/>/>/>/>/>/>/>/>/>Рассматриваютсябинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятияалгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.
п.1. Бинарные и n-местные операции.
Пусть /> — непустое множество, то есть />.
Определение. Бинарной операцией на множестве /> называется отображениепрямого произведения />.
Другими словами: если каждой упорядоченной пареэлементов множества /> поставлен в соответствиеединственный элемент из />, то говорят, что задана бинарнаяоперация на множестве />.
Пример.
Пусть /> — произвольные высказывания
/>: /> — бинарная операция на множествевысказываний.
Пусть /> — произвольные множества
/>: /> — бинарная операция на множествемножеств.
Пусть />
/>: /> — бинарная операция на множестведействительных чисел.
/>: /> — не является бинарной операциейна множестве />, так как />.
Если /> — произвольная бинарная операцияна множестве /> и паре /> ставится в соответствие элемент /> (то есть />), то вместозаписи /> пишут/>, то естьимеем /> />. Элемент /> называетсякомпозицией элементов />.
Определение. Пусть />. Отображение /> называется /> — местнойоперацией на множестве />. Число /> — ранг операции.
Определение. Нульместной операцией на множестве /> называетсявыделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества />. Число /> называется рангом нульместнойоперации.
Определение. Одноместные операции называются унарнымиоперациями. Другими словами: унарная операция каждому элементу из множества /> ставит всоответствие элемент из множества />, то есть унарная операция – этоотображение множества /> во множество />.
Унарную операцию называют оператором.
Пример.
Пусть /> — множество натуральных чисел
/> - унарная операция
/> - не является унарной операцией
На множестве высказываний операция />: /> - унарная операция
На множестве подмножеств универсального множестваоперация дополнения – унарная операция.
Определение. Отображение из множества /> называется частичной /> — местнойоперацией на множестве />, если область определения отображенияне совпадает с />.
/>/>/>Виды бинарных операций
Пусть /> — бинарные операции на множестве />.
Операция /> — коммутативна на множестве />/>/> />.
Операция /> — ассоциативна на множестве /> />.
Операция /> — дистрибутивна слева относительнооперации />/>/> />.
Операция /> дистрибутивна справа относительнооперации />/>/> />.
Пример.
Операция /> на множестве /> — коммутативна,ассоциативна.
Операция /> на множестве /> — коммутативна,ассоциативна.
На множестве множеств операции /> и /> дистрибутивны относительнодруг друга.
На множестве функций композиция функций — ассоциативная операция, не является коммутативной операцией.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>п.2. Понятиеалгебры.
Определение. Алгебра />, где />, /> — множество операций на />.
Другими словами: если мы говорим об алгебре, тосчитаем, что задано множество и заданы операции.
Пример.
Пусть /> — множество высказываний
/> — алгебра логики высказываний.
Пусть /> — множество натуральных чисел
/> — алгебра натуральных чиселотносительно операций /> и />.
Определение. Алгебра /> называется подалгеброй алгебры />, еслимножество />;/>-ограничение операции />.
Определение. Алгебраическая система /> — это упорядоченнаятройка />,где />, /> — множествоопераций на />;/> — множествоотношений на />. />
/>Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики.Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теориигрупп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры.– М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры.– М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основныеструктуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье –М.: Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованыматериалы с сайта referat.ru/