Реферат по предмету "Математика"


Метод найменших квадратів

Методнайменших квадратів
У процесівивчення різних питань природознавства, економіки і техніки, соціології,педагогіки доводиться на основі великої кількості дослідних даних виявлятисуттєві фактори, які впливають на досліджуваний об’єкт, а також встановлюватиформу зв’язку між різними зв’язаними одна з одною величинами (ознаками).
Нехай урезультаті досліджень дістали таку таблицю деякої функціональної залежності:
Таблиця 1x
x1
x2 …
xn y
y1
y2 …
yn
Треба знайтианалітичний вигляд функції />, яка добре відображала б цютаблицю дослідних даних. Функцію /> можна шукати у виглядіінтерполяційного поліному. Але інтерполяційні поліноми не завжди добревідображають характер поведінки таблично заданої функції. До того ж значення /> дістають урезультаті експерименту, а вони, як правило, сумнівні. У цьому разі задачаінтерполювання табличної функції втрачає сенс. Тому шукають таку функцію />, значення якоїпри /> доситьблизькі до табличних значень /> />. Формулу /> називають емпіричною, або рівняннямрегресії /> на/>.Емпіричні формули мають велике практичне значення, вдало підібрана емпіричнаформула дає змогу не тільки апроксимувати сукупність експериментальних даних,«згладжуючи» значення величини />, а й екстраполювати знайденузалежність на інші проміжки значень />.
Процес побудовиемпіричних формул складається з двох етапів: встановлення загального виду цієїформули і визначення найкращих її параметрів.
Щоб встановитивигляд емпіричної формули, на площині будують точки з координатами /> />. Деякі з цих точоксполучають плавною кривою, яку проводять так, щоб вона проходила якомога ближчедо всіх даних точок. Після цього візуально визначають, графік якої з відомихнам функцій найкраще підходить до побудованої кривої. Звичайно, намагаються підібратинайпростіші функції: лінійну, квадратичну, дробово-раціональну, степеневу,показникову, логарифмічну.
Встановившивигляд емпіричної формули, треба знайти її параметри (коефіцієнти). Найточнішізначення коефіцієнтів емпіричної формули визначають методом найменшихквадратів. Цей метод запропонували відомі математики К. Гаусс і А.Лежандр.
Розглянемо сутьметоду найменших квадратів.
Нехай емпіричнаформула має вигляд
/>, (1)
де />, />, …, /> - невідомі коефіцієнти.Треба знайти такі значення коефіцієнтів />, за яких крива (1) якомога ближчепроходитиме до всіх /> точок />, />, …, />, знайдених експериментально. Зрозуміло,що жодна з експериментальних точок не задовольняє точно рівняння (1).Відхилення від підстановки координат /> у рівняння (1) дорівнюватимутьвеличинам />.
За методомнайменших квадратів найкращі значення коефіцієнтів /> ті, для яких сума квадратіввідхилень

/> (2)
дослідних даних /> від обчисленихза емпіричною формулою (1) найменша. Звідси випливає, що величина (2), яка єфункцією від коефіцієнтів />, повинна мати мінімум. Необхіднаумов мінімуму функції багатьох змінних ─ її частинні похідні маютьдорівнювати нулю, тобто
/>, />, …, />.
Диференціюючивираз (2) по невідомих параметрах />, матимемо відносно них системурівнянь:
/>/>
Система (3)називається нормальною. Якщо вона має розв’язок, то він єдиний, і будешуканим.
Якщо емпіричнафункція (1) лінійна відносно параметрів />, то нормальна система (3) будесистемою з /> лінійнихрівнянь відносно шуканих параметрів.
Будуючи емпіричніформули, припускатимемо, що експериментальні дані /> додатні.
Якщо середзначень /> і/> євід’ємні, то завжди можна знайти такі додатні числа /> і />, що /> і />.
Томурозв’язування поставленої задачі завжди можна звести до побудови емпіричноїформули для додатних значень />.
Побудовалінійної емпіричної формули. Нехай між даними /> існує лінійна залежність.Шукатимемо емпіричну формулу у вигляді
/>, (4)
де коефіцієнти /> і />невідомі.
Знайдемо значення/>і />, за яких функція/>матимемінімальне значення. Щоб знайти ці значення, прирівняємо до нуля частинніпохідні функції /> 
/>
Звідси,врахувавши, що />, маємо
/> (5)
Розв’язавшивідносно /> і/> останнюсистему, знайдемо

/>, (6)
/>. (7)
Зазначимо, що,крім графічного, є ще й аналітичний критерій виявлення лінійної залежності міжзначеннями /> і/>.
Покладемо />, />, />.
Якщо />, то залежністьміж /> і /> лінійна, боточки /> лежатимутьна одній прямій. Якщо />, то між /> і /> існує майже лінійна залежність,оскільки точки /> лежатимуть близько до деякоїпрямої.
Побудоваквадратичної емпіричної залежності. Нехай функціональна залежність між /> та /> - квадратична.Шукатимемо емпіричну формулу у вигляді
/>. (8)
Тоді формулу (2)запишемо наступним чином
/>
Для знаходженнякоефіцієнтів />, />, />, за яких функція/>мінімальна, обчислимочастинні похідні />, />, /> і прирівняємо їх до нуля. Врезультаті дістанемо систему рівнянь

/>
Післярівносильних перетворень маємо систему
/> (9)
Розв’язок цієїсистеми і визначає єдину параболу, яка краще від усіх інших парабол (8) подаєна розглядуваному проміжку задану таблично функціональну залежність.
Сформулюємоаналітичний критерій для квадратичної залежності. Для цього введемо поділенірізниці першого і другого порядку />
і />, де />.
Точки /> розміщені напараболі (8) тоді і тільки тоді, коли всі поділені різниці другого порядкузберігають сталі значення.
Якщо точки /> рівновіддалені,тобто />,то для існування квадратичної залежності (8) необхідно і достатньо, щоб буласталою скінчена різниця другого порядку />, причому />.

