Содержание
Введение. 3
1. Понятие эвристики и особенности применения эвристики в математике. 6
1.1. Понятие доказательства в математике. 6
1.2. Эвристика как метод научного познания. 10
1.3. Эвристический подход к построении математических доказательств в рамках логического подхода. 19
2. Эвристические приемы построения математических доказательств. 23
2.1. Эвристический метод построения математических доказательств. 23
2.2. Особенности применения эвристического подхода при доказательстве теорем 28
Заключение. 39
Список литературы… 42
/>/>/>Введение
Логическое доказательство математических построений известноеще с Древней Греции. Греческие математики пифагорейской школы уже в VI—V векахдо нашей эры делали попытки расположить цепь математических доказательств в определеннуюпоследовательность, чтобы переход от одного понятия к другому не вызывал ни у когоникаких сомнений. Этот «дедуктивный» метод получил дальнейшее развитие у Эвклида,Архимеда и Апполония. Понятие доказательства у них уже ни в чем существенном неотличается от нашего. Математика и, в частности, геометрия, стала наукой лишь тогда,когда в ней начали систематически применять логические доказательства, когда ееположения стали выводить не только путем непосредственных измерений, но и при помощиумозаключений, когда те или иные ее положения начали устанавливать в общем виде.
Обобщенные приемы умственной деятельности делятся на две большиегруппы — приемы алгоритмического типа и эвристические. Остановимся сначала на характеристикеприемов алгоритмического типа.
Это приемы рационального, правильного мышления, полностью соответствующегозаконам формальной логики. Точное следование предписаниям, даваемым такими приемами,обеспечивает безошибочное решение широкого класса задач, на который эти приемы непосредственнорассчитаны. Формирование приемов мыслительной деятельности алгоритмического типа,ориентирующих на формально-логический анализ задач, является необходимым, но недостаточным условием развития мышления. Необходимо оно, во-первых, потому, что содействуетсовершенствованию репродуктивного мышления, являющегося важным компонентом творческойдеятельности (особенно на начальном и конечном этапах решения проблем). Во-вторых,эти приемы служат тем фондом знаний, из которых ученик может черпать « строительныйматериал» для создания, конструирования методов решения новых для него задач. Недостаточнымформирование алгоритмических приемов является потому, что не соответствует спецификепродуктивного мышления, не стимулирует интенсивное развитие именно этой сторонымыслительной деятельности.
Эвристические методы решения задач — это система принципов иправил, которые задают наиболее вероятностные стратегии и тактики деятельности решающего,стимулирующие его интуитивное мышление в процессе решения, генерирование новых идейи на этой основе существенно повышающие эффективность решения определенного классазадач.
Эвристические приемы непосредственно стимулируют поиск решенияновых проблем, открытие новых проблем, открытие новых для субъекта знаний и темсамым соответствуют самой природе, специфике творческого мышления. В отличии отприемов алгоритмического типа, эвристические приемы ориентируют не на формально-логический,а на содержательный анализ проблем. Они направляют мысль решающих на проникновениев суть описываемого в условии предметного содержания, на то, чтобы за каждым словомони видели его реальное содержание и по нему судили о роли в решении того или иногоданного. Многие эвристические приемы стимулируют включение в процесс решения проблемнаглядно-образного мышления, что позволяет использовать его преимущество перед словеснологическим мышлением — возможность целостного восприятия, видения всей описываемойв условии ситуации. Тем самым облегчается течение характерных для продуктивногомышления интуитивных процессов.
Целью данной работы является рассмотрение эвристических логическихподходов к построению доказательств.
В работе поставлены следующие задачи:
— рассмотреть понятие доказательства в математике и его особенности;
— рассмотреть эвристику как метод научного познания;
— рассмотреть особенности эвристического подхода в рамках логического;
— рассмотреть эвристические приемы построения математическихдоказательств.
При написании работы были использованы труды таких авторов, какСеребряникова О.Ф., Лакатоса И., Писаревского Б. М., Заесенок В. П., Саранцева Г.И.,Беляева Е.А, Перминова В.Я., Калошиной И.П., Миничкиной Н.В., Харичевой Г.И., МиничкинойН.В., Адамара Ж., Белла Э.Т., Биркгофа Г., Болтянского В.Г., Куранта Р., РобинсаГ., Шакурова Р.Х.
/>/>/>1. Понятие эвристики и особенностиприменения эвристики в математике/>/>/> 1.1. Понятие доказательства в математике
Теория доказательства разработана в логике и включает три структурныхкомпонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов,общепринятых понятий, законов и т.п. соответствующей науки) и демонстрация (самапроцедура развертывания доказательства; последовательная цепь умозаключений, когдаn-ное умозаключение становится одной из посылок n+1-го умозаключения). Выделяютсяправила доказательства, указаны возможные логические ошибки.
