МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ДОНБАСЬКИЙ ГІРНІЧО-МЕТАЛУРГІЙНИЙ ІНСТИТУТ
Т.М. Сукач
Вивчення диференціальногочислення функцій однієї табагатьох змінних в умовахмодульно-рейтингової системи
Навчальний посібник
Алчевськ, 2004
Передмова
Вища математика, як навчальна дисципліна, є однією з осноних при підготовці висококваліфікованих кадрів у вищих технічних та інших навчальних закладах. Диференціальне числення є основним розділом курсу вищої математики в цілому.
Без засвоєння основних положень, на яких базується диференціальне числення, не можна на належному якісному рівні застосовувати теорію та методи вищої математики при розв’язанні ряду задач з різних галузей знань (при вивченні фізики, електротехніки, інших інженерних та економічних спеціальностей).
Матеріал посібника поділено на 4 глави:
1) Функція, границя, неперервність; 2) Диференціальне чис-лення функції однієї змінної; 3) Дослідження функції за допомогою похідних; 4) Диференціальне числення функцій багатьох змінних.
Кожна глава складається з параграфів, яки містять короткі теоретичні відомості та приклади розв’язання типових вправ. Для самостійної роботи студентів наводиться комплекс типових вправ з відповідями. Наприкінці кожної глави запропоновано зразки контрольних робот з теми, питання до колоквіуму, завдання семестрової роботи студентів. Наведена інструкція що до модульно-рейтингового контролю знань студентів при вивченні даного розділу вищої математики.
Зміст посібника, а також рівень навчальних вимог до знань студентів відповідає програмі курсу “Вища математика для інженерно-технічних, економічних спеціальностей вищих навчальних закладів, студентів технічних коледжів”.
1. Функція, границя, неперервність
1.1 Функція. Область визначення функції
Нехай маємо множину Х дійсних чисел. Якщо кожному числу /> за певним правилом або законом поставлено у відповідність одне дійсне число у, з множини />, то говорять, що на множені Х визначено функцію і записують />.
При цьому множина Х називається областю визначення або областю існування функції; х називають аргументом або незалежною змінною; у називають залежною змінною або функцією; /> називають значенням функції в точці х; /> — множина, до якої належить значення функції.
Множину всіх значень функції, яких вона набуває при />, називають областю значень функції.
Приклад 1. Знайти область визначення функції
/>.
Розв’язання. Функція у існує, якщо підкореневий вираз невід’ємний. Тому область визначення знаходиться з нерівності:
/>
/>
/>/>
Таким чином, областю визначення даної функції є відрізок />.
Приклад 2. Знайти область визначення функції
/>.
Розв’язання. Функція визначена, якщо />.
Таким чином, область визначення даної функції є сукупність інтервалів:
/>та />.
Приклад 3. Знайти область визначення функції
/>.
Розв’язання. Функція визначена, якщо
/>
Тобто
/>
/>.
1.2 Парність, непарність функцій. Періодичність функцій
Нехай функцію /> задано на проміжку />, який є симетричним відносно початку координат. Це може бути або нескінченний інтервал />, або скінчений інтервал />, або відрізок />, де а — будь-яке дійсне число.
Функція />, визначена на проміжку />, називається парною, якщо для будь-якого /> виконується рівність
/>
Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.
Функція />, визначена на проміжку />, називається непарною, якщо для будь-якого /> виконується рівність
/>
Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.
Приклад 1. Нехай />, де />. Згідно з відомою властивістю даної функції,
/>
Отже, /> є непарною функцією.
Приклад 2. Нехай />, де />. Відомо, що
/>
Отже, /> є парною функцією.
Приклад 3. Дослідити на парність чи непарність функцію
/>
Знайдемо область визначення функції:
/>
Знайдемо />:
/>
Одержали, що />, тобто /> — непарна.
Функція />, визначена на всій числовій осі, називається періодичною, якщо існує число /> таке, що для всіх /> виконується тотожність--PAGE_BREAK--
/>
Число Т при цьому називається періодом функції />, а саму функцію називають Т-переодічною.
Якщо число Т є періодом функції />, то й число –Т є також періодом />:
/>
Якщо />— періодична функція з періодом Т, то функція />, де />, є періодичною з періодом />.
Зокрема, якщо розглянути функцію />, де /> — сталі, то періодом цієї функції є число />.
Зауважимо, що функцію /> у фізиці називають гармонікою, число /> називають амплітудою, /> — циклічною частотою, а /> — початковою фазою гармоніки.
Приклад 4. Знайти період функції />.
Розв’язання. Функція /> має період />, тому функція /> має період />.
Приклад 5. Знайти період функції />.
Розв’язання. Функція /> має період />, тому /> має період />.
Приклад 6. Знайти період функції />.
Розв’язання. Функція /> має період />.
Тренувальні вправи
Дослідити на парність чи непарність функції:
1. />[Парна]
2. />[Непарна]
3. />[Парна] 4. />[Парна]
5. />[Ні парна, ні непарна]
1.3 Основні елементарні функції та їх графіки
1. Лінійна функція: />.
