--PAGE_BREAK--
1.3 Показатели вариации и способы их расчета
Вариацией признака называется его изменение у единиц совокупности(колеблемость или рассеивание признака).
Предметом изучения статистики является вариация.
При характеристики рассеивания признака применяют систему абсолютных и относительных показателей.
К абсолютным показателям вариации относятся:
1)размах вариации:
;
где — максимальное значение признака;
— минимальное значение признака.
Размах вариации характеризует величину максимального колебания признака.
2) среднее линейное отклонение:
.
Этот показатель дает более полное представление о мере вариации признака, чем размах вариации, в расчете которого учитываются только крайние по размеру варианты. В практике данный показатель применяется сравнительно редко.
3) дисперсия:
.
Дисперсия имеет большое значение в статистическом анализе. Однако ее применение как меры вариации в ряде случаев бывает не совсем удобным, потому что размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака. В таких случаях для измерения вариации признака вычисляют среднее квадратическое отклонение.
4)среднеквадратическое отклонение:
.
Среднеквадратическое отклонение широко используется в исследовании технических и экономических явлений. Это величина именованная, имеет ту единицу измерения, которую имеют исходные показатели. Познавательное значение среднеквадратического отклонения можно выразить формулой: . Это значит, что значение вариантов в ряду распределения отклоняются от средней арифметической в среднем на . Среднеквадратическое отклонение () всегда оказывается несколько выше среднего линейного отклонения ().Величина обладает некоторыми примечательными математическими свойствами, которые и обусловили предпочтение ее в анализе в сравнении с .
К относительным показателям вариации относятся:
1) коэффициент осцилляции:
;
2) линейный коэффициент вариации:
;
3) простой коэффициент вариации:
.
Если среднюю арифметическую величину принять за 100%, то с помощью простого коэффициента вариации вариацию можно охарактеризовать как 100%%. Выражая простой коэффициент вариации в процентах, различные абсолютные среднеквадратические отклонения приводят к одному основанию и дают возможность сравнивать, оценивать колеблемость величин различных признаков. При помощи простого коэффициента вариации возможно, например, сравнение размера колеблемости производительности труда групп рабочих, занятых производством различных видов продукции, размера колеблемости урожаев различных сельскохозяйственных культур и т.д. Чем меньше коэффициент вариации, тем меньше колеблемость признака, и наоборот.
Пример 1.3
Рассмотрим расчет показателей вариации по данным табл. 1.1. Воспользуемся найденным выше средним значением объема выполненных строительных работ одним предприятием 670 млн. руб.
Таблица 1.5
1)Размах вариации:
=1300-300=1000 (млн. руб.);
2) среднее линейное отклонение:
=(млн. руб.);
3) дисперсия:
=;
4)среднеквадратическое отклонение:
(млн. руб.);
5) коэффициент осцилляции:
=;
6) линейный коэффициент вариации:
=;
7) простой коэффициент вариации:
=.
1.4 Статистические графики
Для получения приблизительного представления о форме распределения строят графики распределения.
Полигон распределения— графическое изображение дискретного вариационного ряда распределения. По оси абсцисс откладывают варианты, а по оси ординат — частоты ряда. Полученные точки соединяются прямыми линиями.
Полученная таким образом линия называется эмпирической (фактической) кривой распределения. На нее оказывают влияние как общие (отражающие основную закономерность), так и случайные условия.
Если влияние случайных величин будет погашено, то будет установлена теоретическая кривая распределения. Она выражает определенный тип распределения, отвечает на вопрос о наличии определенного закона распределения. Познание законов распределения — наиболее важная цель статистического исследования. В каждом конкретном случае закономерность распределения может быть, а может и не быть.
Гистограмма распределения — графическое изображение интервального вариационного ряда распределения. Образуемые над интервалами столбики пропорциональны по высоте частотам значений признака по каждому интервалу. При неравных интервалах высота столбиков должна быть пропорциональна плотности распределения признака в соответствующем интервале.
Чтобы получить эмпирическую кривую, гистограмму нужно преобразовать в полигон. Для этого каждый интервал делим на две равные части (находим середину интервала), ставим точки и затем их соединяем последовательно отрезками прямых линий.
Эмпирическая кривая позволяет предварительно предположить форму теоретической кривой распределения, характеризующую функциональную связь между изменением варьирующего признака и изменением частот.
1.5 Асимметрия распределения и эксцесс
Асимметрия распределенияозначает, что частоты каких-либо двух вариантов, равноудаленных от центра распределения, не равны между собой. Графически асимметрия выражается различной длиной правой или левой ветви относительно максимальной ординаты. При асимметрии распределения значения средней арифметической, моды и медианы не совпадают.
Степень асимметрии определяется с помощью, например,
1) коэффициента асимметрии;
2) показателя асимметрии Пирсона.
Коэффициент асимметриинаходится по формуле:
,
где — центральный момент третьего порядка, т.е.
