--PAGE_BREAK--t-критерия Стьюдента на уровне значимости d=0,05.
Эта проверка проводится по единой схеме, с помощью гипотез.
Выдвигается нулевая гипотеза Н0о случайной природе полученного коэффициента, о незначимом его отличии от нуля, то есть гипотеза Н0состоит в том, что коэффициент=0. Альтернативная ей гипотеза Н1 состоит в том, что неслучайно, то есть полученный коэффициент статистически значим. Чтобы опровергнуть гипотезу Н0и подтвердить гипотезу Н1 должно выполняться неравенство на уровне значимости и с (n
–2) степенями свободы, где n– количество наблюдений, уровень значимости – вероятность совершить ошибку, отвергнув гипотезу Н0, когда она верна.
Для а1: Н0: а1=0, Н1: .
Рассчитаем стандартную ошибку коэффициента регрессии а1 – .
Потребуется сделать промежуточные вычисления: подставляя фактические значения хiв уравнение регрессии найдем смоделированные значения , затем вычислим разность между фактическими и смоделированными значениями, т.е. остатки , затем возведём остатки в квадрат еi
2и просуммируем; результаты представлены в расчетной таблице. Теперь подставим необходимые данные в формулу для расчёта : иt-статистики по модулю: .
Затем сравним наблюдаемое значение с табличным значением t-критерия Стьюдента. Табличное значение по таблице распределения Стьюдента на уровне значимости d=0,05 с n
–2=55-2=53степенями свободы: t
табл=2,01. Наблюдаемое значение t-статистики превышает табличное значение t-критерия: 22 > 2,01, то есть выполнено неравенство , а значит, гипотеза Н0о случайной природе полученного коэффициента отвергается и принимается альтернативная ей гипотеза Н1, свидетельствующая в 95% случаев остатистической значимости полученного коэффициента регрессии а1. Т.о., можно считать, что взаимозаменяемость товаров подтвердилась и статистически установлена.
Для а0: Н0: а0=0, Н1: .
Рассчитаем стандартную ошибку коэффициента регрессии а0– . Все необходимые цифры уже имеются в расчетной таблице, подставим эти данные в формулу: , а затем рассчитаем t-статистику по модулю: .
Сравнивая рассчитанное значение с табличным значением t-критерия Стьюдента на уровне значимости d=0,05 с n
–2=55-2=53степенями свободы: t
табл=2,01, где 2ta
t
табл >
ta
) можно сделать вывод, что коэффициент регрессии а0можно признать статистически значимым в 90% случаев.
Для
r
ух: Н0: r
ух=0, Н1: .
Для этого рассчитаем стандартную ошибку коэффициента корреляции r
ух– : иt-статистику по модулю: .
Сравнивая рассчитанное значение с табличным значением t-критерия Стьюдента на уровне значимости d=0,05 с n
–2=55-2=53степенями свободы: t
табл=2,01, можно сделать вывод остатистической значимости полученного коэффициента корреляции r
ухв 95% случаев, предполагаемая взаимозаменяемость товаров подтвердилась.
Проверим правильность вычислений: , действительно 22»22,7.
Доверительные интервалы для параметров регрессионной модели
a
и
a
1
Доверительный интервал для a
с надежностью g=1-d: . Выбрав уровень значимости d=0,05, получаем надежность g=0,95. Все необходимые цифровые значения уже рассчитаны ранее, тогда , откуда получаем (0,4312; 12,813).ыберемрительной вероятностью ров регрессионной модели
Доверительный интервал для a
1с надежностью g=1-d: . При выбранной надежности g=0,95: , откуда (0,32; 0,384).
Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что истинное значение параметра a
будет заключено в пределах от 0,4312 до 12,813, а истинное значение параметра a
1— в границах от 0,32 до 0,384.
Следует отметить, что доверительные интервалы узкие, т.к. значения стандартных ошибок и малы. А это подтверждает, что другие факторы оказывают несущественное влияние на покупательскую способность товаров. Основным фактором является выбранный фактор Х – замена растительным маслом. Значит, точность модели будет вполне приемлемой.
