Курсовая работа
на тему:
«Вейвлет-анализсигналов иего применение»
1. Идея и возможностивейвлет-преобразования
вейвлет преобразование редактирование дискретный
Вейвлет-технологииначали серьёзно развиваться в 80–90 годы прошлого века, хотя первый типвейвлета был описан ещё в 1909 году учёным Хааром. Многие типы и семействавейвлетов были названы именами учёных, которые внесли большой вклад вразработку теоретических основ вейвлетов: Мейер, Добеши, Маллат.
Вейвлетанализ предлагает следующий логический шаг: метод выбора окна переменного размера.Вейвлет анализ позволяет использовать большие временные интервалы, где намнужна более точная информация о низкой частоте, и более короткие области, когданам нужна информация о высокой частоте.
Ряд Фурьеиспользует в качестве базиса синусоиды, которые предельно локализованы вчастотной области (вырождаются на спектрограмме в вертикальную линию), и вообщене локализованы во временной области.
Противоположныйпример – импульсная базисная дельта-функция d(t).Она чётко локализована вовременной области и потому идеально подходит для представления разрывовсигнала. Но она не несёт информации о частоте сигнала и потому плохоприспособлена для представления сигналов на заданном отрезке времени.
Вейвлетызанимают промежуточное положение между синусоидой и дельта-функцией и образуютнабор функций, удовлетворяющих определённым условиям (рассмотрим дальше).
Вейвлетыхарактеризуются своим временным и частотным образом.
Совокупностьвейвлетов, напоминающих модулированную синусоиду, способна отражать локальныеизменения сигналов.
Сравнениепредставления сигналов в различных областях
/>
Однимглавным преимуществом, которое предоставляет вейвлет, является возможностьпредставлять локальный анализ, т.е. анализировать локализованную область вбольшом сигнале.
/>
Графиккоэффициентов Фурье (например, полученный с помощью команды fft) этого сигнала непоказывает ничего особенно интересного: плоский спектр с двумя пиками,представляющими одну частоту. Однако график вейвлет коэффициентов яснопоказывает точное расположение во времени рассмотренного выше разрыва.
/>/>
Вейвлетанализ способен выявить следующие особенности данных, которые упускают другиеметоды анализа сигналов: точки разрыва, резкие нелинейности в высших гармоникахи самоподобие.
2. Свойства вейвлетов
Вейвлет («короткаяволна», «всплеск») – это волновая форма сигнала эффективно ограниченнойдлительности, которая имеет среднее значение ноль.
/>
Сравнимвейвлет с синусоидальной волной, которая является основой анализа Фурье.Синусоиды не имеют ограниченной длительности – они продолжаются от минус доплюс бесконечности. И где синусоиды гладкие и предсказуемые, вейвлеты стремятсябыть неровными и асимметричными.
/>
АнализФурье состоит из разложения сигнала на синусоидальные волны различных частот.Аналогично, вейвлет анализ это разложение сигнала на сдвинутые и масштабируемыеверсии первоначального (или материнского) вейвлета.
Можноинтуитивно увидеть, что сигналы с резкими изменениями должны анализироватьсялучше с помощью неравномерного вейвлета, чем с помощью гладкой синусоиды, атакже отдельные черты сигналов могут быть описаны лучше с помощью вейвлетов,которые имеют локальную протяженность.
Математическипроцесс анализа Фурье представлен преобразованием Фурье:
/>/>,
котороеявляется суммой по всему времени сигнала f(t) умноженного на комплексную экспоненту.
Результатамиэтого преобразования являются коэффициенты Фурье F(w), умножение которых на синусоиду соответствующей частоты даст синуснуюкомпоненту исходного сигнала. Графически этот процесс выглядит так:
/>
(Сигнал) (ПреобразованиеФурье) (Синусные компоненты исходного сигнала)
Аналогично, непрерывное прямое Wavelet-преобразование определяется как сумма по всему времени сигнала, умноженного намасштабируемые, сдвинутые версии вейвлет функции:
/>,
где y(t) – Wavelet-функция, f(t) – сигнал.
РезультатомНВП будет вейвлет коэффициенты С(t, a), которые являются функциейпозиции tи масштаба a.
Умножениемкаждого коэффициента С на соответственно масштабируемый исдвинутый вейвлет получают непосредственные вейвлеты исходного сигнала:
/>
Сигнал ВейвлетВейвлеты
преобразованиеисходного сигнала
/>
/>
Амплитудно-временное представлениенестаціонарного сигналаи его результат непрерывного вейвлет преобразования
Масштабированиевейвлета просто означает его растяжение (или сжатие).