.
Этот коэффициент характеризует асимметричность распределения крайних значений признака.
Показатель асимметрии Пирсона находится по формуле:
.
Показатель асимметрии Пирсона характеризует асимметричность распределения в средней части ряда.
Эксцесс характеризует степень островершинности эмпирической кривой относительно кривой нормального распределения.
Коэффициент эксцесса находится по формуле:
,
где — центральный момент четвертого порядка, т.е.
.
Если получим , то вершины эмпирического и теоретического распределения совпадают. Если , то эмпирическая величина выше вершины соответствующего теоретического распределения, а если , то эмпирическая вершина ниже вершины соответствующего теоретического распределения.
Пример 1.4
Рассмотрим расчет показателей асимметрии и эксцесса по данным табл. 1.1. Воспользуемся найденным выше средним значением объема выполненных строительных работ одним предприятием 670 млн. руб., среднеквадратическим отклонением млн. руб., модальным значение объема выполненных строительных работ млн. руб.
Таблица 1.6
Центральный момент третьего порядка:
.
Коэффициент асимметрии:
.
Показатель асимметрии Пирсона:
.
Таким образом, данное распределение имеет правостороннюю асимметрию, причем в крайних значениях признака асимметрия более значительная, чем в средней части распределения.
Центральный момент четвертого порядка:
.
Коэффициент эксцесса:
.
Таким образом, вершина данного распределения ниже вершины соответствующего теоретического нормального распределения.
продолжение
--PAGE_BREAK--
2 ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
2.1 Определение выборочного наблюдения
Выборочным наблюдениемназывают такое несплошное наблюдение, при котором характеристику всей совокупности единиц (генеральной совокупности) дают по некоторой части единиц (выборочной совокупности), отобранных в определенном порядке.
Выборочное наблюдение используется в связи с тем, что оно позволяет:
— экономить силы и средства, необходимые для статистического исследования;
— быстрее (оперативнее) получать результаты;
— проводить исследования в случаях, когда сплошное наблюдение невозможно (например, для определения качества предметов, связанного с физическим уничтожением образцов);
— уточнять результаты сплошного наблюдения (например, для проверки сплошной переписи населения организуют контрольные выборочные обследования).
Генеральная и выборочная совокупности характеризуются соответственно генеральными и выборочными показателями (средние величины, показатели доли, показатели вариации).
Возможные случайные отклонения между выборочными и генеральными показателями называют ошибкой выборки.
Выборочная совокупность формируется различными способами отбора. Применительно к способу отбора используют и свои методы расчета средней ошибки выборки.
2.2 Способы отбора
1. Собственно случайный отбор – отбор на удачу (по жребию, лотерее). Случайный отбор может быть повторный и бесповторный. В экономических исследованиях повторный отбор практически не применяется. Важнейшее правило случайного отбора – каждой единице генеральной совокупности должна обеспечиваться равная вероятность быть отобранной.
2. Механический отбор (порядковый).
Например, генеральная совокупность составляет 600 единиц (т.е. N=600), из которых нужно отобрать выборочную совокупность, состоящую из 50 единиц (т.е. n=50). Единицам генеральной совокупности присваиваются порядковые номера от 1 до 600. Находится интервал отбора: 600/50=12. Из первых 12-ти единиц отбирают единицу случайным отбором. Допустим, что первой оказалась единица под номером 7. Далее с интервалом 12 в выборку будут отобраны единицы под номерами 19, 31, 43 и т.д.
3. Серийный (гнездовой) отбор.
Допустим, генеральная совокупность из 500 единиц разделяется на 100 серий по 5 единиц в серии. В выборку нужно отобрать 50 единиц, т.е. 10 серий. Тогда каждая серия отбирается в выборку собственно случайным бесповторным отбором.
4. Типический (расслоенный) отбор.
При этом отборе генеральная совокупность делится на группы по какому-либо признаку. Затем пропорционально доли каждой группы в генеральной совокупности отбирают единицы из групп в выборочную совокупность в случайном порядке.
5. Комбинированный отбор предполагает использование нескольких способов отбора в их комбинации.
2.3 Статистическая оценка
Статистическая оценка – приближенное значение искомой величины по результатам выборочного наблюдения.
Например, выборочная средняя является оценкой генеральной средней. Различают понятия точечной и интервальной оценки.
Точечнойназывают статистическую оценку, которая определяется одним числом.
Несмещеннойназывают точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.
Смещеннойназывают точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.
Несмещенной оценкой генеральной среднейслужит выборочная средняя.
Смещенной оценкой генеральной дисперсиислужит выборочная дисперсия.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсиислужит исправленная выборочная дисперсия:
,
где – выборочная дисперсия,
– число единиц выборочной совокупности.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью (вероятностью) покрывает оцениваемый параметр.
Обозначим:
– генеральная средняя,
– выборочная средняя,
– предельная ошибка выборочной средней для заданной доверительно вероятности .
