Балансовые модели

--PAGE_BREAK--2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
В пункте 1 отмечено, что основу информационного обеспечения модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица, содержащая коэффициенты прямых материальных затрат на производство единицы продукции. Эта матрица является также основой экономико-математической модели межотраслевого баланса. Предполагается, что для производства единицы продукции в j-й отрасли требуется определенное количество затрат промежуточной продукции i-й отрасли, равное аij. Оно не зависит от объема производства в отрасли и является довольно стабильной величиной во времени. Величины аijназываются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

  (4)

Определение 1.Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.

С учетом формулы (4) систему уравнений баланса (2) можно переписать в виде

  (5)

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат  вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции У:



то система уравнений (5) в матричной форме примет вид

    (6)

Система уравнений (5), или в матричной форме (6), называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева, моделью «затраты.— выпуск»). С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

• Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Xi), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Yt):

  (7)

• Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yj), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):

  (8)

• Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых, в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (6), а системой линейных уравнений (5). В формулах (7) и (8) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (Е — А)-1 обозначает матрицу, обратную к матрице (Е -А). Если определитель матрицы (Е — А) не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через В(Е- А)-1, тогда систему уравнений в матричной форме (8) можно записать в виде

  (8)

Элементы матрицы В будем обозначать через , тогда из матричного уравнения (8) для любой i-й отрасли можно получить следующее соотношение:

  (9)

Из соотношений (9) следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты , которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат  коэффициенты  называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Определение 2.Коэффициент полных материальных затрат Ь^ показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Коэффициенты полных материальных затрат можно применять, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:

  (10)

где  и  — изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.
    продолжение
--PAGE_BREAK--3. Коэффициенты прямых и полных материальных затрат
Переходя к анализу модели межотраслевого баланса, необходимо прежде всего рассмотреть основные свойства матрицы коэффициентов прямых материальных затрат А. Коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, следовательно, матрица А в целом может быть названа неотрицательной: . Так как процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональные элементы матрицы А меньше единицы: .

Система уравнений межотраслевого баланса является отражением реальных экономических процессов, в которых содержательный смысл могут иметь лишь неотрицательные значения валовых выпусков; таким образом, вектор валовой продукции состоит из неотрицательных компонентов и называется неотрицательным: . Встает вопрос, при каких условиях экономическая система способна обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям. Ответ на этот вопрос связан с понятием продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат.

Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор , что

  (11)

Очевидно, что условие (11) означает существование положительного вектора конечной продукции Y > 0 для модели межотраслевого баланса (6).

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

1) матрица (Е — А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица ;

2)  матричный ряд  сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е — А)-1;

3)  наибольшее по модулю собственное значение  матрицы А, то есть решение характеристического уравнения



строго меньше единицы;

4) все главные миноры матрицы (Е — А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны.

Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т.е. на величину наибольшей из сумм элементов матрицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; повторим, что данное условие является только достаточным, и матрица А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.

Наибольший по модулю корень характеристического уравнения, приведенного в условии 3) продуктивности матрицы А (обозначим его через Я.*), может служить оценкой общего уровня коэффициентов прямых материальных затрат, а следовательно, величина 1-Я.* характеризует остаток после затрат, т.е. продуктивность. Чем больше 1-Я.*, тем больше возможности достижения других целей, кроме текущего производственного потребления. Другими словами, чем выше общий уровень коэффициентов матрицы А, тем больше наибольшее по модулю собственное значение Я.* и ниже уровень продуктивности, и наоборот, чем ниже общий уровень коэффициентов матрицы А, тем меньше наибольшее по модулю собственное значение и выше продуктивность.

Перейдем к анализу матрицы коэффициентов полных материальных затрат, т.е. матрицы . Согласно определению 2 коэффициент этой матрицы показывает, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли, чтобы получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Дадим другое определение коэффициента полных материальных затрат исходя из того, что кроме прямых затрат существуют косвенные затраты той или иной продукции при производстве продукции данной отрасли. Рассмотрим в качестве примера формирование затрат электроэнергии на выпуск стального проката, при этом ограничимся технологической цепочкой «руда-чугун-сталь-прокат». Затраты электроэнергии при получении проката из стали будут называться прямыми затратами, те же затраты при получении стали из чугуна будут называться косвенными затратами 1-го порядка, а затраты электроэнергии при получении чугуна из руды будут называться косвенными затратами электроэнергии на выпуск стального проката 2-го порядка и т. д. В связи со сказанным выше имеет место следующее определение.

