--PAGE_BREAK--розглядалися — доповнюваність (якщо перетинання підгрупи з додаванням циклічне), — щільність (якщо для будь-яких двох підгруп підгруп групи, з яких перша не максимальна в другий, в існує що доповнюється (абелева) підгрупа, що строго втримується між ними), і ін. Огляд результатів цього напрямку можна знайти в [10].
Подібна тематика досліджується й у теорії формацій. У роботах В.А. Ведерникова [5,6], Го Вень Биня [11], А.Н. Скиби [7], Л.А. Шеметкова [8] і інших авторів досліджувалися формації із системами що доповнюються підформацією. Огляд результатів цього напрямку можна знайти в [9].
Однак умова існування доповнень до окремих підгруп є досить сильним обмеженням. Далеко не всі підгрупи мають доповнення. Разом з тим кожна підгрупа має мінімальне додавання. Тому для дослідження будови кінцевих груп із системами підгруп, що додаються, необхідно вводити додаткові обмеження на мінімальні додавання.
У дипломній роботі викладені основи теорії нильпотентною довжини кінцевої розв'язної групи. Метою дипломної роботи є дослідження величини нильпотентною довжини кінцевих розв'язних груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп. У роботі розглянуті наступні питання: підгрупа Фиттинга кінцевої розв'язної групи і її властивості; нильпотентна довжина й інші інваріанти кінцевої розв'язної групи; ознаки можливості розв'язання кінцевої групи з извесними додаваннями до максимальних підгруп; знаходження величини нильпотентною довжини розв'язної групи з відомими додаваннями до максимальних підгруп.
Робота складається із трьох глав.
У першому розділі «Підгрупа Фиттинга і її властивості» вивчені властивості підгрупи Фиттинга.
Визначення. Добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи називають підгрупою Фиттинга групи й позначають через .
Визначення. Нильпотентною довжиною розв'язної групи називають найменше , для якого . Нильпотентну довжину розв'язної групи позначають через .
На основі підгрупи Фиттинга вводиться наступна
Теорема А. Підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням централізаторов головних факторів групи.
Також розглядається доказ теореми К. Дерка.
Теорема B. Якщо — максимальна підгрупа розв'язної групи , те, де .
Доведено теорему Монахова В.С.
Визначення. Підгрупа групи називається максимальною підгрупою, якщо не втримується ні в якій іншій підгрупі, відмінної від .
Визначення. Підгрупою Фратіні групи називається перетинання всіх її максимальних підгруп. Підгрупа Фратіні групи позначається через .
Теорема C. (1) У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фратіні збігається з перетинанням максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.
(2) У розв'язної ненильпотентної групі перетинання максимальних підгруп, що містять підгрупу Фиттинга, метанильпотентно.
У другому розділі " — довжина - розв'язної групи" дані наступні визначення.Визначення. Нехай — просте число. Назвемо групу - групою, якщо її порядок не ділиться на й, як звичайно, - групою, якщо її порядок дорівнює ступеня числа . Кінцеву групу будемо називати - розв'язної, якщо кожний з її композиційних факторів є або - групою, або -групою. Таким чином, група розв'язна у звичайному змісті тоді й тільки тоді, коли вона - розв'язна для всіх простих . Ясно, що група -розв'язна тоді й тільки тоді, коли вона має нормальний ряд
у якому кожна факторгрупа є або -групою, або -групою.
Визначення. Найменше ціле число , для якого , ми назвемо -довгої групи й позначимо його , або, якщо необхідно, .-довжину -розв'язної групи можна також визначити як найменше число -факторів, що зустрічаються в якому або ряді виду (2.1), оскільки мінімум досягається для верхнього -ряду
Доводиться
Теорема D. Якщо - -розв'язна група, де — непарне просте число, то
(i)
(ii) якщо не є простим числом Ферма, і , якщо — просте число Ферма. Крім того, ці оцінки не можна поліпшити.
У главі «Група з нильпотентними додаваннями до підгруп» доведена важлива теорема.
Визначення. Група називається - сверхразрешимою, якщо її головні фактори або -групи, або мають прості порядки. -Сверхразрешимой називають групу, у якої фактори головного ряду або мають порядок , або є -групами. Група, у якої всі фактори головного ряду мають прості порядки, називається сверхразрешимой.
