Федеральное агентство по образованию
МурманскийГосударственный Педагогический Университет
Факультетприкладной математики, программирования и экономики
Кафедраалгебры, геометрии и прикладной математики
Курсоваяработа
на тему:
Определитель произведения прямоугольных матриц.
Теорема Коши-Бине.
Выполнила студентка
IIкурса группыПМИ
Решоткина Наталья Николаевна
Научный руководитель:
кандидат физико-математических
наук, доцент кафедры АГ и ПМ
Мостовской Александр Павлович
Мурманск
2007
TOCo «1-3» h z u Введение. PAGEREF _Toc169771091 h 4
Глава I. PAGEREF _Toc169771092 h 5
§ 1 Определение, обозначения и типы матриц. PAGEREF _Toc169771093 h 5
Свойства сложения и умножения матриц на скаляры:PAGEREF _Toc169771094 h 7
Глава II. PAGEREF _Toc169771095 h 7
§1 Умножение матриц. PAGEREF _Toc169771096 h 7
§2 Свойства умножения матриц. PAGEREF _Toc169771097 h 8
§3 Техника матричного умножения. PAGEREF _Toc169771098 h 9
§4 Транспонирование произведения матриц. PAGEREF _Toc169771099 h 10
Глава III. PAGEREF _Toc169771100 h 10
§1 Обратимые матрицы… PAGEREF _Toc169771101 h 10
§2 Элементарные матрицы… PAGEREF _Toc169771102 h 12
Глава IV… PAGEREF _Toc169771103 h 13
§1 Определители. PAGEREF _Toc169771104 h 13
§2 Простейшие свойства определителей. PAGEREF _Toc169771105 h 14
§3 Основные свойства определителей. PAGEREF _Toc169771106 h 14
§4 Миноры и алгебраические дополнения.PAGEREF _Toc169771107 h 18
Теоремы об определителях.PAGEREF _Toc169771108 h 18
§5 Определитель произведение матриц. PAGEREF _Toc169771109 h 21
Необходимые и достаточные условия равенстваопределителя нулю… PAGEREF _Toc169771110 h 22
§6 Разбиение матриц. PAGEREF _Toc169771111 h 23
§7 Теорема (формула Бине-Коши)PAGEREF _Toc169771112 h 25
Заключение. PAGEREF _Toc169771113 h 28
Литература. PAGEREF _Toc169771114 h 30
Приложение. PAGEREF _Toc169771115 h 31
Введение
При решенииразличных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел,называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейныхуравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачикомпьютерной графики и другие инженерные задачи.
Цель даннойработы: теоретическое обоснование и необходимость практического применениятеоремы Коши-Бине:
Пусть , — и -матрицы соответственно,
Тогда
Другимисловами, при определитель матрицы является суммойпроизведений всевозможных миноров порядка в на соответствующиеминоры матрицы того же самого порядка
Работа состоит из четырех глав, содержит заключение,список литературы и приложение программы для теоремы Коши-Бине. В главе Iрассматриваются элементы линейной алгебры – матрицы, операциинад матрицами и свойства сложения матриц, и умножения на скаляр. Глава IIпосвящается умножению матриц и его свойств, а также транспонированиепроизведения двух матриц. В главе IIIрассматриваютсяобратимые и элементарные матрицы. В главе IVвводитьсяпонятие определителя квадратной матрицы,рассматриваются свойства и теоремы об определителях, а также приводится доказательствотеоремы Коши-Бине, что является целью моей работы. В дополнение прилагаетсяпрограмма показывающая механизм нахождения определителя произведения двухматриц.Глава I
§ 1 Определение, обозначения и типы матриц
Мы определяем матрицу как прямоугольную таблицу чисел:
Гдеэлементы матрицы aij(1≤i≤m, 1≤j≤n)-числа из поля.Для наших целей поле будет либо множествомвсех вещественных чисел, либо множеством всех комплексных. Размер матрицы , где m-число строк, n-число столбцов. Если m=n, то говорят,что матрица квадратная, порядка n. В общемслучаем матрица называется прямоугольной.
Каждой матрице с элементами aijсоответствует n×mматрица сэлементами aji. Она называетсятранспонированной к и обозначается через=. Строки матрицы становятсястолбцами в и столбцы матрицы становятся строками в
Матрицаназывается нулевой если все элементы равны 0:
Матрицаназывается треугольной если все ее элементы, расположенные ниже главнойдиагонали равны 0
Треугольнаяматрица называется диагональной, если все элементы расположенные вне главнойдиагонали равны 0
Диагональнойматрица называется единичной, если все элементы расположенные на главнойдиагонали равны 1
Матрица,составленная из элементов, находящихся на пересечении нескольких выбранныхстрок матрицы и нескольких выбранныхстолбцов, называется субматрицей для матрицы
Вчастности, строки и столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы.
