Курсова робота
«Вивченнясистем з постійною парною частиною»
Зміст
Введення
1. Парні й непарні вектор-функції
2.Основнівідомості з теорії функцій, що відбивають
3.Системи парна-непара
4.Побудова прикладів систем, парна частина загального рішення яких постійна
5.Прості й найпростіші системи
6.Побудова множини систем, парна частина загального рішення яких постійна
6.1Системи, що мають постійну парну частину
6.2Побудова систем із заданою парною частиною
Висновок
Списокджерел
Введення
При вивченні питань існування періодичних рішеньдиференціальних систем і рівнянь використовуються властивості симетричності(парність, непарність і т.п.) як функцій, що задають досліджувану систему, такі самих рішень.
У даній роботі ми будемо розглядати сімейства рішеньіз постійною парною частиною, тобто коли парна частина буде представлена увигляді константи.
Розберемо приклади систем, сімейства рішень яких маютьпостійну парну частину. Будемо вивчати побудову систем із заданою парноючастиною.
1. Парній непарні вектор-функції
За аналогією з функціями одної змінної, вектор-функцію/>, /> будемоназивати парною (непарної), якщо для всіх />, /> є парною (непарної) функцією,тобто область визначення /> симетрична щодо нуля й /> (/>).
Будь-яку функцію із симетричною областю визначення,можна представити як суму парної й непарної функцій. Дійсно, якщо
/>
/>
/>
і /> є парною функцією, а /> – непарної.
/> будемо називати парною частиноюфункції />, /> – непарної.
Відзначимо наступні властивості парних і непарнихфункцій.
Властивість 1 Похідна парної (непарної) функції єфункція непарна (парна).
Доказ. a) /> – парна функція.
/>
/>
/>
Т.к. /> і /> існують або не існують одночасно,те/>, /> і />. Таким чином,похідна парної функції є функція непарна.
б) /> – непарна функція.
/>
/>
/>
Т.к. /> і /> існують або не існують одночасно,те/>, /> і />. Таким чином,похідна непарної функції є функція парна.
Властивість 2 Якщо /> – непарна функція, те />.
Доказ. Оскільки /> – непарна функція, те
/>
Підставивши замість /> /> одержуємо />
Звідки треба />
2. Основнівідомості з теорії функцій, що відбивають
Розглянемо систему
/>(1)
уважаючи, що її права частина безперервна й маєбезперервні частки похідні по />. Загальне рішення цієї системи уформі Коші позначимо через />. Через /> позначимо інтервал існуваннярішення />
Нехай
/>
Визначення: функцією, що відбиває, (1) системи назвемофункцію
/>
обумовлену формулою
/> (2)
або формулами
/>
Для функції, що відбиває, справедливі властивості:
1) Для будь-якого рішення
/>
системи (1) вірна тотожність
/>(3)
2) Для функції, що /> відображає, будь-якої системивиконані тотожності:
/> (4)
3) Диференцюєма функція
/>
буде функцією, що відбиває, (1) системи тоді й тількитоді, коли вона задовольняє рівнянням у частинних похідних
/> (5)
і початковій умові
/>(6)
Рівняння (5) будемо називати основним рівнянням(основним співвідношенням) для функції, що відбиває.
Доказ. Властивість 1) треба безпосередньо з визначення(2). Для доказу властивості 2) помітимо, що відповідно до властивості 1) длябудь-якого рішення /> системи (1) вірні тотожності
/>
Із цих тотожностей у силу того, що через кожну крапку /> проходитьдеяке рішення /> системи (1), і випливаютьтотожності (5).
Приступимося до доказу властивості 3). Нехай /> – функція, щовідбиває, (1)системи. Тоді для неї вірна тотожність (3). Диференціюємо цютотожність по /> й скористаємося тим, що /> – рішеннясистеми (1), і самою тотожністю (3). Одержимо тотожність
/>
з якого в силу довільності рішення /> треба, що /> – рішеннясистеми (5). Початкова умова відповідно до властивості 2) так само виконується.
Нехай деяка функція /> задовольняє системі (5) й умові(6). Тому що цій системі й цій умові задовольняє так само й функція, щовідбиває, то з одиничності рішення (5) задачі (6) — /> функція повинна збігатися зфункцією, що відбиває. Властивість 3) доведено.