Математическое доказательство имеет много общего с теми принципами,которые устанавливаются формальной логикой. Более того, математические правила рассужденийи операций, очевидно, послужили одной из основ в разработке процедуры доказательствав логике. В частности, исследователи истории становления формальной логики считают,что в свое время, когда Аристотель предпринял первые шаги по созданию законов иправил логики, он обратился к математическим и к практике юридической деятельности.В этих источниках он и находил материал для логических построений задуманной теории.
В XX в. понятие доказательства утратило строгий смысл, что произошлов связи с обнаружением логических парадоксов, таившихся в теории множеств и особеннов связи с результатами, которые принесли теоремы К. Геделя о неполноте формализации.[1]
Прежде всего, это коснулось самой математики, в связи, с чембыло высказано убеждение, что термин «доказательство» не имеет точногоопределения. Но если уж подобное мнение (имеющее место и поныне) затрагивает самоематематику, то приходят к выводу, согласно которому доказательство следует принятьне в логико-математическом, а в психологическом смысле. При том подобный взглядобнаруживают и у самого Аристотеля, считавшего, что доказать означает провести рассуждение,которое убедило бы нас в такой степени, что, используя его, убеждаем других в правотечего-либо. Определенный оттенок психологического подхода находим у А.Е. Есенина-Вольпина.Он резко выступает против принятия истины без доказательства, связывая это с актомверы и далее пишет: «Доказательством суждения называют честный прием, делающийэто суждение неоспоримым». Есенин отдает отчет, что его определение нуждаетсяеще в уточнениях. Вместе с тем, сама характеристика доказательства как «честногоприема» не выдает ли апелляцию к нравственно-психологической оценке?
Вместе с тем обнаружение теоретико-множественных парадоксов ипоявление теорем Геделя как раз содействовали и разработке теории математическогодоказательства, предпринятой интуиционистами, особенно конструктивистского направления,и Д. Гильбертом.
Иногда считают, что математическое доказательство носит всеобщийхарактер и представляет идеальный вариант научного доказательства. Однако оно — не единственный метод, есть и другие способы доказательных процедур и операций.Верно лишь то, что у математического доказательства немало сходного с формально-логическим,реализуемом в естествознании, и что математическое доказательство имеет определеннуюспецифику, равно, как и набор приемов-операций. На этом мы и остановимся, опускаято общее, что роднит его с другими формами доказательств, то есть не развертываяво всех шагах (даже и основных) алгоритм, правила, ошибки и т.п. процесса доказательства.
Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющеезадачей обосновать истинность (конечно, в математическом, то есть как выводимость,смысле) какого-либо утверждения.
Свод правил, применяемых в доказательстве, сформировался вместес появлением аксиоматических построений математической теории. Наиболее четко иполно это было реализовано в геометрии Эвклида. Его «Начала» стали своегорода модельным эталоном аксиоматической организации математического знания и долгоевремя оставались таковыми для математиков.
Высказывания, представляемые в виде определенной последовательности,должны гарантировать вывод, который при соблюдении правил логического оперированияи считается доказанным. Необходимо подчеркнуть, что определенное рассуждение являетсядоказательством только относительно некоторой аксиоматической системы.
При характеристике математического доказательства выделяют двеосновные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключаеткакие-либо ссылки на эмпирию. Вся процедура обоснования истинности вывода осуществляетсяв рамках принимаемой аксиоматики. Академик А.Д Александров в связи с этим подчеркивает.Можно тысячи раз измерять углы треугольника и убедиться, что они равны 2d[2].Но математику этим ничего не докажешь. Ему докажешь, если выведешь приведенное утверждениеиз аксиом. Здесь математика и близка методам схоластики, которая также принципиальноотвергает аргументацию опытно данными фактами.
К примеру, когда была обнаружена несоизмеримость отрезков, придоказательстве этой теоремы исключалось обращение к физическому эксперименту, поскольку,во-первых, само понятие «несоизмеримость» лишено физического смысла, а,во-вторых, математики и не могли, имея дело с абстракцией, привлекать на помощьвещественно-конкретные протяженности, измеряемы чувственно-наглядным приемом. Несоизмеримость,в частности, стороны и диагонали квадрата, доказывается, опираясь на свойство целыхчисел с привлечением теоремы Пифагора о равенстве квадрата гипотенузы (соответственно- диагонали) сумме квадратов катетов (двух сторон прямоугольного треугольника).Или когда Лобачевский искал для своей геометрии подтверждение, обращаясь к результатамастрономических наблюдений, то это подтверждение осуществлялось им средствами сугубоумозрительного характера. В интерпретациях неэвклидовой геометрии, проведенных Кэли- Клейном и Бельтрами, также фигурировали типично математические, а не физическиеобъекты[3].
