Анализ дифференциальных уравнений

Лекция: Анализ дифференциальных уравнений

Содержание
1. Основные понятия
2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
2.1 Равноускоренное движение
2.2 Геометрические задачи
3. Дифференциальные уравнения первого порядка
3.1 Уравнения с разделяющимися переменными
1. Основные понятия
 
Дифференциальным уравнением называетсяуравнение, содержащее независимую переменную х, неизвестную функцию y=y(x) и ее производные y’, y’’,.y(n) F (x, y, y', y’’,.y(n)) = 0.
Порядком дифференциального уравненияназывается наивысший порядок входящей в него производной.
Решением дифференциального уравненияназывается всякая функция y=y (x), которая при подстановке в уравнениеобращает его в тождество.
Например, уравнение y’’=y’представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, а функции y (x)= C1ex +C2 являются его решениями при любых постоянных C1и C2.
Процедура поиска решения дифференциальногоуравнения называется его интегрированием, а графики его решений — интегральнымикривыми.
Всякое дифференциальное уравнениепорядка n имеет бесчисленное множество решений. Все эти решения определяютсяфункцией, содержащей n произвольных постоянных y =φ (x,C1,C2.Cn).Эта совокупность решений называется общим решением дифференциального уравнения.Частным решением дифференциального уравнения называется всякая функция этогосемейства, отвечающая конкретному набору постоянных C1,C2.Cn.
Геометрически общее решение дифференциальногоуравнения представляет собой семейство интегральных кривых плоскости XOY,а частное решение — конкретную кривую этого семейства. Например, непосредственнымдифференцированием легко проверить, что общим решением дифференциального уравненияy¢y x =0 является функция y = />.То есть, общее решение уравнения — это семейство окружностей x 2 +y2 = C2, а
Начальными условиями для дифференциальногоуравнения порядка n называется набор значений функции y (x) и ее производныхпорядка n-1 включительно y¢(x), y¢ (x),.y (n1)(x) в некоторой точке x0.
Задачей Коши называется задачаоб отыскании решения дифференциального уравнения F (x, y, y¢, y¢,.y (n)) =0,удовлетворяющего заданным начальным условиям:
y (x0) = y0,y’ (x0)= y1, y’’(x0) =y2,.y (n-1) (x0) =yn-1 .
Геометрически это означает, что вобщем решении уравнения
y =j (x,C1,C2.Cn) необходимотак подобрать константы C1,C2.Cn, чтобысоответствующая им интегральная кривая проходила через точку плоскости (x0,y0) и в этой точке имела заданные значения всех своих производных допорядка n-1. Например, решением задачи Коши y¢y x =0,y (0) =2 является окружность x2 + y2 = 4. Чтобы получить это решение необходимо в общеерешение уравнения x 2 + y2 = C2подставитьзаданные начальные условия x=0 и у=2 и из него найти требуемое значениепостоянной C=2.
Приведем без доказательства однуиз основополагающих теорем теории ДУ.
Теорема 1. (существованияи единственности решения задачи Коши)
Если функция F (x, y, y¢, y¢,.y(n))непрерывно дифференцируема в некоторойобласти, содержащей точку (x0, y0), то в этой области существуети притом единственно решение дифференциального уравнения F (x, y, y¢, y¢,.y(n))= 0, удовлетворяющее заданным начальнымусловиям:
 
y (x0) = y0,y’ (x0)= y1, y’’(x0) =y2,.y (n-1) (x0) =yn-1 .
2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям2.1 Равноускоренное движение
Пусть в начальный момент времениt=0 материальная точка имеет начальное положение S (0) =0, начальнуюскорость V (0) = V0 и далее движется прямолинейно с постоянным ускорениемa (t) =a. Если S (t) и V (t) — соответственно путь, пройденныйточкой за время t, и ее скорость в момент времени t, то, как известноS¢ (t) =V (t) и V¢ (t) =a (t) =a.
То есть, функция перемещения S(t) является решением дифференциального уравнения S¢¢ (t) =a. Это решение будем искать, интегрируяуравнение дважды.
 
V (t) =S¢ (t) =òS¢' (t) dt =òadt =atC, V (0) =V0ÞC =V0 Þ V (t) =V0at.
/>2.2 Геометрические задачи
Пусть, например, требуется найтилинию, проходящую через точку А (1,2) и обладающую следующим свойством: длялюбой ее касательной отрезок этой касательной, заключенный между осями системы координат,в точке касания делится пополам.
Для решения этой задачи обозначимчерез y (x) уравнение искомой линии и пусть M (x0, y0)- ее произвольная фиксированная точка.
Касательная к кривой в этой точкеимеет уравнение y — y (x0) = y' (x0) (x — x0)
Найдем ординаты точек пересеченияэтой касательной с осями системы координат.
/>
Ясно, что xB = 0 иyC = 0. Тогда:
/>
Так как x0 — произвольнаяточка, то искомая функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению первогопорядка
/>
Для произвольной постоянной Сфункция /> удовлетворяет этому уравнению.Поскольку кривая должна проходить через точку А (1,2), то подставив в эторешение x=1 и y=2, получим С=2. Решением задачи является гипербола/>.
3. Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первогопорядка есть уравнение вида
 