Графік функції — пряма, досить знати дві точки, бажано точки перетину з осями координат:
/>; />.
2. Степенева функція:
/>.
Якщо />, функція визначена на всій числовій осі, тобто />.
Якщо /> — функція парна, то приймає значення />. Ії графіками будуть параболи відповідно другого, четвертого і т.д. порядків.
Якщо />— графіки параболи третього, п’ятого і т.д. порядків.
3. Показникова функція:
/>.
Область її визначення />, область значень />. Якщо />, функція , якщо />, функція ¯.
Причому, для довільного />, тобто графік довільної експоненти проходить через точку />.
4. Логарифмічна функція:
/>/>.
/>Це функція обернена до показникової, />. Тому графік довільної функції проходить через точку />.
5. Тригонометричні функції:
/>.
Функції /> та /> визначені для всіх /> та мають множину значень />.
Функція /> визначена всюди, крім />, />, та монотонно зростає в кожному інтервалі області визначення.
Функція /> всюди визначена, крім />, та монотонно спадає в кожному інтервалі області визначення.
Множина значень /> та /> — проміжок />.
Функції />, />, /> — непарні, їх графіки симетричні відносно початку координат, /> — парна, її графік симетричний відносно />.
Функції періодичні. Найменший період синуса та косинуса />, /> та /> — />.
6. Обернені тригонометричні функції
Тригонометричні функції в інтервалі монотонності мають обернені:
/> — обернена до />на відрізку />; продолжение
--PAGE_BREAK--
/> — обернена до />на відрізку />;
/> — обернена до />на відрізку />;
/> — обернена до />на відрізку />.
/>/>/>/>/>
/>/>/>
/>/>/>/>/>
/>/>/>/>/>
/>
/>/>
/>
/>/>/>/>/>/>/>/>
/>/>/>
/>/>
/>/>/>
/>
/>/>
7. Перетворення графіків функцій
При побудові графіків функцій часто використовують дефор-мації та паралельне перенесення вздовж осі /> та />.
Треба знати, що:
1) графік функції /> — дзеркальне відображення графіка />відносно осі />;
2) графік функції /> — дзеркальне відображення графіка />відносно осі />;
3) графік функції />, де /> — паралельне перенесення графіка />/> на а одиниць масштабу вздовж осі />;
4) графік функції/>, де /> — паралельне перенесення графіка />/> на а одиниць масштабу вздовж осі />;
5) графік функції /> — стиснення в /> разів />, або розтягнення в /> разів /> графіка />вздовж осі />;
6) графік функції /> — розтягнення в /> разів />, або стиснення в /> разів/>, графіка />вздовж осі />;
7) графік функції /> — дзеркальне відображення від осі /> від’ємної частини (під віссю />) графіка функції/>, додатна частина графіка залишається на місці.
8) графік функції /> — дзеркальне відображення від осі /> правої частини (з додатної півплощини) графіка /> в ліву півплощину, додатна частина графіка залишається на місці.
Аналогічно визначаються нескінченно малі й нескінченно великі величини при />.
Нескінченно великі величини знаходяться в тісному зв’язку з нескінченно малими: якщо при даному граничному переході функція /> є нескінченно великою, то функція /> при цьому самому граничному переході буде нескінченно малою й навпаки.
Властивості нескінченно малих
1. Функцію /> можна подати у вигляді />, де />– стале число; /> — нескінченно мала при />, тоді і тільки тоді, коли />.
2. Якщо />, то />.
3. Алгебраїчна сума довільного скінченого числа нескінченно малих функцій є функція нескінченно мала (у самому граничному переході).
4. Добуток нескінченно малої на обмежену функцію є величина нескінченно мала.
5. Добуток скінченого числа нескінченно малих є величина нескінченно мала.
6. Добуток нескінченно малої на постійну є величина нескінченно мала.
7. Частка /> від ділення нескінченно малої при /> на функцію, границя якої відмінна від нуля, тобто />, є величина нескінченно мала.
При обчисленні границь необхідно знати такі теореми:
/>
/>
Якщо /> і /> існують, то
/>
/>
/>
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
4. Для всіх основних елементарних функцій у довільній точці їх визначення справедлива рівність
/>
5. Якщо /> то />
якщо /> то />
6. Якщо /> то />
7. Якщо />/>
/>то />
8. Якщо /> при />, то />
9. Якщо /> при />, то />
10. Якщо змінна величина /> зростаюча при /> і обмежена при />, то вона має границю />.
Порівняння двох нескінченно малих функцій одного й того самого аргументу х при /> характеризується наступними означеннями й теоремами.
Нескінченно малі функції /> і /> називаються нескінченно малими одного порядку при />, якщо /> дорівнює кінцевому числу />.
Якщо />, то /> називається нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з />.
Якщо />, то /> і /> називаються еквівалентними нескінченно малими, й пишуть />.
Якщо /> то /> називається нескін-ченно малою порядку Р у порівнянні з нескінченно малою />.
Теореми про еквівалентні нескінчено малі
1. Границя відношення двох нескінченно малих функцій не зміниться, якщо ці нескінченно малі замінити величинами, їм екві-валентними.