Вторая особенность математического доказательства — его наивысшаяабстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках.И опять же, как в случае с понятием математического объекта, речь идет не простоо степени абстракции, а о ее природе. Дело в том, что высокого уровня абстрагированиядоказательство достигает и в ряде других наук, например, в физике, космологи и,конечно, в философии, поскольку предметом последней становятся предельные проблемыбытия и мышления. Математику же отличает то, что здесь функционируют переменные,смысл которых — в отвлечении от любых конкретных свойств. Напомним, что, по определению,переменные — знаки, которые сами по себе не имеют значений и обретают последниетолько при подстановке вместо них имен определенных предметов (индивидные переменные)или при указании конкретных свойств и отношений (предикатные переменные), или, наконец,в случаях замены переменной содержательным высказыванием (пропозициональная переменная).
Отмеченной особенностью и обусловлен характер крайней абстрактностииспользуемых в математическом доказательстве знаков, равно, как и утверждений, которые,благодаря включению в свою структуру переменных, превращаются в функции высказывания.
Таким образом, можно сделать следующие выводы.
Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющеезадачей обосновать истинность какого-либо утверждения.
При характеристике математического доказательства выделяют двеосновные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключаеткакие-либо ссылки на эмпирию. Вторая особенность математического доказательства- его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательствав остальных науках./>/>/>1.2. Эвристика как метод научногопознания
Вопросы понимания механизмов человеческого мышления, выработкиприемов повышения его эффективности в те далекие времена больше занимали, говорясегодняшним языком, представителей гуманитарных профессий: философов, теологов,психологов. Первые упоминания об эвристике, учении о продуктивных методах творческогомышления, относятся к временам античности. Наиболее ранние попытки выявить особенноститворческого подхода при решении задач нашли отражение в трудах Архимеда, Евклида,Апполония Бергамского, Аристея-старшего. Сам же термин «эвристика» впервыепоявился в трудах греческого математика Паппа Александрийского, жившего во второйполовине III века нашей эры.
Эвристика (от греч. «эврика» — Я нашел) — наука о вспомогательных,дополнительных к основным (эксперимент, наблюдение и т.п.) приемах получения знаний.
В научной литературе это понятие не имеет единого толкования.В некоторых работах об интенсификации научно-технического творчества эвристика отождествляетсяс психологией научного творчества: «Психология научного творчества — эвристикаизучает, как решаются научные задачи, требующие, кроме знаний и умений, также исообразительности, догадки».
Другие психологи считают, что эвристика — это «абстрактно-аналитическаянаука, изучающая один из структурных уровней организации творческой деятельностии ее продуктов».
Следующие определения эвристики:
1.Специальные методы, используемые в процессе открытия (создания)нового (эвристические методы).
2.Наука, изучающая продуктивное творческое мышление (эвристическуюдеятельность).
3.Восходящий к Сократу метод обучения (майевтика) .
По мнению психологов, эвристика — это отрасль знания, «изучающаяформирование новых действий в необычной ситуации», она может стать наукой «втом случае, если эвристические процессы, приводящие к этим новым действиям, найдутнаконец свое математическое описание».
Приведенные высказывания (которых можно было бы привести больше),свидетельствуют о том, что эвристика как самостоятельная наука еще не сформировалась.
Несмотря на большое количество научных трудов, посвященных вопросамэвристики, они, как правило, касаются ее частных проблем и не дают четкого представленияни об объекте, ни о предмете эвристики, ни о ее статусе среди других наук.
Попытка обобщения многочисленных концепций и формулирование наэтой основе определения статуса и предмета эвристики изложены в работах Буша Г.Яи Буша К. По определению авторов этой работы: «Эвристика — это общенаучнаятеория решения проблемных задач, возникающих в человеческой деятельности и общении».
Предметом эвристики является «выявление, обработка и упорядочениезакономерностей, механизмов и методологических средств антиципации (предвосхищения)и конструирования нового знания и целеустремленных способов деятельности и общения,создаваемых на основе обобщения прежнего опыта и опережающего отражения моделейбудущего с целью более полного удовлетворения потребностей людей».