Тогда интервальная оценка генеральной средней примет вид:
Предельная ошибка выборочной средней
а) для повторного собственно случайного отбора:
,
б) для бесповторного собственно случайного отбора:
,
где – дисперсия генеральной совокупности,
– число единиц выборочной совокупности,
– число единиц генеральной совокупности,
– коэффициент доверия, величина которого зависит от заданной доверительной вероятности .
Приведем значения некоторых коэффициентов доверия (см. табл. 2.1)
Таблица 2.1
Замечание. Если генеральная дисперсия неизвестна, то вместо нее можно взять исправленную выборочную дисперсию. При больших выборках
(>30) отношение , и вместо генеральной дисперсии можно использовать выборочную дисперсию.
Пример 2.1
Из общей численности рабочих предприятия 5000 человек в порядке собственно случайного бесповторного отбора было отобрано 500 человек для изучения времени простоев в течение рабочего дня. Результаты наблюдения отражены в табл. 2.2
Таблица 2.2
Распределение выборочной численности рабочих
предприятия по времени простоев
Группы рабочих по времени простоев в минутах
Число рабочих ()
Среднее значение интервала в минутах ()
до 10
от 10 до 20
от 20 до 30
от 30 до 40
от 40 до 50
от 50 до 60
свыше 60
35
62
84
145
77
65
32
5
15
25
35
45
55
65
Итого:
500
С вероятностью 0,997 определить пределы, в которых находится среднее время простоя одного рабочего на предприятии.
Решение
1) Выборочная средняя времени простоя одного рабочего:
(мин).
2) Выборочная дисперсия времени простоя одного рабочего:
.
3) Предельная ошибка выборочной средней с вероятностью =0,997 для бесповторного отбора:
;
где коэффициент доверия =3 найден по табл. 2.1 в соответствии с доверительной вероятностью =0,997.
4) Среднее время простоя одного рабочего на предприятии с вероятностью 0,997 находится в интервале от 32,77 минут до 36,84 минут, что вытекает из интервальной оценки генеральной средней:
,
т.е. 34,8–2,0334,8+2,03.
Аналогично находится интервальная оценка генеральной доли:
,
где выборочная доля, которая находится по формуле:
– число единиц выборочной совокупности,
– число единиц, обладающих указанным признаком,
генеральная доля,
– предельная ошибка выборочной доли для заданной доверительно вероятности .
Предельная ошибка выборочной доли
а) для повторного собственно случайного отбора:
,
б) для бесповторного собственно случайного отбора:
,
где – коэффициент доверия, величина которого зависит от заданной доверительной вероятности (см. табл. 2.1).
Пример 2.2
По данным примера 2.1 с вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится доля рабочих на предприятии, у которых время простоя от 30 минут и выше.
Решение
1) Выборочная доля рабочих, у которых время простоя от 30 минут и выше:
.
2) Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью =0,954 для бесповторного отбора:
;
где коэффициент доверия =2 найден по табл. 2.1 в соответствии с доверительной вероятностью =0,954.
3) Доля рабочих на предприятии, у которых время простоя от 30 минут и выше с вероятностью 0,954 находится в интервале от 0,597 до 0,679, что вытекает из интервальной оценки генеральной доли:
,
т.е. 0,638–0,0410,638+0,041.
2.4 Определение необходимой численности выборки
При организации выборочного наблюдения очень важно предварительно решить вопрос о том, сколько единиц должно быть отобрано в выборку.
Необходимая численность выборки () определяется на основе формул предельной ошибки выборки.
Численность выборкипо формуле предельной ошибки выборочной средней
а) для повторного собственно случайного отбора:
,
б) для бесповторного собственно случайного отбора:
.
Численность выборкипо формуле предельной ошибки выборочной доли
а) для повторного собственно случайного отбора:
,
б) для бесповторного собственно случайного отбора:
.
Пример 2.3
На заводе предполагается провести выборочное обследование средней часовой выработки рабочих методом случайного повторного отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,991 ошибка выборки не превышала 5 шт., если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 225?
Решение
Численность выборки по формуле предельной ошибки выборочной средней для повторного собственно случайного отбора:
.
Итак, для получения желаемого результата необходимо отобрать 61 рабочего.
3 РЯДЫ ДИНАМИКИ
3.1 Построение рядов динамики
Ряд динамики (временной ряд) — ряд показателей, характеризующих развитие явления во времени, состоит из двух элементов — времени ряда (моменты или периоды) и уровней ряда (показателей величины явления).
Уровнем ряда называется абсолютная величина каждого члена динамического ряда. Различают начальный, конечный и средний уровень ряда. Начальный уровень — это величина первого члена ряда, конечный – последнего, средний уровень — средняя из всех значений динамического ряда.
По времени, отражаемому в рядах, ряды динамики делят на моментные (моментом обычно является дата, на которую относится уровень) и интервальные (уровни ряда выражают размер явления за промежуток времени).