Теорема E. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимим підгруп ізоморфна або , де — нильпотентна група, а й — прості числа.
Також доведений наслідок із цієї теореми.
Наслідок. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешимі, ізоморфна або , де — - група, або , де — -група.
1. Підгрупа Фиттинга і її властивості
Добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи називають підгрупою Фиттинга групи й позначають через . Множина простих дільників порядку групи позначається через а найбільшу нормальну -підгрупу групи — через .
Лема 1.1. (1) — найбільша нормальна нильпотентна підгрупа групи ;
(2) ;
(3) .
Proof. (1) Нехай і — нильпотентние нормальні підгрупи групи й нехай і — силовські -підгрупи з і . Тому що , а , те по лемі 4.1, с. 35. Аналогічно, , тому . Ясно, — -група. Покажемо, що вона силовська в. Для цього обчислимо її індекс:
Тому що чисельник не ділиться на , те — силовська -підгрупа групи . Отже, добуток двох нормальних нильпотентних підгруп є нормальна нильпотентна підгрупа. Тому — найбільша нормальна нильпотентна підгрупа групи .
(2) Ясно, що для всіх , тому
Обернено, якщо — силовська -підгрупа групи , те й нормальна в , тому й
(3) Якщо , те й нильпотентна, тому по (1) і .
Лема 1.2. (1) ; якщо розв'язно й , те ;
(2) (3) якщо , те ; якщо, крім того, абелева, те
Proof. (1) Оскільки підгрупа Фратіні — нильпотентна нормальна підгрупа групи , те . Нехай — розв'язна неодинична група. Тоді розв'язна й неодинична. Нехай
Тому що — -група для деякого простого , то по наслідку 4.2, с. 35, підгрупа нильпотентна й . Отже, .
(2) Якщо , те — нильпотентна нормальна в підгрупа по теоремі 4.3, с. 35, тому й
Зворотне включення треба з визначення підгрупи Фиттинга.
(3) Для мінімальної нормальної підгрупи або , або . Якщо , то
Якщо , то — елементарна абелева -група для деякого простого . Тому що , те . З іншого боку, по теоремі 4.4, с. 35, тому .
Теорема 1.3. для кожного . Зокрема, якщо розв'язно, те
Proof. Нехай , . Тому що по лемі 4.5, с. 35, те . Припустимо, що для деякого й нехай
Ясно, що й Нехай — силовська -підгрупа групи . Тому що
-група, те, а оскільки продолжение
--PAGE_BREAK--, те й . Тепер, — нильпотентна нормальна підгрупа групи й . Таким чином, і перше твердження доведене. Якщо розв'язно, то розв'язно, тому й .
Говорять, що підгрупа групи доповнюємо в , якщо існує така підгрупа , що й . У цьому випадку підгрупу називають доповненням до підгрупи в групі
Теорема 1.4. Якщо — нильпотентна нормальна підгрупа групи й , те дополняема в.
Proof. За умовою а по теоремі 4.6, с. 35, комутант . По теоремі 4.7, с. 35, підгрупа Фратіні а за умовою Тому й абелева. Нехай — додавання до в. По лемі 4.8, с. 35, Оскільки й те й по теоремі 4.7, с. 35,
Отже, і — доповнення до в.
Теорема 1.5. Факторгрупа є прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи .
Proof. Припустимо спочатку, що й позначимо через підгрупу Фиттинга По теоремі 4.6 комутант Але значить по теоремі 4.7, с. 35. Тому й абелева. Нехай — прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи найбільшого порядку. Тоді й по теоремі 1.4 існує підгрупа така, що По тотожності Дедекинда Але абелева, тому а тому що , те На вибір перетинання й
Нехай тепер і По лемі 1.2(2) Тому що те для твердження вже доведене.
Наслідок 1.6. У розв'язній групі з одиничною підгрупою Фратіні підгрупа Фиттинга є прямий добуток мінімальних нормальних підгруп.
Теорема 1.7. Підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням централізаторов головних факторів групи.
Proof. Нехай
По наслідку 4.9, с. 35, підгрупа нормальна в. Якщо
головний ряд групи , те
нормальний ряд групи . Тому що підгрупа втримується в кожній підгрупі , те
для . По теоремі 4.10, с. 35, підгрупа нильпотентна, тому .
