Зміст
Вступ
1. Види розподілу ймовірностей
1.1 Біноміальний розподіл
1.2 Розподіл Х²
1.3 Розподіл Стьюдента
1.4 Розподіл F Фишера-Снедекора
2. Емпіричнафункція розподілу
3. Точечні таінтервальні оцінки параметрів розподілу
3.1 Точечнаоцінка параметрів розподілу
3.2 Поняттяінтервальної оцінки. Інтервальні оцінки параметрів нормального розподілу
4. Розподіл Пуассона
Висновок
Список літератури
Вступ
Предмет теорії ймовірностей.Події, що спостерігаються нами, (явища) можна підрозділити на наступні три види:достовірні, неможливі івипадкові.
Достовірнимназивають подія, що обов'язково відбудеться, якщо буде здійснена визначенасукупність умов S.
Наприклад,якщо в судині міститься вода при нормальному атмосферному тиску і температурі 20º, то подія«вода в судині знаходиться в рідкому стані» є достовірне. У цьомуприкладі задані атмосферний тиск і температура води складають сукупність умов S.
Неможливимназивають подія, що свідомо не відбудеться, якщо буде здійснена сукупність умовS.
Наприклад,подія «вода в судині знаходиться у твердому стані свідомо не відбудеться,якщо буде здійснена сукупність умов попереднього приклада.
Випадковимназивають подію, що при здійсненні сукупності умов S може або відбутися, абоне відбутися.
Наприклад,якщо кинута монета, то вона може упасти так, що зверху буде або герб, абонапис. Тому подія „при киданні монети випав герб“ — випадкове.
Кожнавипадкова подія, зокрема — випадання герба, є наслідок дії дуже багатьохвипадкових причин (у нашому прикладі: сила, з яким кинута монета, форма монетиі багато хто інші). Неможливо врахувати вплив на результат усіх цих причин,оскільки число їхній дуже велике і закони їхньої дії невідомі. Тому теорія ймовірностей неставить перед собою задачу пророчити, відбудеться одинична подія чи ні, — вона просто не в силах цезробити.
По-іншомуобстоїть справа, якщо розглядаються випадкові події, щ о можуть багаторазовоспостерігатися при здійсненні тих самих умов S, тобто якщо мова йде промасові однорідні випадкові події. Виявляється, що досить велике числооднорідних випадкових подій, незалежно від їхньої конкретної природи, підкоряєтьсявизначеним закономірностям, а саме — вероятнісним закономірностям.Установленням цих закономірностей і займається теорія ймовірностей
Короткаісторична довідка. Перші роботи, у яких зароджувалися основні поняття теорії ймовірностей,являли собою спроби створення теорії азартних ігор (Кардано, Гюйгенс, Паскаль,Ферма й ін. у XVI–XVII ст.).
Наступнийетап розвитку теорії ймовірностей зв'язаний з ім'ям Якова Бернуллі (1654–1705). Доведена нимтеорема, що одержала згод ом назву „Закону великих чисел“, булапершим теоретичним обґрунтуванням накопичених раніше фактів.
Подальшимиуспіхами теорія ймовірностей зобов'язана Муавру, Лапласові, Гауссу, Пуассонові та ін.
Новий,найбільш плідний, період зв'язаний з іменами П.Л. Чебишева (1821–1894) і його учнів А.А. Маркова(1856–1922) і А.М. Ляпунова(1857–1918).Уцей період теорія ймовірностей стає стрункою математичною наукою, її наступнийрозвиток зобов'язаний, у першу чергу, російським і радянським математикам (С.Н. Бернштейн, В.І. Романовский, А.Н. Колмогоров,А.Я.Хінчин, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнов і ін.). В даний час ведуча роль у створенні нових галузей теорії ймовірностейтакож належить радянським математикам.
1.Види розподілу ймовірностей
1.1Біномінальний розподіл
Нехайвиробляється п незалежних іспитів, у кожнім з який подія А можез'явитися, або не з'явитися. Імовірність настання події у всіх іспитах постійнаі дорівнює р (отже, імовірність непояви q=l-p). Розглянемо в якостідискретної випадкової величини X число появ події А в цих іспитах.
Поставимоперед собою задачу: знайти закон розподілу величини X. Для її рішення потрібновизначити можливі значення X і їхньої імовірності.
Очевидно,подія А у п іспитах може або не з'явитися, або з'явитися 1 раз, або 2рази,..., або п раз. Таким чином, можливі значення X такі:
/>
Залишаєтьсязнайти імовірності цих можливих значенні, для чого досить скористатися формулоюБернуллі:
/>(1.1)
де /> =0, 1, 2,..., п.
Формула(1.1) і є аналітичним вираженням шуканого закону розподілу. Біномінальнимназивають розподіл ймовірностей, обумовлений формулою Бернуллі.
Законназваний „біномінальним“ тому, що праву частину рівності (1.1) можнарозглядати як загальний член розкладання бінома Ньютона
/> (1.2)
Такимчином, перший член розкладання /> визначає імовірністьнастання розглянутої події п раз у п незалежних, іспитах; другийчлен /> визначаєімовірність настання події п-1 раз;...; останній член /> визначає імовірністьтого, що подія не з'явиться жодного разу. Напишемо біномінальний закон у видітаблиці:
/>
Приклад:
Монетакинута 2 рази. Написати у виді таблиці закон розподілу випадкової величини X — числа випаданьгерба.