§2Операции над матрицами
Определимследующие операции:
I. Сумма двух матриц с элементами и матрица С с элементами
II. Произведениематрицы на число
III. Произведение матрицы матрица С с элементами
IV. поле скаляров,рассмотрим матриц над полем
Опр.Две матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и на одинаковых местахрасположены одинаковые элементы. Другими словами: равна матрице
Опр.Пусть и называется столбце расположенэлемент
Пример:
Опр.Пусть на матрицу называется у которой в столбце расположенэлемент умножить на матрицу нужно все элементыматрицы умножить на скаляр
Определение.Противоположной к матрице называется матрица Свойства сложения иумножения матриц на скаляры:
1) Сложение матриц ассоциативно икоммутативно.
2)
3)
а)
б)
4) Глава II§1 Умножение матриц
Опр.Произведением матрицы на матрицу называется матрица
Говорят,что есть скалярноепроизведение на
Пример:
§2 Свойства умножения матриц
1. Умножение матриц ассоциативно:
1) и
Доказательство:
Пусть и определено
Определимматрицы:
а)
б)
(1) матрицы, тогда имеют одинаковуюразмерность
2)Покажем, что на одинаковых местах в матрицах расположены одинаковыеэлементы
Вывод:Матрицы имеют одинаковуюразмерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы.
2. Умножение матриц дистрибутивно
Доказательство:
так как определено и определено
размерности
Матрицы имеют одинаковуюразмерность, покажем расположение одинаковых элементов:
Вывод: На одинаковых местах расположены одинаковыеэлементы.
3. матрицы, тодоказательство проводим аналогично свойству 2.
4.
Доказательство:
5.Умножение матриц в общем случае не коммутативно. Рассмотрим это на примере:
§3 Техника матричногоумножения
поле скаляров,
Свойства:
1) Произведение можно рассматривать,как результат умножения столбцов матрицы слева и как результатумножения строк матрицы на справа.
2) Пусть матрица коэффициенты которойслужат элементы матрицы
Пример
Пусть коэффициенты которойслужат элементы матрицы
Пример:
3) Столбцы матрицы §4 Транспонированиепроизведения матриц
поле скаляров,
Теорема
если
Доказательство:
1) Пусть
— размерности
2) т.е
на столбец
Глава III§1 Обратимые матрицы
поле скаляров,множество
Определение.Квадратная матрица порядка называется единичнойматрицей
Пусть
Теорема 1
выполняется
Доказательство:
Изэтого следует является единичнойматрицей. Она выполняет роль единицы при умножении матриц.
Определение. Квадратная матрица так, что выполняютсяусловия
Матрица называется обратной к обозначается обратная к
Теорема 2
Если
Доказательство:
Пусть дана матрица т.е.
Обозначение:Множество всех обратимых матриц порядка над полем обозначается
Теорема 3
Справедливыутверждения:
1) алгебра
2) группа
Доказательство:
а)Пусть
обратные к
Аналогично: обратимая матрица т.е
б)
в) обратима т.е
2)Докажем второе утверждение, что группа. Для этогопроверим аксиомы групп:
1)
2)
3)
группа
Следствие:
1) Произведение обратимых матриц есть обратимая матрица
2) Если обратима, то
3)
4) §2 Элементарные матрицы
Пусть поле скаляров
Определение.Элементарной матрицей называется матрица, полученнаяиз единичной матрицы в результате одного изследующих элементарных преобразований:
1) Умножение строки (столбца) на скаляр
2) Прибавление к какой либо строке (столбцу) другой строки(столбца), умноженный на скаляр
Обозначение:
Пример: Элементарные матрицы порядка 2
Обозначение: Глава IV§1 Определители
Определитель матрицы умноженная на знак,соответствующей подстановки.
Пример
Определительвторого порядка равен произведению элементов главной диагонали вычестьпроизведение элементов на побоичной.
Для
Получилиправило треугольника:
SHAPE * MERGEFORMAT §2 Простейшие свойства определителей
1) Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом)равен нулю
2) Определитель треугольной матрицы равен произведениюэлементов, расположенных на главной диагонали
Определительдиагональной матрицы равен произведению элементов, расположенных на главнойдиагонали. Матрица диагональная если всеэлементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю.