фигуру) называют выпуклым, если для любых его двух точек отрезок с концами в этих точках полностью принадлежит многоугольнику (фигуре). В частности, треугольник и круг – выпуклые фигуры, а граница треугольника (трехзвенная замкнутая ломаная) и окружность – невыпуклые фигуры.
Многоугольник является выпуклым тогда и только тогда, когда все его внутренние углы меньше 180° (см. рисунок). Выпуклый многоугольник всегда расположен в одной полуплоскости относительно каждой прямой, проходящей через его сторону.
/>Выпуклыми фигурами являются: треугольник,параллелограмм, трапеция, круг, эллипс (рис.1). /> /> /> /> /> /> /> /> />
/>/>
На рис.2 приведены примеры невыпуклых фигур./> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Имеются полезные утверждения, которые справедливы длямногоугольников независимо от того, выпуклы они или нет:
1. Сумма внутренних углов n-угольника (n ³ 3) равна 180° (n — 2).
2. n-угольник (n ³ 4) имеет ровно />диагоналей (под диагональюмногоугольника понимают отрезок, соединяющий любые его две несмежные вершины).
3. Если />и />– длины диагоналейчетырехугольника, а a –угол между прямыми, проходящими через эти диагонали, то площадьчетырехугольника равна />.
4. Если прямые, содержащие диагонали четырехугольника, перпендикулярны,то суммы квадратов его противоположных сторон равны.
Кривые постоянной ширины и ихприменение.
Вповседневной жизни нередко возникает необходимость перевезти с места на местотяжелый предмет. Пользоваться при этом тележкой не всегда удобно: оси ее отбольшой нагрузки могут прогнуться и даже треснуть. В таких случаях тяжелыйпредмет кладут на плоскую платформу, установленную на цилиндрических катках. Помере продвижения платформы освободившиеся задние катки заносят вперед иукладывают перед ней. Ни сама платформа, ни покоящийся на ней предмет придвижении по ровной горизонтальной поверхности не испытывают вертикальныхперемещений по той простой причине, что цилиндрические катки в сечении имеютформу круга, а граница круга — окружность — принадлежит к числу замкнутыхкривых, обладающих важным свойством — «постоянной шириной».
Еслизамкнутую кривую поместить между двумя параллельными прямыми и двигать этипрямые до тех пор, пока они не коснутся нашей кривой, то расстояние междупараллельными прямыми в момент касания будет называться шириной данной кривой внаправлении, перпендикулярном параллельным прямым. Эллипс, очевидно, не имеетодинаковой ширины по всем направлениям: платформа, установленная на катках вформе эллиптического цилиндра, при движении испытывала бы вертикальныеперемещения (моряки сказали бы «испытывала дифферент», то есть качку с носа накорму). Именно потому, что окружность имеет одинаковую ширину по всемнаправлениям, ее можно вращать между двумя параллельными прямыми, не изменяярасстояния между ними.
Существуют лидругие замкнутые кривые постоянной ширины, помимо окружности? Большинство людейсчитают, что таких кривых нет, показывая, насколько сильно может вводить взаблуждение математическая интуиция. В действительности кривых постояннойширины бесконечно много. Любая из них может служить поперечным сечением катка,по которому платформа будет катиться так же ровно, как и по цилиндру. Если быкривые постоянной ширины не были открыты, незнание их привело бы к самымроковым последствиям в технике! Представим себе, что на кораблестроительномзаводе собирают корпус подводной лодки, проверяя его
/>
Рис. 3. Треугольник Рело.
а — построение; б — вращение внутри квадрата.
цилиндричность, промерамимаксимального диаметра по всем направлениям. Как мы вскоре узнаем, корпус могбы быть чудовищно деформированным и тем не менее благополучно пройти подобныеиспытания. Именно поэтому цилиндричность корпуса подводной лодки проверяетсяспециальными шаблонами.
Простейшаякривая постоянной ширины, отличная от окружности, называется треугольником Релов честь математика и инженера Франца Рело (1829—1905), преподававшего вБерлинской королевской высшей технической школе. Сама по себе эта кривая былаизвестна математикам и до Рело, но именно он впервые доказал ее удивительноесвойство — постоянство ширины.
Если криваяпостоянной ширины ограничена двумя парами параллельных прямых и одна парапересекается с другой под прямым углом, то кривая постоянной ширины снеобходимостью должна быть вписана в квадрат. Подобно окружности или любойдругой кривой постоянной ширины, треугольник Рело может вращаться в квадрате,плотно прилегая к сторонам последнего, то есть все время касаясь всех четырехсторон квадрата (рис. 3, б). Читатель может убедиться в этом, вырезавтреугольник Рело из картона и вставив его в квадратное отверстие надлежащихразмеров.