Рішення:
Імовірністьпояви герба в кожнім киданні монети /> отже, імовірність не появи герба:
/>
Придвох киданнях монети герб може з'явитися або 2 рази, або 1 раз, або зо всім нез'явитися. Таким чином, можливі значення X такі:
/>
Знайдемоімовірності цих можливих значенні по формулі Бернуллі:
/>
Напишемошуканий закон розподілу:
/>
Контроль:
/>
1.2Розподіл Х²
Нехай/>(і=1,2,..., п) — нормальні незалежні випадкові величини, причому математичне чекання кожної зних дорівнює нулю, а середнє квадратичне відхилення — одиниці. Тоді сумаквадратів цих величин
/>
розподіленаза законом Х² (»хи квадрат") з k=n ступенями волі;якщо ж ці величини зв'язані одним лінійним співвідношенням, наприклад />, те число ступенів волі k=n-l. Диференціальна функціяцього розподілу
/>
Де />-гамма-функція; зокрема />
Звідсивидно, що розподіл «хи квадрат» визначається одним параметром — числом ступенів волі k. Зі збільшенням числа ступенів волі розподілповільний наближається до нормального.
1.3Розподіл Стьюдента
НехайZ — нормальнавипадкова величина, причому M(Z)=0, cy(Z)- 1,а V — незалежна від Z величина, щорозподілена за законом /2 з k ступенями волі.
Тодівеличина
/>
маєрозподіл, що називають t-розподілом, чи розподілом Стьюдента (псевдоніманглійського статистика В. Госсета) з k ступенями волі.
Отже,відношення нормованої нормальної величини до квадратного кореня з незалежноївипадкової величини, розподіленої за законом «хи квадрат» з k ступенями волі,діленої на k, розподілено за законом Стьюдента з k ступенями волі.
Зізростанням числа ступенів волі розподіл Стьюдента швидко наближається донормального. Додаткові зведення про цей розподіл приведені далі
1.4Розподіл FФішера-Снедекора
Якщо U і V незалежнівипадкові величини, розподілені за законом х2 зі ступенями волі /> і />, те величина
/>
маєрозподіл, що називають розподілом F Фішера-Снедекора зі ступенями волі /> і /> (іноді його позначаютьчерез V²). Диференціальна функція
/>
Мибачимо, що розподіл F визначається двома параметрами — числами ступенів волі.
2.Емпірична функція розподілу
Нехай відомо статистичний розподіл частот кількісної ознаки X. Введемозначення п х— число спостережень, менше х; п —загальне число спостережень (об’єм вибірки). Ясно, що відносна частота події X/п. Якщо х змінюється, то, взагаліговорячи, змінюється і відносна частота, тобто відносна частота пх /пє функція від х. Тому що ця функція знаходиться емпіричним(досвідченим) шляхом, то її називають емпіричною.
Емпіричною функцією розподілу (функцією розподілувибірки) називають функцію F*(x), що визначає для кожного значення х відноснучастоту випадку X х. '
Отже, по визначенню:
F(x)=nx/n
Де nx-число варіант, менших х; п — об'єм вибірки. Такимчином, для того щоб знайти, наприклад, F*(xi), потрібно число варіант,менших хг, розділити на об’єм вибірки: F*(x2) = nx2/n.
На відміну від емпіричної функції розподілу вибірки функціюрозподілу F (х) генеральної сукупності називають теоретичною функцієюрозподілу. Різниця між емпіричної і теоретичної функціями полягає в тому,що теоретична функція F (х) визначає імовірність події X х,а емпірична функція F* (х) визначає відносну частоту події. Зтеореми Бернуллі випливає, що відносна частота події X х, тобто F*(х) прагне по імовірності до імовірності F (х) цієї події. Іншимисловами, при великих п числа F* (х) і F (х) маловідрізняються одне від іншого в тому змісті, що lim n-¥Р [ |F (х)-F* (х) | 0). Уже звідси випливає доцільністьвикористання емпіричної функції розподілу вибірки для наближеного представленнятеоретичної (інтегральної) функції розподілу генеральної сукупності.
Такий висновок підтверджується і тим, що F*(x) наділенеусіма властивостями F (х). Дійсно, з визначення функції F* (х) випливаютьнаступні її властивості: 1) значення емпіричної функції належать відрізку [О,1];
2) F*(x) — функція, що не спадає;
3) якщо Xi — найменша варіанта, то F*(x) = Q при x/>x1; якщо xk—найбільшаваріанта, то F* (х) = 1 при x>xk.
Отже, емпірична функція розподілу вибірки служить для оцінкитеоретичної функції розподілу генеральної сукупності.
Приклад.
Побудувати емпіричну функцію по даному розподілу вибірки:
варіанти xi 2 6 10
частоти ni 12 18 30
Розв’язок. Знайдемо обсяг вибірки: 12 + 18 + 30 = 60. Найменшаваріанта дорівнює 2, отже,
F*(x) = О при x/>2. І
Значення X
:F*(x) = 12/60 = 0,2 при
26. I
/>
значення x
F* (х) = 30/60 = 0,5 при 6 х /> 10. Тому що x=10 —найбільша варіанта, то | F*(x)=1 при х > 10. Шукана емпіричнафункція
/>
Графік цієї функції зображений на малюнку.
3.Точечні та інтервальні оцінки параметріврозподілу
3.1 Точечна оцінка параметрів розподілу
Є два підходи до оцінювання невідомих параметрів розподілів поспостереженнях: точечний і інтервальний. Точечний вказує лише точку, біля якоїзнаходиться оцінюваний параметр; при інтервальному знаходять інтервал, що здеякою великою ймовірністю, що задається дослідником, накриває невідоме числовезначення параметра. У главі розглядаються методи точечного оцінюванняпараметрів; будуються інтервальні оцінки параметрів нормального розподілу,обговорюється загальний підхід до інтервального оцінювання параметріврозподілу, відмінних від нормального.
3.1.1 Метод моментів
Метод моментів є одним із методів точечного оцінювання параметріврозподілу.
