Курсова робота
«Беселеві функції»
1. Беселеві функції з будь-якиміндексом
Рівняння Лапласа в циліндричнихкоординатах
Щоб пояснити походження Беселевихфункцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:
/>. (1)
Якщо перейти до циліндричнихкоординат по формулах:
/>, />, />,
те рівняння (1) прикмет наступнийвид:
/>. (2)
:
/>,
Нехай /> є рішення згаданого виду.Підставляючи його в (2), одержимо:
/>,
звідки (після ділення на />)
/>.
Записавши це у вигляді:
/>,
знайдемо, що ліва частина незалежить від />, права не залежить від />, />; отже,загальна величина цих виражень є деяка постійна />. Звідси:
/>; />;
/>; />;
/>.
В останній рівності ліва частинане залежить від />, права не залежить від />; отже,загальна величина цих виражень є деяка постійна />. Звідси:
/>, />;
/>, />.
Таким чином, />, />, /> повинні задовольнятилінійним диференціальним рівнянням другого порядку:
/>,
(3)
/>, />,
з яких друге й третє є найпростішілінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зізмінними коефіцієнтами нового виду.
Обернено, якщо />, />, /> задовольняють рівнянням(3), тобто /> рішеннярівняння (2). Справді, підставляючи /> в ліву частину (2) і ділячи потімна />, одержимо:
/>.
Таким чином, загальний вид всіхтрьох рішень рівняння (2), які є добутком трьох функцій, кожна з яких залежитьвід одного аргументу, є />, де />, />, /> – будь-які рішення рівнянь (3)при будь-якому виборі чисел />, />.
Перше з рівнянь (3) у випадку />, /> називаєтьсярівнянням Беселя. Думаючи в цьому випадку />, позначаючи незалежну зміннубуквою /> (замість/>), аневідому функцію – буквою /> (замість />), знайдемо, що рівняння Беселямає вигляд:
/>. (4)
Це лінійне диференціальне рівняннядругого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє більшу роль у додаткахматематики. Функції, йому задовольняючі, називаються Беселевими, абоциліндричними, функціями.
Беселеві функції першого роду
Будемо шукати рішення рівнянняБеселя (4) у вигляді ряду:
/>.
Тоді
/>,
/>,
/>,
/>
/>.
Отже, приходимо до вимоги
/>
або до нескінченної системирівнянь
/> />,
яка розпадається на дві системи:
/> />
Перша з них задовольниться, якщовзяти />… Удругій системі /> можна взяти довільно; тоді />… однозначновизначаються (якщо /> не є цілим негативним числом).Взявши
/>,
знайдемо послідовно:
/>,
/>,
/>,
і як рішення рівняння (4) одержиморяд:
/>
Цей ряд, що формально задовольняєрівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень /> і, отже, є рішенням рівняння (4)в області /> (увипадку цілого /> в області />).
Функція
/> (5)
називається бесселевой функцієюпершого роду з індексом />. Вона є одним з рішень рівнянняБеселя (4). У випадку цілого ненегативного індексу /> одержимо:
/>, (5`)
і, зокрема,
/>. (5``)
Загальне рішення рівняння Беселя
У випадку нецілого індексу /> функції /> і /> є рішеннямирівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, тому що початкові члени рядів, щозображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різніступені />.Таким чином, у випадку нецілого індексу загальне рішення рівняння Беселя є:
/>. (6)
Якщо /> (ціле негативне число), тофункція, обумовлена формулою (5) (з огляду на, що /> дорівнює нулю для />…), приймає вид:
/> (5```)
або, після заміни індексупідсумовування /> на />,
/>, (7)
звідки видно, що /> задовольняє разом з /> рівняннюБеселя
/>.
Але формула (6) у випадку цілого /> вже не даєзагального рішення рівняння (4).
Думаючи
/> (/>– не ціле) (8)
і доповнюючи це визначення для /> (ціле число)формулою:
/>, (8`)
одержимо функцію />, що задовольняєрівнянню Беселя (4) і у всіх випадках лінійно незалежну від /> (у випадку />, де /> – ціле).Функція /> називаєтьсябеселевою функцією другого роду з індексом />. Загальне рішення рівняння Беселя(4) можна записати у всіх випадках у вигляді:
/>. (9)
2. Формули приведення для Беселевихфункцій
Маємо:
/>; />;
/>, />;
/>.