Определение 3.Коэффициентом полных материальных затрат  называется сумма прямых затрат и косвенных затрат продукции i-й отрасли для производства единицы продукции j-й отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства. Если коэффициент косвенных материальных затрат k-го порядка обозначить через  то имеет место формула

,  (12)

а если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов полных материальных затрат  и матрицы коэффициентов  косвенных  материальных  затрат  различных  порядков , то поэлементную формулу (12) можно записать в более общем матричном виде:

       (13)

Исходя из содержательного смысла коэффициентов косвенных материальных затрат можно записать ряд матричных соотношений:



с использованием которых матричная формула (13) может быть переписана в следующем виде:

   (14)

Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А является продуктивной, то из условия 2) продуктивности существует матрица , являющаяся суммой сходящегося матричного ряда:

     (15)

Из сопоставления соотношений (14) и (15) устанавливается следующая связь между двумя матрицами коэффициентов полных материальных затрат:

,

или, в поэлементной записи:



Данная связь определяет экономический смысл различия между коэффициентами матриц В и С: в отличие от коэффициентов матрицы С, учитывающих только затраты на производство продукции, коэффициенты матрицы В включают в себя кроме затрат также саму единицу конечной продукции, которая выходит за сферу производства.

Перейдем теперь к вычислительным аспектам решения задач на основе модели межотраслевого баланса. Основной объем расчетов по этой модели связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат В. Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А задана и является продуктивной, то матрицу В можно находить либо по формулам обращения матриц, рассматриваемым в курсе матричной алгебры, либо приближенным способом, используя разложение в матричный ряд (15).

Рассмотрим первый способ нахождения матрицы В. Находят матрицу (Е — А), а затем, применяя один из прямых методов обращения невырожденных матриц, вычисляют матрицу . Одним из наиболее употребительных методов обращения матриц является метод Жордана. Часто применяется также метод, основанный на применении формулы матричной алгебры

   (16)

где в числителе матрица, присоединенная к матрице (Е -А), элементы которой представляют собой алгебраические дополнения для элементов транспонированной матрицы (Е -А)', а в знаменателе — определитель матрицы (Е — А). Алгебраические дополнения в свою очередь для элемента с индексами i и j получаются умножением множителя  на минор, получаемый после вычеркивания из матрицы i-й строки и j-го столбца.

При втором способе вычисления матрицы коэффициентов полных материальных затрат используется формула (15). Обязательным условием корректности этих расчетов является условие продуктивности матрицы А, и при расчетах ограничиваются учетом косвенных материальных затрат до некоторого порядка включительно, например до 2-го, 3-го порядков. В этом способе используется процедура умножения квадратных матриц с их последующим сложением, и коэффициенты полных материальных затрат получаются с известным приближением (с недостатком).
    продолжение
--PAGE_BREAK--4. Межотраслевые балансовые модели в анализе экономических показателей
Различные модификации рассмотренной выше модели межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном   хозяйстве позволяют расширить круг показателей, охватываемых моделью. Рассмотрим применение межотраслевого балансового метода для анализа таких важных экономических показателей, как труд, фонды и цены.

К числу важнейших аналитических возможностей данного метода относится определение прямых и полных затрат труда на единицу продукции и разработка на этой основе балансовых продуктово-трудовых моделей, исходной моделью при этом служит отчетный межпродуктовый баланс в натуральном выражении. В этом балансе по строкам представлено распределение каждого отдельного продукта на производство других продуктов и конечное потребление (первый и второй квадранты схемы межотраслевого баланса). Отдельной строкой дается распределение затрат живого труда в производстве всех видов продукции; предполагается, что трудовые затраты выражены в единицах труда одинаковой степени сложности.