Побудоваемпіричних формул найпростіших нелінійних залежностей. Нехай у системі координат /> маємонелінійну залежність />, неперервну і монотонну навідрізку />.
Введемо змінні />, /> так, щоб уновій системі координат /> задана емпірична нелінійназалежність стала лінійною
/>. (10)
Тоді точки зкоординатами /> в площині /> лежатимуть на прямійлінії.
Покажемо, як віднелінійних залежностей
/>, 2) />, 3) />,
/>, 5) />, 6) />
перейти долінійних.
1) Розглянемостепеневу залежність />, де />, />, />.
Логарифмуючи її,знаходимо />.Звідси, поклавши />, />, />, />, маємо />.
2) Логарифмуючипоказникову залежність />, маємо />. Поклавши />, />, />, /> в системі координат /> дістанемозалежність (10).
Зазначимо, щозамість показникової залежності /> часто шукають залежність />. Останняперетвориться в лінійну, якщо позначити />, />, />, />.
3) Щоб перейти відлогарифмічної залежності /> до лінійної />, досить зробитипідстановку />,/>.
4) Угіперболічній залежності замінимо змінні />, />. Тоді гіперболічна залежністьперетвориться в лінійну (10), в якій />, />.
5) Розглянемодробово-лінійну функцію />. Знайдемо обернену функцію />. Тоді ввівшинові координати />, />, дістанемо лінійну залежність(10), де />,/>.
6) Нехай маємодробово-раціональну залежність />. Оберненою до неї буде залежність/>. Ввівшинові змінні />,/>,дістанемо лінійну залежність (10) з коефіцієнтами />, />.
Отже, дляпобудови будь-якої з емпіричних формул 1)-6) треба:
а) за вихідноютаблицею даних /> побудувати нову таблицю />, використавшивідповідні формули переходу до нових координат;
б) за новоютаблицею даних знайти методом найменших квадратів коефіцієнти /> і /> лінійної функції (10);
в) завідповідними формулами знайти коефіцієнти /> і /> даної нелінійної залежності.
Вибрати емпіричнуформулу для нелінійних залежностей графічним методом часто буває важко. Тодівдаються до перевірки аналітичних критеріїв існування певної залежності. Для цьогозводять її до лінійної і перевіряють виконання критерію лінійної залежності міжперетвореними вихідними даними />. Але є й власні аналітичнікритерії наявності кожної з розглянутих вище нелінійних залежностей.Найпростіші необхідні умови їх наявності подано в табл. 2.
Таблиця 2№ пор. Емпірична формула
/>
/> Спосіб вирівнювання 1
/>
/>
/> 2
/>
/>
/>
/>, де />, />, />, /> 3
/>
/>
/>
/>, де />, />, /> 4
/>
/>
/>
/>, де /> 5
/>
/>
/>
/>, де /> 6
/>
/>
/>
/>, де /> 7
/>
/>
/>
/>, де />, />
Умови перевіряютьу такий спосіб. На заданому відрізку змінинезалежної змінної /> вибирають дві точки, доситьнадійні і розміщені якомога далі одна від одної. Нехай, наприклад, це будутьточки />, />. Потім, залежновід типу емпіричної формули, що перевіряється, обчислюють значення />, яке є абосереднім арифметичним, або середнім геометричним, або середнім гармонічнимзначень />, />. Маючизначення /> і/> аналогічнообчислюють і відповідне значення />. Далі, користуючись даноютаблицею значень />, для значення /> знаходять відповіднейому значення />. Якщо /> немає в таблиці, то /> знаходятьнаближено з побудованого графіка даної залежності або за допомогою лінійноїінтерполяції />, де /> і /> ─ проміжні значення, міжякими лежить />. Обчисливши />, знаходять величину />. Якщо цявеличина велика, то відповідна емпірична формула не придатна для апроксимаціїзаданих табличних даних. З кількох придатних емпіричних формул перевагу надаютьтій, для якої відхилення /> якомога менше.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Антикризисное управление персоналом
Реферат Анализ основных теорий мотивации и практики их применения
Реферат Анализ организации управления в ОАО НПО "Искра"
Реферат Анализ современной системы управления персоналом
Реферат Анализ производственной деятельности предприятий строительства
Реферат Анализ кадровой политики ООО М.видео
Реферат Анализ системы мотивации персонала предприятия
Реферат Анализ рабочего места секретаря турфирмы Альтаир
Реферат Аналіз процедур управління
Реферат Семантика синтаксических связей при переводе
Реферат Организация сбыта готовой продукции на ОАО заводе "Комета"
Реферат Реклама альтернативы и подводные течения
Реферат Анализ влияния культуры как инструмента мотивации персонала
Реферат Анализ процесса управления инвестициями коммерческой организации
Реферат Анализ и управление сбытовой деятельностью предприятия