Отже,
/>. (10)
Таким чином, операція /> (що складаєтьсяв диференціюванні з наступним множенням на />), застосована до />, підвищує в цьомувираженні індекс /> на одиницю й міняє знак.Застосовуючи цю операцію /> раз, де /> – будь-яке натуральне число,одержуємо:
/>. (10`)
Маємо:
/>;
/>
Отже,
/>. (11)
Таким чином, операція />, застосованадо />,знижує в цьому вираженні індекс /> на одиницю. Застосовуючи цюоперацію /> раз,одержуємо:
/>. (11`)
З виведених формул можна одержатидеякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:
/>; />; />.
Звідси, зокрема, треба, що />.Використовуючи (11), одержимо:
/>; />; />.
По членне додавання й вирахуванняотриманих рівностей дає:
/>, (12)
/>. (13)
Формула (13) дозволяє виразити всіБеселеві функції із цілими індексами через />, />. Дійсно, з (13) знаходимо(думаючи />):
/>, (13`)
звідки послідовно одержуємо:
/>,
/>, …………………
3. Беселеві функції знапівцілим індексом
Беселеві функції, загалом кажучи,є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарніфункції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом />, де /> – ціле. Ці функціїможуть бути виражені через елементарні функції.
Маємо:
/>,
/>,
отже,
/>.
Але />, значить:
/>. (14)
Далі
/>,
/>,
отже,
/>.
Але />, тому
/>. (15)
За допомогою (10') знаходимо:
/>,
а з огляду на (14)
/>,
отже, при цілому позитивному />
/>. (14`)
За допомогою (11') знаходимо:
/>,
але в силу (15)
/>,
і, отже, при цілому позитивному />
/>. (15`)
4. Інтегральне подання Беселевихфункцій із цілим індексом
Виробляюча функція системи функцій
Розглянемо систему /> функцій /> (з будь-якою загальноюобластю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:
/>
Складемо ряд
/>,
де /> – комплексна змінна. Припустимо,що при кожному /> (приналежному області визначеннярозглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себеодиничну окружність />. Зокрема, це кільце може являтисобою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.
Функція
/> (16)
(де x лежить в області визначенняфункцій системи />, /> – усередині кільця збіжності, щовідповідає розглянутому значенню />) називається виробляючою функцієюсистеми />.
Обернено, нехай задана функція />, де /> пробігає деякумножину, /> перебуваєусередині деякого кільця, що залежить від />, із центром 0 і утримуючогоусередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо /> при кожному /> аналітичне відносно /> усерединівідповідного кільця, тобто /> виробляюча функція деякої системи/> функцій.Справді, розклавши при кожному /> функцію /> в ряд Лорана по ступенях />:
/>,
знайдемо, що система коефіцієнтів /> цього рядубуде шуканою системою />.
Формули для коефіцієнтів рядуЛорана дозволяють виразити функції /> розглянутої системи черезвиробляючу функцію. Застосовуючи ці формули й перетворюючи потім інтегралуздовж одиничної окружності /> в простий інтеграл, одержимо:
/>. (17)
Виробляюча функція системи Беселевихфункцій із цілими індексами
Покажемо, що для системи Беселевихфункцій першого роду із цілими індексами /> (/>…) виробляюча функція є:
/>.
Маємо:
/>, />,
звідки після по членногоперемножування цих рівностей знайдемо:
/>
(тому що в передостаннійвнутрішній сумі /> й /> були зв'язані залежністю />, то ми моглипокласти />,одержавши підсумовування по одному індексі />). В останній внутрішній суміпідсумовування виробляється по всіх цілих />, для яких />, отже, при /> це буде />; при /> це буде />. Таким чином,у всіх випадках внутрішня сума є /> в силу формул (5`) і (5```).Отже,
/>, (18)
але це й доводить, що /> є виробляючафункція для системи />.
Виведемо деякі наслідки з формули(18). Думаючи в ній />, одержимо:
/>,
звідки після поділу дійсної ймнимої частини (з огляду на, що />)
/> (18`)
/> (18``)
Заміняючи в (18`) і (18``) /> на />, знайдемо:
/>, (18```)
/>. (18````)
Інтегральне подання Jn(x)
Тому що, по доведеному, при /> маємо />, те по формулі(17) одержуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):
/>
де прийнято в увагу, що /> є парнафункція від /> є непарна функція від />. Отже,доведено, що для будь-якого цілого числа />
/>. (19)
Формула (19) дає подання Беселевихфункцій із цілим індексом у вигляді певного інтеграла, що залежить відпараметра />.Ця формула називається інтегральним поданням Беселя для />, права частина формулиназивається інтегралом Беселя. Зокрема, при /> знайдемо:
/>. (19`)
5. Ряди Фур'є-Беселя
Розглянемо на якому-небудьінтервалі /> (кінцевомуабо нескінченному) два диференціальних рівняння
/>, />, (20)
де /> й /> – безперервні функції на />. Нехай /> і /> – ненульовірішення цих рівнянь. Множення на /> й на /> й наступне вирахування дають
/>.