Обозначим затраты живого труда в производстве j-го продукта через Lj, а объем производства этого продукта (валовой выпуск), как и раньше, через Xj. Тогда прямые затраты труда на единицу j-го вида продукции (коэффициент прямой трудоемкости) можно задать следующей формулой:

 (17)

Введем понятие полных затрат труда как суммы прямых затрат живого труда и затрат овеществленного труда, перенесенных на продукт через израсходованные средства производства. Если обозначить величину полных затрат труда на единицу продукции j-го вида через Tj, то произведения вида  отражают затраты овеществленного труда, перенесенного на единицу /-го продукта через i-e средство производства; при этом предполагается, что коэффициенты прямых материальных затрат ai
jвыражены в натуральных единицах. Тогда полные трудовые затраты на единицу j-го вида продукции (коэффициент полной трудоемкости) будут равны

Введем в рассмотрение вектор-строку коэффициентов прямой трудоемкости  и вектор-строку коэффициентов полной трудоемкости .

Тогда с использованием уже рассматриваемой выше матрицы коэффициентов прямых материальных затрат А (в натуральном выражении) систему уравнений (18) можно переписать в матричном виде:

   (19)

Произведя очевидные матричные преобразования с использованием единичной матрицы Е



получим следующее соотношение для вектора коэффициентов полной трудоемкости:

   (20)

      (20')

Обозначим через L величину совокупных затрат живого труда по всем видам продукции, которая с учетом формулы (6.17) будет равна

    (21)

Используя соотношения (21) (8) и (20'), приходим к следующему равенству:

      (22)

здесь t и Т — вектор-строки коэффициентов прямой и полной трудоемкости, а X и У — вектор-столбцы валовой и конечной продукции соответственно.

Соотношение (6.22) представляет собой основное балансовое равенство в теории межотраслевого баланса труда. В данном случае его конкретное экономическое содержание заключается в том, что стоимость конечной продукции, оцененной по полным затратам труда, равна совокупным затратам живого труда. Сопоставляя потребительский эффект различных взаимозаменяемых продуктов с полными трудовыми затратами на их выпуск, можно судить о сравнительной эффективности их производства. С помощью показателей полной трудоемкости более полно и точно, чем при использовании существующих стоимостных показателей, выявляется структура затрат на выпуск различных видов продукции и прежде всего соотношение между затратами живого и овеществленного труда.

На основе коэффициентов прямой и полной трудоемкости могут быть разработаны межотраслевые и межпродуктовые балансы затрат труда и использования трудовых ресурсов. Схематически эти балансы строятся по общему типу матричных моделей, однако все показатели в них (межотраслевые связи, конечный продукт, условно чистая продукция и др.) выражены в трудовых измерителях.

Развитие основной модели межотраслевого баланса достигается также путем включения в нее показателей фондоемкости продукции. В простейшем случае модель дополняется отдельной строкой, в которой указаны в стоимостном выражении объемы производственных фондов Фj, занятые в каждой j-й отрасли. На основании этих данных и объемов валовой продукции всех отраслей определяются коэффициенты прямой фондоемкости продукции j-й отрасли:

  (23)

Коэффициент прямой фондоемкости показывает величину производственных фондов, непосредственно занятых в производстве данной отрасли, в расчете на единицу ее валовой продукции. В отличие от этого показателя коэффициент полной фондоемкости Fj отражает объем фондов, необходимых во всех отраслях для выпуска единицы конечной продукции j
-йотрасли. Если  — коэффициент прямых материальных затрат, то для коэффициента полной фондоемкости справедливо равенство, аналогичное равенству (18) для коэффициента полной трудоемкости:

   (24)

Если ввести в рассмотрение вектор-строку коэффициентов прямой фондоемкости  и вектор-строку коэффициентов полной фондоемкости , то систему уравнений (24) можно переписать в матричной форме:

   (25)

откуда с помощью преобразований, аналогичных применяемым выше для коэффициентов трудоемкости, можно получить матричное соотношение

    (26)

где — матрица коэффициентов полных материальных затрат.

Для более глубокого анализа необходимо дифференцировать фонды на основные и оборотные, а в пределах основных — на здания, сооружения, производственное оборудование, транспортные средства и т.д.