Нехай закон розподілу випадкової величини X відомий із точністю дочислових значень його параметрів />1,/>2,…,/>k. Це означає, щовідомий вид функції щільності fx(х, />),де />= (/>1,/>2,…,/>k), якщо X безперервна(відомий вид функції ймовірності Р (X= х,/>),якщо X дискретна), але числові значення k параметрів не відомі.Знайдемо оцінку />= (/>1,/>2,…,/>k)параметра 0, розташовуючи вибіркою: х1, х2..., хп.
Допустимо, що існує k початкових моментів, кожний із якийможна висловити через /> (без обмеженняспільності можна розглядати тільки початкові моменти, тому що центральнімоменти є функціями початкових). Нехай такими моментами будуть перший,другий,..., k-й: v1,v2,…,vk (щозовсім не обов'язково). Висловимо кожний із них через />:
/> (3.1)
Помітимо, що в системі
/> (3.2)
число рівнянь повинно бути рівним числу k оцінюванихпараметрів. Знайдемо рішення системи (3.2). Висловивши кожний параметр qчерез v1,v2,…,vk,одержимо:
/> (3.3)
Властивість змістовності вибіркових початкових моментів єпідставою для заміни в рівняннях (3.3) теоретичних моментів v1,v2,…,vkна обчислені при великому п вибіркові моменти v1,v2,…,vk.
Оцінками методу моментів параметрів />1,/>2,…,/>k називаються оцінки
/> (3.4)
Питання про те, які початкові моменти включати в систему (3.2),варто вирішувати, керуючись конкретними цілями дослідження і порівняльноїпростоти форм залежностей моментів від параметрів. У статистичній практицісправа рідко доходить навіть до четвертих моментів.
Приклад 3.1.1 Випадковий розмір Х~ N (а, σ), прицьому числові значення параметрів а і σ2 не відомі.Знайдемо оцінки методу моментів для цих параметрів.
Використовуючи формулу (3.1), висловимо моменти v1 іv2 через а й σ2:
/>
(v1=a)∩(v2=а2+σ2)- такий вид системи (3.2) у даному прикладі.Вирішивши її щодо а й σ2, одержимо: а = v1σ2 = v2 — v12.Звідси оцінки методу моментів:
/>
це оцінка математичного чекання а;
/>
це оцінка дисперсії σ2.
Відзначена раніше деяка невизначеність вибору початкових моментівможе привести до одержання різних оцінок того самого параметра.
Приклад 3.1.2 Випадковий розмір X має розподіл Пуассона:
/>
Знайдемо оцінку параметра X для двох
варіантів:
а) у якості початкового моменту візьмемо v1, одержимо:
/>
б) у якості початкового моменту візьмемо v2; одержимо:
/>
Оцінки — різні. Звичайно, краще перша: А, = х як більшпроста і відповідному змісту параметра пуассонівського розподілу:
l= MX, томуза А, природно прийняти х — гарну точечну оцінку математичного чекання.
Однак не всі одержувані методом моментів оцінки мають властивості«гарної оцінки». Так, отримана в прикладі 3.1.1 оцінка
/>
дисперсії σ2 не має властивістьнезміщеності а є асимптотично незміщеною оцінкою: lim/> мd/>= lim/>n-1/n*/>/>=/>, тобто при великих п можнавважати, що />не зміщена щодо />.
Приведемо без доказу теорему про функції від моментів, із якоївипливають визначені властивості оцінок методу моментів.
Припустимо, що /> єфункцією двох вибіркових моментів vk і vm: />=h(v/>,vm), що не містить явно п.Позначимо /> =h(v/>,vm), де vk =Mvk, a vm= M/vm (останні дві рівності вірні в силу властивості незміщенностівибіркових початкових моментів),
/>/>/>
Теорема стверджує: якщо в деякій околиці точки (v/>,vm), функція hбезперервна зі своїми першими і другими похідними, то при великих п розподілвипадкового розміру />=h(v/>,vm) близько донормального (/>n має асимптотичнонормальний розподіл) із математичним чеканням, рівним В, і дисперсією, рівної
/> (3.5)
де С2(/>) —деяка постійна, що залежить від />.(Теорему можна поширити на будь-яку кількість моментів — аргументів функції h)
З теореми випливає, що при виконанні досить загальних умов оцінкаметоду моментів />), при великих пзадовольняє наступним співвідношенням:
/> (3.6)
тобто оцінка методу моментів є асимптотично незміщенною,
/> (3.7)
Переконаємося в тому, що /> маєвластивість забезпеченості.Дійсно, нерівність Чебішева для розміру /> привеликих п, прийме вид:
/>
звідси одержимо, що при п -/> P(//>-/>/)/>1.
Уведемо поняття ефективності й асимптотичної ефективності незміщеноїоцінки скалярного параметра />.
Ефективністю е(/>) незміщеноїоцінки /> параметра /> називають відношення min DQn(/>є s)— мінімальноможливого значення дисперсії оцінки в класі S всіх незміщених оцінок параметра /> до дисперсії D/>n розглянутої оцінки.При виконанні функцією щільності fх(х, 0) [функцієюімовірності Р(Х =х, />)] доситьзагальних умов регулярності: дифференційованих по />,незалежності області визначення від /> і т. д.— має місце нерівність Рао—Крамера—Фреше:
/> (3.8)
де i(/>) — кількістьінформації про параметр />, щоміститься в одиничному спостереженні, визначається співвідношенням
/> (3.9)
(i(/>) — деякапостійна, що залежить від />). Тому
/> (3.10)
якщо е(/>) = 1, то /> — ефективна оцінкапараметра /> у класі S усіх
його незміщенних оцінок.
