Федеральноеагентство по образованию
Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тюменскийгосударственный нефтегазовый университет»
Филиал ТЮМГНГУг. Салехард
Кафедра «Автомобилии автомобильное хозяйство»
Реферат
По дисциплине «Математика»
На тему: «Аналитическаягеометрия в решении экономических задач»
Выполнил:
студент группы АТХ-08
Кузнецов И. В.
Проверил:
Попова В. Р
Салехард 2009г.
Содержание
1.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ). Пример балансовогоанализа
2.Линейная модель обмена. Пример торговли трёх стран
1. Модель Леонтьевамногоотраслевой экономики (балансовый анализ)
Цель балансовогоанализа – ответить на вопрос, возникающий в микроэкономике и связанный сэффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объёмпроизводства каждой из nотраслей, чтобы удовлетворять все потребности в продукции этой отрасли? Приэтом каждая отрасль выступает с одной стороны, как производитель некоторойпродукции, а с другой стороны как потребитель продукции и своей, ипроизведённой другими отраслями.
Связь между отраслями,как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическаямодель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 году американскимэкономистом В. Леонтьевым. Предположим, что рассматривается nотраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Частьпродукции идёт на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другимиотраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферыматериального производства) личного и общественного потребления.
Введём некоторыеобозначения: /> – общий(валовой) объём продукции i-йотрасли (i=1,2,…,n);
/> — объёмпродукции i-й отрасли,потребляемой j-й отраслью в процессепроизводства (i,j=1,2,…,n);
/> — объёмконечного продукта i-й отрасли длянепроизводственного потребления.
Так как валовой объёмпродукции любой i-й отрасли равенсуммарному объёму продукции, потребляемой nотраслями, и конечного продукта, то
/>
Уравнения (2.14)называются соотношениями баланса.Будем рассматривать стоимостный межотраслевойбаланс, когда все величины, входящие в (2.14), имеют стоимостное выражение.
/>
показывающие затратыпродукции i-й отрасли напроизводство единицы продукции j-йотрасли.
Можно полагать, что внекотором промежутке времени коэффициенты /> будутпостоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означаетлинейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.
/>
вследствие чегопостроенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила названиелинейной.
Теперь соотношениябаланса (2.14) примут вид:
/>
Обозначим
/> />, />, />,
Где X–вектор валового выпуска, Y– вектор конечного продукта, A– матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица).
Тогда систему (2.14)можно записать в матричном виде:
/>
Основная задачамежотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X,который при известной матрице прямых затрат Aобеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.
Перепишем уравнение(2.18) в виде:
/>
Если матрица/> невырожденная,т.е. /> то по
формуле (2.7)
/>
Матрица />называетсяматрицей полных затрат.
Чтобы выяснитьэкономический смысл элементов матрицы /> будемзадаваться единичными векторами конечного продукта
/>
Тогда по формуле (2.20)соответствующие векторы валового выпуска будут
/>
Следовательно, каждыйэлемент /> матрицы Sесть величена валового выпуска продукции i-йотрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-йотрасли />
В соответствии сэкономическим смыслом задачи значения /> должны бытьнеотрицательны при неотрицательных значениях />
Матрица /> называетсяпродуктивной, если для любого вектора /> существуетрешение /> уравнение(2.19). В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.
Существует несколькокритериев продуктивности матрицы A.Одиниз них говорит о том, что матрица Aпродуктивна, если максимум сумм элементов её столбцов не превосходит единицы,причём хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы,т.е. матрица A продуктивна, если /> для любых />
Пример балансовогоанализа
В таблице приведеныданные об исполнении баланса за отчётный период, усл. ден. ед.:Отрасль Потребление Конечный продукт Валовой выпуск энергетика машиностроение Производство
Энергетика
Машиностроение 7 21 72 100 12 15 123 150
Вычислить необходимыйобъём валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетическойотрасли увеличится вдвое, а машиностроительной сохраниться на прежнем уровне.
Решение: Имеем
/>
По формуле (2.15)находим коэффициенты прямых затрат:
/>
т.е. матрица прямыхзатрат /> имеетнеотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:
/>
Поэтому для любоговектора конечного продукта Yможно найти необходимый объём валового выпуска Xпо формуле (2.20):
/>
Найдём матрицу полныхзатрат
/> :
/>
Так как /> по формуле(1.14)
/>
По условию векторконечного продукта /> Тогда поформуле (2.17) получаем вектор валового выпуска:
/>
т.е.валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а вмашиностроительной – до 160,5 усл. ед.
2. Линейнаямодель обмена
В качестве примераматематической модели экономического процесса, приводящейся к понятиюсобственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейнуюмодель обмена(модель международной торговли).
Пусть имеется nстран /> национальныйдоход каждой из которых равен соответственно /> Обозначимкоэффициентами /> долюнационального дохода, которую страна /> тратит напокупку товаров у страны />. Будем считать,что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны,либо на импорт из других стран, т.е.
/>
Рассмотрим матрицу
/>,
которая получиланазвание структурной матрицы торговли. В соответствии с (3.32) сумма элементовлюбого столбца матрицы Aравна 1.
Для любой страны /> (i=1,2,…,n)выручка от внутренней и внешней торговли составит :
/>
Для сбалансированнойторговли необходима бездефицитность торговли каждой страны />, т.е. выручкаот торговли каждой странны должна быть не меньше её национального дохода :
/>
Если считать, что /> то получаемсистему неравенств:
/> (3.33)
Сложив все неравенствасистемы (3.33), получим после группировки
/>
Учитывая (3.32),выражения в скобках равны единице, и мы приходим к противоречивому неравенству
/>
Таким образом,неравенство /> невозможно, иусловие />принимает вид /> С экономическойточки зрения это понятно, так как все страны не могут одновременно получатьприбыль.
Вводя вектор /> национальныхдоходов стран, получим матричное уравнение
/> (3.34)
В котором вектор xзаписан в виде вектор столбца, т.е. задача свелась к отысканию собственноговектора матрицы A, отвечающегособственному значению />
Пример структурнаяматрица торговли трёх стран.
Структурная матрицаторговли трёх стран /> имеет вид :
/>.
Найти соотношениенациональных доходов стран для сбалансированной торговли.
Решение. Находимсобственный вектор x, отвечающийсобственному значению />, решивуравнение /> или систему
/>
Методом Гаусса. Найдём /> />, /> т.е. />
Полученный результатозначает, что сбалансированность торговли трёх стран достигается при векторенациональных доходов /> т.е. при соотношениинациональных доходов стран 3/2: 2: 1 или 3: 4: 2.