План
Введение
1 Понятие математического анализа. Исторический очерк
2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа
3 Дальнейшее развитие математического анализа
Заключение
Список литературы
Введение
Л. Эйлер — самыйпродуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическомуанализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям,небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению,теории музыки и др. Многие его работы оказали значительное влияние на развитиенауки.
Почти полжизни Эйлерпровёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726 годуон был приглашён работать в Санкт-Петербург. В 1731—1741 и начиная с 1766 годабыл академиком Петербургской Академии Наук (в 1741-1766 годах работал вБерлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русскийязык, часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первыерусские академики по математике (С. К. Котельников), и по астрономии (С. Я.Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут вРоссии.
Л.Эйлер внес оченьбольшой вклад в развитие математического анализа.
Цель реферата – изучитьисторию развития математического анализа в XVIII веке.
1 Понятиематематического анализа. Исторический очерк
Математический анализ -совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и ихобобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При стольобщей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе стеорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции,заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечномалые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.
В учебном процессе к анализуотносят
· дифференциальноеи интегральное исчисление
· теорию рядов(функциональных, степенных и Фурье) и многомерных интегралов
· векторный анализ.
При этом элементыфункционального анализа и теории интеграла Лебега даются факультативно, а ТФКП,вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений читаются отдельнымикурсами. Строгость изложения следует образцам конца XIX века и в частностииспользует наивную теорию множеств.
Предшественникамиматематического анализа были античный метод исчерпывания и метод неделимых. Всетри направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение на бесконечномалые элементы, природа которых, впрочем, представлялась авторам идеи довольнотуманно. Алгебраический подход (исчисление бесконечно малых) начинаетпоявляться у Валлиса, Джеймса Грегори и Барроу. В полной мере новое исчислениекак систему создал Ньютон, который, однако, долгое время не публиковал своиоткрытия.[1]
Официальной датойрождения дифференциального исчисления можно считать май 1684, когда Лейбницопубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…»[2].Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода,названного дифференциальным исчислением.
В конце XVII века вокруг Лейбницавозникает кружок, виднейшими представителями которого были братья Бернулли, Якоби Иоганн, и Лопиталь. В 1696, используя лекции И. Бернулли, Лопиталь написалпервый учебник[3],излагавший новый метод в применении к теории плоских кривых. Он назвал его «Анализбесконечно малых», дав тем самым и одно из названий новому разделу математики.В основу изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеетсянекоторая связь, из-за которой изменение одной влечёт изменение другой. УЛопиталя эта связь даётся при помощи плоских кривых: если M - подвижнаяточка плоской кривой, то её декартовы координаты x и y, именуемые диаметром иординатой кривой, суть переменные, причём изменение x влечёт изменение y.Понятие функции отсутствует: желая сказать, что зависимость переменных задана,Лопиталь говорит, что «известна природа кривой». Понятие дифференциала вводитсятак:
«Бесконечно малая часть,на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина,называется ее дифференциалом… Для обозначения дифференциала переменнойвеличины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знакомили символом d.[4]ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7
— cite_note-4#cite_note-4 … Бесконечномалая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается дифференциалпеременной величины, называется … вторым дифференциалом».[5]
Эти определенияпоясняются геометрически, при этом на рисунке бесконечно малые приращенияизображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы).Первое:
Требуется, чтобы двевеличины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можнобыло брать безразлично одну вместо другой. [6]
Отсюда получается x + dx= x, далее
dxy = (x + dx)(y + dy) −xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx
и проч. правиладифференцирования. Второе требование гласит:
Требуется, чтобы можнобыло рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множествабесконечно малых прямых линий.
Продолжение каждой такойлинии называется касательной к кривой.[7]Исследуя касательную, проходящую через точку M = (x,y), Лопиталь придаётбольшое значение величине
/>,
достигающее экстремальныхзначений в точках перегиба кривой, отношению же dy к dx не придаётся никакогоособого значения.
