Курсова робота
Вивченняфункцій рядів Фур'є
Зміст
/>Введення
1. Визначеннякоефіцієнтів по методу Ейлера-Фур'є
2. Ортогональнісистеми функцій
3. ІнтегралДирихле. Принцип локалізації
4. Поданняфункцій рядом Фур'є
5. Випадокнеперіодичної функції
6. Випадокдовільного проміжку
7. Випадокпарних і непарних функцій
8. Прикладирозкладання функцій у ряд Фур'є
Списоквикористаної літератури
Введення
У науці й техніку часто доводитися мати справу зперіодичними явищами, тобто такими, які відтворюються в колишньому виді черезпевний проміжок часу Т, що називається періодом. Наприклад, рух парової машиниповторюється, після того як пройде повний цикл. Різні величини, пов'язані зперіодичним явищем, після закінчення періоду Т вертаються до своїх колишніхзначень і являють собою періодичні функції від часу t з періодом Т.
/>
Якщо не вважати постійної, то найпростішою періодичноюфункцією є синусоїдальна величина: />, де /> є частота, пов'язана з періодом Тспіввідношенням:
/>.
З подібних найпростіших періодичних функцій можутьбути складені й більше складні. Ясно, що тридцятимільйонні синусоїдальнівеличини повинні бути різних частот, інакше їхнє додавання не дає нічогонового, а знову приводить до синусоїдальної величини, причому тієї ж частоти.Якщо ж скласти величини виду:
/> (1)
які мають різні частоти
/>,
те вийде періодична функція, але вже що істотновідрізняється від величин, що входять у суму.
Розглянемо для приклада додавання трьох синусоїдальнихвеличин:
/>
/>
На малюнку ми бачимо, що графік функції отриманої врезультаті додавання трьох синусоїдальних величин (показаний суцільною лінією)уже значно відрізняється від синусоїди. Більшою мірою це має місце для суминескінченного ряду величин виду (1).
Тепер виникає зворотне питання: чи можна дануперіодичну функцію представити у вигляді суми кінцевої або нескінченної множинисинусоїдальних величин виду (1).
Як буде показано нижче, на це питання можна відповістизадовільно, але тільки лише використовуючи нескінченну послідовність величинвиду (1). Для функцій деякого класу має місце розкладання в «тригонометричнийряд»:
/>/> (2)
З геометричної точки зору це означає, що графікперіодичної функції виходить шляхом накладення ряду синусоїд. Якщо ж кожнусинусоїдальну величину витлумачити механічно що як представляє гармонійніколивальні явища, то можна сказати, що тут складне коливання розкладається наокремі гармонійні коливання. Виходячи із цього, окремі синусоїдальні величини,що входять до складу розкладання (2), називають гармонійними функції />або просто їїпершої, другий і т.д. гармоніками. Сам же процес розкладання періодичноїфункції на гармоніки зветься гармонійного аналізу.
Якщо за незалежну змінну вибрати
/>,
те вийти функція, що залежить від х, так самоперіодична, але вже зі стандартним періодом /> Розкладання (2) у цьому випадкиприйме вид:
/>/>
/> (3)
Тепер розгорнувши члени цього ряду по формулі синусасуми й позначивши
/>
ми прийдемо до остаточної форми тригонометричногорозкладання:
/>/>
/> (4)
У даному розкладанні функція від кута х, що має період/> розкладенапо косинусах і синусам кутів, кратних х.
Ми прийшли до розкладання функції в тригонометричнийряд, відправляючись від періодичних, коливальних явищ і пов'язаних з нимивеличин. Подібні розкладання часто виявляються корисними й при дослідженніфункцій, заданих у певному кінцевому проміжку й зовсім не породжених ніякимиколивальними явищами.
