Практическая работа № 1
1. По заданным дифференциальным уравнениям определить операторные уравнения при нулевых начальных условиях, передаточные функции, структурные схемы звеньев, характеристические уравнения и их корни. Показать распределение корней на комплексной плоскости.
Оценить устойчивость каждого из звеньев.
а) />; б)/>.
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
/>.
а). Дифференциальное уравнение можно записать в виде:
/>.
Обозначим Y(s) и F(s) как изображения сигналов соответственноy и f, тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:
1,25s3Y(s) – 4s2Y(s) + 5sY(s) = 3F(s) – sF(s).
Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и F(s) за скобки:
Y(s). (1,25s3 – 4s2 + 5s) = F(s). (3 – s).
Отсюдаполучено:
/>.
Очевидно, что входной сигнал xотсутствует, и выходной сигнал уопределяется только внешним воздействием f(система, действующая по возмущению): />, то получается уравнение Y(s) = WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 1.
/>
Рис.1
/>
Рис. 2
Передаточная функция имеет знаменатель, называемый характеристическим выражением:
A(s) =/>.
Если приравнять данное выражение к нулю, то образуется характеристическое уравнение />, корни которого:
/>, />и />.
Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 2. По рисунку видно, что корни лежат в правой полуплоскости, следовательно, объект неустойчив.
б) Дифференциальное уравнение можно записать в виде:
/>.
Обозначим Y(s), X(s) и F(s) как изображения сигналов соответственноy, xи f, тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:
2s2Y(s) + 4sY(s) + 10Y(s) = 3X(s) + 4sF(s).
Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и X(s) за скобки:
Y(s). (5s2 + 4s + 10) = 3X(s) + 4sF(s).
Отсюдаполучено:
/>.
Если обозначить передаточные функции объекта как
/>и />,
то получается уравнение Y(s) = Wx(s).X(s) + WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 3.
/>
Рис. 3
Характеристическая функция имеет вид:
/>,
а характеристическое уравнение:
/>.
Корни этого уравнения равны:
/>и />.
Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 4:
/>
Рис. 4.
Все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, очевидно, что объект устойчив.--PAGE_BREAK--
Дана передаточная функция вида:
/>
Зная, что по определению, />, получим:
/>, тогда:
/>.
Раскрывая скобки:
/>
Применяя к полученному выражению обратное преобразование Лапласа, находим искомое дифференциальное уравнение:
/>.
Практическая работа № 2
/>
Дана одноконтурная АСР, для которой определена передаточная функция регулятора (Р) с настройками и дифференциальное уравнение объекта управления (ОУ). Требуется определить:
— передаточную функцию разомкнутой системы W∞(s),
— характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),
— передаточные функции замкнутой системы Фз(s) – по заданию, Фв(s) – по возмущению, ФЕ(s) – по ошибке,
— коэффициенты усиления АСР,
— устойчивость системы.
Р — ПИ-регулятор с ПФ вида />;
дифференциальное уравнение объекта управления:
/>.
Определим передаточную функцию объекта:
Wоб(s)/>.
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
/>
Характеристическое выражение замкнутой системы:
/>;
Передаточные функции замкнутой системы:
/>— по заданию;
/>— по ошибке;
/>— по возмущению.
По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s= 0:
К3 = Ф3(0) = 1 – по заданию;
КЕ = ФЕ(0) = 0 – по ошибке;
Кв = Фв(0) = 0 – по возмущению.
Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица.
Так как коэффициенты ХВЗС а3 = 4, а2 = 6, а1 = 18, а0 = 4 (степень полинома n= 3), то матрица Гурвица имеет вид:
/>
Диагональные миноры матрицы равны соответственно:
/>
Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой.
Практическая работа № 3
По табличным данным построить переходную кривую объекта, определить параметры передаточной функции объекта, рассчитать настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие 20%-е перерегулирование.
DXвх = 5,5 кПа; DY = 0,149 %; tзап = 40 сек
t, мин
20
50
80
110
140
170
200
230
260
DY
0,009
0,032
0,060
0,089
0,116
0,130
0,141
0,149
0,149
Полученная переходная характеристика изображена на рисунке 5:
/>
Рис. 5. Переходная характеристика.
Установившееся значение выходной величины составляет:
/>;
Коэффициент усиления равен:
/>;
Постоянная времени равна:
/>.