Примечательно нахождениеточек экстремума. Если при непрерывном увеличении диаметра x ордината y сначалавозрастает, а затем убывает, то дифференциал dy сначала положителен посравнению с dx, а потом отрицателен.
Но всякая непрерывновозрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной вотрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, чтодифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю илибесконечности.
Вероятно, этаформулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем,y = x2, тогда в силу первого требования
2xdx + dx2 = 2xdx;
в нуле правая часть равнанулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что dy можно преобразовать всоответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума dy = 0. Впримерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет,что dy равен нулю в точке максимума, будучи разделён на dx[8]
Далее, при помощи одних дифференциаловформулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач,относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В концекниги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя, хотя и вне совсем обычной форме. Пусть величина ординаты y кривой выражена дробью,числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при x = a. Тогда точка кривойс x = a имеет ординату y, равную отношению дифференциала числителя кдифференциалу знаменателя, взятому при x = a.
По замыслу Лопиталянаписанное им составляло первую часть «Анализа», вторая же должна быласодержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных поизвестной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернуллив его «Математических лекциях о методе интеграла»[9].Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методырешения многих дифференциальных уравнений первого порядка.
2 Вклад Л.Эйлера в развитиематематического анализа
ЛеонардЭйлер (Euler,Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всехвремен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля 1707 в семье пастора ипровел детство в близлежащем селении, где его отец получил приход. Здесь налоне сельской природы, в благочестивой обстановке скромного пасторского домаЛеонард получил начальное воспитание, наложившее глубокий отпечаток на всю егопоследующую жизнь и мировоззрение. Обучение в гимназии в те времена былонепродолжительным. Осенью 1720 тринадцатилетний Эйлер поступил в Базельскийуниверситет, через три года окончил низший – философский факультет и записался,по желанию отца, на теологический факультет. Летом 1724 на годичномуниверситетском акте он прочел по-латыни речь о сравнении картезианской иньютонианской философии. Проявив интерес к математике, он привлек к себевнимание Иоганна Бернулли. Профессор стал лично руководить самостоятельнымизанятиями юноши и вскоре публично признал, что от проницательности и остротыума юного Эйлера он ожидает самых больших успехов.
Еще в 1725 Леонард Эйлервыразил желание сопровождать сыновей своего учителя в Россию, куда они былиприглашены в открывавшуюся тогда – по воле Петра Великого – ПетербургскуюАкадемию наук. На следующий год получил приглашение и сам. Покинул Базельвесной 1727 и после семинедельного путешествия прибыл в Петербург. Здесь он былзачислен сначала адъюнктом по кафедре высшей математики, в 1731 стал академиком(профессором), получив кафедру теоретической и экспериментальной физики, азатем (1733) кафедру высшей математики.
Сразу же по приезде вПетербург он полностью погрузился в научную работу и тогда же поразил всехплодотворностью своей деятельности. Многочисленные его статьи в академическихежегодниках, первоначально посвященные преимущественно задачам механики, скоропринесли ему всемирную известность, а позже способствовали и славепетербургских академических изданий в Западной Европе. Непрерывный потоксочинений Эйлера печатался с тех пор в трудах Академии в течение целого века.
Наряду с теоретическимиисследованиями, Эйлер уделял много времени и практической деятельности,исполняя многочисленные поручения Академии наук. Так, он обследовал разнообразныеприборы и механизмы, участвовал в обсуждении способов подъема большого колоколав Московском кремле и т.п. Одновременно он читал лекции в академическойгимназии, работал в астрономической обсерватории, сотрудничал в изданииСанкт-Петербургских ведомостей, вел большую редакционную работу в академическихизданиях и пр. В 1735 Эйлер принял участие в работе Географическогодепартамента Академии, внеся большой вклад в развитие картографии России.Неутомимая работоспособность Эйлера не была прервана даже полной потерейправого глаза, постигшей его в результате болезни в 1738.
