Задание
Дано:
· Универсум />
· Множества />, />, />
· Бинарные отношения
· Функция />
/>
Требуется:
1. Найти
/>
2. Решить уравнение />
3. Построить графы и матрицы отношений P и Q, указать />, />, />
4. Исследовать отношение Р на наличие стандартных свойств(рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность,транзитивность).
5. Построить граф и матрицу отношения />,указать />, />.
6. Построить граф и матрицу отношения />,указать />, />.
7. Построить графы и матрицы замыканий отношения Р:
/>. Для каждого из замыканийуказать />и/>.
8. Найти/>, построитьестественную проекцию />:/>.
9. Построить таблицу значений, граф и матрицу функции f. Указать />.
10. Построить граф и матрицу отношения />.
11. Найти />, построитьиндуцированное отображение />: />.
12. Построить граф и матрицу отношения М. Указать />, />.
13. Доказать, что отношение М есть отношение строгого порядка в А.
14. Исследовать М на линейность (полноту).
15. Интерпретируя отношение М как «меньше», найти в множестве Аотносительно М минимальные и максимальные, наименьшие и наибольшие элементы(если таковые существуют).
Решение
1. Найти
/>
/>
/>
2. Решить уравнение />
/>
/>
3. Построить графы и матрицы отношений P и Q, указать />, />, />
рефлексивность симметричность граф матрица
/>
/>
/>
/>
/>
4. Исследовать отношение Р на наличие стандартных свойств(рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность,транзитивность).
По матрице отношения Р определяем его свойства:
1. Не рефлексивно, т.к. на главной диагонали имеются нули.
2. Не антисимметрично, т.к. на главной диагонали имеются единицы.
3. Не симметрично
4. Не антисимметрично
5. Для определения является ли отношение транзитивным, возведем его матрицув квадрат:
/>
По полученной матрице видно, что отношение Р не транзитивно.
5. Построить граф и матрицу отношения />,указать />, />.
/>
/>
/>
6. Построить граф и матрицу отношения />,указать />, />.
/>
/>
/>
7. Построить графы и матрицы замыканий отношения Р: />. Для каждого из замыканийуказать />и/>.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
8. Найти/>, построитьестественную проекцию />:/>.
/>
/>
9. Построить таблицу значений, граф и матрицу функции f. Указать />.x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) 5 7 1 2 2 4 3 2 1 1
/>
/>
/>
10. Построить граф и матрицу отношения />.
/> или в матричной форме />
/>
/>
11. Найти />, построитьиндуцированное отображение />: />.
/>
/>
12. Построить граф и матрицу отношения М. Указать />, />.
/>
/>
/>
13. Доказать, что отношение М есть отношение строгого порядка в А.
Отношение называется отношением строгого порядка, если оноантирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. По матрице отношении М:
1. Отношение антирефлексивно, т.к. на главной диагонали нет 1.
2. Отношение антисимметрично, т. к. при aRb иbRaa=b.
3. Для проверки на транзитивность возведем матрицу отношения в квадрат:
/>
Сравнивая полученную матрицу с исходной видим, что отношение транзитивно.
Следовательно, отношение М является отношением строгого порядка.
14. Исследовать М на линейность (полноту).
Рассмотрим отношения связности:
/>
На основе этого строим ранжированный граф:
/>
Граф представляет собой прямую линию, т.е. в нем нет параллельных вершин,следовательно, отношение М линейно.
15. Интерпретируя отношение М как «меньше», найти в множестве Аотносительно М минимальные и максимальные, наименьшие и наибольшие элементы(если таковые существуют).
Рассмотрим ранжированный граф.
/>
В графе нет параллельных вершин, поэтому минимальный элемент являетсянаименьшим, а максимальный – наибольшим. Наименьший элемент – 3, наибольший элемент– 7.