Исследовательская работа
по математике
Тема:
Алгебраическоеи графическое решение уравнений,
содержащих модули
ученика10 класса
Палдиской Русской гимназии
Гаврилова Александра
учитель: Сокольская Т.Н.
Палдиски 2003 год.
Содержание:
1.Введение………………………………………………………….4
2.Понятия иопределения………………………………………….4
3.Доказательство теорем…………………………………………..5
4.Способы решение уравнений,содержащих модуль…………...6
4.1.Решение при помощизависимостей между числами aи b, их модулями и квадратами…………………………………………………………12
4.2.Использованиегеометрической интерпритации модуля для решения уравнений…………………………………………………………..14
4.3.Графики простейшихфункций, содержащих знак абсолютной величины.
………………………………………………………………………15
4.4.Решение нестандартныхуравнения, содержащие модуль….16
5.Заключение……………………………………………………….22
6.Список использованнойлитературы……………………………23
Цельработы:хотя уравнения с модулями ученикиначинают изучать уже с 6-го – 7-го класса, где они проходят самые азы уравненийс модулями. Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует болееглубокого и досканального исследования. Я хочу получить более широкие знания омодуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютнойвеличины.
1.Введение:
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним),которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и вархитектуре, физике, технике, програмировании и других точных науках.
В архитектуре-этоисходная еденица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая длявыражения кратных соотношений его составных элементов.
В технике-этотермин, применяемый в различных облостях техники, не имеющий универсальногозначения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, напримермодуль зацепления, модуль упругости и.т.п.
Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале котносительному удлинению.
2.Понятия и определения
Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомитьсяс простейшими определениями, которые мне будут необходимы:
Уравнение-эторавенство, сродержащее переменные.
Уравнение с модулем-это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютнойвеличины(под знаком модуля).Например: |x|=1
Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.
В математике модуль имеет несколько значений, но вмоей исследовательской работе я возьму лишь одно:
Модуль-абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой. 3. Доказательствотеорем
Определение. Модуль числа aили абсолютная величина числа aравна a, если aбольше или равно нулю и равна -a, если aменьше нуля:
Из определения следует, что длялюбого действительного числа a,
Теорема1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел aили -a.
Доказательство
1. Если число aположительно, то -aотрицательно, т. е. -a
Например, число 5 положительно, тогда-5 — отрицательно и -5
В этом случае |a| = a, т. е. |a| совпадает с большим из двух чисел aи — a.
2. Если aотрицательно, тогда -aположительно и a
Следствие1. Из теоремы следует, что |-a| = |a|.
В самом деле, как , так и равны большему из чисел -aи a, а значитравны между собой.
Следствие 2. Для любого действительного числа aсправедливы неравенства
Умножая второе равенство на -1 (при этом знак неравенства изменится напротивоположный), мы получим следующие неравенства: справедливыедля любого действительного числа a. Объединяяпоследние два неравенства в одно, получаем:
Теорема2. Абсолютная величина любого действительного числа aравна арифметическому квадратному корню из
В самом деле, если то, по определению модуля числа, будем иметь С другой стороны, при значит |a| =
Если a и в этом случае|a| =
Эта теорема дает возможность прирешении некоторых задач заменять |a| на
Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки,изображающей число a, до начала отсчета.
Если то накоординатной прямой существует две точки aи -a,равноудаленной от нуля, модули которых равны.
Если a= 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0 (см. рис.)
Рис
4.Способы решения уравнений,содержащих модуль.
Для решения уравнений, содержащихзнак абсолютной величины, мы будем основыватся на определении модуля числа исвойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров одним и тем жеспособом и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений,содержащих модуль.
Пример 1. Решитм аналитически и графически уравнение |x — 2| = 3.
Решение
Аналитическое решение
1-й способ
Рассуждать будем, исходя изопределения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т.е. x — 2 0, тогда оно «выйдет»из под знака модуля со знаком «плюс»и уравнение примет вид: x — 2 = 3. Еслизначения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, онобудет равно: или x — 2=-3
Таким образом, получаем, либо x — 2 = 3, либо x — 2 = -3. Решая полученные уравнения, находим:
Ответ:
Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительномуположительномучислуa, тогда выражение под модулем равно либо a, либо .
Графическое решение
Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль являетсяграфический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построитьграфики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересеченийданных графиков будут являтся корнями нашего уравнения. В случае, если графикине пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этотспособ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащихмодуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегдарационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построениии графиков, невсегда я вляются точными.
Другой способрешения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой напромежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что поопределению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будетснять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данноеуравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней(удовлетворяют онинашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадутокончательный ответ.
