Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО Тульский государственныйуниверситет
Реферат
на тему: «Поверхности»
Дисциплина:«ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА»
Выполнил
студент группы 120691
Юдин А.С.
Проверил
Казимиров А.Н.
Поверхность — названиедля двумерного многообразия в пространстве.
Поверхности определяютсякак множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому видууравнений. Это неявный способ указания поверхности. Существуют еще два: явныйспособ (возможно, выразить одну переменную из уравнения поверхности черездругие) и параметрический способ задания. При параметрическом указании задаетсясистема уравнений, которая и определяет поверхность.
Простая поверхность — поверхность, которую можно представить как часть плоскости, подвергнутуюнепрерывным искажениям.
Поверхностиклассифицируются по многим признакам. Некоторые из них:
1) Кривизна: каждомунаправлению поверхности от заданной точки соответствует своя форма сечения,которая и определяет кривизну;
2) Наличие касательной кповерхности: обычно касательная к поверхности – это плоскость. В некоторыхслучая через одну точку поверхности можно провести сколь угодно многокасательных. Наличие касательной у какой-либо поверхности влияет на еегладкость;
3) Метрика и внутренняягеометрия;
4) Нормаль: за нормаль кповерхности принимают единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскостив заданной точке. Существует так же нормальное сечение;
5) Геодезические линии:кривая на поверхности называется геодезической линией, если во всех её точкахглавная нормаль к кривой совпадает с нормалью к поверхности;
6) Площадь: площадь вобщем смысле – это числовая характеристика. Существуют поверхности сбесконечной площадью, например параболоид;
7) Ориентация:ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлениемнормали.
Приведем примерынекоторых поверхностей, опишем их основные характеристики, укажем применение иобозначение.
Эллипсоид. Эллипсоидом называется поверхность,каноническое уравнение которой имеет вид
/>
где a, b и c — положительные числа.
Данная поверхность обладаеттремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Имислужат соответственно координатные плоскости, координатные оси и началокоординат. Существует так же эллипсоид вращения. Применяется в геодезии.
Сфера – частный случай эллипсоида — замкнутая поверхность, следовательно, она имеет конечную площадь. Площадь сферынаходят по формуле S=4πR^2.
Поверхность обозначаетсяформулой:
(x — x0)^2 + (y — y0)^2 +(z — z0)^2 = R^2.
Применяется во многихотраслях (например, шарики для подшипников)
/>
Рис. 1
На рисунке 1 представлен тор.Тор получается при вращении окружности радиуса b по окружности радиуса a. Существует возможность проведениятакой касательной плоскости, которая будет иметь с тором только однуединственную точку. Обозначается параметрическими уравнениями:
/>
Применяется вхлебопекарной промышленности.
Рисунок 1 содержит катеноид.Параметрическое уравнение:
/>
Эта поверхностьприменяется в медицинской технике, для создания излучателя ультразвуковых волн.Имеет бесконечную площадь, причем это поверхность вращения.
Псевдосфера имеет следующее параметрическоеуравнение:
/>
Существование псевдосферывыявлено из работ Лобачевского.
/>
Рис. 2
На рисунке 2 изображен геликоид.Прямой геликоид — поверхность, образованная движением прямой, вращающейсявокруг оси и перпендикулярной к ней и одновременно поступательно движущейся внаправлении этой оси, причем скорости этих движений пропорциональны.
Задается параметрическимиуравнениями:
/>
Применяется при созданиивинтовых поверхностей, например лестниц или валов мясорубок.
Параболоид – поверхность вращения. Описываетсяуравнениями:
z = ax^2 + by^2
Одна из наиболееизвестных поверхностей – цилиндр. Имеет параметрические уравнения вида:
x=cos2Ps;
y=2t-1;
z=sin2Ps.
Цилиндры имеют широчайшееприменение во всех сферах жизни (например, колесо автомобиля, кружка, ручка).
Существует еще многоповерхностей в пространстве, которые имеют необычную для нас форму и размер. Мырассмотрели лишь простейшие из них.