Оценивая попытку авторов, можно сказать, что с точки зрения обобщениячастных подходов к эвристике она удалась, но вместе с тем, очевидно, стремлениек детерминации общности помешало авторам в данном определении выделить специфическиечерты именно эвристики, и в результате под это определение можно подвести и другиеобщенаучные дисциплины, например такие, как прогнозирование или системный подход.
Множество толкований эвристики говорит о разном содержании, котороевкладывают авторы различных концепций в данное понятие. При этом общим и бесспорнымявляется то, что во всех случаях эвристика неразрывно связывается с творческой деятельностью,с творчеством.
Общими звеньями, связывающими в единую цепь понятия «эвристика»и «творчество», являются представления о нетривиальности, неординарности,новизне и уникальности. Применительно к понятию «творчество» такими качествамихарактеризуется результат творческой деятельности, применительно к эвристике — методыи средства получения этого результата.
К проблемам создания эвристики обращались ряд философов и математиков,например, Р. Декарт, Г. Лейбниц, Б. Больцано, А. Пуанкаре. Например, в труде «Правиладля руководства ума» Р. Декарт предложил ряд принципов поиска истины. Они настолькоинтересны и актуальны еще и сегодня, что стоит кратко познакомиться с некоторымиего мыслями.
Декарт, во-первых, утверждал, что способность правильно судитьи отличать истинное от ложного, что, собственно, и именуется здравым смыслом илиразумом, от природы у всех людей одинакова. «Таким образом, различие нашихмнений происходит не оттого, что одни люди разумнее других, но только оттого, чтомы направляем наши мысли разными путями и рассматриваем не те же самые вещи. Ибомало иметь хороший ум, главное — хорошо его применять». (Можно добавить, чтомало иметь хорошие знания, главное уметь их применять.)
Для хорошего же применения своего ума Декартом сформулированычетыре принципа, следовать которым он рекомендовал, и которые остаются актуальнымии в наше время. Приведем их и вслед за их автором настойчиво порекомендуем следоватьим, и особенно — второму, поскольку он предвосхитил, как мы увидим дальше, одиниз фундаментальных системных принципов.
Первое — «никогда не принимать за истинное ничего, что яне познал бы таковым с очевидностью; иначе говоря, тщательно избегать опрометчивостии предвзятости и включать в свои суждения только то, что представляется моему умустоль ясно и столь отчетливо, что не дает мне никакого повода подвергать их сомнению».
Второе — «делить каждое из исследуемых затруднений на столькочастей, сколько это возможно и нужно для лучшего их преодоления».
Третье — «придерживаться определенного порядка мышления,начиная с предметов наиболее простых и наиболее легко познаваемых и восходя постепеннок познанию наиболее сложного, предполагая порядок даже и там, где объекты мышлениявовсе не даны в их естественной связи».
И последнее — «составлять всегда обзоры столь общие, чтобыбыла уверенность в отсутствии упущений».
Основными этапами эвристического подхода являются "… накоплениесведений об изучаемом явлении на нестрогом эвристическом уровне на основе численногоэксперимента, создание интуитивной схемы явления, проверка ее на следующем этапечисленного эксперимента и, наконец, построение строгой теории...". Свою точкузрения на предмет математики и ее соотношения с другими науками изложил в эссе «Математик»и статье «Роль математики в науках и обществе» математик и философ Нейманфон Джон. По Нейману, "… самая жизненно важная отличительная особенность математикисостоит в ее совершенно особой связи с естественными науками или… с любой наукой,интерпретирующей опыт на более высоком уровне, нежели чисто описательный. Большинстволюдей… согласятся с тем, что математика не является эмпирической наукой или чтоона, по крайней мере, по образу действий отличается в некоторых весьма важных отношенияхот методов эмпирических наук. Тем не менее, развитие математики весьма тесно связанос естественными науками. Один из ее разделов — геометрия — зародился как естественная,эмпирическая наука. Некоторые из наиболее ярких идей современной математики… отчетливопрослеживаются до своих истоков в естественных науках. Математические методы пронизывают«теоретические разделы» естественных наук и доминируют в них. Главныйкритерий успеха в современных эмпирических науках все в большей мере усматриваютв том, насколько эти науки оказываются в сфере действия математического метода илипочти математических методов физики. Неразрывная цепь последовательных псевдоморфоз,пронизывающая естественные науки, сближающая их с математикой и почти отождествляемаяс идеей научного прогресса, становится все более очевидной. В биологию… проникаютхимия и физика, в химию — экспериментальная и теоретическая физика, в физику — наиболееизощренные в своей математической форме методы теоретической физики. Природа математикиобладает весьма замечательной двойственностью. Эту двойственность необходимо