Оценка качества уравнения регрессии в целом
F
-критерий Фишера
Выдвигается нулевая гипотеза Н0о статистической незначимости уравнения регрессии. Альтернативная ей гипотеза Н1 о статистической значимости. Чтобы опровергнуть гипотезу Н0и подтвердить гипотезу Н1 должно выполняться неравенство .
Рассчитаем наблюдаемое значение F-критерия (воспользуемся свойством для линейной парной регрессии): .
Табличное значение по таблице распределения Фишера на уровне значимости d=0,05 с k
1=1 и k
2=n
–2=23-2=21степенями свободы: F
табл=4,03. Наблюдаемое значение F–критерия превышает табличное: 510,83 > 4,03, то есть выполнено неравенство , а значит, гипотеза Н0о случайной природе полученного уравнения регрессии отклоняется в пользу гипотезы Н1, свидетельствующей в 95% случаев оего статистической значимости и взаимозаменяемости товаров. Уравнение по данным выборки можно признать надежным и значимым, доказывающим наличие исследуемой зависимости.
Оценка аппроксимации модели
Потребуется сделать промежуточные вычисления: остатки еiразделим на фактические значения уi, полученные частные от этих делений возьмем по модулю и просуммируем; результаты представлены в расчетной таблице.
Средние ошибки аппроксимации: , . Ошибки почти совпадают и равны »25%.
В среднем смоделированные значения взаимозаменяемость животного масла отклоняются от фактических на 9-12%. Подбор модели к фактическим данным можно оценить как не точный, так как средняя ошибка аппроксимации превышает 20%.
Но, учитывая высокое качество модели и сильную линейную зависимость между Y(потребление животного масла) и Х (потребление растительного масла), эту модель можно использовать для прогнозирования с осторожностью.
Т.к. большую погрешность. Только при этом следует помнить, что в некоторых случаях прогнозы могут быть вполне точны, а в некоторых содержать немаленькую погрешность, до 12% в среднем.
Этап 7 Выводы, предложения. Прогнозирование
Прогнозирование по полученному уравнению регрессии
Полученные оценки уравнения регрессии не позволяют использовать его для качественного прогноза взаимозаменяемости товаров. Как уже говорилось, точность модели невысока. Можно её использовать лишь для того, чтобы составить приблизительное мнение о взаимозаменяемости и только в рассмотренный период.
Пусть прогнозное значение фактора х=300 кг (при этом реальное потребление животного масла в январе-феврале 2007 г. — 100 кг.) Точечный прогноз: кг.
Как видим, прогноз непригоден, сильно завышен.
Пусть прогнозное значение фактора х=90 кг (при этом реальная потребление животного масла в январе-феврале 2007 г. — 43 кг.)) Точечный прогноз: кг.
Как видим, в этом случае прогноз занижен, но более-менее соответствует действительности, особенно если учесть, что его погрешность 9-12%. Можно сделать поправку на эту погрешность, и тогда получим 32,902 кг., тоже не равно реальному значению. Реальное значение 43 кг., оказалось как раз между ними. Но как это угадать при неизвестном значении Y(продажа животного масла)?
Доверительный интервал для средней продажи животного масла при условии, при условии взаимозаменяемости растительным маслом, х=90 км с надежностью g=0,95: ,
где стандартная ошибка для средних значений: .
И даже этот доверительный интервал продаж животного масла от 34,242 до 42,362 кг. не включает в себя реального значения, занижает прогноз.
Доверительный интервал для индивидуальной продажи животного масла при условии, при условии взаимозаменяемости растительным маслом, х=90 кг с надежностью g=0,95: ,
где стандартная ошибка для индивидуальных значений:
.
В этот интервал продажи животного масла попало. Но интервал получился очень широким.
Таким образом, если продажа растительного масла равнялась 90 кг, то продажа животного масла в январе — феврале 2007 г. могла составлять от 15,374 до 61,23 кг. Этот интервал определяет границы, за пределами которых могут оказаться не более 5% значений цен, которые могли быть зафиксированы для взаимозаменяемых товаров.
Выводы, сделанные ранее о прогнозах по этой модели подтвердились. Ни точечный, ни интервальный прогноз не отличаются точностью, и с трудом пригодны для практического использования в отдельных случаях.
