Содержание:
Введение. 3
Теория. 4
Практика. 10
Выводы… 12
Список использованной литературы… 13
Введение
Случайные процессы вреальной финансово–экономической практике редко бывают марковскими, поскольку напротекание процесса в будущем влияет не только его состояние в текущий моментвремени, но и то, как он протекал в прошлом.
Но, тем не менее, использованиеприближённых моделей на практике позволяет достаточно точно (с определённойточностью) оценивать различные системы. В данной теоретико-практической работебудет рассмотрена теория о ветвящихся циклических процессах, с помощью которойможно предсказывать состояние исследуемой системы в будущем через достаточнодлительный промежуток времени.
В процессе данной работыя рассмотрю основные положения теории о ветвящихся циклических процессах;приведу пример задачи, с которой можно столкнуться в реальной жизни, и её решениес помощью рассматриваемой теории.
Теория
Введём основные понятия,с которыми нам предстоит работать. Под системой S будем понимать всякоецелостное множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя расчленить нанезависимые подмножества. Если эта система с течением времени t изменяет свои состояния S(t) (всего возможных состояний системы n штук) случайным образом, при чёмтак, что для каждого момента времени /> вероятностьсостояния S(t) системы S в будущем (/>) зависит только от еёсостояния S(/>) в настоящем и не зависитот того, как и сколько времени развивался этот процесс в прошлом (/>), то говорят, что всистеме S протекает марковский случайный процесс.
Процесс являетсяпроцессом с непрерывным временем, если в нём система может менять своисостояния в любой случайный момент времени.
Плотностью вероятностиперехода системы S из состояния /> всостояние /> в момент времени t называется величина
/>
Если же плотностивероятностей переходов не зависят от времени t, то такой процесс называется однородным.
Марковский процесс,протекающий в системе S с nсостояниями, называется ветвящимся циклическим процессом, если его графсостояний имеет вид:
Теорема:
Пусть в системе S протекаетветвящийся циклический однородный марковский процесс с непрерывным временем,причём возможный непосредственный переход из состояния /> разветвляется на переходыв состояния /> соответственно свероятностями />, сумма которыхравна 1:
/> (1)
Переходы из состояний /> сходятся в состояние />.
Тогда финальныевероятности[1] /> соответствующих состояний системыS определяются следующими формулами:
/> где />.
Доказательство:
Т.к. ветвящийсяциклический процесс можно представить в виде обычного циклического процесса исобственно разветвления, то, учитывая свойство циклического процесса, чтоплотность вероятности перехода из неразветвлённого состояния в соседнее справаравна обратной величине среднего времени пребывания (подряд) системы Sв состоянии />, имеем
/> (2)
Интенсивность потокауходов из состояния /> равна /> , где— /> среднее время пребывания(подряд) системы S в состоянии />. Тогда /> будет представлять собойдолю величины />, определеннуювероятностью qm,m+k:
/> (3)
Составим по графу (нарис. 1) систему линейных алгебраических уравнений, неизвестными в которой являютсяфинальные вероятности />:
/> (4)
Подставляя 2 и 3 в 4,получим:
/> (5)
Составим матрицукоэффициентов системы (5) с учетом того, что коэффициент при ртвт-м уравнении в силу (1) равен
/>,Столбцы Р 1 2 3 … m-1 m m+1 m+2 … m+i m+i+1 m+i+2 … n-1 n Строки
/>
Проведем следующиеэлементарные преобразования над строками этой матрицы:
2-ю строку прибавим к 3-йстроке;
полученную 3-ю строкуприбавим к 4-й строке;
полученную 4-ю строкуприбавим к 5-й строке;
и так далее;
полученную (m-1)-ю строку прибавим к m-й строке;
полученную m-ю строку умножим последовательно на /> и прибавим соответственнок (m+1)-й, (m+2)-й,..., (m+i)-йстроке;
сумму полученных (m+1)-й, (m+2)-й,..., (m+i)-йстрок прибавим к (m+i+1)-й строке, учитывая равенство (1);
полученную (m+i+1)-ю строку прибавим к (m+i+2)-й строке;
полученную (m+i+2) строку прибавим к (m+i+3)-й строке;
и так далее;
полученную (п-1)-юстроку прибавим к п-йстроке.