1. Визначення коефіцієнтів по методу Ейлера-Фур'є
У попередньому параграфі було сказано, що існує рядфункцій, які можна представити у вигляді нескінченного тригонометричного ряду.Для того, що б установити можливість розкладання деякої функції />, що має період />утригонометричний ряд виду:
/>
/> (4)
потрібно мати набір коефіцієнтів />
Прийом для знаходження цих коефіцієнтів у другійполовині XVIII століття був застосований Ейлером і незалежно від нього напочатку XIX Фур'є. Надалі будемоприпускати функцію />безперервної або у проміжку />. Допустимо, що розкладання (4) має місце. Інтегруємойого по членне від />до />; у результаті одержимо:
/>
Але, як легко бачити,
/> (5)
Тому всі члени під знаком суми будуть рівнятися нулю,і остаточно одержуємо
/> (6)
Для того щоб знайти значення коефіцієнта />, помножимообидві частини рівності (4) на /> й знову інтегруємо по членне втім же проміжку:
/>
У виді (5) />.
/>
якщо />, і, нарешті,
/> (9)
Таким чином, звертаються в нуль всі інтеграли підзнаком суми, крім інтеграла, при якому множником є саме коефіцієнт />. Звідсиодержуємо:
/> />
Аналогічно, множачи розкладання (4) на />й потім, інтегруючи по членне,визначимо коефіцієнт при синусі:
/> />
Формули, по яких обчислюються коефіцієнти />, називаютьсяформулами Ейлера-Фур'є, а самі коефіцієнти називаються коефіцієнтами Фур'є дляданої функції. І, нарешті, тригонометричний ряд (4), складений по цихкоефіцієнтах, одержав назву ряд Фур'є для даної функції.
Дамо тепер звіт у тім, яка логічна цінність проведенихміркувань. Ми виходили з того, що тригонометричний ряд (4) має місце, томупитання про те, чи відповідає це дійсності, залишається відкритим. Микористувалися повторно по членним інтегруванням ряду, а ця операція не завждиможна, достатньою умовою для застосування операції є рівномірна збіжність ряду.Тому строго встановленою умовою можна вважати лише наступне:
якщо функція f(x) розкладається в рівномірно збіжнийтригонометричний ряд (4), то цей ряд буде її поруч Фур'є.
Якщо ж не припускати наперед рівномірності збіжності,то всі наведені вище міркування не доводять навіть того, що функція можерозкладатися тільки в ряд Фур'є. Ці міркування можна розглядати лише якнаведення, достатнє для того, щоб у пошуках тригонометричного розкладання даноїфункції почати її з ряду Фур'є, зобов'язуючись установити умови, при яких вінсходиться й притім саме до даної функції.
Поки цього не зроблено, ми маємо право лише формальнорозглядати ряд Фур'є даної функції, але не можемо про нього нічогозатверджувати, крім того, що він «породжений» функцією f(x). Цейзв'язок звичайно позначають так:
/>
уникаючи знака рівності.
2. Ортогональні системифункцій
Дві функції />й /> певні на проміжку /> називаютьсяортогональними на цьому проміжку, якщо інтеграл від їхнього добутку дорівнюєнулю:
/>
Розглянемо систему функцій />, певних у проміжку [a, b] ібезперервних або кусочно-безперервних. Якщо всі функції даної системи попарноортогональні, тобто
/> />
те неї називають ортогональною системою функцій. Прицьому завжди будемо думати, що
/>
Якщо />, то система називаєтьсянормальної. Якщо ж ця умова не виконується, то можна перейти до системи />, що ужесвідомо буде нормальною.
Найважливішим прикладом ортогональної системи функційсаме і є тригонометрична система
/> (10)
у проміжку />, що ми розглядали раніше. Її ортогональністьтреба зі співвідношень (5), (7), (8). Однак вона не буде нормальної через (9).Множачи тригонометричні функції (10) на належні множники, легко одержатинормальну систему:
/> (10*)
Нехай у проміжку /> дана яка-небудь ортогональнасистема функцій />. Задамося метою розкласти певну у/> функцію />в «ряд пофункціях />»виду:
/> (11)
Для визначення коефіцієнтів даного розкладаннянадійдемо так само, як ми це зробили в попередньому параграфі, а саме помножимообидві частини рівності на /> й інтегруємо його по членне:
/>
У силу ортогональності системи, всі інтегралиправоруч, крім одного, будуть дорівнюють нулю, і легко виходить:
/> (m=0, 1, 2, …) (12)
Ряд (11) з коефіцієнтами, складеними по формулах (12),називається узагальненим рядом Фур'є даної функції, а самі коефіцієнти-їїузагальненими коефіцієнтами Фур'є щодо системи />. У випадки нормальної системифункцій коефіцієнти будуть визначатися в такий спосіб:
/>
У даному випадки всі зауваження зроблені впопередньому параграфі необхідно повторити. Узагальнений ряд Фур'є, побудованийдля функції />,пов'язаний з нею лише формально й у загальному випадку цей зв'язок позначають утакий спосіб:
/>
Збіжність цього ряду, як і у випадку тригонометричногоряду, підлягає ще дослідженню.
