Великая теорема Ферма – два коротких доказательства
Бобров А.В.
123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д.10, корп.1, кв. 15
Контактный телефон – 193-42-34
Последняя теорема Ферма, иногда называемая Великой,формулируется следующим образом:
В равенстве /> числа /> и /> не могут быть одновременноцелыми положительными, если />.
Предположим, такиечисла существуют. Тогда должны выполняться следующие условия:
· Равенство справедливо для взаимнопростых, не имеющих общих целых множителей, кроме 1, чисел /> и />, т.е. два числа – всегданечетные.
· Существуют числа /> и />, или />, то есть для произвольновыбранных натуральных /> существуетбесконечное множество рациональных, действительных или комплексных чисел /> и />, удовлетворяющихприведенному равенству, если в этом множестве выполнимы арифметическиедействия. Для целых /> числа /> и /> также будут целыми.
Вариант№1
Равенство /> (1)
путем последовательногоделения на числа /> и /> всегда преобразуется в двамногочлена (уравнения) />-ой степениотносительно />:
/> (2)
/> (3)
Равенства (2) и (3) полученыпутем тождественных преобразований равенства (1), т.е. должны выполняться при однихи тех же значениях целых положительных чисел /> и/>. По определению,необходимым и достаточным условием тождественности двух многочленов наднекоторым числовым полем (в нашем случае – над множеством целых чисел) являетсяравенство коэффициентов членов, содержащих одни и те же аргументы в одинаковыхстепенях, то есть должно выполняться:
/>, />, … />, /> (4)
Из (1) и (4) следует />, /> то есть число />, как общий арифметическийкорень уравнений (1), (2) и (3) не может быть рациональным при целых />, />, /> и />.
Из равенствасвободных членов следует:
/>, или />, или
/> (5)
Вычитаяиз правой части равенства (5) левую, получим:
/> (6)
или, если />, сократив на />, получим:
/> (7)
Из равенства (7)следует, что для /> числа /> и /> не могут быть одновременноположительными.
Представленныепреобразования позволяют сделать следующие выводы:
· для тождественных над множествомрациональных чисел многочленов (2) и (3) при /> число/>, как общий арифметическийкорень уравнений (1), (2) и (3), не может быть рациональным при целых положительных/>, />, /> и />;
· многочлены (2) и (3) для /> и натуральных /> и /> не тождественны надмножеством рациональных чисел, если делители /> и/> равенства (1) являютсяиррациональными, откуда следует иррациональность числа />;
· числа />,/> и /> в равенстве (1) для /> не могут быть одновременнорациональными.
Для /> противоречие исчезает,коэффициенты при /> равны 1, аравенство свободных членов после подстановки значений /> и /> обращается в тождество:
/>. (8)
Если правую и левуючасти равенства (5) обозначить соответственно через /> и/>, где /> и /> - целые положительныечисла, то многочлены (2) и (3) преобразуются в квадратные уравненияотносительно />:
/>
/> (9),
где неизвестное /> обозначено общепринятымобразом через />, то есть />.
Из условий эквивалентностиили анализа причин неэквивалентности этих уравнений следуют те же выводы.
Это доказательствоопубликовано в 1993 г. в журнале РАН «Вопросы истории естествознания итехники», №3.
Со стороныоппонентов не поступило никаких возражений по существу, кроме утверждения, чтов используемых для доказательства уравнениях известные и неизвестные величинызависят друг от друга – как будто может быть иначе. Любое аналитическоевыражение, в котором присутствуют известные и неизвестные величины, естьвыражение зависимости между ними, поэтому я не могу согласиться с подобнымопровержением.
Вариант№2
Пусть в равенстве /> числа /> и /> - взаимно простые, /> - нечетное. Для любыхположительных чисел выполнима операция нахождения арифметического значенияквадратного корня, то есть можно записать:
/> (1)
где />/>, /> - действительныеположительные множители числа />.
Из (1) следует:
/>, /> (2)
В соответствии сосвойствами показательной функции, для действительных положительных чисел />, /> и целого /> существуют единственныезначения показателей степени />,удовлетворяющие равенствам:
/>, /> (3)
где />, />.
Из (3) следует />, />, или после сокращения начисла />, /> получим:
/> (4)
Из (1), (2) и (3)следует:
/>, (5)
или, с учетом равенств (3) и(4):
/> (6)
Вынесем за скобки общиймножитель />:
/> (7)
Из (5) и (7)следует, что числа />, /> и /> содержат общий множитель />, что противоречит условиюих взаимной простоты, если />. Из /> следует />, />, то есть />, />, и равенства (5) и (7)принимают вид:
/> (8)
Из (8) следует, чтопри нечетном /> числа /> и /> также целые, причем всегдаимеет место тождество:
/> (9)
что для одновременно целых />, /> и /> выполнимо только при />, или />, />, что и требовалосьдоказать.
Доказательство можновести и несколько иным способом. Все числа равенства />, где />, /> и /> - произвольно выбранныенатуральные числа, /> - действительноеположительное число, через преобразования (1)…(4) могут быть выражены в видеслагаемых тождества (5).
Вынесем за скобкимножитель /> и поделим на него всеслагаемые тождества (5):
/> (10)
где />.
В соответствии сосвойствами показательной функции, произвольно выбранным натуральным числам />, /> и />, например из равенства(5), соответствует единственное значение />,удовлетворяющее условию:
/> (11)
тогда />, или
/> (12)
где />, /> и /> - целые числа.
Из (10), (11) и (12)следует:
/> (13)
то есть числа /> и /> могут быть одновременноцелыми только при />, или />, />. При /> числа /> и /> есть последовательныецелые числа. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число может быть выражено,как разность квадратов двух последовательных целых чисел, которые и могут бытьнайдены с помощью тождества (10) для любых целых /> инечетных />.
Отметим, чторавенство (12) получено путем деления равенства (5) на множитель />, при этом число /> в этих равенствах одно ито же, откуда следует />, />, />, и тождество (10)принимает вид тождества (8).
Отметим также, чтотождества (8) и (10) справедливы не только для целых значений />. Подставляя вместо /> любую рациональную дробь иполагая />, можно найти всеПифагоровы числа.
Приведенныепреобразования равенства Ферма над множеством натуральных чисел показывают, чтос помощью конечного числа арифметических действий оно всегда приводится ктождеству (13), что и доказывает теорему.
Я счел необходимым вдополнение к размещенному на сайте www./ доказательству предложить и этидва варианта, один из которых в сравнении с ранее размещенным является болееразвернутым.
А.В.Бобров
Великая теорема Ферма
БобровАлександр Владимирович, 1936 г. р., образование высшее, закончил в 1960 годуМВТУ им. Баумана по специальности инженер-механик. В настоящее время –пенсионер.
Домашнийадрес: 123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д. 10, корп.1, кв. 15.
Телефон (495) 193-42-34, моб. тел. 8-903-560-07-15
The evidence of the Fermat theorem
Alexander V. Bobrov
The evidence of the Fermat great theorem byelementary method is presented