осознать,воспринять и включить ее в круг представлений, неотъемлемых от предмета. Эта двуликостьприсуща лицу математики, и я не верю, что можно прийти к какому-либо упрощенномуединому взгляду на математику, не пожертвовав при этом существом дела… Я считаю,что довольно хорошее приближение к истине (которая слишком сложна, чтобы допускатьчто-нибудь, кроме аппроксимации) состоит в следующем. Математические идеи берутсвое начало в эмпирике, но генеалогия их подчас длинна и неясна. Но коль скоро этиидеи возникли, они обретают независимое, самостоятельное существование. Их лучшесравнивать с художественными произведениями, подчиняющимися чисто эстетическим оценкам,чем с чем-либо другим и, в частности, с эмпирическими науками. Однако… когда математическаядисциплина отходит достаточно далеко от своего эмпирического источника, а тем более,когда она принадлежит ко второму или третьему поколению и лишь косвенно вдохновляетсяидеями, восходящими к «реальности», над ней нависает… серьезная опасность.Она все более превращается в… искусство ради искусства… существует серьезнаяопасность… что математическая дисциплина начнет развиваться по линии наименьшегосопротивления, что поток вдали от источника разделится на множество мелких рукавови что соответствующий раздел математики обратится в беспорядочное нагромождениедеталей и всякого рода сложностей… на большом расстоянии от эмпирического источникаили в результате чересчур абстрактного инбридинга /скрещивания близкородственныхформ. Математической дисциплине грозит вырождение. При появлении того или иногораздела математики стиль обычно бывает классическим. Когда же он обретает признакиперерождения в барокко, это следует расценивать, как сигнал опасности… При наступленииэтого этапа единственный способ исцеления… состоит в том, чтобы возвратиться кисточнику и впрыснуть более или менее прямо эмпирические идеи. Я убежден, что этовсегда было необходимо для того, чтобы сохранить свежесть и жизненность математическойтеории, и что это положение остается в силе и в будущем..." (эссе «Математик»).Нейман писал о том, что "… математика не должна ограничиваться ролью поставщикарешений различных задач, возникающих в естественных науках; наоборот, естествознаниедолжно стать неисчерпаемым источником постановок новых чисто математических проблем...".(«Роль математики в науках и обществе»).
Об эвристическом значении критериев красоты в математическомпоиске говорят и многие другие большие и не столь большие ученые — Гейзенберг, Гаррисон,Эйнштейн.
Так, А. Пуанкаре считает, что в нас сидит «эстетическийсторож», который уже при самом зарождении идей отметает некрасивые математическиерешения, даже не допуская их к рассмотрению. Обращаясь к формуле закона тяготения,например, отечественный физик второй половины XX в. А. Китайгородский замечает следующее.Напомнив уравнение
F= />/>,
Китайгородский пишет, что если бы в числителе вместо произведениямасс m1 и m2 фигурировала, скажем, сумма (m1+m2), а в знаменателе вместо r2 находиласьбы r в девятой степени, такая формула сразу же отталкивала как неэстетическая, некрасиваяи потому неверная.
И уже затем после этого первого досмотра осуществляет выбор междудопущенными к конкуренции вариантами, когда выносится окончательный эстетическийприговор в пользу наиболее совершенного, сполна удовлетворяющего эстетическому вкусуматематического описания.
Остается непроясненным, а что же именно полагать красивым, каковыкритерии самого этого критерия истинной теории? Это те же количественные (основанныена минимальности значений) и логические (симметрия, стройность и т.п.) характеристики,но пропущенные через эстетическое чутье ученого. Как пишет, например, математикБ. Гнеденко, «результат считается красивым, если из малого числа условий удаетсяполучить общие заключения, относящиеся к широкому кругу объектов.
Поэтому так важно воспитывать у исследователя восприятие прекрасного,способность схватывать и ценить красоту. Без достаточно развитого эстетическогочувства, подчеркивает Пуанкаре, никто никогда не станет крупным творцом в математике.
Красоту математики видят в гармонии чисел и форм, геометрическойвыразительности, стройности математических формул, решении задач различными способами,в изяществе математических доказательств, в порядке, богатстве приложений, универсальностиматематических методов. Под понятие красоты подводится широкий спектр различныхобъектов от схем зверушек, составленных из отрезков, до представления красивогообъекта моделью, удовлетворяющей требованиям изоморфизма, простоты и неожиданности.Так, Э.Т. Белл привлекательность математического объекта видит в совокупности следующиххарактеристик[4]:
— универсальность использования в различных разделах математики,как правило, изначально совсем неочевидная;
— продуктивность или возможность побудительного влияния на дальнейшеепродвижение в данной области на основе абстракции и обобщения;
— максимальная емкость охвата объектов рассматриваемого типа.