В результате этихпреобразований получим матрицу следующего вида:
/>
Первая и последняя строкиэтой матрицы пропорциональны, а потому одну из них, например первую, можноотбросить.
Полученная послеотбрасывания 1-й строки матрица порождает следующую систему линейных уравнений:
/>
Отсюда финальныевероятности /> можно выразить черезфинальную вероятность />:
/> (6)
Подставим выражения (6) внормировочное условие /> и найдем />:
/>.
Откуда /> или />, где />. Подставляя найденноевыражение в (6) получаем доказываемые формулы.
Практика
В наше время любой банкимеет банкоматы в различных точках города для удобства своих клиентов. Для планированиябудущих расходов на содержание банкомата применим теорию о ветвящихсяциклических процессах.
В качестве системы Sвозьмём банкомат. Банкомат может находиться в следующих состояниях:
S1 – исправен,работает;
S2 –неисправен, ведётся поиск неисправности;
S3 – неисправностьобнаружена и оказалась незначительной, ремонтируется местными средствами;
S4 – неисправностьобнаружена и оказалась серьёзной, ремонт ведётся приглашённым со стороныспециалистом;
S5 – ремонтзаконен, ведётся подготовка к включению банкомата.
Процесс, протекающий всистеме – однородный, марковский, т.к. все потоки событий, под воздействиемкоторых происходят переходы банкомата из состояния в состояние, — простейшие.
Среднее время исправнойработы банкомата[2] равно /> месяц; среднее времяпоиска неисправности банкомата равно /> часа; среднее время ремонтаместными средствами равно /> часа; среднеевремя ремонта банкомата специалистом равно /> дня;среднее время подготовки банкомата к работе /> час.
Вероятность того, чтонеисправность оказалась незначительной и может быть устранена местными средствамир=0,8. Вероятность же того, что неисправность серьёзная и без специалиста необойтись 1-р=0,2.
Если банкомат работаетисправно, то стоимость его обслуживания составляет 100 рублей в день[3];один час работы специалиста по устранению неисправностей составляет 200 рублейв час. В остальных состояниях стоимость содержания банкомата равна величинеамортизации и составляет 7 рублей в день.
Спрогнозируем среднийрасход на следующий год, идущий на содержание банкомата.
Решение: граф состояний системы будет иметьвид:
Приведём данные в условиизадачи к одной единице, например, сутки:
/>
Как уже было сказано вышепроцесс, протекающий в системе, — однородный, марковский и к тому же онявляется ветвящимся циклическим с непрерывным временем, тогда мы можем воспользоватьсяполученными выше формулами:
/>
Тогда />,
/>,
/>,
/>,
/>
Теперь определим общийрасход на содержание банкомата: /> рублейза сутки, тогда за год эта сумма составит приближённо 70 100 рублей.
Выводы
Таким образом, мы напрактике убедились, что теория о ветвящихся циклических процессах, возможно ине обладает возможностями для широкого применения, но, тем не менее, являетсяпростым и действенным инструментом при планировании различных экономическихпроцессов.
Но надо учитывать, чтоэто всего лишь маленькое ответвление теории о марковских процессах, на которой,в свою очередь, базируются многие другие теории, в частности теория о массовомобслуживании в экономической сфере.
Список использованнойлитературы
1) Лабскер Л.Г. Вероятностное моделирование вфинансово – экономической области – М.: Альпина Паблишер, 2002. – 224 с.
2) http://www.gazeta.ru/2006/04/13/oa_195828.shtml
3) Журналвычислительной математики и математической физики Т.46.№03 – 2006
4) Свешников А.А.Прикладные методытеории марковских процессов: Учебное пособие. М.: Издательство «Лань», 2007. –192 с.