Осенью 1740 внутренняяобстановка в России осложнилась. Это побудило Эйлера принять приглашениепрусского короля, и летом 1741 он переехал в Берлин, где вскоре возглавилматематический класс в реорганизованной Берлинской Академии наук и словесности.Годы, проведенные Эйлером в Берлине, были наиболее плодотворными в его научнойдеятельности. На этот период падает и его участие в ряде острыхфилософско-научных дискуссий, в том числе о принципе наименьшего действия.Переезд в Берлин не прервал, однако, тесных связей Эйлера с ПетербургскойАкадемией наук. Он по-прежнему регулярно посылал в Россию свои сочинения,участвовал во всякого рода экспертизах, обучал посланных к нему из Россииучеников, подбирал ученых на замещение вакантных должностей в Академии ивыполнял много других поручений.
Религиозность и характерЭйлера не соответствовали окружению «вольнодумного» Фридриха Великого. Этопривело к постепенному осложнению отношений между Эйлером и королем, которыйпри этом отлично понимал, что Эйлер является гордостью Королевской Академии. Впоследние годы своей берлинской жизни Эйлер исполнял фактически обязанностипрезидента Академии, но должности этой так и не получил. В итоге летом 1766,несмотря на сопротивление короля, Эйлер принял приглашение Екатерины Великой ивернулся в Петербург, где оставался затем до конца своей жизни.
В том же 1766 Эйлер почтиполностью потерял зрение и на левый глаз. Однако это не помешало продолжениюего деятельности. С помощью нескольких учеников, писавших под его диктовку иоформлявших его труды, полуслепой Эйлер подготовил в последние годы своей жизниеще несколько сотен научных работ.
В начале сентября 1783Эйлер почувствовал легкое недомогание. 18 сентября он еще занималсяматематическими исследованиями, но неожиданно потерял сознание и, по меткомувыражению панегириста, «прекратил вычислять и жить».
Похоронен на Смоленскомлютеранском кладбище в Петербурге, откуда его прах перенесен осенью 1956 внекрополь Александро-Невской лавры.
Научное наследие ЛеонардаЭйлера колоссально. Ему принадлежат классические результаты в математическоманализе. Он продвинул его обоснование, существенно развил интегральноеисчисление, методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений иуравнений в частных производных. Эйлеру принадлежит знаменитый шеститомный курсматематического анализа, включающий «Введение в анализ бесконечно малых», «Дифференциальноеисчисление» и «Интегральное исчисление» (1748–1770). На этой «аналитическойтрилогии» учились многие поколения математиков всего мира.
Эйлер получил основныеуравнения вариационного исчисления и определил пути дальнейшего его развития,подведя главные итоги своих исследований в этой области в монографии «Методнахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума» (1744).Значительны заслуги Эйлера в развитии теории функций, дифференциальнойгеометрии, вычислительной математики, теории чисел. Двухтомный курс Эйлера «Полноеруководство по алгебре» (1770) выдержал около 30 изданий на шести европейскихязыках.
Фундаментальныерезультаты принадлежат Леонарду Эйлеру в рациональной механике. Он впервые далпоследовательно аналитическое изложение механики материальной точки, рассмотревв своей двухтомной «Механике» (1736) движение свободной и несвободной точки впустоте и в сопротивляющейся среде. Позже Эйлер заложил основы кинематики идинамики твердого тела, получив соответствующие общие уравнения. Итоги этихисследований Эйлера собраны в его «Теории движения твердых тел» (1765).Совокупность уравнений динамики, представляющих законы количества движения имомента количества движения, крупнейший историк механики Клиффорд Трусделлпредложил называть «Эйлеровыми законами механики».