По полноте времени, отражаемого в рядах, ряды динамики делят на полные (даты или периоды следуют друг за другом с равным интервалом) и неполные (равный интервал не соблюдается).
По способу выражения уровней, ряды динамики делят на ряды абсолютных величин, ряды средних величин и ряды относительных величин.
3.2 Показатели анализа рядов динамики
Для анализа ряда динамики применяют следующие базисные и цепные показатели анализа рядов динамики: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста.
Уровень, который сравнивается, называется текущим.
Если каждый уровень ряда сравнивается с предыдущим, то получают цепные показатели, а если с одним и тем же начальным уровнем, то получают базисные показатели.
Абсолютный приростхарактеризует размер увеличения или уменьшения изучаемого явления за определенный период времени. Он определяется как разность между текущим и предыдущим уровнями (цепной) или между текущим и начальным уровнями (базисный).
Темпом ростаназывается отношение текущего уровня к предыдущему (цепной) или текущего уровня к начальному (базисный).
Темпом приростаназывается отношение цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню (цепной) или базисного абсолютного прироста к начальному уровню (базисный).
Обозначим:
У0— базисный (начальный) уровень;
У
i— текущий уровень;
Уi-1— уровень, предшествующий Уi.
— цепной абсолютный прирост;
— базисный абсолютный прирост;
— темп роста цепной;
— темп роста базисный;
— темп прироста цепной;
— темп прироста базисный.
Расчет этих показателей будет выражаться формулами, приведенными в табл. 3.1 (в коэффициентах).
Таблица 3.1
Показатель
Цепной
Базисный
Абсолютный прирост
Темп роста
Темп прироста
Абсолютное значение 1% прироста (a
i) – есть отношение цепного абсолютного прироста к цепному темпу прироста, т.е.
( в 1% прироста).
продолжение
--PAGE_BREAK--
Пример 3.1
В Ивановской области за период с 1980 г. по 1984г. производство сборных железобетонных конструкций и деталей составляло (см. табл. 3.2).
Таблица 3.2
Производство сборных железобетонных конструкций и деталей
В Ивановской области за 1980–1984 годы
Годы
1980
1981
1982
1983
1984
Произведено, тыс. куб. м.
393
402
381
428
469
Вычислить показатели анализа данного ряда динамики.
Решение
Показатели анализа данного ряда динамики найдены непосредственно в таблице (см. табл. 3.3) по вышеприведенным формулам.
Таблица 3.3
Расчет показателей анализа данного ряда динамики
Годы
1980
1981
1982
1983
1984
Произведено, тыс. куб. м.
393
402
381
428
469
Абсолютный прирост, тыс. куб. м.:
а) цепной
б) базисный
–
9
9
-21
-12
47
35
41
76
Темпы роста в %
а) цепные
б) базисные
–
100,0
102,3
102,3
94,8
96,9
112,3
108,9
109,6
119,3
Темпы прироста в %
а) цепные
б) базисные
–
2,3
2,3
-5,2
-3,1
12,3
8,9
9,6
19,3
Абсолютное значение 1% прироста, тыс. куб. м. в 1% прироста
–
3,93
4,02
3,81
4,28
3.3 Расчет средних величин в рядах динамики
Средний уровень в интервальном ряду динамики находится по формуле средней арифметической простой:
,
где — средний уровень ряда,
— число уровней ряда.
Например, по данным табл. 3.1 среднегодовой уровень производства сборных железобетонных конструкций и деталей за период 1980–1984 гг. составит:
(тыс. куб. м.).
Средний уровень в полном моментном ряду динамики находится по формуле:
.
Например, стоимость имущества предприятия за полугодие в млн. руб. составляла на 1-ое число каждого месяца:
Средняя стоимость имущества за полугодие составит:
(млн. руб.).
Средний уровень в неполном моментном ряду динамики находится по формуле:
,
где средняя за каждый период, находится как средняя арифметическая простая между двумя рядом стоящими уровнями,
продолжительность периода, разделяющего два рядом стоящих уровня.
Пример 3.2
Остаток строительных материалов на предприятии составлял на моменты времени (см. табл. 3.4):
Таблица 3.4
Определить средний остаток строительных материалов за первый квартал.
Решение
Первый период с 1.01 по 10.02 имеет продолжительность 40 дней, т.е. =40.
Второй период с 10.02 по 25.03 имеет продолжительность 43 дня, т.е. =43.
Третий период с 25.03 по 1.04 имеет продолжительность 7 дней, т.е. =7.
Итак, средний остаток строительных материалов на предприятии за первый квартал составит:
8792,778 (тыс. руб.)
Средний абсолютный прирост:
,
где число уровней ряда,
конечный уровень ряда,
начальный уровень ряда.
Например, найдем средний абсолютный прирост производства сборных железобетонных конструкций и деталей за период с 1980 г. по 1984г. по данным примера 3.1 (см. табл. 3.2):
(тыс. куб. м.)