Перевіримо зворотне включення. Нехай — головний фактор групи . Тому що
те по лемі 4.11, с. 35, або
або
У першому випадку , тому
У другому випадку з нильпотентності підгрупи по лемі 1.2 одержуємо, що
Знову . Таким чином, і .
Лема 1.8. .
Proof. Нехай . Ясно, що й . Тому що
те й ізоморфна нормальної нильпотентною підгрупі групи . Тому
Нехай — група й нехай
Ясно, що
У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фиттинга відмінна від одиничної підгрупи по лемі 1.2. Тому для розв'язної групи існує натуральне таке, що .
Нильпотентною довжиною розв'язної групи називають найменше , для якого . Нильпотентну довжину розв'язної групи позначають через . Таким чином, якщо група розв'язна й , те
Тому побудований ряд нормальний і його фактори нильпотентни.
Ясно, що тоді й тільки тоді, коли група нильпотентна.
Приклад 1.9. .
Непосредсвенно з визначення нильпотентною довжини випливає
Лема 1.10. Нехай — розв'язна група. Тоді:
(1) ;
(2) .
Лема 1.11. (1) Якщо — розв'язна група, то довжина будь-якого нормального ряду групи з нильпотентними факторами не менше, ніж .
(2) Нильпотентна довжина розв'язної групи збігається з довжиною самого короткого нормального ряду з нильпотентними факторами.
Proof. (1) Застосуємо індукцію один по одному групи . Нехай
нормальний ряд групи з нильпотентними факторами. Тому що — нормальна нильпотентна підгрупа групи , те й . Тут . Факторгрупа має порядок менше, ніж порядок групи й володіє поруч
де . Ясно, що це нормальний ряд, його довжина і його фактори
нильпотентни. По індукції й .
(2) треба з (1).Лема 1.12. Нехай — розв'язна група. Тоді:
(1) якщо , те ;
(2) якщо , те ;
(3) якщо й , те
зокрема, якщо й — розв'язні групи, те
(4) .
Proof. Нехай і . Тоді
(1) Нехай . Тоді ряд
буде нормальним рядом підгрупи з нильпотентними факторами
По лемі 1.11.
(2) Нехай і . Тоді ряд
буде нормальним рядом групи з нильпотентними факторами
По лемі 1.10.
(3) Ясно, що . Позначимо . Тоді по лемі 1.10, а по індукції
Тому . Тому що по (1), те маємо
(4) Покладемо . По лемі 1.2 для неодиничної розв'язної групи маємо й
Тому .
Наступна теорема належить К. Дерку.
Теорема 1.13. Якщо — максимальна підгрупа розв'язної групи , те, де .
Приклад. Скористаємося індукцією один по одному групи . Нехай — мінімальна нормальна підгрупа групи . Якщо , то й , де . Тому можна припустити, що всі мінімальні нормальні підгрупи групи продолжение
--PAGE_BREAK-- втримуються в. Якщо група містить дві різні мінімальні нормальні підгрупи, те й по індукції
Оскільки
те теорема справедлива. Отже, можна вважати, що група містить у точності одну мінімальну нормальну підгрупу. Якщо , то по лемі 1.12 і знову
Оскільки
те знову теорема справедлива.
Отже, можна вважати, що й по наслідку 1.6. По індукції
Якщо , то твердження справедливо. Нехай , тобто . Уважаємо, що — -група. Тоді — -група. Нехай . Якщо , то й , тому
і теорема справедлива.
Залишається випадок, коли . Тому що — -підгрупа, те
причому — -група. Протиріччя.
Приклад 1.14.
Всі три значення в теоремі 1.13 мають місце. Значення виконується на будь-який нильпотентною неодиничній групі. Значення виконується на групі з максимальною підгрупою . Значення виконується на групі , у якої силовська -підгрупа максимальна.
Якщо факторгрупа нильпотентна, то групу називають метанильпотентною.
Теорема 1.15. (1) У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фратіні збігається з перетинанням максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.
(2) У розв'язної ненильпотентною групі перетинання максимальних підгруп, що містять підгрупу Фиттинга, метанильпотентно.