3. Інтеграл Дирихле Принциплокалізації
Нехай /> буде безперервна абокусочно-безперервна функція з періодом />. Обчислимо постійні (їїкоефіцієнти Фур'є):
/> />
/> />
і по них складемо ряд Фур'є нашої функції
/>
Як бачимо, тут коефіцієнт /> ми визначили по загальній формулідля /> при />, але затевільний член ряду запишемо у вигляді />.
Якщо функція F(x) кусочно-безперервна в будь-якомукінцевому проміжку й до того ж має період />, то величина інтеграла
/>
по колишньому проміжку довжини /> не залежить від />.
Дійсно, маємо
/>
Якщо в останньому інтеграла зробити підстановку />, то віндоведеться до інтеграла
/>
і лише знаком буде відрізнятися від першого інтеграла.Таким чином, розглянутий інтеграл виявляється рівним інтегралу
/>
уже не утримуючому />.
Для того щоб досліджувати поводження ряду вякій-небудь певній крапці />, складемо зручне вираження дляйого часткової суми
/>
Підставимо замість /> і /> їхні інтегральні вираження йпідведемо постійні числа /> під знак інтеграла:
/>
/>
Легко перевірити тотожність
/>
Скористаємося цією тотожністю для перетвореннявираження, остаточно одержимо
/> (13)
Цей інтеграл називають інтегралом Дирихле, хоча уФур'є він зустрічається набагато раніше.
Тому що ми маємо справу з функцією від u періоду />, то проміжокінтегрування /> по зробленому вище зауваженнюможна замінити, наприклад, проміжком />
/>
Підстановкою /> перетворимо цей інтеграл до виду
/>
Потім, розбиваючи інтеграл на два: /> і приводячи другийінтеграл шляхом заміни знака змінної теж до проміжку />, прийдемо до такого остаточноговираження для часткової суми ряду Фур'є:
/> (14)
Таким чином, справа зводиться до дослідженняповодження саме цього інтеграла, що містить параметр n.
Для подальшого викладу матеріалу нам буде потрібноодна лема, що належить Риману, що ми залишимо без доказу.
Якщо функція /> безперервна абокусочно-безперервна в деякому кінцевому проміжку />, то
/>
і, аналогічно,
/>
Якщо згадати формули, що виражають коефіцієнти Фур'є />, то в якостіпершого безпосереднього наслідку з леми виходить твердження:
Коефіцієнти Фур'є /> кусочно-безперервної функції при /> прагнуть донуля.
Другим безпосереднім наслідком є так званий «принциплокалізації».
Взявши довільне позитивне число />, розіб'ємо інтеграл в(14) на два: />/>. Якщо другий з них переписати увигляді
/>
те стане ясно, що множник при синусі
/>
є кусочно-безперервною функцією від t у проміжку />. У цьомувипадку по лемі цей інтеграл при /> прагне до нуля, так що й самеіснування межі для часткової суми ряду Фур'є й величина цієї межі цілкомвизначається поводженням одного лише інтеграла
/>
Але в цей інтеграл входять лише значення функції f(x),що відповідають зміні аргументу в проміжку від /> до />. Цим міркуванням доводиться «принциплокалізації», що складає в наступному:
Поводження ряду Фур'є функції f(x) у деякій крапці /> залежитьвинятково від значень, прийнятих цією функцією в безпосередній близькостірозглянутої крапки, тобто в як завгодно малій її околиці.
Таким чином, якщо взяти дві функції, значення яких удовільно малій околиці /> збігаються, то як би вони нерозходилися поза цією околицею, що відповідають цим функціям ряди Фур'єповодяться в крапці /> однаково: або обоє сходяться, іпритім до однієї й тій же сумі, або обоє розходяться.