Средний темп ростаисчисляется по формуле геометрической средней:
,
где число уровней ряда,
конечный уровень ряда,
начальный уровень ряда.
Например, найдем средний темп роста производства сборных железобетонных конструкций и деталей за период с 1980 г. по 1984г. по данным примера 3.1 (см. табл. 3.2):
; или 104,5%.
Средний темп приростабудет равен:
.
Например, найдем средний темп прироста производства сборных железобетонных конструкций и деталей за период с 1980 г. по 1984г. по данным примера 3.1:
; или 4,5%.
3.4 Графическое изображение рядов динамики
Динамика явлений графически может быть представлена в виде линейной диаграммы. Для построения которой используется система прямоугольных координат — по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат — либо уровни, либо базисные темпы роста. На рисунке 3.1 показано, как в принципе должен строится график для интервального ряда (вариант а) и для моментного ряда (вариант б).
Можно указать на следующие важные моменты в построении линейных графиков:
1) на графике должен строго соблюдаться масштаб уровня и масштаб времени;
2) каждая точка оси абсцисс выражает момент времени, а отрезки шкалы — периоды времени;
3) периоды (годы, месяцы и т.п.) в принципе должны подписываться под отрезком шкалы, уровни интервального ряда могут быть выражены, строго говоря, только столбиками, а потому точка на графике обозначает высоту столбика;
4) моменты времени подписывают под точками шкалы, вершины ординат (обозначение точками) соответствуют уровням этих моментов;
5) точки соединяют отрезками прямых, которые образуют ломаную кривую, характеризующую процесс динамики. Соединять точки отрезками кривых линий (“закругленных”) недопустимо.
Рис. 3.1. Линейная диаграмма ряда динамики
продолжение
--PAGE_BREAK--
3.5 Приемы анализа рядов динамики
Важнейшая задача анализа динамики — вскрыть, а затем и охарактеризовать свойственные развитию данного явления закономерности и тенденции (например, тенденция роста, снижения, стабилизации и др.)
Во многих случаях основная тенденция развития выступает по данным ряда динамики недостаточно отчетливо, затушевывается постоянными колебаниями уровня.
Основная тенденция, или, иначе, тренд, на графике характеризуется линией тренда, которая свободна от кратковременных отклонений, вызванных разными случайными причинами.
В конкретных условиях могут использоваться следующие приемы обработки рядов динамики для выявления основной тенденции (закономерности) развития:
а) простое укрупнение интервалов (от месячных интервалов перейти к квартальным, от квартальных — к годовым и т.д.). Соответственно и уровни ряда будут исчислены за более длительные периоды времени путем суммирования уровней за периоды, вошедшие в новый интервал;
б) расчет среднего уровня в укрупненном интервале. Такой прием, например, часто используют при изучении урожайности сельскохозяйственных культур. По пятилеткам определяют среднегодовую урожайность зерна или другой культуры. Случайные колебания при этом сглаживаются;
в) сглаживание ряда с помощью скользящей средней;
г) аналитическое выравнивание ряда динамики.
Скользящая средняяможет быть трех-, пяти- и более членной. Вопрос о числе членов решает исследователь, проводящий сглаживание ряда. Так, при подсчете трехзвенной скользящей средней первая и последние средние не исчисляются, вторая средняя исчисляется как средняя арифметическая первых трех уровней, третья – как средняя арифметическая второго, третьего и четвертого уровней и т.д.
Сглаживание ряда с помощью скользящей средней является простым приемом, но не всегда ясно позволяет выявить тенденцию развития. Поэтому часто используют прием аналитического выравнивания.
Аналитическое выравниваниевключает:
— выбор формы линии (прямой или какой-либо кривой, имеющей математическую формулу);
— расчет параметров избранной формулы линии, позволяющей нанести теоретическую линию на график.
Допустим, линейная диаграмма позволяет предположить, что динамика исследуемого явления имеет форму прямой линии.
Уравнение прямой выразим:
,
где — теоретическое значение уровней ряда;
— параметры прямой;
— показатели времени.
Коэффициент имеет смысл показателя степени связи между изменчивостью влияющей переменной и изменчивостью зависимой переменной . Коэффициент показывает на сколько изменится переменная при изменении переменной на единицу, а знак коэффициента показывает направление этого изменения.
Для нахождения параметров уравнения используют систему уравнений:
где — фактические уровни ряда;
— число членов ряда;
— показатели времени.
Решая эту систему относительно параметров и , получим:
,
.
Полученная прямая линия выражает тренд динамики.
Пример 3.3
Имеются данные о сварке труб газопровода по месяцам отчетного года в строительной корпорации (см. табл. 3.5).
Таблица 3.5
Проведем сглаживание ряда динамики с помощью трехзвенной скользящей средней.
Таблица 3.6
Значения скользящей средней найдены непосредственно в табл. 3.6.