Пусть в целом все производственные фонды разделены на mгрупп. Тогда характеристика занятых в народном хозяйстве фондов задается матрицей показателей , отражающих объем фондов k-ой группы, занятых в j-й отрасли:



Коэффициенты прямой фондоемкости также образуют матрицу размерности тхп, элементы которой определяют величину производственных фондов k-й группы, непосредственно используемых при производстве единицы продукции у-й отрасли:



Для каждой j-й отрасли могут быть вычислены коэффициенты полной фондоемкости , отражающие полную потребность в фондах k-й группы для выпуска единицы конечной продукции этой отрасли:



Решение систем данных уравнений позволяет представить коэффициенты полной фондоемкости по каждой из т групп фондов как функцию коэффициентов прямой фондоемкости:



В этих формулах величины  и  — уже известные коэффициенты прямых и полных материальных затрат.

Коэффициенты фондоемкости в межотраслевом балансе позволяют увязать планируемый выпуск продукции с имеющимися производственными мощностями. Так, потребность в функционирующих фондах k-й группы для достижения заданного объема материального производства Xj по всем отраслям задается формулой:

    продолжение
--PAGE_BREAK--Элементы качественной теории дифференциальных уравнений 1. Автономные системы. Общее свойства.
Автономной системой дифференциальных уравнений n –го порядка называется система, которая в нормальной форме записывается в виде



В векторной форме автономная система имеет вид x' = F(x) (не зависит от t), где



Название автономная система связано с тем, что поскольку производная  x' зависит только от xи не зависит от t, то решение само управляет своим изменением. Автономные системы называют также динамическими системами.

Любую систему дифференциальных уравнений, записанную в нормальной форме, можно свести к автономной системе, увеличив число неизвестных функций на единицу:



Будем полагать, что для рассматриваемых автономных систем выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть x
=
φ
(
t
)— решение автономной системы, определенное на отрезке [a, b]. Множество точек  x
=
φ
(
t
),  — кривая в пространстве . Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство , в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством автономной системы.

Точка aназывается положением равновесия (точкой покоя) автономной системы, если F
(
a
) = 0.

Равенство x
=
φ
(
t
),  — параметрические уравнения фазовой траектории.

Интегральная кривая системы изображается в (n
+ 1)–мерном пространстве и может быть определена уравнениями



Cсоответствующая фазовая траектория — проекция интегральной кривой на пространство
2. Структура решений автономной системы в окрестности не особой точки.
Пусть     (3)

— вещественная система,  — ее произвольное решение. Замена  приводит (3) к виду , т. е. произвольное решение уравнения (3) переводится в тривиальное решение того же уравнения. Следовательно, все решения уравнения (3) устойчивы по Ляпунову, асимптотически устойчивы или неустойчивы одновременно. Поэтому можно говорить об устойчивости уравнения (3), понимая под этим устойчивость всех его решений, в частности тривиального.

Лемма 1. Пусть  и  или , где  — неособая при всех  матрица, ограниченная по норме вместе с обратной . Тогда  ограничена, не ограничена или бесконечно мала по норме при  тогда и только тогда, когда  обладает таким свойством.

Лемма вытекает из оценки .

Следствие. Пусть ,  — нормированная при  фундаментальная матрица уравнения (3). Любая фундаментальная матрица уравнения (3) ограничена, не ограничена или бесконечно мала по норме вместе с .

Теорема 1. 1) Для того чтобы уравнение (3) было устойчивым по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы его фундаментальные матрицы были ограничены при . 2) Для того чтобы уравнение (3) было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы его фундаментальные матрицы были бесконечно малыми при .

Доказательство. 1) Достаточность. Пусть  ограничена на . Решение  задается формулой .       (*)

Так как , то . Следовательно, уравнение (3) устойчиво по Ляпунову, так как устойчиво его тривиальное решение. Действительно, если , то при всех  .         (**)

Необходимость. Пусть уравнение (3) устойчиво по Ляпунову. Тогда устойчиво его тривиальное решение, и выполняется (**). Пусть  фиксировано. Положим . Если , то . Из (*) и (**) имеем , т. е.  ограничена. Аналогично доказывается ограниченность , а вместе с ними и матрицы .