Нехай /> і /> належать /> і />, тоді після інтегрування в межахвід /> до /> одержимо
/>. (21)
Якщо /> й /> – сусідні нулі рішення />, то між /> і /> /> зберігає постійнийзнак, нехай, наприклад, /> на (/>, />) (у противному випадку вартозамінити /> на/>), тоді />, /> (рівність нулювиключено, тому що /> – ненульове рішення диференціальногорівняння другого порядку). Якщо на /> />, то /> повинна, принаймні, раззвертатися в нуль між /> і />, тому що інакше /> збереже постійний знакна (/>,/>). Нехай,наприклад, /> на(/>,/>) (у противномувипадку заміняємо /> на />), і тоді з (21) одержимопротиріччя, тому що ліва частина ≤0, а права >0. У такий спосібдоведена теорема порівняння Штурму: якщо P(x)
З теореми порівняння Штурмувипливають нижченаведені наслідки. Якщо /> на />, то кожне ненульове рішеннярівняння /> можемати на /> небільше одного нуля (це легко бачити, якщо покласти /> й взяти />). Якщо /> на /> (де />), то для всяких двох сусідніхнулів /> і /> (/>) кожногоненульового рішення рівняння /> маємо /> (це легко бачити, якщо покласти />, взяти /> й помітити,що нулями /> будутьтільки числа виду />, /> ціле). Якщо /> на /> (де />), то для всяких двохсусідніх нулів кожного ненульового рішення рівняння /> маємо /> (це легко бачити, якщо покласти /> й взяти />). Із сказаноговипливає, що якщо /> на />, те для всяких двох сусідніхнулів /> і /> (/>) кожногоненульового рішення рівняння /> маємо />.
Викладене показує, що якщо /> безперервно на/> йперевищує деяке позитивне число поблизу +∞, те кожне ненульове рішення /> рівняння/>має на /> нескінченнобагато нулів. Якщо ще /> поблизу /> не звертається в нуль, то ці нуліутворять нескінченну зростаючу послідовність />, що має межею +∞, а якщо,крім того, />,де />, те />.
Розглянемо рівняння Беселя
/>
на інтервалі />. Підстановка /> приводить дорівняння
/>.
Очевидно, /> і /> мають ті самі нулі. Тому що />, де /> – цілафункція, то /> немає нулів на /> при досить малому />, і тому що /> при />, те прикожному /> нулі/> на /> утворятьнескінченну зростаючу послідовність
/>
причому />.
Якщо />, то /> задовольнить рівнянню
/>
на інтервалі (0, +∞).Підстановка /> приводитьдо рівняння
/>
і, отже, /> задовольняє цьому рівнянню. Такимчином, при будь-яких позитивних /> і /> маємо
/>, де />,
/>, де />,
звідки
/>,
отже,
/>, де />. (22)
Нехай тепер />. Розкладання /> по ступенях /> починається зічлена, що містить />, розкладання /> по ступенях /> починається зічлена, що містить />, тому що коефіцієнт при /> дорівнює нулю,що легко бачити, виходячи з формули (5). Отже, з (22) при /> одержимо
/>,
тобто
/>, (23)
звідки видно, що якщо /> і /> є різниминулями функції />, те
/>. (23`)
Цим доведено, що при /> системафункцій
/>
на інтервалі /> є ортогональної щодоваги />.
Переходячи до межі при /> в співвідношенні
/>
і використовуючи правило Лопиталя,одержимо при всякому />
/>, (24)
отже, якщо /> є нулем функції />, те
/>. (24`)
Таким чином, при кожному /> всякійбезперервній функції /> на />, що задовольняє вимозі
/>,
поставлений у відповідність рядФур'є-Беселя
/>, (25)
коефіцієнти якого визначаютьсяформулами
/>. (25`)
Можна довести, що система функцій /> на />, ортогональнащодо ваги />,замкнута. Зокрема, якщо ряд Фур'є-Беселя (25) рівномірно сходиться до йогобезперервної функції, що />породжує.
Можна показати, що якщо /> й /> безперервна на/> йфункція, то ряд Фур'є-Беселя цієї функції сходиться до неї при />.