При вращениитреугольника Рело внутри квадрата каждая из вершин треугольника проходит почтивесь периметр квадрата. Небольшие отклонения имеются лишь вблизи вершинквадрата: углы получаются слегка закругленными. Треугольник Рело находитприменение во многих механических устройствах, но ни в одном из них неиспользуются его замечательные свойства кривой постоянной ширины. Лишь в 1914году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрел инструмент, имевший всечении форму треугольника Рело, для сверления квадратных отверстий. С 1916года одна из фирм приступила к производству сверл Уаттса. «Мы все
/> Рис. 4. Сверло Уаттса и патрон для зажима сверла.
слыхали огаечных ключах, приспособленных для гаек с левой резьбой, завязанных в узелводопроводных трубах и бананах из чугуна, — было написано в одной из рекламныхлистовок этой фирмы. — Мы считали подобные вещи смешными безделушками иотказывались даже верить, что они когда-нибудь встретятся нам вдействительности. И вдруг появляется инструмент, позволяющий сверлитьквадратные отверстия!»
Сверло Уаттсаизображено на рис. 4. Справа показано поперечное сечение сверла внутриквадратного отверстия. Сверление производится так. Сначала на металлнакладывают металлический шаблон с квадратным отверстием нужных размеров.Сверло, вращаясь внутри отверстия в направляющей пластине (шаблоне), врезаетсякромками в металл и просверливает в нем квадратное отверстие. Как видно из рис.8,сверло Уаттса представляет собой просто-напросто треугольник Рело, в которомпрорезаны углубления для отвода стружки и заточены режущие кромки. Когдатреугольник Рело вращается, его центр не стоит на месте, поэтому патрон длязажима сверла Уаттса не должен препятствовать этому движению. Компаниязапатентовала специальный патрон со «свободно плавающим в нем сверлом»,удовлетворяющий всем нужным требованиям.
Из всех кривыхс заданной постоянной шириной треугольник Рело обладает наименьшей площадью.Если ширина треугольника Рело равна />, то его площадь равна />. Углыпри вершинах треугольника равны 120°. Это самые «острые» из углов, которыетолько могут быть у кривой постоянной ширины. Эти
/> Рис. 5. Симметричная кривая постоянной ширины с закругленными углами.
углы можно закруглить,продолжив каждую из сторон исходного (прямолинейного) равностороннеготреугольника на одно и то же расстояние в обе стороны (рис. 5). Проводя дугуокружности с центром в вершине А, нужно увеличить раствор циркуля и провестизатем еще одну дугу окружности (на этот раз FG) также с центром в вершине А. Тоже нужно проделать и в вершинах В и С. Полученная кривая будет по всемнаправлениям иметь ширину, равную сумме радиусов дуг, описанных из каждойвершины, то есть будет кривой постоянной ширины. Другие симметричные кривыепостоянной кривизны вы построите, взяв вместо равностороннего треугольникаправильный пятиугольник (или вообще любой правильный многоугольник с нечетнымчислом сторон) и проделав над ним аналогичную процедуру. Существуют способы,позволяющие строить и несимметричные кривые постоянной кривизны. Один из нихсостоит в следующем.
Возьмите звездчатыймногоугольник неправильной формы (число вершин у такого многоугольниканепременно будет нечетным), образованный отрезками прямых равной длины (на рис.6 показан звездчатый семиугольник). Поставив ножку циркуля в каждую вершину,проведите дугу окружности, соединяющую две противоположные вершины. Посколькувсе дуги имеют одинаковый радиус, получившаяся кривая (на рис. 10, она показанажирной линией) будет кривой постоянной ширины. Ее углы можно закруглить,воспользовавшись для этого уже описанным ранее способом: продолжить сторонызвездчатого многоугольника на одно и то же расстояние
/> Рис. 6. Построение кривой постоянной ширины методом звездчатого многоугольника.
в обе стороныи соединить концы продолженных отрезков дугами окружностей с центрами ввершинах звезды. Кривая с закругленными вершинами, проведенная на рис. 6 тонкойлинией, будет другой кривой постоянной ширины.