Указанная совокупность признаков красивого математического объекта,как и другие предлагаемые наборы характеристик красоты, сформулирована не вполнечетко и несколько размыто, что объясняется их «трудной уловимостью» и неполной осознаваемостью.
Наиболее четко характеристика эстетической привлекательностиматематического объекта дана Г. Биркгофом:
M=O/C,
где M — мера красоты объекта,
O — мера порядка,
а C — мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта[5].
С формулой красоты, предложенной Г. Биркгофом, созвучна модель,разработанная В.Г. Болтянским[6]. По его мнению,красота математического объекта может быть выражена посредством изоморфизма междуэтим объектом и его наглядной моделью, простотой модели и неожиданностью его появления.Изоморфизм предполагает правильные, неискаженные отражения основных свойств явленияв его наглядной модели. Созвучность видится в том, что как в первой, так и во второймодели мера красоты тем выше, чем меньше мера сложности объекта (по Биркгофу) иличем проще наглядная модель исследуемого объекта (по Болтянскому).
Надо сказать, что проблема красоты занимает не только математиков,она привлекала и привлекает внимание величайших умов человечества. Одни исследователисчитают, что в красоте объектов проявляется их свойство, существующее независимоот сознания. Чувство красоты трактуется как продукт отражения в человеческом сознанииреально существующих эстетических свойств окружающего мира. Другие рассматриваюткрасоту как продукт ума, свободной мысли. Для третьих красота является даром богов,особенно женская красота, воспеваемая в поэзии, литературе, живописи. Писатель-фантастА. Казанцев во второй половине прошлого столетия выдвинул версию, согласно которойкрасивыми кажутся те черты лица, которые отвечают биологической целесообразности,лучше приспособлены к природным условиям. Наиболее правдоподобно природа красотыбыла раскрыта в 60-х годах XX столетия известным психологом академиком Р.Х. Шакуровым.Им была предложена гипотеза о том, что красивы те черты лица, которые при зрительномвосприятии укладываются в их корковый, обобщенный образ — в стереотипный усредненныйстандарт, сформировавшийся в нашей голове в ходе общения с людьми. Сказанное отражаеткрасоту форм. Другими составляющими красоты являются: ее эмоционально-экспрессивнаясторона, обращенная к аффилиативной потребности, ассоциативно-эмоциональный компонент,оригинальность. Указанные составляющие проявляются в улыбчивых лицах, светящихсядобротой и нежностью, в цвете лица, ассоциирующемся со здоровьем, в своеобразии,нестандартности.
Очевидно, что указанное понимание красоты лица может быть перенесенона красоту любого объекта, в частности математического. Наиболее привлекательнымбудет тот объект, представление о котором соответствует сформировавшемуся образуэтого объекта. Данный вывод совпадает с указанными математическими моделями эстетическойпривлекательности математических объектов. Ясно, что в случае затраты минимума усилий,а это возможно когда восприятие укладывается в обобщенный образ (по Шакурову[7]),мера красоты возрастает, причем степень возрастания пропорциональна росту меры порядка.Отсюда следует, что для ученика красивыми математическими объектами будут те, восприятиекоторых учеником сопряжено с наименьшими его усилиями. Их привлекательность будетусиливаться за счет динамической составляющей красоты, выражаемой в оригинальности,неожиданности, изяществе./>/>1.3. Эвристический подход к построении математических доказательствв рамках логического подхода
В логике различают дедуктивные и недедуктивные (эвристические)рассуждения. В связи с этим, для полноты картины, необходимо рассмотреть эвристическийподход к построению математических доказательств в более широком контексте противопоставлениядедуктивных и недедуктивных высказываний.
Дедуктивными называются рассуждения, заключение которых с логическойнеобходимостью вытекают из посылок. Эти посылки могут быть истинными, правдоподобнымиили вероятными, или даже ложными, но если вы их приняли, то должны согласиться ис заключением дедукции. Вот почему в современной науке дедукция рассматриваетсякак логический механизм преобразования информации, сохраняющий ее истинностное значение.Следовательно, она переносит истинностное значение посылок рассуждения на его заключение.Если эти посылки истинны и достоверны, то таким же будет и заключение. Подобныйспособ рассуждения в логике называют доказательством, и он является типичным длявсех рассуждений в математике и точных науках.