В 1752 была опубликованастатья Эйлера «Открытие нового принципа механики», в которой он сформулировал вобщем виде ньютоновы уравнения движения в неподвижной системе координат, открывпуть для изучения механики сплошных сред. На этой основе он дал выводклассических уравнений гидродинамики идеальной жидкости, найдя и ряд их первыхинтегралов. Значительны также его работы по акустике. При этом ему принадлежитвведение как «эйлеровых» (связанных с системой отсчета наблюдателя), так и«лагранжевых» (в сопутствующей движущемуся объекту системе отсчета) координат.
Замечательнымногочисленные работы Эйлера по небесной механике, среди которых наиболееизвестна его «Новая теория движения Луны» (1772), существенно продвинувшаяважнейший для мореходства того времени раздел небесной механики.
Наряду собщетеоретическими исследованиями, Эйлеру принадлежит ряд важных работ поприкладным наукам. Среди них первое место занимает теория корабля. Вопросыплавучести, остойчивости корабля и других его мореходных качеств былиразработаны Эйлером в его двухтомной «Корабельной науке» (1749), а некоторыевопросы строительной механики корабля – в последующих работах. Более доступноеизложение теории корабля он дал в «Полной теории строения и вождения кораблей»(1773), которая использовалась в качестве практического руководства не только вРоссии.
Значительный успех имеликомментарии Эйлера к «Новым началам артиллерии» Б.Робинса (1745), содержавшие,наряду с другими его сочинениями, важные элементы внешней баллистики, а такжеразъяснение гидродинамического «парадокса Даламбера». Эйлер заложил теориюгидравлических турбин, толчком для развития которой явилось изобретениереактивного «сегнерова колеса». Ему принадлежит и создание теории устойчивостистержней при продольном нагружении, приобретшей особую важность спустястолетие.
Много работ Эйлерапосвящено различным вопросам физики, главным образом геометрической оптике.Особого упоминания заслуживают изданные Эйлером три тома «Писем к немецкойпринцессе о разных предметах физики и философии» (1768–1772), выдержавшиевпоследствии около 40 изданий на девяти европейских языках. Эти «Письма» былисвоего рода учебным руководством по основам науки того времени, хотя собственнофилософская сторона их и не соответствовала духу эпохи Просвещения.
Современная пятитомная «Математическаяэнциклопедия» указывает двадцать математических объектов (уравнений, формул,методов), которые носят сейчас имя Эйлера. Его имя носит и ряд фундаментальныхуравнений гидродинамики и механики твердого тела.
Наряду с многочисленнымисобственно научными результатами, Эйлеру принадлежит историческая заслугасоздания современного научного языка. Он является единственным автором серединыXVIII в., труды которого читаются даже сегодня без всякого труда.
Петербургский архивРоссийской Академии наук хранит, кроме того, тысячи страниц неопубликованныхисследований Эйлера, преимущественно в области механики, большое число еготехнических экспертиз, математические «записные книжки» и колоссальную научнуюкорреспонденцию.
Его научный авторитет прижизни был безграничен. Он состоял почетным членом всех крупнейших академий иученых обществ мира. Влияние его трудов было весьма значительным и в XIX в. В1849 Карл Гаусс писал, что «изучение всех работ Эйлера останется навсегдалучшей, ничем не заменимой, школой в различных областях математики».
Общий объем сочиненийЭйлера громаден. Свыше 800 его опубликованных научных работ составляют около 30000 печатных страниц и складываются в основном из следующего: 600 статей визданиях Петербургской Академии наук, 130 статей, опубликованных в Берлине, 30статей в разных журналах Европы, 15 мемуаров, удостоенных премий и поощренийПарижской Академии наук, и 40 книг отдельных сочинений. Все это составит 72тома близкого к завершению «Полного собрания трудов» (Opera omnia) Эйлера,издаваемого в Швейцарии с 1911. Все работы печатаются здесь на том языке, накотором они были первоначально опубликованы (т.е. на латинском и французскомязыках, которые были в середине XVIII в. основными рабочими языками,соответственно, Петербургской и Берлинской академий). К этому добавится еще 10томов его Научной переписки, к изданию которой приступили в 1975.