Если нанести данные табл. 3.6 на график, то получим две линии, изображающие динамику абсолютных уровней и скользящих средних. Покажем это на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Сглаживание ряда динамики при помощи скользящей средней
По графику можно убедится в том, что кривая абсолютных уровней имеет резкие изломы и не позволяет однозначно выявить тенденцию динамики.
Кривая скользящих средних, напротив, свидетельствует о безусловном нарастании показателей сварки труб.
Пример 3.4
Рассмотрим прием простого укрупнения интервалов и расчета среднего уровня в укрупненном интервале. По данным табл. 3.5 перейдем от месячных объемов сварки труб газопровода к квартальным. Рассчитаем объем среднемесячной сварки труб газопровода в каждом квартале. Полученные таким образом ряды динамики и расчет их уровней приведены в табл. 3.7. Эти ряды также свидетельствуют о безусловном нарастании показателей сварки труб.
Таблица 3.7
Пример 3.5
Рассмотрим прием сглаживания ряда с помощью аналитического выравнивания по данным табл. 3.5.
Рисунок 3.2 позволяет предположить, что динамика сварки труб имеет форму прямой линии, т.к., несмотря на изломы, точки кривой имеют направленность из нижнего левого в верхний правый угол графика. (Правильность такого суждения проверяется специальными показателями – коэффициентами корреляции).
Произведем расчет параметров и прямой и теоретических уровней . Для этого найдем необходимые суммы в табл. 3.8.
Таблица 3.8
В нашем случае .
Итак,
(м),
(м).
Тогда уравнение линейного тренда будет иметь вид:
= 19686,36 + 671,33.
Находим теоретические значения:
1 = 19686,36 + 671,33·1 ≈ 20358,
2 = 19686,36 + 671,33·2 ≈ 21029,
3 = 19686,36 + 671,33·3 ≈ 21700 и т.д.
Заносим значения теоретических уровней в табл. 3.8.
Итог теоретических уровней должен быть равен итогу фактических уровней. Нанесем теоретические точки на график (рис. 3.3) и получим прямую линию, которая выражает тренд динамики.
Рис. 3.3. Сглаживание ряда динамики при помощи аналитического
выравнивания
4 ИНДЕКСЫ
4.1 Понятие об индексах
В статистике индексом называется относительная величина, которая характеризует изменение во времени или пространстве уровня изучаемого общественного явления или степень выполнения плана.
При помощи индексов:
1) определяются средние изменения сложных, непосредственно несоизмеримых совокупностей во времени;
2) оценивается средняя степень выполнения плана по совокупности в целом или ее части;
3) устанавливаются средние соотношения сложных явлений в пространстве;
4) определяется роль отдельных факторов в общем изменении сложных явлений во времени или в пространстве и, в частности, изучается влияние структурных сдвигов.
Индексы всегда выражаются в процентах или коэффициентах.
По степени охвата элементов сложной совокупности различают индексы:
— индивидуальные;
— общие;
— агрегатные.
4.2 Индивидуальные индексы
Индивидуальные индексывыражают соотношение отдельных элементов совокупности.
Индивидуальные индексы обозначаются буквой “i” и определяются путем соотношения двух величин, характеризующих уровень изучаемого явления во времени или пространстве, т.е. за два сравниваемых периода.
Период, уровень которого сравнивается, называется отчетным, или текущим периодом и обозначается подстрочным знаком “1”.
Период, с уровнем которого производится сравнение, называется базисным и обозначается подстрочным знаком “0” или “пл”, если сравнение производится с планом.
В статистической практике принято количество обозначать буквой q, цену – p, себестоимость – z, затраты времени на производство единицы продукции – t
.
Индивидуальные индексы выражаются следующим образом:
1) Индекс физического объема продукции
,
где и – количество произведенной продукции в отчетном и базисных периодах, соответственно.
Этот индекс может характеризовать изменение физического объема продукции:
— во времени;
— в пространстве, если сравнивать производство одного и того же вида продукции за один и тот же период времени, но по разным объектам (заводам, территориям и т.д.);
— по сравнению с планом, если фактический выпуск сравнивать с плановым заданием.
2) Индекс цен
,
где и – цена единицы продукции в отчетном и базисном периодах, соответственно.
3) Индекс себестоимости
,
где и – себестоимость единицы продукции в отчетном и базисном периодах, соответственно.
4) Индекс трудоемкости
,
где и – затраты времени на производство единицы продукции в отчетном и базисном периодах, соответственно.
4.3 Общие и агрегатные индексы
Общие индексы показывают соотношение совокупностей явлений, состоящих из разнородных, непосредственно несоизмеримых элементов.
Так, например, общий индекс товарооборота будет:
.
Индекс товарооборотапоказывает, что его величина зависит от двух переменных величин:
— физического объема товарооборота, т.е. количества проданных товаров;
— цены за каждую величину реализованных товаров.