Расчетная таблица
№
xi2
yi xi
yi2
ei
ei2
Республика Адыгея
19154,56
7030,72
2580,64
4,5388
20,601
0,08934646
Республика Дагестан
21756,25
7493
2580,64
7,742
59,939
0,15240157
Республика Ингушетия
12769
5231,9
2143,69
0,098
0,010
0,00211663
Кабардино-Балкарская Республика
27889
10871,7
4238,01
0,306
0,094
0,00470046
Республика Калмыкия
11151,36
4804,8
2070,25
-1,7068
2,913
0,03751209
Карачаево-Черкесская Республика
27955,84
11185,68
4475,61
-1,4236
2,027
0,02127952
Республика Северная Осетия — Алания
39481,69
15121,07
5791,21
0,4644
0,216
0,0061025
Краснодарский край
63554,41
20949,51
6905,61
12,2612
150,337
0,14754753
Ставропольский край
38809
12588,3
4083,21
12,066
145,588
0,18882629
Астраханская область
47436,84
23609,52
11750,56
-25,1124
630,633
0,23166421
Волгоградская область
59097,61
22243,65
8372,25
0,6932
0,481
0,00757596
Ростовская область
58612,41
20941,65
7482,25
5,3412
28,528
0,06174798
Республика Башкортостан
68277,69
27593,28
11151,36
-7,0004
49,006
0,06629167
Республика Марий Эл
22320,36
9621,36
4147,36
-5,1892
26,928
0,08057764
Республика Мордовия
22831,21
8990,45
3540,25
0,3092
0,096
0,00519664
Республика Татарстан
71182,24
31615,8
14042,25
-17,9644
322,720
0,15159831
Удмуртская Республика
29825,29
11760,87
4637,61
-0,6876
0,473
0,01009692
Чувашская Республика
22410,09
8368,23
3124,81
3,4164
11,672
0,06111628
Пермский край
86730,25
35016,05
14137,21
-8,614
74,201
0,07244743
Кировская область
28324,89
8919,9
2809
12,8636
165,472
0,24270943
Нижегородская область
51619,84
18221,44
6432,04
6,3964
40,914
0,07975561
Оренбургская область
43932,16
15594,24
5535,36
6,0012
36,014
0,08066129
Пензенская область
33782,44
15218,64
6855,84
-11,4804
131,800
0,13865217
Самарская область
56216,41
20200,92
7259,04
4,8812
23,826
0,05729108
Саратовская область
36214,09
17222,15
8190,25
-16,8924
285,353
0,18665635
Ульяновская область
38690,89
15795,01
6448,09
-4,4396
19,710
0,05528767
Курганская область
37636
13308,4
4705,96
6,31
39,816
0,09198251
№
xi2
yi xi
yi2
ei
ei2
Свердловская область
81282,01
29707,42
10857,64
2,7772
7,713
0,02665259
Тюменская область
207025
78851,5
30032,89
-6,518
42,484
0,03761108
Ханты-Мансийский авт. округ-Югра
300084,84
121282,92
49017,96
-21,9524
481,908
0,09915266
Ямало-Ненецкий авт. округ
298225,21
106980,99
38376,81
2,9492
8,698
0,01505462
Челябинская область
53268,64
20079,6
7569
0,8636
0,746
0,00992644
Республика Алтай
23932,09
9854,39
4057,69
-2,6236
6,883
0,04118681
Республика Бурятия
36252,16
15270,08
6432,04
-6,5572
42,997
0,0817606
Республика Тыва
7744
3608
1681
-3,402
11,574
0,08297561
Республика Хакасия
29515,24
11493,42
4475,61
0,1956
0,038
0,00292377
Алтайский край
41168,41
13472,56
4408,96
11,6428
135,555
0,17534337
Забайкальский край
27989,29
13367,27
6384,01
-14,3884
207,026
0,1800801
Агинский Бурятский авт. округ
26503,84
11916,96
5358,24
-9,2724
85,977
0,12667213
Красноярский край
76673,61
28576,08
10650,24
0,8908
0,794
0,00863178
Иркутская область
44226,09
18821,85
8010,25
-8,8524
78,365
0,0989095
Усть-Ордынский Бурятский авт. округ
6839,29
3613,99
1909,69
-7,9676
63,483
0,18232494
Кемеровская область
66770,56
24108,72
8704,89
4,2788
18,308
0,04586066