Надо отметить особоезначение Эйлера для Петербургской Академии наук, с которой он был тесно связанна протяжении свыше полувека. «Вместе с Петром I и Ломоносовым, – писалакадемик С.И.Вавилов, – Эйлер стал добрым гением нашей Академии, определившимее славу, ее крепость, ее продуктивность». Можно добавить еще, что делаПетербургской академии велись в течение почти целого века под руководствомпотомков и учеников Эйлера: непременными секретарями Академии с 1769 до 1855были последовательно его сын, зять сына и правнук.
Он вырастил трех сыновей.Старший из них был петербургским академиком по кафедре физики, второй –придворным врачом, а младший – артиллерист дослужился до чинагенерал-лейтенанта. Почти все потомки Эйлера приняли в XIX в. российскоеподданство. Среди них были высшие офицеры российской армии и флота, а такжегосударственные деятели и ученые. Лишь в смутное время начала XX в. многие изних вынуждены были эмигрировать. Сегодня прямые потомки Эйлера, носящие егофамилию, все еще живут в России и Швейцарии.
Перемены в математическоманализе отражены в обширном трактате Эйлера. Изложение анализа открываетдвухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представленияхэлементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Лейбница,однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функциисостояла в том, что функция — это выражение для счёта (нем.Rechnungsausdrϋck) или аналитическое выражение.[10]
Функция переменногоколичества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом изэтой переменного количества и чисел или постоянных количеств.[11]
Подчёркивая, что«основное различие функций лежит в способе составления их из переменного ипостоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могутдруг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложениеи вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней;сюда же следует отнести также решение алгебраических уравнений. Кроме этихдействий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных,как-то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемыеинтегральным исчислением».[12]Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и нетребовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение длясчёта определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда длярассматриваемой задачи это не нужно.
Операции в выражениидопускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощибесконечно большого числа />. В выражениях эточисло используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимымтакое выражение для экспоненты
/>,
в котором лишь поздниеавторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производилисьразнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления дляэлементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д.Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращаявнимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой изнаписанных формул.
В отличие от ЛопиталяЭйлер подробно рассматривает трансцендентные функции и в особенности дванаиболее изученные их классы — показательные и тригонометрические. Онобнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощиарифметических действий и двух операций — взятия логарифма и экспоненты[13].
Сам ход доказательствапрекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определивсинус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формулсложения следующее:
/>
а отсюда
/>
Полагая />и z = nx,он получает
/>,
отбрасывая бесконечномалые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлерполучает и свою знаменитую формулу
/>.
Указав различныевыражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит крассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По егомнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическоевыражение. В XIX веке с подачи Казорати[14]это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывнаяв современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самомделе Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать предельный переходпри помощи символа />.
Изложениедифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за нимв третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малоеколичество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера.Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы,а из интерполяционной формулу Ньютона - формула Тейлора. Этот метод всущественном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлерапоявляется устойчивое отношение />, которое,однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главыпосвящены приближенному вычислению при помощи рядов.
В трёхтомном интегральномисчислении Эйлер трактует понятие интеграла так:
«Та функция, дифференциалкоторой = Xdx, называется его интегралом и обозначается знаком S, поставленнымспереди».[15]
В целом же эта частьтрактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче обинтегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит рядинтегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям,напр., Γ-функции, эллиптические функции и т. д. Строгоедоказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптическихфункций и Лиувиллем.
3 Дальнейшее развитиематематического анализа
Следующим крупнымпроизведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа,явилась «Теория аналитических функций»[16]Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа[17]в несколько эклектической манере.
Желая избавиться отбесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядомТейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию,исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как f(x), дав графическийспособ записи зависимости - ранее же Эйлер обходился одними переменными.Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функцияразлагалась в ряд
/>,
коэффициенты которогобудут новыми функциями x. Остаётся назвать p производной (дифференциальнымкоэффициентом) и обозначить его как f'(x). Таким образом, понятие производнойвводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остаётсязаметить, что
/>,
поэтому коэффициент qявляется удвоенной производной производной f(x), то есть
/>и т. д.[24]
Такой подход к трактовкепонятия производной используется в современной алгебре и послужил основой длясоздания теории аналитических функций Вейерштрасса.