Для процесса с 20 % перерегулированием ПИД-регулятора, его настройки:
/>;
/>;
/>. продолжение
--PAGE_BREAK--
Практическая работа № 4
Дана одноконтурная АСР. Требуется определить:
передаточные функции регулятора и объекта управления,
передаточную функцию разомкнутой системы W∞(s),
характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),
передаточные функции замкнутой системы Фз(s) – по заданию,
Фв(s) – по возмущению, ФЕ(s) – по ошибке,
коэффициенты усиления АСР,
примерный вид переходных процессов по заданию, ошибке и возмущению,
устойчивость системы.
Структурная схема АСР:
/>
W1(s): />; W2(s): />;
K1 = 1,2; K0 = 1,0; K= 1,0
Передаточная функция регулятора:
/>.
Передаточная функция объекта управления:
/>.
Определим операторные уравнения звеньев объекта управления: для этого обозначим Y(s) и U(s) как изображения сигналов соответственноyи u, тогда операторные уравнения примут вид:
W1(s): sY(s) = 2U(s);
W2(s): 2s2Y(s)+sY(s)+4Y(s)=7U(s).
Данные уравнения можно преобразовать, вынеся Y(s) и U(s) за скобки:
W1(s): sY(s) = 2U(s);
W2(s): Y(s)·(2s2+s+4)=7U(s).
Отсюда получено:
W1(s): Y(s)= />
W2(s): Y(s)=/>.
Тогда:
/>
/>.
Передаточная функция объекта управления:
/>
Передаточная функция разомкнутой системы:
/>
/>
Характеристическое выражение замкнутой системы:
/>
передаточные функции замкнутой системы
Ф3(s) – по заданию:
/>
ФЕ(s) – по ошибке:
/>
ФВ(s) – по возмущению:
При определении передаточной функции по возмущению принимается Wу.в. = Wоу. Тогда:
/>
/>.
По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:
К3 = Ф3(0) = 1 – по заданию; продолжение
--PAGE_BREAK--
КЕ = ФЕ(0) = 0 – по ошибке;
Кв = Фв(0) = 0 – по возмущению.
Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица.
Так как коэффициенты ХВЗС />(степень полинома n= 4), то матрица Гурвица имеет вид:
/>
Диагональные миноры матрицы равны соответственно:
/>
Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой.
Определим вид переходных процессов по заданию, ошибке и возмущению:
По заданию:
/>
Корни знаменателя:
/>
Изображение разбивается на сумму дробей:
/>.
Тогда оригинал y(t), согласно таблицам, имеет вид:
y(t) = y+ y1,2(t) + y3,4(t) =
/>+/>;
где a1,2, α3,4и w1,2, w3,4 — действительная и мнимая части пары комплексных корней s1,2 и s3,4 соответственно.
C1,2, С3,4 и D1,2, D3,4 – действительная и мнимая части пары коэффициентов М1 и М3 соответственно.
Для корня s0 = 0:
/>;
Для корней />:
/>=/>;
Для корней />:
/>/>;
Тогда:
/>
Получим оригинал:
/>
/>
б) По ошибке:
/>
Корни знаменателя:
/>
Изображение разбивается на сумму дробей:
/>.
Тогда оригинал y(t), согласно таблицам, имеет вид:
y(t) = y1,2(t) + y3,4(t) =
/>+/>;
где a1,2, α3,4 и w1,2, w3,4 — действительная и мнимая части пары комплексных корней s1,2 и s3,4 соответственно. продолжение
--PAGE_BREAK--
C1,2, С3,4 и D1,2, D3,4 – действительная и мнимая части пары коэффициентов М1 и М3 соответственно.
Для корней />:
/>/>
Для корней />:
/>/>;
Тогда:
/>
Получим оригинал:
/>
/>
в) По возмущению:
/>
Корни знаменателя:
/>
Изображение разбивается на сумму дробей:
/>.
Тогда оригинал y(t), согласно таблицам, имеет вид:
y(t) = y1,2(t) + y3,4(t) =
/>+/>;
где a1,2, α3,4 и w1,2, w3,4 — действительная и мнимая части пары комплексных корней s1,2 и s3,4 соответственно.
C1,2, С3,4 и D1,2, D3,4 – действительная и мнимая части пары коэффициентов М1 и М3 соответственно.
Для корней />:
/>/>
Для корней />:
/>/>;
Тогда:
/>
Получим оригинал:
/>
/>