Proof. Позначимо через перетинання всіх максимальних підгруп групи , що не містить , а через перетинання максимальних підгруп групи , що містять . Ясно, що підгрупи й характеристичні в групі й
(1) У факторгрупи підгрупа Фиттинга
по лемі 1.2, тому
Припустимо, що й нехай — мінімальна нормальна підгрупа групи , що втримується в. Тому що підгрупа нормальна в групі й факторгрупа нильпотентна, те по теоремі 4.3, с. 35, підгрупа нильпотентна й . Але тепер
протиріччя. Тому допущення невірно й , тобто .
(2) Нехай — розв'язна ненильпотентна група. Ясно, що й
Тому підгрупа метанильпотентна.
Приклад 1.16. У нерозв'язній групі центр, підгрупа Фратіні й підгрупа Фиттинга збігаються й мають порядок . Тому в групі немає максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.
Отже, твердження (1) теореми 1.15 у нерозв'язних групах порушується.
2. - довжина - розв'язної групи
Нехай — просте число. Назвемо групу - групою, якщо її порядок не ділиться на й, як звичайно, - групою, якщо її порядок дорівнює ступеня числа . Кінцеву групу будемо називати - розв'язної, якщо кожний з її композиційних факторів є або - групою, або -групою. Таким чином, група розв'язна у звичайному змісті тоді й тільки тоді, коли вона -розв'язна для всіх простих . Ясно, що група - розв'язна тоді й тільки тоді, коли вона має нормальний ряд
у якому кожна факторгрупа є або -групою, або -групою. Тому для такої групи ми можемо индуктивно визначити верхній -ряд.
зажадавши, щоб була найбільшої нормальною -підгрупою в , а — найбільшої нормальної -підгрупою в.
Найменше ціле число , для якого , ми назвемо -довгої групи й позначимо його , або, якщо необхідно, .
-довжину -розв'язної групи можна також визначити як найменше число -факторів, що зустрічаються в якому або ряді виду (2.1), оскільки мінімум досягається для верхнього -ряду (2.2). Підгрупи й, мабуть, характеристични в , і містить всі нормальні підгрупи групи з -довгої, не переважаючого числа . Помітимо також, що
для
Підгрупи й факторгрупи -розв'язної групи також -розв'язні, і їхня довжина не перевищує . Якщо групи й обидві -розв'язні, то таке ж їхній прямий добуток і
Нехай — -розв'язна група й - її силовська -підгрупа. Розумно припустити, що чим більше -довго групи , тим більшої повинна бути складність силовської підгрупи . Додамо точний зміст цьому твердженню й доведемо його декількома способами, обираючи різні критерії складності . Найбільш природні із цих критеріїв, силовські -інваріанти групи , такі:
(i) де — порядок ,
(ii) — клас нильпотентності , тобто довжина (верхнього або) нижнього центрального ряду ,
(iii) — довжина ряду комутантів ,
(iv) де — експонента , тобтонайбільший з порядків елементів . Експонента самої групи , тобто найменшого загальне кратне порядків її елементів, дорівнює тому . Очевидно, рівність нулю кожного з інваріантів або рівносильно тому, що є -групою.
В основних теоремах обмежимося випадком непарних простих чисел , і навіть тоді результати будуть трохи різними, залежно від того, чи є простим числом Ферма чи виду ні.
Справедлива наступна теорема.
Теорема 2.1. Якщо - -розв'язна група, де — непарне просте число, те
(i)
(ii) якщо не є простим числом Ферма, і , якщо — просте число Ферма. Крім того, ці оцінки не можна поліпшити.
Ми встановимо також нерівності, що зв'язують c і з , але тут наші результати будуть тільки для простих чисел, що не є простими числами Ферма. Всі ці результати тривіальні для , і ми доведемо їхньою індукцією по . Припустимо, що й що , як завжди володіє верхнім -поруч (2.2). Нехай підгрупа Фратіні -групи . Усякий елемент групи індуцирує внутрішній автоморфізм групи й, отже, групи . Але, як відоме, є елементарної абелевой -групою; тому її можна ототожнити з аддитивной групою векторного простору над простим полем характеристики , а її автоморфізм — з лінійними перетвореннями цього простору. Автоморфизми групи , індуковані елементами , утворять тому лінійну групу над полем характеристики . Ця група, мабуть, є гомоморфним образом групи , і ми покажемо, що в дійсності вона ізоморфна групі , і тому є -розв'язною групою, не утримуючої нормальної підгрупи, відмінної від одиниці.