Вводитсяпонятие – масштабный коэффициент, который обозначают буквой а.Если речь идет, например, о синусоидах, то эффект от масштабного коэффициентаочень легко увидеть:
/>
Чем большечастота, тем более сжатая синусоида.
Масштабныйкоэффициент действует и на вейвлеты. Чем меньше масштаб, тем более «сжатым»будет вейвлет.
/>
Из диаграммвидно, что для синусоиды sin(wt) масштаб а обратно пропорционален частоте w. Аналогично, свейвлет-анализом, масштаб обратно пропорционален частоте сигнала.
Сдвиг вейвлета просто означает задержку или ускорение его фронта.Математически задержка функции на k представляется в виде:
/>
Вейвлет функция/> Сдвинутая вейвлет функция />
2. Семейства вейвлет-функций
Можно привести несколько ярких представителей семействвейвлет-функцийHaar
/>Daubechies
/>
/>
Morlet-преобразование
/>
MexicanHat-преобразование
/>
Непрерывноепрямое вейвлет-преобразование
Длясоздания НВП необходимо выполнить следующих пять шагов:
1. Взять вейвлет и установить его на начальный интервал исходногосигнала.
2. Вычислитькоэффициент С, который показывает как тесно коррелированнывейвлет и сигнал на этом интервале. Высокое значение С означаетбольшую схожесть. Заметьте, что результаты будут зависеть от формы вейвлета,выбранного Вами.
/>
3. Сдвинутьвейвлет вправо и повторять шаг 1 и 2 до тех пор, пока Вы не исследуете весь сигнал.
/>
4. Масштабировать(растянуть) вейвлет и повторить шаги 1 – 3.
/>
5. Повторитьшаги 1 – 4 для всех масштабов.
Послевыполнения данной последовательности, будут рассчитаны коэффициенты С,полученные для разных масштабов и разных интервалов сигнала.
Можно построить график, накотором ось абсцисс представляет позицию вдольсигнала (время), ось ординат представляет масштаб, ацвет точек графика представляет значение вейвлет – коэффициентов С.Ниже представлены графики коэффициентов, выполненные с помощью графическогоинструментария.
/>
Трёхмерное представление результатов расчёта – графики коэффициентовнапоминают вид сверху на неровную (ухабистую) поверхность.
/>
Это график коэффициентов непрерывного вейвлет преобразования сигналаво временной области. Этот вид информации о сигнале отличается от частотно-временного вида (Фурье), но они связаны.
Из графиков видно, что чем выше масштаб, тем «протяженнее»вейвлет. Чем протяженнее вейвлет,тем длиннее часть сигнала, с которой он сравнивается, и более крупные чертысигнала будут измерены вейвлет коэффициентами.
/>
Таким образом, есть связь междумасштабом вейвлет и частотой, как показано вейвлет анализом:
Малый масштаб а Þ Сжатый вейвлет Þ быстро изменяющиесясоставляющие Þ высокая частота w.
Большой масштаб а Þ Растянутый вейвлет Þ медленно изменяющиеся,крупные черты Þ низкая частота w.
Непрерывноеобратное вейвлет-преобразование
Обратноенепрерывное вейвлет-преобразование осуществляется по формуле реконструкции вовременной области. Одна из форм может быть представлена
/>
где f(t) – восстановленный сигнал, y(t)– вейвлет-функция, С(t, a) – вейвлет коэффициенты,которые являются функцией позиции tи масштаба a, Ky– коэффициент, зависящий отвыбора вейвлет-функции,R– область ограничения сигнала.3. Дискретное вейвлет преобразованиеДискретное вейвлет преобразование одномерного сигнала
Цифровая обработкасигнала требует его дискретизации. Как и в случае преобразования Фурьесуществует дискретная форма вейвлет преобразования. Выше было отмеченаопределенная степень свободы в выборе базиса вейвлет преобразования. В данномразделе нами будет использоваться один из самых простых вейлвет базисов – базисХаара.
Рассмотримдискретизированный и квантованный сигнал (сигнал 2.1) – рисунок 2.1 (а). Будемпостепенно усреднять данный сигнал, усредняя попарно его отсчеты. Такимобразом, каждый шаг усреднения будет сокращать разрешение сигнала в 2 раза (т.е.для его представления будет требоваться в два раза меньшее число отсчетов).Однако при таком усреднении мы теряем часть информации о сигнале, для тогочтобы восстановить сигнал после усреднения нам потребуется дополнительнаяинформация. Будем сохранять разности между усредненным отсчетом и отсчетами, изкоторых усредненный отсчет состоит при более высоком разрешении. Данныеразности показывают детали сигнала – его флуктуации вокруг среднего при данномуровне разрешения. На рисунке 2.1 детализирующее коэффициенты показаны в правойчасти рисунков 2.1 (б, в, г, д). Теперь воспользовавшись детализирующимикоэффициентами мы сможем восстановить прежнею форму сигнала.