2. Щоб дві нескінченно малі функції були еквівалентними, необхідно й достатньо, щоб їх різниця була нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з кожною з них.
Якщо /> при />, то справедливі такі еквівалентності:
1. />2. />
3. />4. />
5. />6. />
7. />8. />
При обчисленні границь найчастіше використовують деякі важливі формули:
/> — перша важлива границя;
/>; /> — друга важлива границя,
де е — ірраціональне число, е = 2,718281...
Наслідки з важливих границь
1. /> 2. />
3. /> 4. />
5. /> 6. />
Розкриття невизначеностей
Обчислення границь зводиться до підстановки в даний вираз граничного значення аргументу. Якщо при цьому одержуємо неви-значені вирази вигляду /> то знаходження границь у цих випадках називається розкриттям невизначеності.
Для розкриття невизначеності, перш ніж перейти до границі, необхідно перетворити даний вираз.
Невизначеність виду />
Щоб розкрити невизначеність виду />, треба чисельник та знаменник дробу поділити почленно на найвищий степінь змінної.
Приклад 1. Знайти границю:
а) />.
б) />.
в) />.
г) />
Невизначеність виду />
Якщо чисельник та знаменник дробу поліном, що перетворюється в нуль при />, для розкриття невизначеності чисельник та знаменник треба поділити на />.
Приклад 3. Обчислити:
а) />.
б) />
/>
Приклад 4.Знайти границі:
/>
Розв’язання.Безпосередня підстановка числа />під знак границі приводить до невизначеності 0/0. Перетворимо вираз, розклавши чисельник і знаменник на множники і скоротивши на />: продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
Невизначеність виду />
Невизначеність виду />перетвореннями приводиться до виду />та />.
Приклад 5.
а) />
/>
б) />
/>
Невизначеність виду />
Невизначеність виду />розкривається за допомогою другої стандартної границі.
Приклад 6.
а) />
/>
/>
/>
б) />
/>
в) />
/>
Приклади обчислення границь за допомогою еквівалентних нескінченно малих:
а) />.
б) />.
/>. />
1.5 Неперервність функції. Дослідження функції на неперервність
Функція/>називається неперервною в точці />, якщо існує границя функції в цій точці і вона дорівнює значенню функції в точці />:
/>
Функція /> в точці /> буде неперервною тоді і тільки тоді, коли виконуються умови:
функція /> визначена в околі точки />;
існує границя /> функції в точці />;
границя функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
/>(1)
Разом усі ці умови є необхідними й достатніми для того, щоб функція /> була неперервною в точці />.
На практиці при дослідженні функцій на неперервність користуються ознаками, які безпосередньо випливають із співвідношення (1), а саме:
для того, щоб функція /> була неперервною в точці />, треба щоб:
/> була визначеною в околі точки />;
існувала лівостороння границя функції в точці, тобто існувало число />;
існувала правостороння границя функції – число
/>;
лівостороння й правостороння границя були рівні
/>=/>;
правостороння й лівостороння границя в точці /> дорівнювали значенню функції в цій точці, тобто
/>=/>=/>
Якщо хоч одна с цих умов не виконується в точці, яка є внутрішньою точкою проміжку, в якому визначена функція, то функція в цій точці називається розривною.
Якщо функція /> визначена на відрізку />, то в точках а і b можна ставити питання тільки про односторонню неперервність, а саме, в точці а — про неперервність справа, а в точці b — зліва. Тому природно постає питання про введення таких понять, як неперервність функції в точці зліва і справа.
Функція /> називається неперервною в точці />зліва, якщо виконуються умови:
/>визначена в точці /> (існує число />);
в точці /> існує лівостороння границя функції;
лівостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці />.
Отже, якщо /> неперервна в точці /> зліва, то виконується співвідношення
/>=/>,
де /> — лівостороння границя функції в точці />.
Функція /> називається неперервною в точці />справа, якщо виконуються умови:
/>визначена в точці /> (існує число />); продолжение
--PAGE_BREAK--
в точці /> існує правостороння границя функції;
правостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці />.
Отже, для неперервної функції справа повинно виконуватися співвідношення
/>=/>,
де /> — правостороння границя функції /> в точці />.
Точкою розриву функції /> називають точку /> в околі якої функція визначена, але в самій точці не задовольняє умові неперервності, що />.
1. Точка /> є точкою усувного розриву, якщо існує />, проте /> не визначена в точці />, або />. Даний розрив можна усунути, для цього до визначають певним чином функцію в точці />;
2. Точка /> є точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва /> та права /> границі функції, але />, різницю
/>
називають стрибком функції /> в точці />
3. Точка /> є точкою розриву другого роду функції />, якщо в точці /> не існує принаймні одна з односторонніх границь функції.
Приклад 1. Дослідити точки розриву функції />.
Розв’язання. В точці /> функція не визначена. Знайдемо при /> границі даної функції зліва та справа:
/>
/>
Оскільки односторонні границі скінченні, але
/>,
то /> є точкою розриву першого роду.