Асимптотичноїефективністю оцінки /> називають розмір
/> (3.11)
якщо />(/>) = 1 то /> — асимптотична ефективнаоцінка (очевидно, що ефективна оцінка буде й асимптотично ефективною).Знайдемо вираження для асимптотичної ефективності оцінки
/>/>. Тому що привеликих п оцінку />/> можна вважати незміщеною,то з урахуванням формул (3.11,3.10,3.7) одержимо
/>
Приклад 3.1.3 Переконаємося в тому, що знайдена методоммоментів по випадковій вибірці з генеральної сукупності X ~ N (а, а)оцінка X параметра а є ефективної в класі не зміщених оцінок, аоцінка />/>/>2 параметра />2 є, післявиключення зміщення, асимптотично ефективною.
Оцінка X — незміщена, і DX = />2/п. Припустивши,що />2 відома, івикористовуючи формулу (3.10), у якій, з обліком нормальності розподілу,
1(а) = М(dln f/>(x,a)/da)/> = 1/ />2 одержимо, що е(/>) = 1. Звідси X — ефективнаоцінка.
Оцінка /> - зміщена; виключившизміщення, одержимо оцінку
/>/>
дисперсія котрої Ds/> =2/>/n-1.
Припустивши, що а відомо, і використовуючи вираження (3.10),у котрому, с обліком нормальності розподілу,
/>
одержимо, що ефективність е(s2) =(n – 1/n)e0(s2) = lim/> e(s2)= 1. Отже, s2 – асимптотична эффективна оцінка.
Зауваження.
Незміщеною і ефективною оцінкою дисперсії є використовувана привідомому значенні параметра а оцінка s/> =/>/>(Xі-a)/> / п, тому що Мs/> = />2, Ds/> = 2/>/n и е(s/>) = 1.
При виконанні досить загальних умов усі три оцінки: />2,s2і s/>/> забеспечені.
У приведеному прикладі оцінки методу моментів X і />2 є відповідноефективної й асимптотично ефективної. Однак подібні приклади швидке виключення:набагато частіше оцінки методу моментів із погляду ефективності не є найкращимиз можливих навіть при великих п. Р. Фишер показав, що асимптотичнаефективність цих оцінок часто значно менше одиниці. Асимптотично ефективніоцінки можуть бути отримані методом максимальної правдоподібності.
3.1.2 Метод максимальної правдоподібності
В основі методу максимальної правдоподібності лежить поняттяфункції правдоподібності. Нехай Х= (Х/>,Х2,..., Хп) — випадкова, а х = (х/>, х/>,..., хп) —конкретна вибірки з генеральної сукупності X. Нагадаємо, випадковоїназивають вибірку, що задовольняє наступним умовам:
випадкові розміри Х/>, Х2,,..,Хпнезалежні, тобто
/> (3.12)
/> (3.13)
розподіл кожною з розмірів Х/> збігаєтьсяз розподілом розміру X, тобто при і= 1, 2,..., n.
/> (3.14)
Функція правдоподібності — це функція L (х, />), значення якої вточці х визначається співвідношенням:
/>
З визначення випливає: чим ймовірніше при фіксованому /> набір х, тим більшезначення функції правдоподібності L (x, />),звідси і її назва.
Отже,
/> (3.15)
Відповідно до методу максимальної правдоподібності оцінкамаксимальної правдоподібності /> (п)= (/>/>п),/>,..., />) параметра /> = (/>, />,..., />), при заданомунаборі х визначається з умови:
/> (3.16)
де {/>} — областьприпустимих значень для />.
Природність такого підходу до визначення оцінки /> випливає зі змісту функціїL: при фіксованому /> функціяL (х, 0) — міра правдоподібності набору х; тому, змінюючи />, можна простежити, прияких його значеннях набір є більш правдоподібним, а при яких — менше, і вибратитаке значення />, приякому наявний набір х буде найбільш правдоподібним.
У ряді випадків /> зручнішевизначати з умови:
In £(х, />) = /> In L(x, />) (3.17)
ідентичного умові (3.16): якщо замість функції L узяти In L,крапка максимуму не зміниться. Функцію In L (х, 0) називаютьлогарифмічною функцією правдоподібності.
Відповідно до формули (3.17), для знаходження />(П)випливає:знайти вирішення системи рівнянь максимальної правдоподібності
/> (3.18)
при цьому вирішенням вважається лише такий набір />* = (/>*,/>*,..., />*), що задовольняє (3.18),у якому кожне />* дійсно залежитьвід х;
серед вирішень, що лежать усередині області {/>}, виділити крапкимаксимуму;
якщо система (3.18) не визначена, не розв'язна або якщо серед їївирішень немає крапки максимуму усередині {/>},то крапку максимуму варто шукати на границі області {/>}.
Приклад 3.2.1 Знайдемо методом максимальної правдоподібностіоцінки параметрів а і b = σ2 нормальногорозподілу.
Відповідно до формули (3.15), функція правдоподібності
/>
логарифмічна функція правдоподібності
/>
Приватні похідні:
/>
/>
/>
Перевіримо достатні умови максимуму функції In L у точці (а*, b*).
Знайдемо:
/>
тому що ∆ >0, А(а*= />,b*=/> ] є крапкою максимумуфункції In L. Тому оцінки максимальної правдоподібності />=х, />=/>. Оцінки збіглися зоцінками методу моментів.
Приклад 3.2.2 Знайдемо методом максимальної правдоподібностіоцінки параметрів а і bрівномірного на відрізку [а,b] розподіли.Відповідно до формули (3.15), функція правдоподібності
/>
При першій умові система (3.18) не розв'язна, при другому — невизначена. Оцінки /> і /> варто шукати на границіобласті припустимих значень для а і b:
/>
де />а />. Тоді умова (3.16)прийме вид:
/>
Тому що функція L(a,b) =1/(b — а)" убуває призростанні bи убуванні а, то її максимум на області {/>} досягається в точці />.