4. Подання функцій рядів Фур'є
Накладемо на функцію f(x) більше важка вимога, асаме-припустимо її у проміжку />.
Тоді має місце загальна теорема:
Теорема. Якщо функція f(x) з періодом />кусочно-диференцуєма впроміжку />,то її ряд Фур'є в кожній крапці /> сходиться й має суму
/>
Ця сума, мабуть, дорівнює />, якщо в крапці /> функція безперервна.
Доказ. Відзначимо, що рівність (14) має місце длякожної функції f(x), що задовольняє поставленим умовам. Якщо, зокрема, взяти/>, то />, і з (14)одержимо, що
/>
Множачи обидві частини рівності на постійне число /> й віднімаючирезультат з (14), знайдемо
/>
для нашої мети потрібно довести, що інтеграл праворучпри />прагнедо нуля.
Представимо його у вигляді
/> (15)
де покладено
/> (16)
якби нам удалося встановити що ця функціякусочно-безперервна, то з леми попереднього параграфа варто було б уже, щоінтеграл (15) має межу нулю при />. Але в проміжку /> функція g(x) взагалібезперервна, за винятком хіба лише кінцевого числа крапок, де вона може матиперегони-тому що така функція f(x). Залишається відкритим лише питання проповодження функції g(x) при />.
Ми доведемо існування кінцевої межі
/>;
поклавши тоді g(0)=K, ми в крапці t=0 одержимобезперервність, і застосування леми виявиться виправданим. Але другий множник управій частині рівності (16) явно має межею одиницю; звернемося до вираженняквадратних дужках.
Нехай, для простати, спочатку крапка /> лежить усерединіпроміжку, де функція f(x) диференцуєма. Тоді />, і кожне зі співвідношень
/> /> (17)
прагне до межі />, а />— до нуля. Якщо ж /> є «крапка стику»,то при цьому вона може виявитися як крапкою безперервності, так і крапкоюрозриву. У першому випадку ми знову зштовхнемося з відношенням (17), але вонибудуть прагнути цього разу до різних меж, відповідно-до похідній праворуч і допохідної ліворуч. До аналогічного результату прийдемо й у випадку розриву, алетут /> замінитьсязначеннями /> тихфункцій, від склеювання яких вийшла дана, а межами відносин (17) будутьоднобічні похідні згаданих функцій при />.
Отже, наш висновок справедливо у всіх випадках.
5. Випадок неперіодичноїфункції
Вся побудована вище теорія виходила із припущення, щозадана функція визначена для всіх речовинних значень x і притім має період />. Тим часомнайчастіше доводиться мати справа з неперіодичною функцією f(x), інший разнавіть заданої тільки в проміжку />.
Що б мати право застосувати до такої функції викладенутеорію, уведемо замість її допоміжну функцію /> певну в такий спосіб. У проміжку /> ми ототожнюємо/> з f(x):
/> (18)
потім думаємо
/>
а на інші речовинні значення x поширюємо функцію /> за закономперіодичності.
До побудованого в такий спосіб функції /> з періодом /> можна вжезастосувати доведену теорему розкладання. Однак, якщо мова йде про крапку />, що строголежить між /> і/>, те,через (18), нас довелося б мати справа із заданою функцією />. По тій же причині йкоефіцієнти розкладання можна обчислити по формулах обчислення коефіцієнтів непереходячи до допоміжної функції. Коротше кажучи, все доведене вищебезпосередньо переноситься на задану функцію />, минаючи допоміжну функцію />.
Особливої уваги, однак, вимагають кінці проміжку />. Призастосуванні до функції /> теореми попереднього параграфа,скажемо, у крапці />, нам довелося б мати справа як зізначеннями допоміжної функції /> праворуч від />, де вони збігаються вжезі значеннями /> праворуч від />ю Тому для />як значення /> належало бвзяти
/>.
Таким чином, якщо задана функція /> навіть безперервна при />, але не маєперіоду />,так що />,те-при дотриманні вимог сумою ряду Фур'є буде число
/>
відмінне як від />, так і від />. Для такої функціїрозкладання має місце лише у відкритому проміжку />.