Достоинства дедуктивных рассуждений состоят, во-первых, в том,что они допускают объективную, или точнее, интерсубъективную, проверку. Это значит,что каждый может проверить их посылки, а если он рассуждает по правилам дедуктивнойлогики, то и убедиться в достоверности заключения. Во-вторых, заключение, или следствие,дедукции имеет завершенный, окончательный характер, и поэтому его можно отделитьот посылок и использовать его самостоятельно. Это свойство дедукции называют автаркией.Именно так поступают в математике, когда формулируют теоремы, не ссылаясь непосредственнона аксиомы, хотя в принципе через сложную цепь промежуточных дедукций их можно быловывести из аксиом. В-третьих, заключения, или следствия, дедукции, как мы уже отметили,имеют логически необходимый, доказательный, а следовательно, обязательный и принудительныйхарактер для любого рассуждающего. На этом основании дедуктивные умозаключения,опирающиеся на истинные посылки, называют доказательными или демонстративными рассуждениями,а соответствующую аргументацию — демонстративной.
Все эти достоинства объясняют, почему именно дедуктивные рассужденияявляются наиболее убедительными методами рассуждения, а очень часто в нашей литературеони просто отождествляются с аргументацией. Однако убедительность аргументации,как нетрудно убедиться, зависит прежде всего от характера тех аргументов, или доводов,которые служат посылками рассуждения. Очевидно, что если посылки дедукции будутложными, то и заключение также будет ложным. Фундаментальный принцип дедукции состоитв том, что из истины нельзя по ее правилам вывести ложное заключение. Если посылкидедукции являются вероятными суждениями, тогда и заключение будет вероятным. Этотпринцип относится и к исчислению вероятностей, аксиомы которой устанавливают, какиз исходных вероятностей получаются другие вероятности. Все это показывает, такимобразом, что дедуктивные умозаключения служат логическим механизмом преобразованияинформации, который не может превратить истину в ложь, а ложь в истину, а вероятностьв невероятность.
Однако логика помогает не только преобразовывать существующуюинформацию и сохранять ее истинностное значение, но и искать новую информацию спомощью особых форм рассуждения, которые в отличие от дедуктивных умозаключениймы назовем эвристическими. Термин “эвристика” адекватно характеризует сущность недедуктивныхрассуждений, которые ориентированы именно на поиск истины. Соответственно этомук эвристическим методам относятся те методы аргументации, которые основываются,во-первых, на недедуктивных способах рассуждений, во-вторых, используют определенныеэвристические принципы для поиска истины. Общая черта, характерная для всех методовэвристической аргументации, — это вероятность их заключений и правдоподобный характериспользуемых рассуждений. Располагая истинными посылками в правдоподобном рассуждении,мы не можем гарантировать истинность его заключения. Можно поэтому сказать, чтоих посылки лишь с той или иной степенью вероятности подтверждают заключение. Самымраспространенным способом таких рассуждении, известным еще с античной эпохи, являетсяиндукция, в которой на основании исследования определенного числа элементов определенногомножества объектов, делается заключение обо всем множестве или по крайней мере онекоторых неисследованных его подмножествах или элементах. В науке такой процесспереноса известного знания на неизвестные случаи называют экстраполяцией, а в статистике— заключением от образца к популяции или, как принято в нашей литературе, — от выборкик генеральной совокупности. В связи с указанными соображениями можно рассматриватьзаключение от выборки к генеральной совокупности как статистическую индукцию.
Другим видом эвристических, или вероятностных, рассуждений являетсяаналогия, основанная на сходстве некоторых признаков двух или нескольких объектов,причем это сходство используется для экстраполяции определенных признаков одногоили нескольких объектов на другой объект. Очевидно, что заключение аналогии в принципетоже будет всегда лишь вероятным, но не достоверно истинным. То же самое следуетсказать о статистических обобщениях.
Различие между дедуктивными, или демонстративными, рассуждениямии рассуждениями эвристическими, или недемонстративными, можно представить нагляднов виде соответствующих схем. Типичными элементарными схемами дедуктивных рассужденийявляются, во-первых, заключение от истинности основания к истинности следствия (modusponens), во-вторых, заключение от ложности следствия к ложности основания (modustollens)
В отличие от этого все недемонстративные, или эвристические,рассуждения выражаются гипотетической формой заключения.