Приклад 3.2.4 Випадковий розмір Х- число успіхів водиничному випробуванні: Р(Х = х) = рх(1 – р)1-х,х = 0,1; р — імовірність успіху в одиничному випробуванні. Знайдемооцінку максимальної правдоподібності /> розташовуючивибіркою х1, х2..., хп, де хі — число успіхів у і-м випробуванні.
/>
де т — число успіхів у л випробуваннях Бернуллі (таку жоцінку можна одержати і методом моментів). Ця оцінка заможна, незміщена і, учому неважко переконатися, ефективна.
Відзначена вище природність визначення оцінок максимальноїправдоподібності з умови (3.16) підкріплюється їхніми гарними властивостями.Якщо функція щільності fx (х, 9) (функція імовірності Р(Х = х, 9),якщо-дискретна) задовольняє досить загальним умовам регулярності, оцінкамаксимальної правдоподібності /> має привеликих я розподіл, близький до нормального з математичним чеканням, рівним />, і дисперсією, рівної 1/[пІ(/>)], де І(/>) визначаєтьсяспіввідношенням (3.9), є заможної, асимптично несумісної і асимптичноефективної; більш того, якщо існує ефективна оцінка параметра, вона буде єдинимвирішенням рівняння максимальної правдоподібності.
Крім описаних методів оцінювання параметрів існує ряд інших, наприклад методнайменших квадратів, відповідно до котрого
оцінка /> параметра /> знаходиться з умови:
/> (3.19)
Звернемо увагу на те, що математичного чекання нормальногорозподілу з відомим значенням дисперсії умова (3.19) ідентично умові методумаксимальної правдоподібності (3.16).
В останні роки розвиваються так називані робастні, або стійкі,методи оцінювання, що дозволяють знаходити оцінки, хоча і є не найкращими врамках передбачуваного закону розподілу, але має досить стійкі властивості привідхиленні реального закону від передбачуваного.
3.2 Поняття інтервальної оцінки. Інтервальні оцінкипараметрів нормального розподілу
Обчислена на основі вибірки оцінка /> єлише наближенням до невідомого значення параметра /> навітьу тому випадку, коли ця оцінка заможна, незміщена й ефективна. Виникає питання:не можна чи зазначити таке А, для якого з заздалегідь заданої близької доодиниці імовірністю 1 — α гарантувалося б виконання нерівності: |/>-/>|
/> (3.2.1)
Якщо таке А існує, то інтервал (/>-∆,/> +∆) називають іньервальноїоцінкою параметра 9, або довірчим інтервалом; />-∆, /> + ∆ — нижньої іверхньої довірчими границями; ∆ — помилкою оцінки />, 1-α — надійністю інтервальноїоцінки, або довірчою імовірністю. Вибір довірчої імовірностівизначається конкретними умовами; звичайно використовуються значення 1 — α,рівні 0,90; 0,95; 0,99.
Оцінка />, будучи функцієювипадкової вибірки, є випадковим розміром, ∆ також випадкова: її значеннязалежить від імовірності 1 — α і, як правило, від вибірки. Тому довірчийінтервал випадковий і вираження (3.2.1) варто читати так: «Інтервал (/>-∆,/> +∆ накриє параметр /> з імовірністю 1 — α»,а не так: «Параметр /> потрапить у інтервал(/>-∆,/> +∆ з імовірністю 1 — α».
У формулі (3.2.1) границі довірчого інтервалу симетричні щодокрапкової оцінки. Однак не завжди вдасться побудувати інтервал, що володієтакою властивістю. Для одержання довірчого інтервала найменшої довжини при заданомуоб'ємі виборки п і заданої довірчої імовірності 1 — а в якості оцінки /> параметра /> варто брати ефективну або асимптотичноефективну оцінку.
Існує два підходи до побудови довірчих інтервалів.
Перший підхід, якщо його вдасться реалізувати, дозволяє будуватидовірчі інтервали при кожному кінцевому об'ємі вибірки п. Он заснованийна доборі такої функції ψ (/>,/>), називаної надалі статистикою,щоб:
її закон розподілу був відомий і не залежав від />;
функція ψ(/>,/>) була безупинної і строгомонотонної по />.
Задавшись довірчою імовірністю 1- α, знаходять двостороннікритичні границі /> />, що відповідаютьімовірності а. Тоді з імовірністю 1 — α виконується нерівність І
/> (3.2.2)
Вирішивши цю нерівність щодо 0, знаходять границі довірчогоінтервалу для />. Якщо щільністьрозподілу статистики в ψ(/>,/>) симетрична щодо осі 0у,то довірчий інтервал симетричний щодо />.
Другий підхід, що одержав назву асимптотичного підходу, більшуніверсальний; однак він використовує асимптотичні властивості крапкових оцінокі тому придатний лише при досить великих об'ємах вибірки.
Розглянемо перший підхід на прикладах довірчого оцінюванняпараметрів нормального розподілу.
Інтервальна оцінка математичного чекання при відомійдисперсії. Отже, Х~ N (а, σ), причому значення параметра а невідомо, а значення дисперсії а2 відомо.
При Х~ N (а, σ) ефективною оцінкою параметра а єX, при цьому X ~ N(a,σ а/√п). Статистика /> має розподіл N(0;1)незалежно від значення параметра а і як функція параметра а безупиннаі строго монотонна. Отже, з обліком нерівності (3.2.2) і симетричностідвосторонніх критичних границь розподілу y(0; 1) будемо мати:
/>
Вирішуючи нерівність /> щодо а,одержимо, що з імовірністю 1 — α виконується нерівність
/> (3.2.3)
при цьому
/> (3.2.4)
що відповідає результату (6.1.23); число иазнаходятьз умови Ф(uа) = (1-α)/2.