Наступне зауваження так само заслуговує на особливуувагу. Якщо тригонометричний ряд
/>
сходиться в проміжку /> до функції />, то через те, що йогочлени мають період />, він сходиться всюди, і сума його/> тежвиявляється періодичною функцією з періодом />. Але ця сума поза зазначенимпроміжком взагалі вже не збігається з функцією />.
6. Випадок довільного проміжку
Припустимо, що функція /> задана в проміжку /> довільної довжини /> в ньому. Якщовдатися до підстановки
/>,
те вийде функція /> від /> у проміжку />, теж кусочно-диференцуєма,до якої вже прикладемо розгляду попереднього параграфа. Як ми бачили, завинятком крапок розриву й кінців проміжку, можна розкласти її в ряд Фур'є:
/>
коефіцієнти якого визначаються формулами Ейлера-Фур'є:
/> />
/> />
повернемося тепер до колишньої змінного />, думаючи
/>.
Тоді одержимо розкладання заданої функції />втригонометричний ряд трохи зміненого виду:
/> (19)
Тут косинуси й синуси беруться від кутів, кратних не />, а />. Можна було бі формули для визначення коефіцієнтів розкладання перетворити тією жепідстановкою до виду
/> /> (20)
/> />
Відносно кінців проміжку />зберігають силу зауваження,зроблені в попередньому параграфі щодо крапок /> Звичайно, проміжок /> може бути заміненийбудь-яким іншим проміжком довгі /> зокрема, проміжком />. В останньому випадкуформули (20) повинні бути замінені формулами
/> /> (20a)
/> />
7. Випадок парних і непарних функцій
Якщо задана в проміжку /> функція /> буде непарної, то очевидно
/>
У цьому легко переконається:
/>.
Таким же шляхом установлюється, що у випадку парноїфункції />:
/>.
Нехай тепер /> буде кусочно-диференцуєма впроміжку /> парнафункція. Тоді добуток /> виявиться непарною функцією, і посказаному
/>
Таким чином, ряд Фур'є парної функції містить однілише косинусів:
/> (21)
Тому що />в цьому випадку буде теж парноюфункцією, те, застосувавши сюди друге зі зроблених вище зауважень, можемокоефіцієнти /> розкладаннянаписати у вигляді
/>/>(22)
Якщо ж функція /> буде непарної, то непарної буде йфункція />,так що
/> />
Ми доходимо висновку, що ряд Фур'є непарної функціїмістить одні лише синусів:
/>(23)
При цьому через парність добутку />можна писати:
/>/> (24)
Відзначимо, що кожна функція />, задана в проміжку />, може бути представленау вигляді суми парних і непарної тридцятимільйонних функцій:
/>,
Де
/>
Очевидно, що ряд Фур'є функції /> саме й складеться зрозкладання по косинусах функції /> й розкладання по синусах функції />.
Припустимо, далі, що функція /> задана лише в проміжку />. Бажаючирозкласти її в цьому проміжку в ряд Фур'є ми доповнимо визначення нашої функціїдля значень x у проміжку /> по сваволі, а потім застосуємосказане в пункті «Випадок неперіодичної функції».
Можна використовувати сваволю у визначенні функції впроміжку /> так,що б одержати для /> розкладання тільки лише покосинусах або тільки по синусах. Дійсно, представимо семі, що для /> ми думаємо />, так що врезультаті виходить парна функція в проміжку />. Її розкладання, як ми бачили,буде містити одні лише косинуси. Коефіцієнти розкладання можна обчислювати поформулах (22), куди входять лише значення спочатку заданої функції />.
Аналогічно, якщо доповнити визначення функції /> за закономнепарності, то вона стане непарної й у її розкладанні будуть одні лише синуси.Коефіцієнти її розкладання визначаються по формулах (24).
Таким чином, задану в проміжку /> функцію при дотриманніумов виявляється можливим розкладати як по косинусах, так і по одним лишесинусах.
Особливого дослідження вимагають крапки /> й />. Тут обоє розкладанняповодяться по-різному. Припустимо, для простоти, що задана функція /> безперервнапри /> й />, і розглянемоспочатку розкладання по косинусах. Умова />, насамперед, зберігаєбезперервність при />, так що ряд (21) при /> буде сходитисясаме к./>Тому що, далі,
/>
те й при /> має помста аналогічна обставина.