Теорема 2.2. Нехай — розв'язна лінійна група над полем характеристики , не утримуюча неодиничну нормальну -підгрупу. Нехай — елемент порядку в. Тоді мінімальне рівняння для має вигляд продолжение
--PAGE_BREAK--.
Число задовольняє наступній умові. Нехай найменше ціле число (якщо воно існує), для якого є ступенем простого числа із властивістю . Якщо не існує, то ; у противному випадку
Цей результат, доповнений більше детальними відомостями про елементи , для яких , буде ключем до доказу теореми А. Треба помітити, що нерівність може виконуватися тільки тоді, коли або коли — простої число Ферма. Теорема В и подібні їй теореми доводяться в основному прямим визначенням найменшої групи, що задовольняє цим умовам, і прямим обчисленням. При цьому відіграє важливу роль наступна теорема, цікава сама по собі.
Теорема 2.3. Нехай — якась -група, на яку діє -група , причому деякий елемент групи діє нетривіально на , але тривіально на кожну щиру -інваріантну підгрупу групи . Тоді існує таке просте число , що є або елементарної абелевой -групою, або -групою класу нильпотентності 2, у якої центр і комутант збігаються, факторгрупа по комутанту — елементарна абелева група й подання на неприводимо.
Слід зазначити, що якщо — розв'язна група, то обмежник тягне обмеженість довжини ряду комутантів групи .
Нехай означає наступне твердження:
: для кожного позитивного цілого числа існує таке ціле число , що всяка розв'язна група експоненти , породжувана елементами, має порядок не більше .
Теорема 2.4. істинно, якщо істинно для всіх ступенів простих чисел , що ділять .
Зокрема, тому що відомо, що , і щирі, те щирі й . У цих випадках, як і завжди, коли ділиться тільки на два простих числа, ми можемо слово «розв'язна» замінити у формулюванні словом «кінцева». Якщо — число, вільне від квадратів, ми навіть можемо обчислити , коли відомі для всіх простих , що ділять , і всіх . Так, порядок найбільшої кінцевої -породженої групи експоненти 6 дається формулою
де й
Нехай потрібно довести індукцією один по одному групи нерівність
Тут і — числові інваріанти, для деякого класу кінцевих груп, що ми вважаємо замкнутим. Ми вважаємо, що (2.3) виконується для досить малих , отже й для , і, крім того, що:
(I) якщо — підгрупа , те ;
(II) ;
(III) якщо — факторгрупа , те .
Тоді справедлива
Лема 2.5. У доказі нерівності (2.3) індукцією один по одному групи можна припустити, що володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою.
Справді, якщо володіє двома мінімальними нормальними підгрупами й , ми одержимо, що , так що ізоморфно підгрупі прямого добутку . Так як — інваріант, що має однакові значення для ізоморфних груп, останні (I) і (II) дають
У силу припущення індукції й у силу умови (III) . Таким чином, , і точно також , так що , що й було потрібно.
Помітимо, що всі силовські -інваріанти, згадані раніше, крім , задовольняють умовам (I), (II) і (III). Те ж вірно й для інваріанта розв'язної групи й інваріанта -розв'язної групи; задовольняє умові (III). Таким чином, якщо задовольняє умовам (I) і (II), те цим же умовам задовольняє будь-яка функція , а якщо задовольняють умові (III), те цій же умові задовольняє будь-яка функція , що не убуває по кожному з аргументів. Тому що всі наші нерівності тривіальні для досить малих груп , то легко бачити, що твердження останньої леми можна застосовувати щораз, коли це необхідно.
Теорема 2.6. Якщо — розв'язна група, те .
Доводячи теорему індукцією один по одному , можна припустити, що володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою. Тому що розв'язно, ця підгрупа буде -групою для деякого простого числа . Тоді у верхньому -ряді (2.2) групи підгрупа . Звідси
Але й -1, у той час як при інваріанти й мають однакові значення для й .
Нехай пропозиція індукції, застосована до групи , дає
Звідси треба теорема.