Стрибок в даному випадку в точці /> дорівнює 2.
Приклад 2. Дослідити на неперервність функцію />
/>Розв’язання. Дана функція визначена у всіх точках за винятком х = 0. Знайдемо односторонні границі функції в цій точці:
/>
Рівність /> означає, що х = 0 є точкою усувного розриву.
Приклад 3. Визначити характер розриву функції
/>
/>Розв’язання. Функція в точці /> не визначена.
При /> маємо />, при />/>. Отже, />, />.
Тому точка /> є точкою розриву другого роду.
2. Диференціальне числення функції однієї змінної
2.1 Похідна функції в точці />
Похідною функції /> в точці х називається границя (як що вона існує) відношення приросту функції /> до приросту аргументу />, коли приріст аргументу прямує до нуля, тобто:
/>. (2.1)
Функція, яка має скінчену похідну в точці х, називається диференційовною вцій точці. Приріст диференційовної в точці х функції має вигляд
/>, (2.2)
де /> – нескінченно мала функція при />, тобто диференційовна функція неперервна.
Якщо />, тоді функція /> в точці х має нескінченну похідну.
Основні правила диференціювання
/>(1)
/>(2)
/>(3)
/>(4)
/>(5)
Похідні основних елементарних функцій
/>(6)
/>(7)
/>(8)
/>(9)
/>(10)
/>(11)
/>(12)
/>(13) продолжение
--PAGE_BREAK--
/>(14)
/>(15)
/>(16)
/>(17)
/>(18)
/>(19)
/>(20)
/>(21)
Приклад 1. Знайти похідну функції />.
Розв’язання. Застосовуючи основні правила диференцію-вання, маємо:
/>
/>
Приклад 2. Знайти похідну функції />.
Розв’язання.
/>
/>
Приклад 3. Знайти похідну функції />.
Розв’язання. Використовуючи формули, маємо:
/>
Приклад 4. Знайти похідну функції />.
Розв’язання.
/>.
Приклад 5. Знайти похідну функції />.
Розв’язання.
/>.
Приклад 6. Знайти похідну функції />.
Розв’язання.
/>
/>.
Приклад 7. Знайти похідну функції />.
Розв’язання.
/>
/>.
2.2 Похідна складеної та оберненої функції
Якщо функція /> має похідну в точці х, а функція /> – має похідну в точці />, тоді складена функція /> диференційовна в точці х, причому/>
/>або />
Наведене правило обчислення похідної складеної функції застосовується і для композиції довільного скінченого числа функцій.
Наприклад, для складеної функції виду />, де />, />, /> – диференційовні у відповідних точках функції, має місце рівність
/>.
Якщо неперервна та строго монотонна в деякому околі точки х функція /> має похідну /> в цій точці, тоді обернена функція /> в точці у має похідну, причому
/>.
Приклад 1. Знайти похідну функції />.
Розв’язання. />
Приклад 2. Знайти похідну функції />.
Розв’язання. Використовуючи правило диференціювання добутку двох функцій, знаходимо:
/>
/>
Приклад 3. Обчислити похідну функції />.
Розв’язання. За правилом диференціювання частки маємо:
/>
Знайдемо похідну функції />, розглядаючи ії як композицію двох диференційованих функцій />та />. За правилом обчислення похідної функції дістанемо:
/>, тобто />.
Таким чином,
/>
Приклад 4. Знайти похідну функції, оберненої до
/>.
Розв’язання. Дана функція скрізь неперервна та строго монотонна, її похідна />, не перетворюється в нуль в жодній точці, тому за правилом диференціювання оберненої функції маємо:
/>.
Приклад 5. Знайти похідну функції />.
Розв’язання.
/>
/>
/>
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
2.3 Диференціювання показниково-степеневої функції
Похідна показниково-степеневої функції />, /> знаходиться за формулою
/>
Похідні показникових та логарифмічних функцій
/>(1)
/>(2)
/>(3)
/>(4)
Якщо /> – диференційовна функція від х, формули мають вигляд:
/>(5)
/>(6)
/>(7)
/>(8)
Приклад 1. Знайти похідну функції />.
Розв’язання. Застосовуючи наведені формули, маємо:
/>
Приклад 2. Знайти похідну функції />.
Розв’язання. Застосовуючи формули, знаходимо:
/>
Приклад 3. Знайти похідну функції />.
Розв’язання. За наведеними формулами, маємо:
/>
2.4 Диференціювання неявної функції та функції, заданої параметрично
Щоб продиференціювати функцію, яка задається виразом />, необхідно цей вираз продиференціювати по х, вважаючи у функцією від х, і з одержаної рівності знайти />.
Похідна функції
/>
яка задана параметрично, обчислюється за формулою:
/>
за умови, що /> диференційовні в точці /> функції, причому />.
Приклад 1. Знайти похідну функції, яка задана неявно рівнянням />.
Розв’язання. Диференціюючи, дістанемо:
/>
відкіля
/>
Приклад 2. Знайти похідну функції, яка задана неявно
/>.