Лема Основна лема 3 Нехай права частина системи (1) />-періодична по />, безперервна ймає безперервні частки похідні по змінним />. Тоді відображення за період длясистеми (1) можна знайти по формулі
/>
і тому рішення />
системи (1) буде /> — періодичним тоді й тільки тоді,коли /> єрішення недиференціальної системи
/>(7)
Як наслідок цієї леми доведемо наступне припущення.
Твердження 4 Нехай безупинно диференцюємафункція /> />-періодична йнечетна по />,тобто
/>
и. /> Тоді всяке продовження навідрізок /> рішеннясистеми (1) буде />-періодичним і парним по />.
Доказ. Для доказу досить помітити, що функція /> задовольняєрівнянню (5) й умові (6). Тому вона відповідно до властивості 3) є функцією, щовідбиває, розглянутої системи. Рівняння (7) в нашім випадку вироджується втотожність, і йому задовольняє кожне />, для якого визначене значення
/>
Відповідно до основної леми будь-яке рішення системи(1) буде />-періодичним.Парність довільного рішення /> системи (1) треба з тотожностей
/>
справедливих у силу властивості 1) функції, щовідбиває.
Справедливі наступні твердження [4].
Теорема 5 Нехай всі рішення системи (1) />-періодичні й однозначновизначаються своїми початковими даними. Тоді, що відбиває функція, /> цієї системи />-періодична по />
Теорема 6 Нехай система (1) />-періодична по /> а її рішення однозначновизначаються своїми початковими даними й існують при всіх /> Якщо, крім того, щовідбиває функція цієї системи />-періодична по /> те всі рішення системи(1) періодичні з періодом />
Аналогічна теорема має місце в тому випадку, коли невсі рішення системи (1) продовжимі на відрізок /> При цьому висновок про />-періодичністьможна зробити лише для тих рішень, які існують при всіх />
З />-періодичності функції, щовідбиває, />треба-періодичність всіх продовжимих /> на рішення періодичної (1)системи. З />-періодичностіфункції, що відбиває, не треба, загалом кажучи/>, -періодичність />рішень -періодичноїсистеми, хоча треба />їх -періодичність.
Не слід думати, що якщо всі рішення />-періодичної системи />-періодичні, теїї функція, що відбиває, зобов'язана />бути -періодичної. Цьомусуперечить приклад рівняння />
У випадку, коли />, тобто коли система (1)вироджується в рівняння, вірна
Теорема 7 Нехай рівняння (1) />-періодичне по /> а його рішенняоднозначно визначаються своїми початковими даними й існують при всіх /> Тоді для того,щоб всі рішення рівняння (1) були />-періодичні, необхідна й достатня />-періодичністьпо /> функції,що відбиває, цього рівняння.
3. Системипарна-непара
Розглянемо систему
/>(8)
Будемо вважати, що всюди надалі ця система задовольняєумовам:
а) Функція /> безупинно диференцюєма, і тому,задача Коші для системи (8) має єдине рішення;
б) Права частина системи (8) />-періодична по />.
Лема 8 Нехай система (8)задовольняє умовам а) і б). Тоді продовжині на відрізок /> рішення /> цієї системи буде />-періодичнимтоді й тільки тоді, коли
/>
/>
– є непарна частина рішення />.
Доказ. Нехай /> – />-періодичне рішення системи (8).Тоді
/>
Необхідність доведена.
Нехай /> – рішення системи (8), для якого />. Тоді
/>
і тому
/>
Таким чином, крапка /> є нерухлива крапка відображенняза період, а рішення /> – />-періодичне.
Доведена лема, питання про періодичність рішення
/>
зводить до обчислення одного зі значень непарноїчастини />.Іноді відносно /> можна сказати більше, ніж просаме рішення />. Це дозволяє в таких випадкахробити різні висновки щодо існування періодичних рішень у систем виду (8).Диференцуємі функції
/>
/>
задовольняють деякій системі диференціальних рівнянь.Перш, ніж виписати цю систему, помітимо:
/>(9)
тому що
/>
рішення системи (8). Заміняючи в тотожності (9) /> на /> й з огляду на,що похідна парної функції – функція непарна, а похідна непарної функції – функціяпарна, одержуємо тотожність
/>(10)
З тотожностей (9) і (10) знайдемо похідні:
/>
У такий спосіб вектор-функція
/>(11)
задовольняє наступній системі диференціальних рівняньпорядку />:
/>(12)
/>
Систему (12) будемо називати системою пар-непара, щовідповідає системі (8). рішення системи чіт-непара, як треба з умови а),однозначно визначається своїми початковими умовами.