Такимобразом, для того чтобы перейти от одного, более низкого уровня разрешения кболее детализированному уровню нам требуется знать усредненные отсчеты сигналаи детализирующие коэффициенты.
Заметим,что сигнал 2.1, изображенный на рисунке 2.1 (а), может быть представленследующим образом – />, где -/> некоторые базисные функции, а /> – координаты сигнала 2.1 в этом базисе. Очевидно, что если мывыберем в качестве /> единичную ступеньку, изображенную на рисунке 2.2 (а), то,сдвигая /> необходимое число раз, мы сможем представить сигнал 2.1 спомощью суммы таких единичных ступенек. Таким образом, мы ввели базис, вкотором мы можем представить сигнал 2.1. Отметим, что поскольку функции/>, изображенные на рисунке 2.2, не пересекаются между собой, топостроенный нами базис является ортогональным. Функции /> называются масштабирующими функциями.
/>
Рисунок2.1 – Усреднение дискретизированного сигнала 2.1
/>
Рисунок2.2
Теперьнеобходимо ввести некоторый базис для представления детализирующихкоэффициентов. Такой базис был введен Хааром и его базисные функции, названныевейвлетами, изображены на рисунке 2.2 (б).
Рассмотримтеперь процедуру усреднения сигнала, проиллюстрированную на рисунке 2.1, сточки зрения только что введенных базисов. Рассмотрим конкретный сигнал,заданный следующим вектором значений – [9 7 3 5]. С помощью масштабирующейфункции Хаара мы можем представить сигнал так, как это изображено на рисунке2.3.
/>
Рисунок2.3 – Представление исходного сигнала в базисе Хаара
Проведемпроцедуру декомпозиции сигнала на две части – усредненный сигнал с двоеуменьшенным разрешением и детализирующие коэффициенты. Получим следующий вектор– /> = [8 4 | 1 –1], представление которого в базисе Хаара спомощью масштабирующей функции и вейвлетов изображено на рисунке 2.4.
/>
Рисунок2.4 – Представление усредненного сигнала в базисе Хаара
Выделимв векторе [8 4 | 1 –1] часть, представляющую усредненный сигнал (перваяполовина вектора), и проведем относительно неё повторное усреднение инахождение детализирующих коэффициентов. Получим следующий вектор – [6 | 2 1–1] представление которого в базисе Хаара с помощью масштабирующей функции ивейвлетов изображено на рисунке 2.5.
/>
Рисунок2.5 – Представление дважды усредненного сигнала в базисе Хаара
Такимобразом, мы представили исходный сигнал с помощью его усредненной части(среднего по сигналу) и детализирующих коэффициентов. Отметим, что размерностьисходного и преобразованного векторов совпадают, это говорит о том, что припреобразовании не было потерь информации и, следовательно, возможно полноевосстановление исходного вектора. Шаги описанной процедуры ещё разпроиллюстрированы на рисунке 2.6.
/>
Рисунок2.6 – Представление сигнала в базисе Хаара
Отметим,что если мы будем восстанавливать сигнал после его разложения в базисе Хаара,то мы можем остановить процесс восстановления «на полпути» и получитьпредставление сигнала с заданным разрешением. Другими словами нами полученматематический инструмент изменения разрешения сигнала.Дискретное вейвлет преобразование изображения
Рассмотримвейвлет преобразование изображения. Общая идея вейвлет преобразованиямногомерных сигналов заключается в декомпозиции многомерного сигнала доодномерных сигналов и, последующего их вейвлет преобразования с композициейрезультатов. Существуют два метода такого преобразования – стандартное инестандартное вейвлет преобразование. Этими методы различаются порядкомприменения вейвлет преобразования я к декомпозированным одномерным сигналам.Ниже будет рассмотрено нестандартное вейвлет преобразование.
Принестандартном вейвлет преобразовании изображения вейвлет преобразование попеременноприменяется то к строкам, то к столбцам изображения. Иллюстрация этого методапредставлена на рисунке 2.7.
/>
Рисунок2.7 – Нестандартное вейвлет преобразование изображения
Отметим,что также как и при дискретном вейвлет преобразовании одномерного сигнала, привейвлет преобразовании изображения происходит уменьшение разрешения изображенияпри его усреднении и не происходит потерь информации.
Нарисунке 2.7 показан также псевдокод рекурсивного применения DWT к изображению.При этом на каждом шаге преобразования удобно представлять изображение никакматрицу, а как вектор.