Розв’язання. Диференціюючи, маємо
/>
/>
З цього рівняння знаходимо />:
/>
Приклад 3. Знайти />, якщо />.
Розв’язання.
/>/>
/>
Приклад 4. Знайти в точці /> похідну /> функції, яка задана параметрично:
/>
Розв’язання. Застосовуючи формулу обчислення похідної функції, яка задана параметрично, маємо:
/>
/>
Таким чином,
/>/>/>
Приклад 5. Знайти />, якщо />.
Розв’язання.
/>
/>
Тренувальні вправи
Знайти похідні функцій, які задані неявно:
1. />. />
2. />. />
3. />. />
4. />. />
5. />. />
6. />. />
7. />. /> продолжение
--PAGE_BREAK--
8. />. />
9. Знайти /> в точці М (1, 1), якщо />. />
10. Знайти/>при/>, якщо />. />
11. />. />
12. />. />
13. />. />
14. />. />
15. />. />
16. />. />
17. />. />
18. />. />
19*. />. />
20. />. />
Знайти похідну функції, яка задана параметрично:
21. />/>
22. />/>
23. />/>
24. />/>
25. />/>/>
26. />/>
27. />/>
28. />/>
29. />/>
30. />/>
31. />/>
32. />/>
33. />/>
34. />/>
35. />/>
36. />/>
37*. />/>
/>
2.5 Логарифмічне диференціювання
Якщо маємо громіздкі вирази, що містять добутки, частки, степені, то перш, ніж знаходити похідну, вираз рекомендується прологарифмувати.
Приклад 1. Знайти похідну функції />.
Розв’язання. Прологарифмуємо функцію:
/>
Знайдемо похідну від лівої та правої частин:
/>
звідки
/>
Такий же спосіб використається для знаходження похідної так званої степенево-показникової функції
/>.
Приклад 2. Продиференціювати функцію:
/>
Розв’язання. Цю функцію можна диференціювати як частку двох функцій, але це приведе до складних обчислень. Тому краще спочатку прологарифмувати функцію, а потім продиференціювати.
Дійсно,
/>
/>
Диференціюючи (у розглядаємо як складену функцію), маємо:
/>
Тоді
/>/>
2.6 Геометричний та фізичний зміст похідної
Похідна, особливо її геометричний та фізичний зміст, широко застосовуються при розв’язанні цілого ряду задач в різних галузях діяльності.
Геометричний зміст похідної продолжение
--PAGE_BREAK--
/>Похідна функції /> для кожного значення х дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка даної функції у відповідній точці, тобто
/>,
де /> – кут, який утворює дотична до графіка функції в точці /> з додатним напрямком осі />.
На основі геометричного змісту похідної рівняння дотичної до графіка функції /> записується таким чином:
/>
Якщо неперервна функція в точці /> має нескінченну похідну, тоді дотичною до графіка функції в точці /> буде пряма />.
Для нормалі, тобто прямої, що проходить через точку дотику />, перпендикулярно до дотичної (пряма />), рівняння має вигляд />
У випадку /> нормаллю буде пряма />; якщо функція в точці /> має нескінченну похідну, тоді нормаллю до кривої буде пряма />.
У деяких задачах потрібно знайти кут /> між кривими /> та /> в їх точці перетинання.
Кутом /> між кривими вважається величина кута /> між дотичними до даних кривих, в їх точці перетинання; /> обчислюється за формулою:
/>
В задачах на застосування геометричного змісту похідної часто зустрічаються також такі поняття, як відрізок дотичної, відрізок нормалі, піддотична, піднормаль, довжини яких визначають за формулами:
а) відрізок дотичної />:
/>
б) відрізок нормалі />:
/>
в) піддотична ТК:
/>
г) піднормаль />:
/>
Приклад 1. Знайти, під яким кутом функція /> перетинає вісь абсцис.
Розв’язання. Косинусоїда перетинає вісь абсцис в точках />. Якщо />, тоді
/>,
тобто кутовий коефіцієнт дотичної до косинусоїди дорівнює –1. Це означає, що в точках /> графік функції /> перетинає вісь абсцис під кутом />.
Якщо />, тоді />. Тому в цих точках косинусоїда перетинає вісь /> під кутом />.
Приклад 2. Записати рівняння дотичної до кривої
/>в точці />.
Розв’язання. Згідно з формулою рівняння дотичної до графіку функції, для того, щоб скласти рівняння дотичної, треба обчислити значення функції та похідної функції в точці />:
/>
Отже, отримаємо рівняння дотичної:
/>або />
Приклад 3. Знайти рівняння нормалі до кривої, яка задана параметрично: /> в точці />.
Розв’язання. Рівняння нормалі має вигляд:
/>
Значення /> та /> відповідають значенню />:
/>
Похідну знайдемо за формулою похідної, заданої параметрично:
/>.
В точці /> маємо />. Таким чином, рівняння нормалі записується у вигляді
/>, або />.
Приклад 4. Знайти рівняння дотичної й нормалі до кривої /> у точці />.