Еще одинметод построения кривых постоянной ширины показан на рис. 7. Проведите любоечисло пересекающихся прямых, затем, ставя по очереди ножку циркуля во все точкипересечения, соединяйте каждый раз дугой окружности те две прямые, которыепересекаются в выбранной вами точке. Начать можно с любой точки, а затемпродолжать вычерчивание кривой, сопрягая очередную дугу с предыдущей. Если выпровели все дуги достаточно аккуратно, кривая должна замкнуться, и вы получитееще одну разновидность кривых постоянной ширины. (Доказательство того, чтокривая действительно должна замкнуться и быть кривой постоянной ширины, мыоставляем читателю в качестве интересного, но нетрудного упражнения.) Всепостроенные нами до сих пор кривые постоянной ширины были образованы дугамиокружностей лишь двух различных радиусов, но с тем же успехом можно было быстроить кривые постоянной ширины из дуг любого наперед заданного числа окружностей.
Более того,кривая постоянной ширины может вообще не состоять из дуг окружности. В самомделе, возьмем квадрат и проведем произвольную кривую, соединяющую его верхнееоснование с нижним и касающуюся левой стороны (кривая AВС на рис. 7 справа).
/> Рис. 7. Построение кривой постоянной ширины методом пересекающихся прямых. Справа показано, как достроить произвольно проведенную дугу до кривой постоянной ширины.
Эта криваябудет левой частью некоторой однозначно определенной кривой постоянной ширины.Чтобы построить недостающую правую часть, проведем множество прямых, каждая изкоторых параллельна одной из касательных к дуге AВС и отстоит от нее нарасстояние, равное длине стороны квадрата. Построить такие прямые нетрудно,если воспользоваться обеими сторонами линейки (исходный квадрат следуетвыбирать таких размеров, чтобы его сторона была равна ширине линейки). Наложивлинейку так, чтобы одна из ее сторон касалась дуги АВС, проведите прямую вдольее другой стороны. Проделайте эту операцию в как можно большем числе точек дугиAВС. Огибающая к проведенным прямым и будет недостающей правой частью кривойпостоянной ширины. Этот способ позволяет строить неограниченное число«кривобоких» кривых постоянной ширины. Необходимо заметить, что дуга AВС невполне произвольна. Грубо говоря, ее кривизна ни в одной точке не должна бытьменьше кривизны окружности, радиус которой равен стороне квадрата. Дуга AВС неможет, например, включать в себя отрезок прямой.
Если у васесть нужные инструменты и вы умеете резать по дереву, вам будет приятновыточить деревянные катки, имеющие в сечении вид различных кривых постояннойширины. Большинство людей теряют дар речи при виде толстой книги, котораядвижется на кривобоких катках строго параллельно поверхности стола, неиспытывая никакой качки вверх и вниз. Еще проще демонстрировать необычайныесвойства кривых постоянной ширины, если вырезать их из картона и прибить кдеревянной планке на некотором расстоянии друг от друга. Кривые могут бытьсамой различной формы, важно лишь, чтобы гвозди проходили через их «центры».Если взять большую, но легкую картонную коробку, поставить ее на вертикальностоящие картонные кривые, прибитые к планке, и покатать вперед и назад, то выувидите поразительную картину: оба конца планки совершают вертикальныеперемещения, а коробка едет на картонных «колесах» так, как если бы они быликруглыми!
Свойствакривых постоянной ширины.
Одно из удивительных и трудно доказываемых
/> Рис. 8. Два тела постоянной ширины.
свойствсостоит, в том, что все кривые одной и той же постоянной ширины n имеютодинаковые периметры. Поскольку окружность принадлежит к числу кривыхпостоянной ширины, периметр любой кривой постоянной ширины n равен длинеокружности диаметра n, то есть величине />n.