Нам знадобитися далі важлива властивість верхнього -ряду -розв'язної групи, що зручно вивести в небагато більше загальному контексті. Нехай — деяка множина простих чисел, а — додаткове до множина. -група — це кінцева група, порядок якої ділиться тільки на прості числа, що входять в. Кінцева група -розв'язна, якщо кожний її композиційний фактор є або -групою, або -групою. Така група володіє верхнім -поруч, для якого ми використовуємо ті ж позначення, що й у випадку, коли містить одне просте число . Таким чином, ми пишемо
для ряду нормальних підгруп, вимагаючи, щоб факторгрупа була найбільшої нормальною -підгрупою в , а факторгрупа — найбільшої нормальної -підгрупою в.
Лема 2.7. Якщо -розв'язна група не містить неодиничну -підгрупу, так що , то група містить свій централізатор у групі .
Нехай — централізатор групи . Якщо лема не вірна й , то ми можемо вибрати нормальну підгрупу групи , таку, що й мінімальну при цьому умові. Тому що група -розв'язна, факторгрупа виявляється або -групою, або -групою, а по визначенню групи вона не може бути -групою. Отже, факторгрупа є -група й порядки груп і взаємно прості. По теоремі Шура, група має доповнення в групі . Тому що , трансформування групи елементом з індуцірує її внутрішній автоморфізм, а тому що порядки й взаємно прості, цей автоморфізм може бути тільки тотожним. Тоді — прямий добуток і . Тому є характеристичною підгрупою в , а отже, нормальною підгрупою в , у протиріччі із припущенням, що . Це протиріччя доводить лему. Помітимо, що припущення насправді зайво, тому що в загальному випадку ми можемо застосувати лему до факторгрупи .
Наслідок 2.8. Нехай — деяка підгрупа , індекс якої не ділиться ні на яке просте число з , тоді центр групи втримується в центрі групи .
Дійсно, підгрупа повинна містити нормальну -підгрупу групи .
Наслідок 2.9. Нехай — деяка підгрупа групи , що містить , тоді не володіє неодиничної нормальної -підгрупою.
Дійсно, нормальна -підгрупа групи повинна втримуватися в центролизаторе групи .
Під -підгрупою кінцевої групи ми маємо на увазі таку підгрупу, порядок і індекс якої взаємно прості. Якщо група продолжение
--PAGE_BREAK-- розв'язна і її порядок дорівнює , де , то група володіє -підгрупами порядку й будь-які дві з них сполучені, а тому ізоморфні.
Теорема 2.10. Якщо — розв'язна група порядку , де при , і якщо підгрупа групи порядку має клас нильпотентності те
Зокрема, для будь-якої кінцевої розв'язної групи . -підгрупа деякої факторгрупи , порядок якої ділить , має клас нильпотентності, не перевищуючий , так що ми можемо застосувати твердження леми 2.5 і одержати результат індукцією один по одному групи , допустивши що володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою. Це буде -група для деякого простого числа , і ми можемо тому предполодить, що її порядок ділить . Тоді, якщо ми візьмемо в якості множина простих долителей числа , виявиться виконаної передумова леми 2.5. Якщо — найбільша нормальна -підгрупа групи й — її центр, то по наслідку леми 2.5 містить центр -підгрупи групи , що має порядок . Порядок -підгрупи групи ділить , тому клас нильпотентності її не більше . Для -підгрупи груп і порядку ізоморфні, так що в силу припущення індукції, застосованої до , одержимо
Тому що , той доказ по індукції проведено.
Перш ніж застосовувати лему 2.5 до доказу нерівності для , зручно уточнити її для випадку, при якому складається з одного простого числа . Нехай є -розв'язна група з верхнім -поруч (2.2). Тоді лема 2.5, застосована до групи , показує, що якщо — елемент групи , що не входить в , те трансформування елементом індуцируе у нетотожний автоморфізм. Необхідне уточнення складається в заміні групи групою , де — підгрупа Фратіні групи . Тепер — -група, і в такий спосіб — елементарна абелева -група. Ясно тому, що автоморфізм групи , індукований групи , тотожний. Таким чином, множина елементів групи , що тотожно трансформує , є нормальною підгрупою групи , такий, що . По визначенню фактор група не може бути -групою, відмінної від 1, тому якщо , те група повинна містити елемент , що не входить в і порядку, взаємно простого . Тоді індуцірує автоморфізм групи порядку, взаємно простого с. Але автоморфізм -групи, по модулю підгрупі Фратіні, має порядок, рівний ступені числа . Таким чином, індуцірує у нетотожний автоморфізм, що суперечить визначенню групи . Виходить, , що й було потрібно. У такий спосіб:
Лема 2.11. Якщо є -розв'язна група з верхнім -поруч (2.2) і якщо — підгрупа Фратіні групи , те автоморфизми групи, які індуковані трансформуваннями елементами групи , представляють точно.