4. Применения дискретного вейвлет преобразования Сжатиеизображений. JPEG 2000
Основнаяидея, используемая при сжатии сигналов с помощью вейвлет преобразования,заключается в том, чтобы отбрасывать детализирующие коэффициенты, значениякоторых близки к нулю. В 1999 году был разработан новый стандарт сжатияизображений, названный JPEG 2000 и призванный заменить стандартный алгоритмсжатия JPEG. Одним из основных отличий JPEG 2000 от JPEG является изменениеосновной процедуры преобразования изображения. В то время как в JPEGиспользовалось преобразование Фурье и в JPEG 2000 используется вейвлетпреобразование, что позволило не только улучшить визуальное качествоизображения, но и добавить некоторую интересную функциональность, принципиальноне достижимую в JPEG.
Однойиз таких дополнительных функции является ROI (Region of Interest). ROIпозволяет динамически в пространстве и во времени повышать разрешениеизображения. Под динамическим повышением разрешения изображения в пространствепонимается то, что мы можем повысить разрешение только выделенной областиизображения. Под динамическим повышением разрешения изображения во временипонимается то, что мы можем повышать разрешение выделенной области изображенияпостепенно, шаг за шагом.
Существуетнесколько алгоритмов реализации ROI, в частности мы можем, как бы добавлятьдетализирующие коэффициенты в заданную пользователем область. Для болеедетального описания данного алгоритма требуется понимание особенностейкодирования информации в JPEG 2000, описание которых выходит за рамки даннойработы.Поиск изображений по образцу
Другимприменением дискретного вейвлет преобразования является поиск изображений пообразцу. Рассмотрим в начале работу такой поисковой системы с точки зренияпользователя. Пусть существует некоторая база данных, в которой хранятсяизображения. Задачи поиска изображений по образцу возникают либо когда упользователя есть изображение плохого качества (например, отсканированноеизображение с низким разрешением) и пользователь хочет найти это же изображение,но с более высоким разрешением или без дефектов, либо когда пользователь простохочет найти изображение и способен нарисовать от руки его примерный эскиз.
Очевидно,для решения подобной задачи необходимо ввести некоторую метрику, котораяпозволяла бы осуществлять поиск изображения в базе данных по образцу. То естьметрику, которая была бы мерой сходства образца и изображений в базе данных.
Основнаяидея метода заключается в описании каждого изображения с помощью 20 наибольшихдетализирующих коэффициентов его вейвлет разложения. Эти двадцать коэффициентовназываются ярлыком изображения («ключевыми словами» изображения в базисевейвлетов) и именно по ним ведется поиск в базе данных.
/>
Рисунок3.1. Иллюстрация работы алгоритма поиска изображения по образцу
Многомасштабное редактирование
Какуже неоднократно подчеркивалось, основу различных применений вейлетовсоставляет возможность простого и быстрого изменения разрешения сигнала,преобразованного с помощью DWT. Но эта черта вейвлетов негде так не очевиднакак при многомасштабном редактировании изображений и трехмерных моделей. Дело втом, что при многомасштабном редактировании изменение разрешения редактируемогообъекта происходит интерактивно, что особенно хорошо выявляет описанныепреимущества вейвлетов. Рисунок 3.6 иллюстрирует идею многомасштабногоредактирования.
вейвлет преобразование редактирование дискретный
/>
Рисунок3.2 – Многомасштабное редактирование трехмерной модели
Какмы можем видеть на рисунке 3.2 представлена трехмерная модель головы человека,при этом модель представлена в трех разных разрешениях, переход между этимиразрешениями, как нетрудно догадаться, осуществляется с помощью добавлениядетализирующих, вейвлет коэффициентов. При этом само редактирование происходитпо-разному при разных разрешениях. По сути дела с уменьшением разрешения моделиувеличивается радиус (масштаб) влияния редактора.
Заключение
Списокприложений вейвлетов чрезвычайно широк, причем области их применения не ограничиваютсяцифровой обработкой сигналов, но охватывают также физическое моделирование,численные методы и другие области науки.
На мойвзгляд, такой интерес к вейвлетам вызван двумя факторами, во-первых, онисделали то, что долгое время не удавалось никому – предоставить альтернативуспектральному анализу и предоставить качественный инструмент анализанестационарных сигналов, во-вторых, они представляют сигнал впространственно-временной области, что существенно проще для пониманиячеловеком.
Переченьиспользованных источников
1. И.М. Дремин, О.В. Иванов, В.А. Нечитайло.Вейвлеты и их использование. – Успехи физических наук, 2001
2. Wavelet Digest – www.wavelet.org
3. Br. Vidakovic, P. Mueller. Wavelets for kids – Duke University.
4. А. Переберин. Многомасшабные методы синтеза и анализаизображений – Москва, 2001.
5. А. Петров. Вейвлеты и их приложения – Рыбинск, РГАТА 2007