Розв’язання. Значення похідної даної функції в точці А:
/>
Рівняння дотичної:
/>
Рівняння нормалі:
/>
Фізичний зміст похідної
Під фізичним змістом похідної розуміють швидкість зміни функції в даній точці. Наприклад:
1) при русі тіла швидкість /> в даний момент часу /> є похідною від шляху />:/>
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
2) при обертовому русі твердого тіла навколо осі /> кутова швидкість /> в даний момент часу /> є похідною від кута повороту />:
/>
3) при охолодженні тіла швидкість охолодження в момент часу /> є похідною від температури
/>
4) теплоємність С для даної температури /> є похідною від кількості тепла />:
/>
5) при нагріванні стержня коефіцієнт лінійного розширення /> при даному значенні температури /> є похідною від довжини />:
/>
Приклад 1. Знайти швидкість точки, рух якої описується рівнянням />, наприкінці третьої та десятої секунд.
Розв’язання. Швидкість визначається за формулою
/>
Коли />, маємо />(м/с).
Коли />, маємо />(м/с).
Приклад 2. Знайти швидкість точки, яка рухається по колу радіуса />, оббігаючи коло за час />.
Розв’язання. Нехай точка починає рухатися з положення А проти годинникової стрілки. Нехай за час /> вона дійшла до положення />.
Кут між її радіусом-вектором та віссю /> дорівнює в цей час />, тому що точка проходить кут /> за час Т, кут /> – за одиницю часу і кут /> – за час />./>
Отже, в будь-який момент /> положення точки /> можна визначити через її дві координати:
/>
Компоненти швидкості знаходимо з таких обчислень:
/>
Тоді швидкість точки буде:
/>
2.7 Диференціал функції
Диференціал функції, як і похідна, застосовується при розв’язанні ряду практичних задач, зокрема в наближених обчисленнях.
Диференціалом функції /> в точці х називається головна (лінійна відносно />) частина приросту /> диференційовної в точці х функції.
Диференціал дорівнює добутку похідної функції в точці х на приріст незалежної змінної, тобто
/>
Зокрема, диференціалом незалежної змінної є ії приріст:
/>
Тоді формула диференціала має вигляд
/>
відкіля
/>
Основні властивості диференціала
Для довільних диференційованих функцій /> та /> мають місце такі рівності:
1. />;
2. />— довільні сталі/>;
3. />;
4. />;
5. />.
Приклад 1. Знайти диференціал функції />.
Розв’язання. За формулою
/>
Приклад 2. Знайти диференціал функції />.
Розв’язання. За формулою
/>
Застосування диференціала до наближених обчислень
При малих /> справедлива формула />, тобто
/>.
Приклад 1. Обчислити наближено за допомогою диференці-ала значення функції /> в точці />.
Розв’язання. Найближча к 1,97 точка, в якої легко обчислити значення /> и />, — це точка />.
/>
/>
/>, />. продолжение
--PAGE_BREAK--
За наведеною формулоюмаємо
/>
Приклад 2. Знайти, наскільки зміниться довжина ребра куба, якщо об’єм його зменшиться з 64 до 63,98 м3.
Розв’язання. Якщо х – об’єм куба, а у – його ребро, тоді
/>.
За умовою задачі />, />. Приріст /> сторони куба обчислюємо наближено:
/>,
тобто ребро куба зменшиться на 0,0004166 м.
/>
2.8 Похідні та диференціали вищих порядків
Похідні вищих порядків
Похідною другого порядку (другою похідною функції) /> у точці х називається похідна від її першої похідної /> при умові, що /> диференційовна в точці х. Вона позначається такими символами:
/>, />, />, />, />.
Аналогічно визначається похідна п-го порядку функції />, яка має (п-1) похідну в точці х:
/>
Похідну, для якої існує п-а похідна в точці х, називають п разів диференційовною в цій точці.
Основні формули обчислення похідних вищих порядків
/>
/>
/>
/>
/>
зокрема,
/>
/>
/>
Основні правила обчислення похідних
Якщо функції /> та /> п разів диференційовні, тоді мають місце такі рівності:
1) />
2) />(формула Лейбніца)
де />
Обчислення похідних вищих порядків функцій, заданих параметрично
Якщо функція задана параметрично рівняннями />, />, тоді похідні /> обчислюються за формулами:
/>і т.д.
Для похідної другого порядку має місце формула:
/>
Диференціали вищих порядків
Диференціалом другого порядку двічі диференційовної функції />називають диференціал від диференціала першого порядку функції />, тобто />. У випадку, коли х– незалежна змінна, диференціали обчислюються за формулами:
/>
/>
/>
Якщо ж х— деяка функція від t, />, тоді
/>
/>і т.д.
Якщо для функцій />та />, х— незалежна змінна, існують диференціали />та />, тоді
/>(/>— сталі),
/>
Приклад 1. Знайти похідну другого порядку функції, заданої параметрично />
Розв’язання.
/>
/>
Приклад 2. Знайти похідну другого порядку функції
/>
Розв’язання. Спочатку знаходиться перша похідна від складної функції:
/>
/>
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
Тоді друга похідна дорівнює:
/>
Приклад 3. Знайти диференціал другого порядку функції /> в точці />.