2-й способ
Установим, при каких значениях x, модуль равен нулю:
Получим двапромежутка, на каждом из которых решим уравнение (см. рис. 9):
Рис.9
Получим две смешанных системы:
(1) (2)
Решим каждую систему:
(1) (удовлетворяет данному промежутку)
(2)
Ответ:
Графическое решение
Для решения уравнения графическимспособом, надо построить графики функций и
Для построения графика функции ,построим график функции — это прямая, пересекающая ось OX в точке (2;0), а ось OY в точке а затем часть прямой, лежащую ниже оси OXзеркально отразить в оси OX.
Графиком функции является прямая, параллельная оси OXи проходящая через точку (0; 3) на оси OY(см. рис. 10).
Рис.10
Абсциссы точек пересечения графиковфункций дадут решения уравнения.
Прямая графика функции y=3 пересеклась с графиком функции y=|x– 2| в точкахс координатами (-1; 3) и (5; 3),следовательно решениями уравнения будут абсциссы точек:
x=-1,x=5
Ответ:
Пример 2. Решитм аналитически и графически уравнение 1 + |x| = 0.5.
Решение:
Аналитическое решение
Преобразуем уравнение: 1 + |x| = 0.5
|x|=0.5-1
|x|=-0.5
Понятно, что в этом случае уравнение не имеетрешений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен.
Ответ: решений нет.
Графическое решение
Преобразуем уравнение:: 1 + |x| = 0.5
|x| =0.5-1
|x|=-0.5
Графиком функции являются лучи — биссектрисы 1-го и 2-гокоординатных углов. Графиком функции является прямая, параллельная оси OXи проходящая через точку -0,5 на оси OY.
Рис.11
Графики не пересекаются, значитуравнение не имеет решений (см. рис. 11).
Ответ: нет решений.
Пример 3. Решите аналитически и графически уравнение |-x+ 2| = 2x+ 1.
Решение:
Аналитическое решение
1-й способ
Прежде следует установить область допустимыхзначений переменной. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущихпримерах не было необходимости делать этого, а сейчас она возникла.
Дело в том, что в этом примере влевой части уравнения модуль некоторого выражения, а в правой части не число, авыражение с переменной, — именно это важное обстоятельство отличает данныйпример от предыдущих.
Поскольку в левой части — модуль, а вправой части, выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобыэто выражение было неотрицательным, т. е. Таким образом, область допустимых
значений модуля
Теперь можно рассуждать также, как ив примере 1, когда в правой части равенства находилось положительной число.Получим две смешанных системы:
(1) и (2)
Решим каждую систему:
(1) входит в промежуток и является корнем уравнения.
(2) x=-3 не входит в промежуток и не является корнем уравнения.
Ответ:
2-й способ
Установим, при каких значениях x модуль в левойчасти уравнения обращается в нуль:
Получим два промежутка, на каждом изкоторых решим данное уравнение (см. рис. 12):
Рис.12
В результате будем иметь совокупностьсмешанных систем:
Решая полученные системы, находим:
(1) входит в промежуток и SHAPE * MERGEFORMAT
x
=
1
3 является корнемуравнения.
(2) не входит впромежуток и x=-3 не является корнем уравнения
Ответ:
4.1.Решениепри помощи зависимостей между числамиaи b, их модулями иквадратами этих чисел.
Помимо приведенных мною выше способов существуетопределенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а такжемежду квадратами и модулями данных чисел:
|a|=|b| Ûa=b илиa=-b
a2=b2 Ûa=bили a=-b (1)
Отсюда в свою очередь получим, что
|a|=|b| Ûa2=b2
(2)
Пример 4.Решим уравнение |x+ 1|=|2x– 5| двумя различными способами.
1.Учитывая соотношение (1), получим:
x+ 1=2x– 5 или x+ 1=-2x+ 5
x– 2x=-5 – 1 x+ 2x=5 – 1
-x=-6|(:1) 3x=4
x=6 x=11/3
Корень первого уравнения x=6, корень второго уравнения x=11/3
Таким образом корни исходногоуравнения x1=6, x2=11/3
2. В силу соотношения (2), получим
(x + 1)2=(2x– 5)2, или x2 + 2x+ 1=4x2 – 20x + 25
x2 – 4x2+2x+1 + 20x – 25=0
-3x2+ 22x – 24=0|(:-1)
3x2– 22x + 24=0
D/4=121-3 ´24=121 – 72=49>0 Þуравнение имеет2 различных корня.
x1=(11 – 7 )/3=11/3
x2=(11 + 7 )/3=6
Какпоказывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3 и 6
Ответ: x1=6, x2=11/3
Пример 5. Решим уравнение (2x+ 3)2=(x– 1)2.