4. Побудоваприкладів систем, парна частина загального рішення яких постійна
Приклад
/>
Знайдемо рішення: будемо використовувати методвиключення, візьмемо перше рівняння системи й виразимо з нього />:
/>
тепер диференціюємо його
/>
Ми можемо дорівняти ліву частину отриманого рівняння злівою частиною другого рівняння вихідної системи
/>
Зробимо перетворення й приведемо подібні
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
У такий спосіб:
/>
Зробимо перевірку, для цього у вихідну системупідставимо отримане рішення:
/>
/>
Одержали вірні рівності. Значить було знайденоправильне рішення вихідної системи.
Парна частина загального рішення:
/>
Приклад
/>
Знайдемо рішення: будемо використовувати методвиключення, візьмемо перше рівняння системи й виразимо з нього />:
/>
тепер диференціюємо його
/>
Ми можемо дорівняти ліву частину отриманого рівняння злівою частиною другого рівняння вихідної системи
/>
Зробимо перетворення й приведемо подібні
/>
/>
/>
/>
/>
/>
У такий спосіб:
/>
Зробимо перевірку:
/>
/>
/>
Парна частина загального рішення
/>
Приклад
/>
Знайдемо рішення: будемо використовувати методвиключення, візьмемо перше рівняння системи й виразимо з нього />:
/>
тепер диференціюємо його
/>
Ми можемо дорівняти ліву частину отриманого рівняння злівою частиною другого рівняння вихідної системи
/>
/>
/>
/>
Одержали два рішення /> й />.
1) />;
/>
2) />;
/>
Зробимо перевірку для />:
/>
/>
/>
/>
Одержали вірні рівності. Значить було знайденоправильне рішення вихідної системи.
Зробимо перевірку для />:
/>
/>
/>
/>
/>
Звідси видно, що /> не є рішенням для вихідноїсистеми.
У такий спосіб:
/>
Парна частина загального рішення
/>
З даних прикладів можемо помітити, що рішення системзаписується у вигляді:
/>
де /> й /> – непарні функції, а парначастина представлена константою.
/>
/>;
/>;
/>(13)
Системи виду (13) будуть мати сімейства рішень ізпостійною парною частиною. У цьому легко переконається, проробивши обчислення,аналогічні попереднім прикладам.
5. Простій найпростіші системи
Лема 9 Для всякої безупинно диференцюємоїфункції
/>
для якої виконані тотожності (4), мають місцеспіввідношення
/>
/>
Теорема 10 Для всякої двічібезупинно диференцюємої функції /> певної в симетричній області />, що міститьгіперплощина /> для якої виконані тотожності (4),існує диференціальна система /> c безупинно диференцюємої правоючастиною, що відбиває функція якої збігається с./>
Теорема 11 Для всякої двічібезупинно диференцюємої функції
/>
певної в області /> утримуюча гіперплощина />, для якоївиконані тотожності (4), при всіх /> і досить малих /> існує диференціальнасистема
/>
функція, що відбиває, якої збігається /> з а загальний інтегралзадається формулою
/>
Наслідок 12 Двічі безупинно диференцюєма функція
/>
є функцією, що відбиває, хоча б однієї диференціальноїсистеми тоді й тільки тоді, коли для неї виконані (4)тотожності .
Системи, існування яких гарантується теоремами 10 й11, називаються відповідно простій і найпростішої.
Теорема 13 Нехай
/>
найпростіша система, тоді
/>
де /> – функція, що відбиває,(1)системи .
Доказ. Якщо система найпростіша,
/>
/>
Теорема 14 Нехай
/>
є функція, що відбиває, деякої диференціальноїсистеми, рішення якої однозначно визначаються своїми початковими даними, а длябезупинно диференцюємої функції
/>
виконано тотожності (4). Тоді для того, щоб в області /> функція /> збігалася з /> необхідно йдосить, щоб розглянута система мала вигляд
/>
або вид
/>
Де />
є деяка безперервна вектор-функція.
Будемо говорити, що множина систем виду (1) утворитьклас еквівалентності, якщо існує диференцюєма функція
/>
із властивостями:
1) функція, яка відбиває
/>
будь-якої системи з розглянутої множини збігається усвоїй області визначення /> з функцією />
2) Будь-яка система виду (1), що відбиває функція
/>
яке збігається в області /> з функцією /> втримується врозглянутій множині.
Дві системи виду (1), що належать одному класуеквівалентності, будемо називати еквівалентними. Допускаючи певну вільністьмови, будемо говорити також, що вони мають ту саму функцію, що відбиває.Функцію /> прицьому будемо називати функцією, що відбиває, класу, а клас — відповідноїфункції, що />відбиває.
