--PAGE_BREAK--
3.Интервальные оценки.
Пусть имеется параметрическая статистическая модель (SӨ,
FZn(
zn,Ө)),ӨΘIR1, и по выборке Zn=col(X1,…Xn), соответствующей распределению F(
x,Ө), наблюдаемой СВ X, требуется оценить неизвестный параметр Ө. Вместо точечных оценок, рассмотренных ранее, рассмотрим другой тип оценок неизвестного параметра ӨΘIR1.
Определение 3.1. Интервал [θ1(Zn),θ2(Zn)] со случайными концами, «накрывающий» с вероятностью 1-α, 0
P{ θ1(Zn)≤ θ ≤ θ2(Zn)}= 1-α,
называется доверительным интервалом (или интервальной оценкой) уровня надежности 1-α параметра θ.
Аналогично определяется доверительный интервал для произвольной функции от параметра θ.
Определение 3.2. Число δ=1-α называется доверительной вероятностью или уровнем доверия (надежности).
Определение 3.3. Доверительный интервал [θ1(Zn),θ2(Zn)] называется центральным, если выполняются следующие условия:
P{ θ≥ θ2(Zn)}= , P{ θ1(Zn) ≥ θ}=.
Часто вместо двусторонних доверительных интервалов рассматривают односторонние доверительные интервалы, полагая θ1(Zn)= -∞ или θ2(Zn)= +∞.
Определение 3.4. Интервал, границы которого удовлетворяют условию:
P{ θ≥ θ2(Zn)}= α (или P{ θ1(Zn) ≥ θ}= α.),
называется соответственно правосторонним (илилевосторонним) доверительным интервалом.
4.Проверка статистических гипотез.
Определение 4.1.Статистической гипотезой H или просто гипотезой называется любое предположение относительно параметров ли законов распределения СВ X, проверяемое по выборке Zn.
Определение 4.2. Проверяемая гипотеза называется основной (илинулевой) и обозначается Ho. Гипотеза, конкурирующая с Ho, называется альтернативной и обозначается H1,
Определение 4.3. Статистическая гипотеза Ho называется простой, если она однозначно определяет параметр или распределение СВ X. В противном случае гипотеза Ho называется сложной.
Определение 4.4. Статистическим критерием (критерием согласия, критерием значимости или решающим правилом) проверки гипотезы Ho называется правило, в соответствии с которым по реализации z=φ(zn) статистики Z гипотеза Ho принимается или отвергается.
Определение 4.5. Критической областью статистического критерия называют область реализации z статистики Z, при которых гипотеза Ho отвергается.
Определение 4.6. Доверительной областью G статистического критерия называется область значений z статистики Z, при которых гипотеза Ho принимается.
Например, в качестве статистического критерия можно использовать правило:
Если значение z= φ(zn) статистики Z= φ(zn) лежит в критической области , то гипотеза Ho отвергается и принимается альтернативная гипотеза H1; Если реализация z= φ(zn) статистики Z= φ(zn) лежит в доверительной области G, то гипотеза Ho принимается.
При реализации этого правила возникают ошибки двух видов.
Определение 4.7. Ошибкой 1-го рода называется событие, состоящее в том, что гипотеза Ho отвергается, когда она верна.
Определение 4.8. Ошибкой 2-го рода называется событие, состоящее в том, что принимается гипотеза Ho, когда верна гипотеза H1.
Определение 4.9. Уровнем значимости статистического критерия называется вероятность ошибки 1-го рода α=P{Z|Ho}, Вероятность ошибки 1-го рода α может быть вычислено, если известно распределение F(z|Ho) статистики Z.
Вероятность ошибки 2-го рода равна β=P{ZG|Ho} и может быть вычислена, если известно условное распределение F(z|H1) статистики Z при справедливости гипотезы H1.