2) Достаточность. Пусть  при . В силу (*)  при всех , что и дает асимптотическую устойчивость.

Необходимость. Пусть для любых  при . Положим . В силу (*) , следовательно, . Аналогично доказывается, что , , что означает  при . Теорема доказана.
Применим теорему 1 к исследованию устойчивости уравнения (3) с постоянной матрицей коэффициентов P. Уравнение (3) в этом случае имеет фундаментальную матрицу , , где  — жорданова форма матрицы P. По теореме 1, лемме 1 и следствию к ней устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость и неустойчивость уравнения (3) эквивалентны соответственно ограниченности, бесконечной малости и неограниченности матрицы  при . Отсюда получаем следующую теорему:

Теорема 2. Линейная однородная система с постоянным коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда среди собственных чисел матрицы коэффициентов нет таких, вещественные части которых положительны, а число мнимые и нулевые собственные числа либо простые, либо имеют только простые элементарные делители; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы коэффициентов имеют отрицательные вещественные части.

Ниже рассматриваются необходимые и достаточные условия отрицательности корней характеристического уравнения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами — критерий Гурвица (Рауса-Гурвица), а также частотный критерий Михайлова, являющийся геометрическим признаком, эквивалентным критерию Гурвица.

Определение. Полином , где , ,  называется полиномом Гурвица, если все его корни имеют отрицательные вещественные части.

Если полином  является полиномом Гурвица, то все .

Составим -матрицу Гурвица вида



Теорема Гурвица (критерий Гурвица). Для того чтобы полином  являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры его матрицы Гурвица :


Если степень полинома  сравнительно большая, то применение критерия Гурвица становится затруднительным. В этом случае для определения расположения корней полинома  на комплексной плоскости иногда оказывается более удобным использование частотного критерия Михайлова.

Определение. Пусть , где , , . Кривая ,  называется годографом Михайлова функции .

Критерий Михайлова непосредственно следует из леммы:

Лемма 2. Угол поворота в положительном направлении ненулевого вектора  при  равен , где  — число корней полинома  с положительной вещественной частью с учетом их кратностей.

Критерий Михайлова. Для того чтобы полином , не имеющий чисто мнимых корней, являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы угол поворота в положительном направлении вектора  при  был бы равен .

Замечание. Если полином  есть полином Гурвица степени , то вектор  монотонно поворачивается в положительном направлении на угол , то есть годограф Михайлова, выходя из точки  положительной полуоси , последовательно пересекает полуоси , проходя  квадрантов.

Рассмотрим уравнение (3) с периодическими коэффициентами, т. е. ,      (4)

где . По формуле (5) предыдущей главы уравнение (4) имеет в рассматриваемом случае фундаментальную матрицу , где  — неособая -периодическая непрерывная матрица, тем самым ограниченная вместе с обратной,  — жорданова матрица, собственные числа  которой — характеристические показатели уравнения (4). Из леммы 1 следует, что характеристические показатели играют при оценке фундаментальной матрицы ту же роль, что собственные числа , когда  постоянна. Учитывая, что , где  — мультипликаторы уравнения, получаем следующий результат:

Теорема 3. Линейная однородная система с периодическими коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы не превышают по модулю единицы, а равные единице по модулю либо простые, либо им соответствуют простые элементарные делители матрицы монодромии; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда модули всех мультипликаторов меньше единицы.

Пример. Рассмотрим уравнение из примера п. 1.5:



Уравнение будем называть устойчивым по Ляпунову, асимптотически устойчивым или неустойчивым, если таковой является соответствующая ему линейная система. Мультипликаторы находятся из уравнения : , где . Поэтому можно сделать вывод, что при  оба мультипликатора вещественны и один из них по абсолютной величине больше единицы, а при  мультипликаторы являются комплексно-сопряженными с модулями, равными единице. По теореме 3 при  уравнение  неустойчиво, а при  оно устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически.


    продолжение
--PAGE_BREAK--