Зауваження. Якщо п велике, оцінку (3.2.3) можнавикористовувати і при відсутності нормального розподілу розміру X, томущо в силу наслідку з центральної граничної теореми при випадковій вибірцівеликого об'єму п
/>
Зокрема, якщо Х = ц, де ц — випадкове число успіхів увеликому числі п випробувань Бернуллі, то
/>
і з імовірністю ≈ 1 — α для імовірності р успіхув одиничному випробуванні виконується нерівність
/> (3.2.5)
Замінюючи значення p іq=1-pn лівій і правійчастинах нерівності (3.2.4) їхніми оцінками /> і/>, що припустимо привеликому п, одержимо наближений довірчий інтервал для імовірності р:
/> (3.2.6)
Приклад 3.2.1 Фірма комунального господарства бажає на основівибірки оцінити середню квартплату за квартири визначеного типу з надійністю неменше 99% і погрішністю, меншої 10 д.е. Припускаючи, що квартплата маєнормальний розподіл із середнім квадратичнім відхиленням, що не перевищує 35 д.е.,знайдіть мінімальний об’єм вибірки.
Вирішення. За умовою потрібно знайти таке п, при якому />, де а і Х- генеральнаі вибіркова середні.
Прирівнявши 1 — α = 0,99, по табл. П. 4.1 знайдемо числоиа, при якому Ф(/>) = (1 — α)/2 = 0,495; и0.01=2,6. При ∆ =10 і α = 35із формули (3.2.4) одержимо п =/>=82,81. Але тому що з ростом 1 — α і зменшенням ∆ зростає п, топ > 82,81 і птin= 83 (звичайно, при зменшенніверхньої границі для про буде зменшуватися і птin). Т
Інтервальна оцінка математичного чекання при невідомійдисперсії. Отже, Х~ N (а, о), причому числові значення ні а, ніα2 не відомі. По випадковій вибірці знайдемо ефективну оцінкупараметра а: /> і оцінку /> параметра σ2.
Побудова інтервальної оцінки для а засновано на статистику />, що при випадковій вибірціз генеральної сукупності Х~ N (а; σ) має розподіл Стьюдента з (п- 1) ступенем волі незалежно від значення параметра а і як функціяпараметра а безупинна і строго монотонна.
З обліком нерівності (3.2.2) і симетричності двосторонніхкритичних границь розподілу Стьюдента будемо мати:
/>
Вирішуючи нерівність />-ta відносноа, одержимо, що з імовірністю 1 — α виконується нерівність
/> (3.2.7)
і помилка оцінки X при невідомому значенні параметра о2
/> (3.2.8)
де число />знаходять потабл. П. 4.2 при k=n-1 пр = α.
Зауваження. При k=п-1>30 випадковий розмір t(k) маєрозподіл, близьке до N (0; 1), тому з імовірністю ≈ 1 — α
/> (3.2.9)
Приклад 3.2.2 Для галузі, що включає 1200 фірм, складенівипадкова вибірка з 19 фірм. По вибірці опинилося, що у фірмі в середньомупрацюють 77,5 чоловік при середньому квадратичному відхиленні s = 25чоловік. Користуючись 95%-нім довірчим інтервалом, оціните середнє числопрацюючих у фірмі по всій галузі і загальне число працюючих у галузі.Передбачається, що кількість працівників фірми має нормальний розподіл.
Вирішення. При k = n -1 = 18 і р = α = 1 — 0,95= 0,05 знайдемо в табл. П. 4.2 t005 = 2,10. Довірчий інтервал (3.2.7)прийме вид: (65,5; 89,5). З імовірністю 95% можна стверджувати, що цей інтервалнакриє середнє число працюючих у фірмі по всій галузі. Тоді довірчий інтервалдля числа працюючих у галузі в цілому такий: (1200-65,5; 1200-89,5). Т
Інтервальна оцінка дисперсії (середнього квадратичноговідхилення) при відомому математичному чеканні. Ефективною оцінкою дисперсіїв цьому випадку є />.
Використовуються два варіанти інтервальної оцінки для σ2(σ).
1. Основу першого варіанта складає статистика
/> (3.2.10)
який має розподіл%2 із п ступенями волінезалежно від значення параметра а2 і як функція параметра а2> О безупинна і строго монотонна.
Отже, з обліком нерівності (3.2.2) будемо мати:
/>
де /> і /> — двосторонні критичніграниці Х2-распределения з п ступенями волі.
Вирішуючи нерівність /> щодо α2,одержимо, що з імовірністю 1 — α виконується нерівність
/> (3.2.11)
і з такою же імовірністю виконується нерівність
/> (3.2.12)
Числа /> і /> знаходять по табл. П. 4.3при k = п і відповідно при р=α/2 і р=1-α/2.Інтервальна оцінка (3.2.12) несиметрична щодо />.
2. Другий варіант припускає знаходження інтервальної оцінки для апри заданій надійності 1 — α у виді
/> (3.2.13)
При 5а і помилка оцінки />, щогарантуєтьсяз імовірністю 1 — α,
/> (3.2.14)
Як знайти 8а? Вирішуючи нерівність (3.2.13) щодо n/>/σ², одержимо,що з імовірністю 1 — α виконується нерівність
/> (3.2.15)
або, з огляду на формулу (3.2.10) і замінивши п на k, а α нар,
/> (3.2.16)
Значення/>, задовольняють рівнянню(3.2.16) при різних р та k,приведені дотаблиці П. 4.6.
Тоді,
/> (3.2.17)
де /> — число,знайдене в табл. П. 4.6 при k = п и р = а.
Інтервальна оцінка дисперсії (середнього квадратичноговідхилення) при невідомому математичному чеканні. Найкращою крапковоюоцінкою дисперсії в цьому випадку є />, іпобудова інтервальної оцінки для а2 засновано на статистику />, який при випадковійвибірці з генеральної сукупності Х~ N(a; α) має розподіл Х2із (п — 1) ступенем волі.