Чтобы выявить влияние каждой переменной в отдельности, следует влияние одной из них исключить, т.е. принять ее условно в качестве постоянной, неизменной величины на уровне отчетного или базисного периода. В этом случае используют агрегатные индексы.
продолжение
--PAGE_BREAK--
Агрегатный индекс цен, в котором вес принят на уровне отчетного периода (q1) вычисляют по формуле:
.
Агрегатный индекс физического объема товарооборота,в котором вес принят на уровне базисного периода (р0)вычисляют по формуле:
.
Существует взаимосвязь между общим индексом товарооборота и агрегатными индексами цен и физического объема товарооборота, вычисленными по вышеприведенным формулам:
или .
Абсолютный прирост стоимости товарооборота зависит от двух факторов:
— от изменения цен на товары;
— от изменения объема продаж.
Итак, абсолютный прирост стоимости товарооборота равен , в том числе за счет изменения цен на и за счет изменения физического объема на .
Т.е.
Пример 4.1
Имеются следующие данные об объеме выпуска и себестоимости продукции по предприятию (см. табл. 4.1):
Таблица 4.1
Вычислить:
1 Индивидуальные индексы себестоимости и физического объема выпуска продукции вида А.
2 Общий индекс затрат по выпуску всей продукции по данному предприятию.
3 Агрегатный индекс себестоимости продукции.
4 Агрегатный индекс физического объема выпуска продукции.
5 Абсолютную величину изменения затрат на данном предприятии за указанный период, в том числе за счет изменения себестоимости продукции и за счет изменения физического объема выпуска продукции.
6 Сделать краткие выводы по всем полученным показателям.
Решение
1 Индивидуальный индекс себестоимости продукции вида А:
или 95%.
Вывод: себестоимости продукции вида А снизилась на 5%.
Индивидуальный индекс физического объема выпуска продукции вида А:
или 144,7%.
Вывод: физический объем выпуска продукции вида А вырос на 44,7%.
2 Общий индекс затрат по выпуску всей продукции по данному предприятию:
или 117,5%.
Вывод: затраты по выпуску всей продукции по данному предприятию за указанный период выросли на 17,5%.
3 Агрегатный индекс себестоимости продукции:
или 93,9%.
Вывод: Себестоимость всей продукции по данному предприятию за указанный период снизилась на 6,1%.
4 Агрегатный индекс физического объема выпуска продукции:
или 125,1%.
Вывод: физический объем выпуска всей продукции по данному предприятию за указанный период увеличился на 25,1%.
5 Абсолютная величина изменения затрат по выпуску продукции на данном предприятии за указанный период составила:
(руб.),
в том числе за счет изменения себестоимости продукции затраты выросли на:
(руб.)
и за счет изменения физического объема выпуска продукции затраты выросли на:
(руб.).
Вывод: затраты по выпуску продукции на данном предприятии за указанный период выросли на 20922 руб., в том числе за счет изменения себестоимости продукции затраты снизились на 9083 руб. и за счет изменения физического объема выпуска продукции затраты выросли на 30005 руб.
4.4 Средние индексы
Агрегатный индекс может быть преобразован в средний арифметический или средний гармонический. Эти формулы используют тогда, когда информация не позволяет сделать расчет по формуле агрегатного индекса, но достаточна для расчета индексов по преобразованным формулам.
Так, например, агрегатный индекс физического объема товарооборота
может быть преобразован в средний арифметический, если выразить из индивидуального индекса физического объема: , т.е. и подставить в выше приведенную формулу. Итак,
.
Пример 4.2
Имеются данные о производстве продукции заводом за два года (см. табл. 4.2):
Таблица 4.2
Наименование продукции
Стоимость произведенной продукции в базисном году, тыс. руб. ()
Изменение количества произведенной продукции в отчетном году, %.
Станки модели «А»
Станки модели «Б»
Посуда
25000
10000
5000
-35,0
+20,0
+52,0
Требуется вычислить агрегатный индекс физического объема производства продукции.
Решение
Для расчета агрегатного индекса физического объема производства продукции воспользуемся формулой среднего арифметического индекса.
Индивидуальные индексы физического объема составляют:
станки модели «А» — 100% – 35% = 65% или 0,65;
станки модели «Б» — 100% + 20% = 120% или 1,20;
посуда — 100% + 52% = 152% или 1,52.
Итак, агрегатный индекс физического объема производства продукции:
или 89,6%. Следовательно, физический объем производства продукции за указанный период сократился на 10,4%.
Аналогично, агрегатный индекс цен
может быть преобразован в средний гармонический, если выразить из индивидуального индекса цен: , т.е. и подставить в выше приведенную формулу.
Итак,
.
Пример 4.3
По приведенным данным (см. табл. 4.3) вычислить агрегатный индекс цен.
Таблица 4.3
Решение
Для расчета агрегатного индекса цен воспользуемся формулой среднего гармонического индекса.