Наслідок 2.12. .
По лемі група не володіє неодиничної нормальної -підгрупою, і наступні члени її верхнього -ряду являють собою фактор групи по відповідних членів верхнього -ряду групи .
Теорема 2.13. Для кожної -розв'язної групи
(I)
(II)
Ми можемо використовувати індукцію один по одному групи й припустити, що володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою . Очевидно, ми можемо також припустити, що , звідки наслідку з леми 2.11 , а, отже, , і — елементарна абелева -група. Тепер, думаючи , ми одержимо, що , так що по припущенню індукції містимо, що . Якщо — група порядку , то порядок її групи автоморфизмов дорівнює
так що . Відповідно до леми 2.11, група ізоморфна деякій підгрупі групи , так що , звідки . Таким чином,
що й було потрібно.
З іншої сторони відповідно до наслідку 1 леми 2.7, містить центр силовської -підгрупи групи , так що . Тому що , те індукція для (II) проводиться відразу.
Нерівності, отримані десь, аж ніяк не є найкращими. Для непарних їх значно можна підсилити. Однак при теорему 2.13 поліпшити не можна.
Останню теорему можна застосувати для короткого доказу тверджень і .
3.Група з нильпотентними додаваннями до підгруп
У справжньому главі описані нерозв'язні кінцеві групи з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимих підгруп. До цього класу груп ставляться, зокрема, і кінцеві групи із примарними індексами несверхразрешимих груп. Доводиться
Теорема 3.1. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимих підгруп ізоморфна або , де — нильпотентна група, а й — прості числа.
Наслідок 3.2. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешими, ізоморфна або , де — -група, або , де — -група.
Відзначимо, що кінцеві групи з нильпотентними підгрупами непримарного індексу вивчені С. С. Левищенко [13]. Серед них немає нерозв'язних груп.
Розглядаються тільки кінцеві групи. Всі позначення, що зустрічаються, і визначення стандартні, їх можна знайти в [2,14].
Нам знадобиться наступна
Лема 3.3. Нехай у кінцевій групі кожна несверхразрешима група володіє нильпотентним додаванням. Тоді в будь-якій підгрупі й у будь-який фактор-групі групи кожна несверхразрешима підгрупа володіє нильпотентним додаванням.
Proof. Нехай — довільна підгрупа кінцевої групи , і нехай — несверхразрешимая підгрупа з . У групі існує нильпотентное додавання до підгрупи . Тому , а . Тепер — нильпотентна, і до можна взяти нильпотентне додавання в підгрупі .
Нехай — нормальна в підгрупа, і — несверхразрешимая в підгрупа. Тоді несверхразрешима, і існує нильпотентна підгрупа така, що . Тепер нильпотентна й , тобто до підгрупи можна знайти в нильпотентное додавання.
Доведемо теорему.
Приклад. Шлях — кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до підгруп. Тому що не -нильпотентна, те в існує -замкнута підгрупа Шмидта , де — нормальна в силовська 2-підгрупа, підгрупа — циклічна [14,c. 434]. Оскільки не є сверхразрешимої, те існує нильпотентна підгрупа така, що . З урахуванням парності порядку з теореми 2.8 [15] містимо, що фактор-група ізоморфна або , де — деяке просте число, а — найбільша розв'язна нормальна в підгрупа. Крім того,
а
Тут і — 'елементарна абелева й циклічна підгрупи порядку . З теореми 2.10 [15] одержуємо, що — простої число.
У випадку, коли й — прості числа в простій групі продолжение
--PAGE_BREAK--, кожна несверхразрешима підгрупа ізоморфна групі . Остання підгрупа має в циклічне доповнення . Тому група у випадку, коли й — прості числа, задовольняє умові теореми.