Проробивши викладення для розміру Х2(п — 1),подібні викладенням при відомому математичному чеканні, одержимо два варіанти інтервальноїоцінки для а2 (σ):
/> (3.2.18)
/> (3.2.19)
де числа /> і /> знаходять по табл. П. 4.3при k = п — 1 і відповідно при р = α/2 і р=- 1 — α/2.
/>(3.2.20) (3.2.21)
при цьому помилка оцінки s, що гарантується з імовірністю 1- α,
/>(3.2.22)
число 5га знаходять по табл. П. 4.6 при k = п —1 і р = α.
Зауваження. При k = п — 1 > 30 випадковий розмір Х2(к)має розподіл, близьке до />, томуз імовірністю ≈ 1 — α
/> (3.2.23)
Приклад 3.2.3 Варіація щодобового прибутку випадково обраних 10кіосків деякої фірми, обмірюване розміром /> де /> - прибуток і-гокіоска, опинилася рівної 100 д. е. Знайдіть таке ∆, при якому знадійністю 90% можна гарантувати, що варіація прибутку по всіх кіосках фірми невийде за межі 100 + ∆. Передбачається, що прибуток — нормальнорозподілений розмір.
Тому що середній прибуток кіоску по усій фірмі не відомий іінтервал для про повинний бути симетричним щодо s, для розрахункупомилки оцінки s при 1 — а = 0,9 скористаємося формулою (3.2.22).
При k = 9 та р= α = 0,1 по табл. П. 4.6 знайдемо /> = 0,476; тоді ∆ =47,6. З надійністю 90% можна стверджувати, що генеральна варіація прибутку кіоскуне вийде за межі 100 + 47,6.
Приклад 3.2.4 Користуючись 90%-нім довірчим інтервалом, оцінитев умовах завдання 7.2 варіацію працюючих у фірмі по всій галузі.
Вирішення. За умовою п = 19, s = 25, 1 — α =0,9. Знайдемо два варіантидовірчого інтервалу:
Відповідно формулі (3.2.19)
/>
а тому що при k = п-1 = 18 верхня довірча границя />, а нижня />(див. табл. П. 4.3),то 19,740 s.
2. Відповідно до рівняння (3.2.21),
/>
а так як при k = п -1 = 18 50, />=0,297 (див. табл. П. 4.6), то 17,575s. Вона, як і випливало очікувати, відрізняється відпопередньої інтервальної оцінки, однак />
3.2.1 Асимптотичнийпідхід до інтервального оцінювання
З прикладами інтервальних оцінок, що мають місце тільки привеликих об'ємах вибірок, ми вже зштовхувалися. Так, якщо розподіл випадковогорозміру X відмінно від нормального, але п велике, то зімовірністю ≈ 1 — а інтервальна оцінка для MX = а має виднерівності (3.2.3); з імовірністю ≈ 1-а інтервальна оцінка для р привеликих п має вид нерівності (3.2.6) і т. д. [див. нерівності (3.2.9),(3.2.23)].
Розглянемо асимптотичний підхід у загальному випадку.
Раніше було встановлено, що при виконанні досить широких умовоцінка /> параметра />, отримана або методоммоментів або методом максимальної правдоподібності, має в самому загальномувипадку асимптотичний нормальний розподіл і асимптотично несумісної, тобто привеликих п оцінка />. Однакна відміну від ситуації, розглянутої на раніше, де дисперсія D/> оцінки />передбачалася відомої, узагальному випадку дисперсія D/>оцінки/> залежить відоцінюваного невідомого параметра θ:
/> (3.2.24)
Тому напряму перший підхід до довірчого інтервалу неприйнятий.
Порушимо питання так: не можна чи перетворити оцінку /> уg– g(/>) це невідомий параметр /> у g= g (θ) так, щоб дисперсія D/> не залежала від θ.Викладемо схему доборутакого перетворення, а потім пояснимо, як, використовуючи його, знайти інтервальну оцінку для θ.
Нехай θ — оцінка методу моментів: θ, а отже, і g = g(θ)є функціями вибіркових моментів. Тоді, відповідно до теореми про властивостіфункцій вибіркових моментів (див. 3.1), розподіл оцінки /> при великих п близькодо нормального, /> і, зобліком виражень (3.5) і (3.2.25),
/>
(аналогічні вираження утворюються і для оцінок максимальноїправдоподібності в регулярному випадку). Але тому що дисперсія D/>не повинна залежати відθ, то вираження c(θ) g'(θ) повинно бути постійним, наприклад, c(θ)g'(θ)= 1. Тоді g'(θ)=1/ c(θ) і
/> (3.2.25)
при цьому довільна постійна в невизначеному інтегралі вибираєтьсяз розумінь простоти остаточних виражень.
Отже, при великих п розподіл оцінки />близько до нормального,при цьому />, a /> і, отже,
/>
Тому при великих п для g(9) з імовірністю * I — а має місценерівність, подібна нерівності (3.2.3):
/> (3.2.26)
Застосувавши до всіх частинам нерівності (3.2.26) перетворений не />, що є зворотною функцієюдо функції g, одержимо інтервальну оцінку для θ.
Приклад 3.2.5 Побудуємодовірчий інтервал для параметра розподілення Пуассона: Р(Х = х) =/>л.
У прикладі 3.2.2 була знайдена оцінка методу моментів /> параметра />; /> будучи оцінкою методумоментів, має асимптотично нормальний розподіл (ця властивість оцінки /> випливає також і зцентральної граничної теореми), при цьому /> -оцінка, тому що />, а дисперсіяоцінки />, залежить від параметраλ:
/>
Зіставивши вираження для /> свираженням (3.2.24), одержимо />/>
і, відповідно до рівності (3.2.25),
/>
Зурахуванням виду функції />нерівність(3.2.26)
/> (3.2.27)
Для функції /> прих ≥ 0 і у ≥ 0 зворотна функція />. Тому, якщо в нерівності (3.2.27)
/>
то, застосувавши до всіх його частинам перетворення /> одержимо нерівність
/> (3.2.28)
яке виконується при великих п з імовірністю ≈1- α.