Ясно. Что с уменьшением вероятности α ошибки 1-го рода возрастает вероятность β ошибки 2-го рода, и наоборот, т.е. при выборе критической и доверительной областей должен достигаться определенный компромисс. Поэтому часто при фиксированной вероятности ошибки 1-го рода критическая область выбирается таким образом, чобы вероятность ошибки второго рода была минимальна.
Определение 4.10. Мощность статистического критерия – это вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.
Проверка статистической гипотезы может быть подразделена на следующие этапы:
сформулировать проверяемую гипотезу Ho и альтернативную к ней гипотезу H1; выбрать уровень значимости α; выбрать статистику Z для проверки гипотезы Ho; найти распределение F(z|Ho) статистики Z при условии, что гипотеза Ho верна; построить, в зависимости от формулировки гипотезы H1 и уровня значимости α, критическую область ; получить выборку наблюдений x1,..,xn и вычислить выборочное значение z= φ(x1,..,xn) статистики Z критерия; принять статистическое решение на уровне доверия 1-α: если Z, то отклонить гипотезу Ho как не согласующуюся с результатами наблюдений, а если ZG, то принять гипотезу Hoкак не противоречащую результатам наблюдений.
Теория к лабораторной работе №3.
Определение 1.Упорядочим элементы реализации выборки х1,…, хn по возрастанию: x(1)≤x(2)≤…≤x(n), где верхний индекс соответствует номеру элемента в упорядоченной последовательности.
Обозначим через x(k), k=, случайные величины, которые при каждой реализации zn выборки Zn принимают k-е (по верхнему индексу) значения x(k). Упорядоченную последовательность случайных величин: x(1)≤…≤x(n) называют вариационным рядом выборки.
Определение 2. Элементы x(k) вариационного ряда называются порядковыми статистиками, а крайние члены вариационного ряда x(1), x(n) – экстремальными порядковыми статистиками.
Определение 3. Рассмотримпроцедуру группировки выборки. Для этого действительную ось IR1=(-∞,∞) разделим точками αо,…,αl+1 на l+1 непересекающихся полуинтервал (разряд) ∆k=[αk, αk+1), k=, таким образом, что -∞= αо, выбирается одинаковой, т.е. равной hk=(αl-α1)/(l-1). Используя реализацию вариационного ряда x(1), вычислим частоту попадания элементов реализации выборки в этот разряд. Получаем , где nk — число элементов реализации выборки zn, попавших в k-й разряд. Если рассмотреть априорную выборку Zn и случайное число Nk элементов этой выборки, попавших в k-й разряд, то получим набор случайных величин .
Последовательность пар (),k=, называется статистическим рядом, а его реализация (),k=представляется в виде таблицы:
[α1, α2)
…..
[αl-1, αl]
…..
продолжение
--PAGE_BREAK--
Определение 4. На оси OX отложим разряды и на них, как на основании, постоим прямоугольники с высотой, равной , k=. Тогда площадь каждого прямоугольника будет равна . Полученная фигура называется столбцовой диаграммой, а кусочно-постоянная функция , образованная верхними гранями полученных прямоугольников,- гистограммой.
Определение 5. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [a,b] (X~R(a;b)), если плотность вероятности имеет вид:
Определение 6. Случайная величина X имеет экспоненциальное (показательное) распределение с параметром λ>0, т.е. X~E(λ), если плотность вероятности имеет вид:
Определение 7. Случайная величина X имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами m и σ2>0, т.е. X~N(m; σ2), если
При этом случайная величина называется нормальной (гауссовской). График плотности нормального распределения, называемый кривой Гаусса, имеет единственный максимум в точке x=m.
Критерий согласия (критерий Пирсона).
Как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между нею и статистическим распределением неизбежны некоторые расхождения. Для выяснения их пользуются «критериями согласия». Одним из наиболее применяемых- является так называемый «критерий » Пирсона.
Расчетная часть.
1.Построение оценоки неизвестных коэффициентов.
Суть метода наименьших квадратов состоит в том, что и находятся из условия минимума функции S(a,b):
S(a,b)=, где n=41.
продолжение
--PAGE_BREAK--