Перевіримо, що група не задовольняють умові теореми. Нехай
Відомо, що — нормальна в підгрупа, а — циклічна група порядку . Для силовської -підгрупи з маємо
Тепер
Оскільки й — прості числа, то в існує підгрупа порядку . Для підгрупа -замкнута, і зовнішній автоморфізм не централізує силовскую -підгрупу, тому несверхразрешима. Тому що в немає нильпотентною підгрупи порядку , то не задовольняє умові теореми при . Якщо , то в для підгрупи Шмидта, ізоморфній знакозмінній групі ступеня , повинна найтися нильпотентна підгрупа порядку, що ділиться на . Але такий нильпотентною підгрупи в немає.
Отже, якщо , те ізоморфна , де й — прості числа.
Нехай тепер . Припустимо, що не є мінімальною нормальною в підгрупою, і нехай — мінімальна нормальна в підгрупа, що втримується в. По індукції, , де — нильпотентна, а ізоморфна або . Тому що , те — власна в підгрупа, і для її прообразу в групі по індукції одержуємо, що , де або . Підгрупа характеристична в , а нормальна в , тому нормально в. Тому що
те
Оскільки для несверхразрешимої підгрупи з існує нильпотентна підгрупа така, що , те
буде нильпотентною підгрупою.
Тепер розглянемо випадок, коли — мінімальна нормальна в підгрупа. Припустимо, що комутант — власна в підгрупа. Тому що
те
З мінімальності одержуємо, що
Тому що
де й — прості числа, то в цьому випадку теорема доведена.
Отже, нехай . Якщо — власна підгрупа у своєму централізаторі, то із простоти треба, що втримується в центрі . Тепер група ізоморфна або по теоремі VI.25.7 [14].
Нехай само централізована. Оскільки розв'язно, те — -група для деякого простого . Допусти, що існує простої , що ділить порядок , і нехай — силовська -підгрупа з . Якщо підгрупа сверхразрешима, то нильпотентна й не само централізована. Якщо не сверхразрешима, то за умовою теореми існує нильпотентна підгрупа така, що . Але тепер
буде розв'язної як добуток двох нильпотентних підгруп, протиріччя. Отже, — найбільше просте число, що ділить порядок .
Допустимо, що не втримується в. Тоді — власна в підгрупа й . Тому що , і — -група, те — група непарного порядку. Підгрупа має порядок і — просте число. Тому й тепер , а фактор-група
буде розв'язної як добуток двох нильпотентних підгруп. Протиріччя.
Отже, утримується в і із й нильпотентності одержуємо, що — -група для найбільшого простого , що ділить порядок . З теореми 2.1 [15] одержуємо, що , а . Але тепер — підгрупа непримарного індексу. Тому вона сверхразрешима, а тому що її порядок дорівнює , те нильпотентна, і знову не само централізована. Протиріччя.
Теорема доведена повністю.
Розглянемо доказ наслідку.
Proof. Нехай — кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешимі. Якщо — несверхразрешима в підгрупа, те, де — просте число. Тепер для силовської -підгрупи з , тобто група задовольняє умові теореми. Тому
або
де — нильпотентна група. Якщо
те в є несверхразрешима підгрупа індексу . Тому що цей індекс повинен бути примарним, те або , тому або , а — або -група, або -група. Якщо
те в є несверхразрешимая підгрупа Шмидта порядку , а її індекс дорівнює й повинен бути примарним, тобто повинна бути -групою. Наслідок доведений.
4.Використовувані результати
Лема 4.1. Нехай . Тоді:
(1) якщо , , те ;
(2) якщо , , те .
Наслідок 4.2. Якщо нильпотентна, те нильпотентна.
Теорема 4.3. Нехай , і . Якщо нильпотентна, то нильпотентна.
Теорема 4.4. (1) Центр неодиничної нильпотентною групи відмінний від одиниці й .
(2) У нильпотентною групі кожна власна підгрупа відмінна від свого нормализатора.
(3) У нильпотентною групі перетинання неодиничної нормальної підгрупи із центром групи відмінно від одиниці й .
Лема 4.5. Нехай — нормальна підгрупа групи . Тоді:
(1) якщо , те й ;
(2) якщо , те й ;
(3) ;
(4) .
Теорема 4.6. Група нильпотентна тоді й тільки тоді, коли її комутант утримується в підгрупі Фратіні.
Теорема 4.7. Нехай . Тоді:
(1) ;
(2) ;
(3) якщо , те ;
(4) якщо й продолжение
--PAGE_BREAK--