Лагранж оперировал такимирядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервыеи вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенныхдифференциальных уравнений в формальных степенных рядах.
Вопрос об оценке точностиприближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставленименно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперьназывают формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.[18]Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды вупотреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.
Вопрос о том,действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены встепенной ряд, впоследствии стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу былоизвестно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться встепенной ряд, однако в этих точка они и недифференцируемы ни в каком смысле. Кошив своём Алгебраическом анализе привёл в качестве контрпримера функцию
/>
доопределённую нулём внуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой рядМаклорена, который, следовательно, не сходится к значению f(x). Против этогопримера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единоеаналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, ипри />. Лишь в конце XIX века Прингсхейм[19]доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единымвыражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функциейдоставляет выражение
/>.
В XVIII веке былиразработаны и практически применены такие разделы анализа, как вариационноеисчисление, обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальныеуравнения в частных производных, преобразования Фурье и производящие функции.На фундаменте анализа возникла математическая физика, аналитические методыглубоко проникли в геометрию и даже в теорию чисел.
В XIX веке Коши первымдал анализу твёрдое логическое обоснование, введя понятие пределапоследовательности, он же открыл новую страницу комплексного анализа. Пуассон, Лиувилль,Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения в частных производных и гармоническийанализ.
В последней трети XIXвека Вейерштрасс произвёл арифметизацию анализа, полагая геометрическоеобоснование недостаточным, и предложил классическое определение предела черезε-δ-язык. Он же создал первую строгую теорию множества вещественныхчисел. В это же время попытки усовершенствования теоремы об интегрируемости поРиману привели к созданию классификации разрывности вещественных функций. Такжебыли открыты «патологические» примеры (нигде не дифференцируемые непрерывныефункции, заполняющие пространство кривые). В связи с этим Жордан разработалтеорию меры, а Кантор - теорию множеств, и в начале XX века математическийанализ был формализован с их помощью. Другим важным событием XX века сталаразработка нестандартного анализа как альтернативного подхода к обоснованиюанализа.
Заключение
Завершая работу надрефератом можно прийти к выводу, что математический анализ – это совокупностьразделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциальногои интегрального исчислений. В него также входят теории функций действительногои комплексного переменного, теория дифференциальных уравнений, вариационноеисчисление ряд других математических дисциплин.
Большой вклад в развитиематематического анализа внес Л.Эйлер. Он принадлежит к числу гениев, чьётворчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех странизучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студентыпроходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явилиськлассические монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но он знал,что почвой, на которой расцветает математика, является практическаядеятельность. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслямматематики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно дажеперечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный.
Список литературы
1. Артемьева Т. В. ЛеонардЭйлер как философ // Философия в Петербургской Академии наук XVIII века. — СПб.: 1999. — 182 с.
2. Гиндикин С. Г. Рассказыо физиках и математиках. — 3-е изд., расш. — М.: МЦНМО, 2001. — 465 с.
3. Делоне Б. Н. ЛеонардЭйлер // Квант. — 1974. — № 5.
4. К 250-летию содня рождения Л. Эйлера: Сборник. — Изд-во АН СССР, 1958.
5. ЛетописьРоссийской Академии наук. Том 1. 1724-1802. — М.: Наука, 2000.
6. Математика XVIIIстолетия / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1972. — Т. 3. — (История математики в 3-х томах).
7. Полякова Т. С.Леонард Эйлер и математическое образование в России. — КомКнига, 2007. — 184 с.
8. Прудников В. Е.Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков. — 1956.
9. Юшкевич А. П.История математики в России. — М.: Наука, 1968.