6. Асимптотичне подання Беселевихфункцій із цілим індексом для більших значень аргументу
Нехай /> – позитивна функція й /> – яка-небудьфункція для досить більших значень />. Запис
/> при />
означає, що найдуться такі числа /> й M, що при /> маємо />.
Подібний запис уживається й вінших аналогічних випадках. Наприклад, якщо /> – позитивна функція й /> – яка-небудьфункція, визначені для досить малих позитивних значень />, то запис
/> при />
означає, що найдуться такі числа /> й />, що /> на />.
Допоміжна лема
Якщо /> двічі безупинно диференцюєма на />, то дляфункції
/>
має місце асимптотичне подання
/> при />.
Доведемо цю лему. Заміняючи на />, одержимо:
/>.(26)
Розглянемо інтеграл, що фігурує вправої частини формули (20). Заміняючи /> на />, знайдемо:
/>,
але, замінивши на />, одержимо:
/>.
Якщо /> позитивно, убуває й прагнути донуля при />,то /> й />, а отже, і /> є /> при />, тому
/> при />,
звідки
/> при />.
Отже, одержуємо асимптотичнеподання:
/> при />. (27)
Розглянемо тепер інтеграл, щофігурує в другому складати^ся правої частини формули (20). Маємо:
/>,
/>.
Очевидно, /> двічі безупинно на />, але існують /> і />, тому /> стає безупиннодиференцуєма на />. Інтегрування вроздріб дає:
/>,
де перший доданок правої частини /> є /> при />, а інтеграл удругому мажорирується інтегралом, що складається при нижній межі
/>,
який сходиться, тому що
/> при />;
отже, другий доданок є теж /> при />.
Отже, маємо:
/> при />. (28)
З (26), (27), (28) одержуємошукане асимптотичне подання:
/> при />. (29)
Із цієї формули, переходячи досполучених величин, знайдемо ще:
/> при />. (29')
Формули (29) і (29`) вірні й дляфункцій />.
Висновок асимптотичної формули дляJn(x)
Заміняючи /> на />, одержимо:
/>
(з огляду на, що /> є парна функція від />, а /> є непарнафункція від />).Підстановка /> дає:
/>,
де /> є, мабуть, поліном n-й ступеня (поліномЧебишева), тому що з формули Муавра видно, що /> є поліном n-й ступеня відносно />. Але
/>
і, заміняючи в першому із цихінтегралів /> на/>,одержимо:
/>
Тому що /> й /> на /> мають похідні всіх порядків, тодо двох останніх інтегралів застосовні формули (29) і (29`), і ми одержуємо:
/>;
але />; />, отже,
/>.
Отже, маємо шукане асимптотичнеподання беселевої функції першого роду із цілим індексом для більших значеньаргументу:
/> при />. (30)
Ця формула показує, що /> з точністюскладається до порядку, що, /> є загасаючою гармонікою із хвилеюпостійної довжини й амплітудою, що убуває обернено пропорційно квадратномукореню з абсциси.
Зокрема,
/> при />; (30`)
/> при />. (30'')
Графіки цих функцій зображені німалюнках 1 і 2.
Розглянемо кілька прикладіврішення рівняння Беселя.
1. Знайти рішення рівняння Беселяпри />
/>,
задовольняючим початковим умовампри />, /> і />.
Рішення.
На підставі формули (5') знаходимоодне приватне рішення:
/>.
2. Знайти одне з рішень рівняння:
/>, />.
Рішення.
Зробимо заміну
/>.
При /> одержимо:
/>.
При /> будемо шукати рішення у виглядіузагальненого статечного ряду:
/>.
Рівняння на /> має вигляд />;
/>, />, />, />, тому
/>,
/>, />.
/>
Рисунок 1 – Графік функції y=J0 (x)
/>
Рисунок 2 – Графік функції y=J1 (x)
Висновок
Розглянуті усі рішення рівнянь,які можуть бути представлені у вигляді добутку трьох функцій. Складені графікифункцій.
Список літератури
1. Пискунов Н.С.Диференціальне й інтегральне вирахування, навчальний посібник для вузів. – К.,2003
2. Романовський П.І. «Ряди Фур'є. Теорія поля. Аналітичні й спеціальні функції. ПеретворенняЛапласа», навчальний посібник для вузів. – К., 2004
3. Самарський А.А.,Гулін А.В. Чисельні методи. – К., 2003
4. СиніцинО.К., Навроцкий А.А. Алгоритми обчислювальної математики. – К., 2003