F (x, y, y¢) =0.
Далее мы будем полагать, что этоуравнение разрешено относительно производной: y¢=f (x, y). Это уравнение так же можно записать в дифференциальнойформе:
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.
Общих методов решения дифференциальныхуравнений первого порядка не существует, однако для некоторых важных классов функцийf (x,y) такие методы известны и приводят к общему решению уравнения. Рассмотримнекоторые из этих классов.
 3.1 Уравнения с разделяющимися переменными
Так называется уравнение, праваячасть которого представляет собой произведение функции, зависящей только от х,и функции, зависящей только от у.
/>
Для поиска решения такого уравнениявыразим входящую в него производную через дифференциалы /> и перейдем к уравнению в дифференциалах

/>
Теперь разделим переменные
/>
(В последнем уравнении переменныех и у разделяет знак равенства).
Проинтегрировав обе части последнегоравенства получаем общее решение уравнения в виде неявно заданной функции:
/>
G (y) =F (x) +C.
 
Рассмотрим практический пример:Найти общее решение уравнения
 
y' = y cos x.
 
Решение. Правая часть уравненияпредставляет собой произведение двух функций, одна из которых зависит от х,а другая от у. Следовательно — это уравнение с разделяющимися переменными.Выразим производную через дифференциалы и разделим переменные:
/>
Теперь проинтегрируем обе части последнегоуравнения:

/>
 
Пример 2. Решить задачу Коши/>
Решение. Сначала найдем общеерешение дифференциального уравнения.
/>
В полученное общее решение подставимзаданные начальные условия x=1 и у=1: 0=ln1=acrtg1+С=π /4+С.Значит, частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям,получается из его общего решения при значении постоянной С=-π/4. Решениемзадачи Коши является функция lny=acrtgx-π/4, или y = e arctgx — π / 4.
Однородные уравнения.
Так называются уравнение вида />. С помощью замены переменнойz (x) =y (x) /x это уравнение может быть сведено к уравнению с разделяющимисяпеременными. Действительно, тогда
y =x ×z,Þy¢= (x ×z) ¢Þy¢=z xz¢
 
и для функции z (x) получаемуравнение с разделяющимися переменными

/>
Решив это уравнение, найдем функциюz (x), а с ней и решение исходного уравнения y (x) =x z (x).
Пример 1. Найти общее решениеуравнения />
Решение. Разрешим уравнениеотносительно производной
/>
и обозначим />. Тогда /> и для функции z (x) получаемуравнение:
/>
Это уравнение с разделяющимися переменными.
/>
Выразим в нем производную через дифференциалыи разделим переменные
/>

Теперь проинтегрируем обе части последнегоуравнения
/>
Отсюда
/>
Подставив в последнее равенство z=y/x,найдем общее решение исходного уравнения
 
/>
 
Пример 2. Решить задачу Коши
/>

Отсюда z = 2arctg (Cx) и, значит, y = 2x ×arctg (Cx). Подставивв это
равенство начальные условия x=1и y = π / 2, получим arctg (C) = π / 4,то есть С=1.Решением задачи Коши является функция y = 2x × arctgx.
Линейные уравнения.
Так называются дифференциальные уравнениявида
 
y¢p (x) y =q (x).
Решение этого уравнения будем искатьв виде произведения двух функций y (x) =u (x) v (x). Тогда y¢=u¢vuv¢ и относительнофункций u и v уравнение примет вид
 
u¢v u (v¢p (x) v) =q (x).
Вместо одной неизвестной функцииy (x) мы ввели в рассмотрение две функции u и v, поэтому однойиз них мы можем распорядиться по своему усмотрению. Выберем функцию v так,чтобы слагаемое в скобках в левой части последнего уравнения обращалось в ноль.Для этого в качестве v достаточно взять какое-нибудь решение уравнения сразделяющимися переменными
 
v¢p (x) v =0.
Разделяя переменные и интегрируя,получим

/>/>
Таким образом, в качестве v достаточновзять функцию
/>
При этом мы можем считать, что константа,возникающая в результате вычисления интеграла, равна нулю. При таком выборе функцииv для функции u получаем уравнение
/>,или />
Интегрируя последнее уравнение, получим
/>
Когда функции u и vнайдены, общее решение линейного уравнения находится без труда y=uv.
Уравнение Бернулли.
Естественным обобщением линейногодифференциального уравнения первого порядка является уравнение Бернулли

y¢p (x) y =q (x) y.
Метод его решения таков же, как иметод решения линейного уравнения.