Розв’язання. Згідно з формулою для обчислення диференці-алу другого порядку /> обчислюється />:
/>
/>
Тоді />
Отже, />
Приклад 4. Знайти /> у випадку, коли функція задана неявно рівнянням />
Розв’язання. Диференціюємо ліву та праву частини рівняння, маючи на увазі, що у є функція від х:/>
Звідси /> тобто />, тому
/>
Підставляючи замість /> відповідне значення, знаходимо:
/>
Приклад 5. Знайти /> функції, яка задана параметрично рівняннями: />
Розв’язання. За правилами диференціювання функції, заданої параметрично, маємо:
/>
/>
Приклад 6. Знайти />, якщо />.
Розв’язання. З попереднього прикладу маємо />, />. Тоді
/>
Приклад 7. Знайти />, якщо />.
Розв’язання.
/>
/>
3. Дослідження функції за допомогою похідних
3.1 Монотонність функції. Екстремум функції
Припустимо, щофункція /> визначена на деякому проміжку (а; b), а /> є внутрішньою точкою цього проміжку.
Функція /> називається зростаючою в точці />, якщо існує окіл /> точки />, який міститься в проміжку (а; b) і такий, що />, для всіх /> і /> для всіх />.
Якщо функція />диференційовна на інтервалі (а; b)і зростає (спадає) на цьому інтервалі, то її похідна на інтервалі (а; b)невід’ємна, тобто />.
Якщо функція />диференційована на інтервалі (а; b)і ії похідна />для />, то ця функція зростає (спадає) на інтервалі (а; b).
Функція /> називається спадною в точці />, якщо існує окіл /> точки />, який міститься в проміжку (а; b) і такий, що />, для будь якого /> і /> для будь якого />.
Якщо існує окіл /> точки />, який міститься в проміжку (а; b) і такий, що /> для всіх />, то точка /> називається точкою максимуму функції />, а саме число /> називається максимумом функції />в точці />.
Якщо існує окіл /> точки />, який міститься в проміжку (а; b) і такий, що /> для всіх />, то точка /> називається точкою мінімуму функції />, а саме число /> називається мінімумом функції />в точці />.
Точки максимуму й мінімуму функції називають ще екстремальними точками, а максимум і мінімум називають екстремумом функції.
/>
Приклад 1. Довести, що функція /> є зростаючою в інтервалі />.
Розв’язання. Знаходимо похідну функції />:
/>
У кожній точці /> маємо />
Отже, за попередньою теоремою робимо висновок, що функція /> є зростаючою в кожній точці даного інтервалу.
Приклад 2. Довести, що показникова функція />, />, />, в інтервалі /> при/> є спадною, а при /> — зростаючою. продолжение
--PAGE_BREAK--
Розв’язання. Знаходимо похідну функції />:
/>
Внаслідок того, що /> при />, то
/>
Отже, при /> функція /> є спадною.
Якщо />, то /> і тому />. Таким чином, /> у цьому випадку є зростаючою.
Приклад 3. Знайти інтервали зростання і спадання функції:
/>.
Розв’язання. Знаходимо похідну:
/>
При будь якому /> маємо />.
Отже, функція /> на всій числовій осі /> є зростаючою.
Приклад 4. Знайти інтервали зростання і спадання функції:
/>.
Розв’язання. Знаходимо похідну:
/>.
При />маємо />, при /> маємо />.
Отже, в інтервалі /> функція /> спадає, а в інтервалі /> зростає.
При цьому точка /> є точкою мінімуму заданої функції.
Приклад 5. Знайти інтервали зростання і спадання функції:
/>.
Розв’язання. Знайдемо похідну:
/>
Знайдемо точки, в яких />. Це є всі точки, де />. Розв’яжемо цю нерівність:
/>або />.
Отже, в інтервалі /> функція зростає. Тоді в інтервалах />, /> функція спадає.
Робимо висновок, що точка /> є точкою є точкою мінімуму, а точка /> — точкою максимуму заданої функції, при цьому мінімум функції дорівнює />, максимум />.
Необхідна ознака існування екстремуму
Якщо функція />у внутрішній точці />проміжку />має екстремум, то в цій точці похідна />, якщо вона існує, дорівнює нулю.
Внутрішня точка /> проміжку /> називається стаціонарною точкою функції />, якщо в цій точці />. Стаціонарні точки і точки, в яких похідна не існує, називаються критичними точками функції.
Перше правило дослідження функції на екстремум
Щоб дослідити функцію /> на екстремум, треба:
1) знайти стаціонарні точки заданої функції, для цього слід розв’язати рівняння />, з коренів цього рівняння вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми точками існування функції;
2) знайти точки, в яких похідна /> не існує (функція /> в ціх точках існує). Якщо критичних точок функція /> не має, то вона не має й екстремальних точок. Така функція не має екстремуму. Якщо критичні точки є, то їх треба досліджувати далі, для чого:
3) у кожній критичній точці перевірити зміну знака похідної першого порядку.