Із третьої властивості функції, що відбиває, треба, що(1) система й система
/>
належать одному класу еквівалентності тоді й тількитоді, коли система рівнянь
/>
Сумісна
Необхідною умовою спільності цієї системи є тотожність/>.
6. Побудовамножини систем, парна частина загального рішення яких постійна
6.1 Системи,що мають постійну парну частину
Нехай нам дана система
/>(14)
Перед нами встає наступне питання про те, колисімейство рішень цієї системи будуть мати постійну парну частину.
/>(15)
Тобто, коли /> не буде залежати від часу />.
Візьмемо функцію, що відбиває, (14) /> системи йвикористовуючи
/>
одержимо парну частину в такий спосіб:
/>(16)
Теорема 15 Якщо виконано тотожність
/>
де /> – функція, що відбиває, длялінійної системи (14)виду, те будь-яке рішення цієї системи має постійну парнучастину.
Доказ. Візьмемо будь-яке рішення /> системи (14). Йогопохідна
/>
Тому можемо записати
/>
З умови теореми маємо
/>
У такий спосіб одержали, що /> – парна вектор-функція. Тоді
/>
6.2 Побудовасистем із заданою парною частиною
Розглянемо систему (14). Будемо будувати систему іззаданою парною частиною.
Нехай нам відома парна частина />. Скористаємося формулою(15) й перетворимо її
/>
Отже, можемо записати
/>
Звідси знаючи (3), одержимо
/>
де /> – функція, що відбиває, системи.Крім /> ізпопереднього співвідношення, з довільною функцією, що />відбиває, задовольняючій умові
/>
одержимо необхідну систему.
Приклад 16 Нехай
/>
де /> – задана парна частина, />. Диференціюємообидві частини рівності
/>
Перетворимо праву частину
/>
Перепишемо отримане у вигляді:
/>
Виразимо />:
/>(17)
Для всіх систем виду (17) повинне бути виконане умова
/>
Візьмемо
/>
Знайдемо />, />. />;
/>
Підставимо значення />, /> у систему (17):
/>
/>
/>
Одержуємо необхідну систему:
/>
Приклад 17 Нехай
/>
де /> – задана парна частина, />. Диференціюємообидві частини рівності
/>
і перетворимо праву частину
/>
Перепишемо отримане у вигляді:
/>
Виразимо />:
/>(18)
Для всіх таких систем повинне бути виконане умова />.
Візьмемо />. Знайдемо />, />. />,
/>
Підставимо знайдені значення в систему (18) й зробившиперетворення аналогічні прикладу 16, одержуємо:
/>
Розглянемо тепер загальний випадок, коли нам заданапарна частина /> загального рішення системи зфункцією, що />відбиває. У цьому випадку
/>
Тому, якщо /> нам задана, то зі співвідношення
/>
при заданій /> ми знайдемо загальне рішення /> шуканоїсистеми. Саму систему ми побудуємо крім /> зі співвідношень
/>
Таким чином, ми прийшли до
Теорема 18 Усяка система
/>(19)
де /> перебувають із системи
/>
при будь-якої заданої диференціюємої функції />, щозадовольняє співвідношенням
/>
має загальне рішення з парною частиною />.
Якщо
/>
те система (19) має вигляд:
/>
Таким чином, ми прийшли до висновку:
Наслідок 19 Загальне рішеннядиференціальної системи має постійну парну частину тоді й тільки тоді, коли цясистема найпростіша.
Висновок
Основним результатом даної роботи є побудовадиференціальних систем, сімейство рішень яких має задану парну частину. А таксамо теорема про зв'язок найпростішої системи й системи, сімейство рішень якоїмає постійну парну частину.
Теорема. Загальне рішення диференціальної системи маєпостійну парну частину тоді й тільки тоді, коли ця система найпростіша.
Список джерел
[1] Арнольд В.І., Звичайні диференціальнірівняння. – К., 2004
[2] Бібіков Ю.Н., Загальний курсдиференціальних рівнянь. – К., 1999
[3] Еругин Н.П., Книга для читання зазагальним курсом диференціальних рівнянь.3-е видання. – К., 2000
[4] Мироненко В.И., Функція й періодичні рішеннядиференціальних рівнянь. – К., 2004
[5] Понтрягин Л.С., Звичайні диференціальнірівняння. – К., 2003