Трехмерныеаналоги кривых постоянной ширины называются телами постоянной ширины. Сфера —не единственное тело, которое может вращаться внутри куба, все время, касаясьвсех шести его граней. Этим же свойством обладают все тела постоянной ширины.Простейшим примером несферического тела постоянной ширины может служить тело,образующееся при вращении треугольника Рело вокруг одной из его осей симметрии(см. левое тело на рис. 8). Существует бесконечно много и других тел постояннойширины. Те из них, которые имеют наименьший объем при данной ширине, получаютсяиз правильного тетраэдра, так же как треугольник Рело — из равностороннеготреугольника: сначала на каждую грань тетраэдра помещают сферические шапочки, азатем слегка скругляют ребра. Ребра либо исходят из одной вершины, либообразуют треугольник. Примером такого искривленного тетраэдра постоянной шириныможет служить тело, изображенное на (рис. 8) справа. Поскольку все кривыеодинаковой постоянной ширины имеют один и тот же периметр, может показаться,будто и все тела одинаковой постоянной ширины имеют одну и ту же площадьповерхности. Однако такое утверждение не верно. Как показал известный математикГерман Минковский, все тени, отбрасываемые телами постоянной ширины(предполагается, что лучи солнца параллельны, а тень падает на плоскость,перпендикулярную лучам), имеют форму кривых постоянной ширины. Периметры всехтеней, отбрасываемых телами одной и той же постоянной ширины, одинаковы (иравны />d,где d — ширина тела). Выпуклая фигура, которая может вращаться внутримногоугольника или многогранника, касаясь все время всех его сторон, называетсяротором. Мы видели, что треугольник Рело является ротором минимальной площадидля квадрата. Ротор минимальной площади для равностороннего треугольникапоказан на (рис. 9) слева. Это — фигура в форме линзы (разумеется, ее контур неявляется кривой постоянной ширины), образованная дугами двух окружностей,радиус которых равен высоте треугольника (каждая дуга составляет 60°). Важно заметить,что концы ротора при вращении описывают весь периметр треугольника, незакругляя углов. К сожалению, технологи-
/> Рис. 9. Ротор наименьшей площади внутри равностороннего треугольника. Справа показан отрезок прямой, вращающийся внутри гипоциклоиды.
ческие трудности непозволяют изготовлять сверла в форме ротора для равностороннего треугольника,но сверла, позволяющие делать отверстия в форме правильных пяти-, шести и дажевосьмиугольников с незакругленными углами, имеются. Доказано, что в трехмерномпространстве существуют несферические роторы для правильного тетраэдра,октаэдра и куба, но не для додекаэдра и икосаэдра. Относительно роторов впространствах большего числа измерений почти ничего не известно.
Непосредственноеотношение к теории роторов имеет знаменитая задача об игле, названная в честьсформулировавшего ее еще в 1917 году японского математика Какейя «проблемойКакейя». Заключается она в следующем: в какой плоской фигуре, имеющейминимальную площадь, можно повернуть на 360° единичный отрезок прямой? Такойотрезок, очевидно, можно повернуть на 360° внутри окружности диаметром 1, ноограничиваемый ею круг не будет иметь минимально возможную площадь.
Довольнодолго математики считали, что решением проблемы Какейя служит кривая,изображенная на (рис. 9 справа), ее площадь равна половине площади круга. (Этакривая называется гипоциклоидой. Такую кривую описывает точка окружности,катящейся без скольжения внутри большей окружности, если диаметр меньшейокружности составляет 1/3 или 2/3 диаметра большей.) Отломив кусок спичкинужных размеров, вы на опыте убедитесь в том, что ее можно повернуть внутригипоциклоиды как некий одномерный ротор. Обратите внимание, что концы спичкибудут все время оставаться на контуре гипоциклоиды.
Сенсацияпроизошла в 1927 году, через десять лет после того, как Какейя поставил свою проблему.«Виновником» ее стал А. С. Безикович. Он доказал, что проблема Какейя… неимеет решения! Точнее, из результатов Безиковича следовало, что не существуеткривой с минимальной площадью, внутри которой единичный отрезок можно было быповернуть на 360°. Сколь бы малой ни была площадь фигуры, всегда можнопостроить другую фигуру с еще меньшей площадью, внутри которой единичныйотрезок также сумеет развернуться на 360°. Представим себе отрезок,простирающийся от Земли до Луны. По теореме Безиковича, его можно повернуть на360° внутри фигуры, площадь которой меньше площади почтовой марки сизображением Линкольна. Если и этого вам покажется мало, то тот же отрезокможно повернуть на 360° внутри фигуры, площадь которой меньше площади,занимаемой на почтовой марке носом Линкольна.
Литература:
1. Александров А.Д., Нецветаева Н.Ю.Геометрия. М:,1990.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т.Геометрия, ч. 1, М:, Просвещение 1986.
3. Данцер Л., Грбнбаум Б., теоремаХелли.- М.: Мир,1968.
4. Моденов П.С. Аналитическаягеометрия. М.: 1969.
5. Энциклопедический словарь юногоматематика/Сост. А.П. Савин.- М.: Педагогика,1985.
6. Математическая энциклопедия: Гл.ред. И.М. Виноградов.- М,: «Советская энциклопедия», 1984.
7. Бляшке В. Круг и шар.- М.: Мир,1968.