Інакше є справа з розкладанням по синусах. У крапках /> і /> сума ряду (23)явно буде нулем. Тому вона може дати нам значення /> й/>, мабуть, лише в тому випадку,якщо ці значення дорівнюють нулю.
Якщо функція /> задана в проміжку /> те, удавшись до тієї жзаміни змінної, що й у попередньому параграфі, ми зведемо питання пророзкладання її в ряд по косинусах
/>
або в ряд по синусах
/>
до тільки що розглянутого. При цьому коефіцієнтирозкладань обчислюються, відповідно, по формулах
/> />
або
/> />.
8. Приклади розкладання функцій у ряд Фур'є
Функції, які нижче приводяться як приклади, якправило, ставляться до класу диференцуємих або кусочно-диференцуємих. Тому самаможливість їхнього розкладання в ряд Фур'є-Поза сумнівом, і на цьому мизупинятися не будемо.
Всі завдання взяті зі Збірника задач і вправ поматематичному аналізі, Б. Н. Демидович.
№ 2636. Функцію /> розкласти в ряд Фур'є.
Тому що функція /> є непарної, те, отже, /> буде парною.Тому її розкладання в ряд Фур'є містить одні лише косинусів.
Знайдемо коефіцієнти розкладання;
/>
/>
№ 2938. Розкласти в ряд Фур'є функцію />. Зобразити цієї функціїй графіки декількох приватних сум ряду Фур'є цієї функції.
/>
Функція /> непарна, тому її розкладання будемістити одні лише синуси.
/>
Тобто, виходить, що при парних значеннях n коефіцієнт />, а отже й весьдоданок, звертається в нуль. Тому підсумовування йде тільки лише за парнимзначенням n.
Ряд Фур'є для цієї функції прийме наступний вид:
/>. />
Нижче зображені графіки функцій />і декількох часток сумряду Фур'є:
Графік функції />, />, /> і />
/>
№ 2940. /> в інтервалі />.
Функція/>непарна.
/>
/>
№ 2941. /> в інтервалі />.
/>
/>
/>
У підсумку одержуємо ряд Фур'є:
/> />
№ 2941. /> в інтервалі />.
Функція /> парна.
/>
/>
Як і в № 2938, у нас при парних значеннях n коефіцієнт/> звертаєтьсяв нуль. Тому підсумувати будемо лише за непарним значенням.
У підсумку одержимо:
/>
№ 2950. /> в інтервалі />.
Функція /> парна.
/>
/>
Тому що при n=1 знаменник звертається в нуль, топідсумовування необхідно зробити починаючи у двійки.
/>
№ 2951. /> в інтервалі />.
Функція /> непарна.
/>
/>
№ 2961. Функцію /> розкласти а) в інтервалі /> по косинусахкратних дуг; б) в інтервалі /> по синусах кратних дуг; в) вінтервалі />.Зобразити графік функції /> й сум рядів Фур'є для кожногоокремого випадку. Використовуючи розкладання, знайти суми рядів: />; /> і />.
а) />
/>
І, нарешті одержуємо розкладання в ряд Фур'є:
/> />
/>
б) />
/> />
/>
в) />
/>
/>
/> />
/>
№ 2962 Виходячи з розкладання
/> />,
По членним інтегруванням одержати розкладання в рядФур'є на інтервалі /> функцій />
інтегруємо рівність /> по членне, одержимо
/>
І остаточно одержуємо:
/> />
Інтегруємо отриману рівність повторно
/>
або звідси одержуємо
/>.
Список літератури
1.І.М.Уваренков, М.З. Маллер Курс математичного аналізу., — К., 2006
2.Г.М.Фихтенгольц Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К., 2005р.
3.В.Е.Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов Курс вищої математики. – К., 2005
4.Н.Я.Виленкин, В.В. Цукерман, М.А. Доброхотова, А.Н. Сафонов Ряди. – К., 1997
5.Б.П.Демидович Збірник задач і вправ по математичному аналізу. – К., 2005