Учитываясоотношение (2), получим, что |2x+ 3|=|x– 1|, откуда по образцу предыдущего примера(и посоотношению (1)):
2х+ 3=х – 1 или 2х + 3=-х + 1
2х– х=-1 – 3 2х+ х=1 – 3
х=-4 х=-0,(6)
Такимобразом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)
Ответ: х1=-4, х2=0,(6)
Пример 6. Решим уравнение |x– 6|=|x2– 5x+ 9|
Пользуясьсоотношением (1), получим:
х– 6=х2 – 5х + 9 или х – 6 = -(х2 – 5х + 9)
-х2+ 5х + х – 6 – 9=0 |(-1) x– 6=-x2+ 5x — 9
x2 — 6x+ 15=0 x2– 4x+ 3=0
D=36 – 4 *15=36 – 60= -24 0Þ2 р.к.
Þкорней нет.
x1=(4-2 ) /2=1
x2=(4 + 2 ) /2=3
Проверка: |1 – 6|=|12 – 5 *1 + 9| |3 – 6|=|32 – 5 *3 + 9|
5 = 5(И) 3 = |9 –15 + 9|
3 = 3(И)
Ответ: x1=1; x2=3
4.2.Использование геометрической интерпритациимодуля для решения уравнений.
Геометрический смысл модуля разности величин-эторасстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x– a| -длинаотрезка координатной оси, соединяющей точки с абсцисами а и х. Переводалгеб-раической задачи на геометрический язык часто позволяет избежатьгромоздких решений.
Пример7. Решим уравнение |x–1| + |x– 2|=1 с использованиемгеометрической интерпритации модуля.
Будем рассуждать следующим образом: исходя изгеометрической интерпри-тации модуля, левая часть уравнения представляет собойсумму расстояний от некторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек сабсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2]обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка- нет.Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2].
Ответ:хÎ[1; 2]
Пример8. Решим уравнение |x– 1| — |x–2|=1 1 с использованием геометрической интерпритации модуля.
Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру,при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единицетолько для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2.Следовательно решением данного уравнения будет являтся не отрезок, заключенныймежду точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный вположительном направлении оси ОХ.
Ответ: х Î[2; +¥)
Обобщением вышеприведенных уравнений являютсяследующие равносильные переходы:
|x – a| + |x –b|=b – a, гдеb ³a Û a £x £b
|x – a| — |x – b|=b – a, гдеb ³a Û x ³b4.3. Графики простейших функций, содержащих знак абсолютнойвеличины
Под простейшимифункциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений.Сформулируем утверждение, позволяющее строить графики таких функций, нераскрывая модули ( что особенно важно, когда модулей достаточно много ):«Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляетсобой кусочно- линейную функцию, график которой состоит из n +1прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n +2 точкам,n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна — произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя — с абсциссой, большей большего из корней.
Например:
1)f(x)=|x — 1|Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двухотрезков(рис.1)
2) f(x)=|x — 1|+ |x– 2| Вычисляя значение функиции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3,получаем график, состоящий из двух отрезков прямых.(рис.2)
3) f(x)=|x — 1|+ |x– 2| + |x– 3| Для построения графика вычислим значенияфункции в точках 1, 2, 3, 0 и 4 (рис.3)
4) f(x)=|x — 1|- |x– 2| График разности строится аналогично графику суммы, тоесть по точкам1, 2, 0 и 3.
рис1. рис2. рис3. рис4.
4.4.Решение нестандартных уравнений, содержащихмодули.
Пример9. Решить уравнение 3| x+ 2 | + x2 + 6x + 2 = 0.
Решение.
Рассмотримдва случая.
Ответ:(– 4;– 1).
Пример10. Решить уравнение | 4– x | + | (x – 1)(x – 3) | = 1.
Решение.
Учитывая, что | 4 –x | = | x – 4 |, рассмотрим четыре случая.
2)
3)
4)
4)
Ответ:3.
Графический способ.
Построимграфики функций y = |(x–1)(x–3)| и y=1–|x–4 |
1)вГy = |(x–1)(x–3)| подставим значение х=1 и х=3. Мы получим у=0,
тоестьпересечение графика с осью ОХ. При х равном нулю у=3, тоесть графикпересекается с осью ОУ в точке (0 ;3). И при х=4 у также равен 3- мы получилипервый график.
2)y=1–|x–4 | Найдем пересечение с осью ОХ, для этого решим простоеуравнение: 1-|x-4|=0
|x-4|=1
x — 4=1 или x — 4=-1
x=5 x=3
Следовательноданный график пересекает ось ОХ в точках 5 и 3.
Прих=4 у=1 и ак видно из графика: графики обеих функций пересекаются в одной точке3
Ответ:3
Пример11. Решить уравнение | x2 + 3x | =2(x + 1).
Решение.
Уравнениеравносильно системе
Ответ:
Пример12.Решить уравнение х2 — 4х +|x — 3| +3=0
Дляосвобождения от знака абсолютной величины разобьем числовую прямую на двеобласти и будем искать решения исходного уравнения в каждой из этих областейотдельно:
__________x ³3__________________|____________x
|x – 3|=x