Индивидуальные индексы цен составляют:
Мясо — 100% + 30% = 130% или 1,30;
Молоко — 100% + 24% = 124% или 1,24;
Сахар — 100% + 42% = 142% или 1,42;
Картофель — 100% – 5% = 95% или 0,95.
Итак, агрегатный индекс цен:
или 124,1%. Следовательно, цены на товары в 1995 году увеличились по сравнению с 1994 годом на 24,1%
4.5 Индексы средних величин
В ряде случаев приходится изучать динамику общественных явлений, уровни которых выражены средними величинами (средней себестоимостью, средней заработной платой, средней урожайностью, средней производительностью труда и т.д.).
Динамика средних показателей зависит от одновременного изменения вариантов, из которых формируются средние, и изменения удельных весов этих вариантов, т.е. от структуры изучаемого явления. Так, например, средняя производительность труда на предприятии может возрасти за счет ее повышения у рабочих отдельных специальностей и повышения удельного веса рабочих с более высокой производительностью труда в общей численности рабочих.
Таким образом, на изменение динамики среднего значения изучаемого явления могут оказывать влияние одновременно два фактора: изменение осредняемого показателя и изменение структуры. Изучение совместного действия указанных факторов на общее изменение динамики среднего уровня явления, а также роли и влияния каждого фактора в отдельности в общей динамике средней проводится в статистике при помощи системы взаимосвязанных индексов, которую можно представить в следующем виде:
где и – уровни осредняемого показателя соответственно в отчетном и базисном периодах, а и – веса (частоты) осредняемых показателей соответственно в отчетном и базисном периодах.
В указанной системе взаимосвязанных индексов при построении индекса постоянного состава в качестве весов принята структура отчетного периода, что позволяет проследить изменение средней динамики изучаемого явления только за счет изменения осредняемых значений качественного показателя. При построении индекса структурных сдвигов в качестве соизмерителя принята величина осредняемого показателя на уровне базисного периода, что дает возможность изучить изменение средней динамики явления только за счет структурных сдвигов.
Используя индексы средних величин, можно найти не только относительное влияние факторов, но и определить абсолютное изменение уровня среднего показателя в целом () и за счет каждого из факторов: за счет непосредственного изменения уровней осредняемого признака () и за счет изменения структуры (). Для этого необходимо из числителя соответствующего индекса приведенной системы индексов вычесть его знаменатель. Итак
,
в том числе:
;
;
Таким образом .
Пример 4.4
Имеются данные о динамике себестоимости и объеме производства продукции «А» на двух заводах (см. табл. 4.4).
Таблица 4.4
Вычислить:
1. Индекс средней себестоимости продукции «А» (переменного состава);
2. Индекс себестоимости продукции «А» постоянного состава;
3. Индекс влияния изменения структуры производства продукции «А» на динамику ее средней себестоимости;
4. Определить общее абсолютное изменение средней себестоимости единицы продукции «А» в отчетном периоде по сравнению с базисным и разложить по факторам: за счет непосредственного изменения уровней себестоимости единицы продукции и за счет изменения структуры производства продукции;
Сделать краткие выводы по всем полученным показателям.
Решение
1. Индекс средней себестоимости продукции «А» (переменного состава):
Вывод: средняя себестоимость единицы продукции «А» за указанный период увеличилась на 9,5%.
Изменение средней себестоимости единицы продукции «А» может быть обусловлено изменением себестоимости единицы продукции «А» на каждом заводе и изменением удельного веса производства продукции «А» на каждом из анализируемых заводов.
Выявление влияния каждого из этих факторов на динамику средней себестоимости продукции «А» можно осуществить при помощи расчета индекса себестоимости постоянного состава и индекса структурных сдвигов.
2. Индекс себестоимости продукции «А» постоянного состава:
Вывод: средняя себестоимость единицы продукции «А» за указанный период за счет изменения уровней себестоимости продукции «А» на каждом из заводов увеличилась на 10%.
3. Индекс влияния изменения структуры производства продукции «А» на динамику ее средней себестоимости:
Вывод: средняя себестоимость единицы продукции «А» за указанный период за счет изменения удельного веса количества произведенной продукции «А» на каждом из заводов снизилась на 0,5%.
4. Общее абсолютное изменение средней себестоимости единицы продукции «А» в отчетном периоде по сравнению с базисным:
(млн. руб.),
в том числе:
-за счет непосредственного изменения уровней себестоимости единицы продукции:
(млн. руб.)
-за счет изменения структуры производства продукции:
(млн. руб.)
Вывод: средняя себестоимость единицы продукции «А» за указанный период увеличилась на 0,589 млн. руб., в том числе за счет изменения уровней себестоимости продукции «А» на каждом из заводов увеличилась на 0,62 млн. руб. и за счет изменения удельного веса количества произведенной продукции «А» на каждом из заводов снизилась на 0,031 млн. руб.
продолжение
--PAGE_BREAK--