Новосибирская область
52854,01
20805,95
8190,25
-2,9532
8,721
0,03263204
Омская область
74147,29
27965,21
10547,29
-0,2284
0,052
0,00222395
Томская область
74802,25
29264,5
11449
-4,106
16,859
0,03837383
Республика Саха (Якутия)
64821,16
29686,36
13595,56
-20,3588
414,481
0,17460377
Камчатский край
85966,24
26622,56
8244,64
19,0284
362,080
0,20956388
Приморский край
43388,89
15393,37
5461,21
6,0436
36,525
0,08178078
Хабаровский край
86436
24549
6972,25
26,61
708,092
0,31868263
Амурская область
34299,04
10445,28
3180,96
15,4124
237,542
0,2732695
Магаданская область
84448,36
28769,4
9801
9,9132
98,272
0,10013333
Сахалинская область
138532,84
42207,48
12859,56
24,2364
587,403
0,21372487
Еврейская автономная область
30276
11397
4290,25
2,37
5,617
0,03618321
Чукотский авт. округ
81681,64
30923,56
11707,24
-0,9764
0,953
0,00902403
Сумма
3256815,82
1228553,66
469716,49
»
5938,511
5,036
продолжение
--PAGE_BREAK--Проверка выполнения предпосылок МНК
Предпосылка 2. О гомоскедастичности остатков.
На Этапе 3 по полю корреляции и характеру стат. данных было сделано предположение о наличии гетероскедастичности. Проверим его с помощью теста Голдфельда-Квандта.
1. Упорядочиваем выборку по возрастанию фактора Х.
2. Полученную упорядоченную выборку делим на 3 примерно одинаковые части . Тогда 8 первых наблюдений, соответствующих малым значениям Х (потребление растительного масла), и 8 последних, соответствующих большим значениям Х (потребление растительного масла), оставляем. А 17 центральных данных удаляем из рассмотрения.
3. Сформировались две подвыборки:
№
У (потребление животное масло)
Х (потребление растительное масло)
Усть-Ордынский Бурятский авт. округ
43,7
82,7
Республика Тыва
41
88
№
У (потребление животное масло)
Х(потребление растительное масло)
Республика Калмыкия
45,5
105,6
Республика Ингушетия
46,3
113
Республика Адыгея
50,8
138,4
Республика Дагестан
50,8
147,5
Республика Марий Эл
64,4
149,4
Чувашская Республика
55,9
149,7
Республика Мордовия
59,5
151,1
Республика Алтай
63,7
154,7
Агинский Бурятский авт. округ
73,2
162,8
Кабардино-Балкарская Республика
65,1
167
Карачаево-Черкесская Республика
66,9
167,2
Забайкальский край
79,9
167,3
Кировская область
53
168,3
Республика Хакасия
66,9
171,8
Удмуртская Республика
68,1
172,7
Еврейская автономная область
65,5
174
№
У (потребление животное масло)
Х(потребление растительное масло)
Краснодарский край
83,1
252,1
Республика Саха (Якутия)
116,6
254,6
Кемеровская область
93,3
258,4
Республика Башкортостан
105,6
261,3
Республика Татарстан
118,5
266,8
Омская область
102,7
272,3
Томская область
107
273,5
Красноярский край
103,2
276,9
Свердловская область
104,2
285,1
Чукотский авт. округ
108,2
285,8
Магаданская область
99
290,6
Камчатский край
90,8
293,2
Хабаровский край
83,5
294
Пермский край
118,9
294,5
Сахалинская область
113,4
372,2
Тюменская область
173,3
455
Ямало-Ненецкий авт. округ
195,9
546,1
№
У (потребление животное масло)
Х (потребление растительное масло)
Ханты-Мансийский авт. округ-Югра
221,4
547,8
4. По известной процедуре МНК строим уравнения линейной парной регрессии для каждой из этих частей.
Получаем для первой части: продолжение
--PAGE_BREAK--