Якщо />при переході через критичну точку (зліва направо) змінює знак з + на –, то ця точка є точкою максимуму. Якщо />змінює знак з – на +, то ця критична точка є точкою мінімуму.
Якщо при переході через критичну точку знак похідної не змінюється, то розглядувана критична точка не є екстремальною точкою заданою функції.
Теорема. Нехай точка /> є стаціонарною для функції /> і нехай в цій точці існує похідна другого порядку />, яка не дорівнює нулю />. Тоді, якщо />, то /> є точкою мінімуму, якщо />, то /> є точкою максимуму функції />.
Друге правило дослідження функції на екстремум.
Щоб дослідити функцію /> на екстремум, треба:
1) знайти стаціонарні точки заданої функції;
2) знайти похідну другого порядку в стаціонарній точці. Якщо в стаціонарній точці />/>, то /> є екстремальною точкою для функції />, а саме, точкою мінімуму, якщо />, і точкою максимуму, якщо />.
Приклад 6. Дослідити функцію на екстремум:
/>. продолжение
--PAGE_BREAK--
Розв’язання. Знаходимо похідну:/>. Прирівнюємо похідну /> до нуля і розв’язуємо рівняння:
/>
Дістаємо стаціонарні точки: />
Знаходимо похідну другого порядку:
/>
Підставляємо у вираз для />значення /> і />:
/>
Отже, /> є точкою максимуму, /> — точкою мінімуму функції />, причому максимум і мінімум відповідно дорівнюють />.
Приклад 7. Дослідити функцію на екстремум:
/>
Розв’язання. Знаходимо похідну першого порядку:
/>.
Прирівнюємо похідну /> до нуля і розв’язуємо утворене рівняння:
/>.
Звідси знаходимо стаціонарні точки:
/>
Знайдемо похідну другого порядку:
/>
Тоді />
Отже, в точці /> функція має мінімум />, а в точці /> — максимум />.
3.2 Знаходження найбільшого і найменшого значеньфункції
Нехай на відрізку /> задано неперервну функцію />, тоді за теоремою Вейєрштрасса функція на даному відрізку досягає свого найбільшого і свого найменшого значень. Це може статися як всередині відрізка, так і на його кінцях.
Якщо функція набуває найбільшого значення всередині відрізка, то це найбільше значення є одночасно і один з максимумів (локальний максимум) заданої функції.
Теж саме можна сказати про найменше значення функції. Але може бути й так, що одне із значень функція набуває всередині відрізка, а друге на одному з кінців.
Звідси випливає спосіб знаходження точок, в яких функція набуває найбільшого та найменшого значення на відрізку />:
1) знайти критичні точки функції;
2) обчислити значення функції в критичних точках, які належать відрізку, і на кінцях відрізка;
3) найбільше (найменше) значення серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку />.
Приклад 1. Знайти найбільше і найменше значення функції /> на відрізку />.
Розв’язання. Знаходимо стаціонарні точки. Для цього знайдемо похідну:
/>
Прирівнюючи цю похідну до нуля і розв’язуючи рівняння
/>,
дістаємо стаціонарні точки: />. Точок, в яких функція не існує, немає.
Обчислюємо значення функції в точках />, а також на кінцях відрізка, тобто в точках />:
/>
Отже, найбільше значення />, найменше є />.
Приклад 2. Знайти найбільше та найменше значення функції /> на відрізку />.
Розв’язання. Функція є неперервною на відрізку />. Знаходимо екстремуми функції. Обчислюємо першу похідну:
/>.
Функція має дві критичні точки: />. Але /> не належить відрізку />. В точці /> функція має максимум, причому />. Обчислюємо значення функції /> на кінцях відрізка: />.
Таким чином, />.
Приклад 3. Знайти найбільше та найменше значення функції /> на відрізку />.
Розв’язання. Знаходимо критичні точки функції, розв’язавши рівняння />:
/>.
Коренями цього рівняння є числа: />. Проте ці точки не належать відрізку />, тому всередині цього відрізка критичних точок немає.
Обчислюємо значення функції на кінцях відрізка:
/>.
Отже, />.
3.3 Інтервали опуклості та угнутості кривої, точки перегину
Графік функції /> може бути опуклим або угнутим.
Графік функції /> є опуклим на проміжку />, якщо відповідна дуга кривої лежить нижче дотичної, проведеної в довільній точці />.
Графік функції /> є угнутим на проміжку />, якщо відповідна дуга кривої лежить вище дотичної, проведеної в довільній точці />.
Для дослідження графіка функції на опуклість застосовується друга похідна функції. Якщо друга похідна двічі диференційовної функції />від’ємна />в інтервалі />, тоді графік функції />опуклий на даному проміжку, якщо друга похідна додатна />, тоді графік функції угнутий на />.
Точка, при переході через яку крива змінює опуклість на угнутість або навпаки, називається точкою перегину.
Точками перегину функції /> можуть бути лише точки, в яких друга похідна /> дорівнює нулю або не існує. Такі точки називають критичними точками другого роду.