Приклад 3.2.6 Побудуємодовірчий інтервал для р — імовірності успіху в одиничному випробуванні.
У прикладі 3.2.4 методом максимальної правдоподібності для рбула знайдена оцінка />, де /> - випадкове число успіхіву п випробуваннях Бернуллі; р має асимптотичний нормальнийрозподіл, при цьому М/> = р, aD/>= р(1 – р)/п — дисперсіязалежить від параметра р.
Зіставивши вираження для D/> ізвираженням (3.2.24), одержимо
/>і, відповідно доформули (3.2.25),
/>
З обліком виду функції g(p) нерівність (3.2.26) прийме вид:
/> (3.2.29)
Для функції /> при 0 , де 0 у .Тому, якщо в нерівності (3.2.29)
/> та />, то застосувавши до всіхйого частинам перетворення />одержимонерівність;
/>
який виконується при великих п зімовірністю ≈1 — α.
4.РозподілПуассона
Нехайвиробляється п незалежних іспитів, у кожнім з який імовірність появи події Адорівнює р. Для визначення імовірності k появ події в цихіспитах використовують формулу Бернуллі. Якщо ж п велико, токористаються асимптотичною формулою Лапласа. Однак, ця формула непридатна, якщоімовірність події мала (р≤0,1). У цих випадках (п велико, рмало) прибігають до асимптотичною формулою Пуассона.
Отже,поставимо своєю задачею знайти імовірність того, що при дуже великому числііспитів, у кожнім з який імовірність події дуже мала, подія наступить рівно k раз.
Зробимоважливе допущення: добуток пр зберігає постійне значення, а саме і пр=λ.Як буде випливати з подальшого це означає, що середнє число появ події в різнихсеріях іспитів, тобто при різних значеннях п, залишається незмінним.Скористаємося формулою Бернуллі для обчислення цікавлячої нас імовірності:
/>
Томущо пр=λ те /> Отже,
/>
Прийнявшив увагу, що п має дуже велике значення, замість /> знайдемо />. При цьому буде знайдене лишенаближене значення імовірності, що відшукується: хоча і велико, але звичайно, апри відшуканні межі ми спрямуємо п д о нескінченності. Отже,
/>
Отже (дляпростоти запису знак наближеної рівності опущений),
/>
Цяформула виражає закон розподілу Пуассона імовірностей масових (п велике)рідких (р мале) подій.
Зауваження.Маються спеціальні таблиці користаючись якими можна з найти Pn(k). знаючи k і λ.
Висновок
У цій курсовій роботі ми розглянули апарат теорії ймовірностей іматематичної статистики який використовується для аналізу динаміки об’ємівбанківських депозитів. Цей апарат використовується у багатьох банківськихсистемах та різних за призначенням галузях країн в тому числі і нашої країни.
Отже,предметом теорії ймовірностей є вивчення імовірнісних закономірностей масовиходнорідних випадкових подій. Знання закономірностей, яким підкоряються масовівипадкові події, дозволяє передбачати, як ці події будуть протікати. Методитеорії ймовірностей широко застосовуються в різних галузях природознавства ітехніки: у теорії надійності, теорії масового обслуговування, у теоретичнійфізиці, геодезії, астрономії, теорії стрілянини, теорії помилок спостережень,теорії автоматичного керування, загальної теорії зв’язку й у багатьох іншихтеоретичних і прикладних науках. Теорія ймовірностей служить, також дляобґрунтування математичної і прикладної статистики, що, у свою чергу,використовується при плануванні й організації виробництва, при аналізутехнологічних процесів, попереджувальному і приємному контролі якості продукціїта для багатьох інших цілей.
Востанні роки методи теорії ймовірностей все ширше і ширше проникають в різніобласті науки і техніки, сприяючи їх прогресу.
Список літератури
1. Колемаев В.А. Математическаяэкономика.- М: ЮНИТИ. 1998.
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В…Черемніх Ю.Н. Математические методи в экономике.- М.: ДИС. 1997.
3. Грубер И. Эконометрия.-Киев.: Изд. Астарта. 1996.
4. Колемаев В.А. и др.Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Вісш. шк… 1991.-400 с. 09.Толбатов Ю.А. Математична статистика та задачі оптимізації в алгоритмах і програмах. — Київ, 1991.
5. Венцель Е.С… Овчаров Л.Н.ТВ и ее инженерное приложение. — М.: Наука. 1988.
6. Розанов Ю.А. Теориявероятностей, случайні процесси математическая статистика. — М.: Наука. 1985.22. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Основи моделирования ипервичная обработка даних. -М.: Финанси и статистика. 198?.-471 с.
7. Айвазян С.А. и др.Прикладная статистика: Исследование зависимостей. — М.: Финансі и статистика.1985. -487 с.
8. Айвазян С.А. и др. Прикладнаястатистика: Классификация и снижение размерности. — М.: Финансі и статистика.1989. — 607 с.
9. Малахин В.И. Математическоемоделирование экономики.-М… 1998.
10. Красе М.С. Математика дляэкономических специальностей.- М.: ИНФРА-М. 1999.
11. Ляшенко И.Н… Ляшенко Е.И. Математикадля экономистов.- Донецк. 1998.
12. Сакович В.А. Исследование операций(детерминированніе методі и — модели) Справочное пособие.-Мн.: Віш.шк…1984.-254 с.
13. Зайченко Ю.П. Исследованиеопераций.-К: Виша.шк… 1988.
14. Вентцель Е.С. Исследованиеопераций. Задачи, принципі, методология.-М.: Наука, 1980-208 с.