/>/>/>/>2.Эвристические приемы построения математических доказательств/> 2.1. Эвристический метод построения математических доказательств
Начало эвристического метода некоторые видят у Сократа, которыйпутем вопросов наводил слушателя на правильное решение поставленной проблемы. Такимобразом он заставлял мыслить слушателя, последовательно подходя к решению ряда болеелегких проблем Р, Q, R …, от которых зависело решение основной проблемы W. Нопри этом следует отметить, что решение этих промежуточных проблем Р, Q, R …Сократобычно сам подсказывал, оставляя слушателям продумать подсказанное им решение иубедиться в его правильности. Таким образом, хотя за слушателем и оставалось в некотороймере самостоятельное мышление, но он двигался несамостоятельно, он, так сказать,все время подталкивался Сократом. В виду этого сократовский метод едва ли можнопризнать за образец чистой эвристической методы. Эвристический метод в современномсмысле требует значительно больше инициативы от учащихся. Кроме того, в его понятиевходит и то, на что Сократ не обращал внимания, естественный ход мысли, а именнотот, который вел к открытию изученной истины. Всякий эвристический метод являетсяв настоящее время в некоторой мере и генетическим, но, конечно нельзя утверждатьи обратное. Учащемуся предлагается, правда, не исключая некоторых наведений со стороныучителя, проходить тот путь, который прошел или мог пройти открывающий эти истины.
Правильнее искать начало эвристического метода не у Сократа,а гораздо позже – у Руссо в его педагогических взглядах или, лучше сказать, вообщев педагогике его времени, так как он в своем Эмиле отражает общее настроение педагогическоймысли его эпохи. Здесь уместно вспомнить и о Л.Бертране, который пытается, впрочемтолько в начале, применить элементарную математику в том порядке, какой может открываться«охотником». В учебниках конца XVIII и начале XIX века, следуя идеям Руссо, приводитсяэвристический метод, приводящий к вопросникам и к задачам для самостоятельного решения.
Вне сомнения в дальнейшем методисты охладевают к эвристическомуметоду. Но увлечение им сыграло большую роль в истории методики математики. УчебникиXVII и XVIII веков не содержат, как наши учебники, задачи. Даже наиболее крупныйметодист Х.Вольф говорит не о самостоятельно решаемых задачах, но о примерах, толькоиллюстрирующих теорию. Эвристический метод вызывался еще другой педагогической идеей,защищаемой Руссо, выдвигавшим, в противоположность односторонне-объективной – односторонне-субъективнуюметоду с формально воспитательным принципом развития способностей. Конечно для этойцели самостоятельное мышление учащегося имела первенствующее значение. Впервые задачипоявляются только в конце первой четверти XIX века в учебнике неизвестного методистаОма.
Никто, конечно, сейчас не будет возражать против необходимостисамостоятельной работы учащегося над решением задач. Такая форма эвристическогоприема является в настоящее время необходимым составным элементом математическогообразования.
Методическая проблема ставится только о том, следует ли, и еслиследует, то в какой мере употреблять эвристический метод при изучении основногоматериала изучаемого предмета и затем – в какой форме следует употреблять эвристическиеприемы при решении задач в классе?
Здесь, прежде всего, следует согласиться с тем, что при первомизложении доказательств или решения задачи эвристический метод является совершеннонеподходящим.
В самом деле, он обращается в индивидуальное обучение ученика.Ученик, отвечая на вопрос, не будет вместо учителя обучать класс. Последний не всостоянии выдержать внимание, идущее за изложением учащегося, корректируемым учителем.
Сама идея, что метод изложения должен совпадать с порядком открытия,неправильна. При всяком открытии идут ощупью, причем через ряд ошибок, которые исправляются,и при этом руководятся аналогией и индукцией. Самый процесс закулисной мыслительнойработы совсем иной, чем тот, по которому следует вести ученика. Энциклопедисты XVIIIв много говорили о происхождении, но сами обладали очень плохим историческим чутьеми их дикари, а также греки и римляне очень далеки были от настоящих. Все их представленияо том процессе, который ведет к открытиям, строились априорно, а не как выводы изпсихологического анализа систематически накопленного материала[8].
Но следует идти дальше. Первое изложение доказательств не тольконе должно вестись учеником вместе с учителем, но оно и не должно прерываться обращениемко всему классу. Все должно быть излагаемо систематично и во вполне обработанномвиде. Ясно, что изложение может быть только синтетическим. Таким образом вместес тем решается и вопрос о синтезе и анализе.
Только тогда, когда учитель может с основанием предположить,что изложенное в обработанной синтетической форме усвоено учащимся, он может привлечьучащегося к самостоятельному мышлению. Оно может тогда носить чисто уже аналитическийхарактер, т.е. учитель может в некоторой мере разъяснять учащемуся, почему он поступаеттак, а не иначе, что должно наводить на мысль провести такие-то прямые или описатьтакие-то окружности. Я думаю, что это является более полезным, чем воспроизведениедоказательства одним из учащихся, что в большинстве случаев, конечно, не вполнеудается. Для всего класса это едва является очень полезным, так как и здесь за изложениемученика класс не в состоянии следовать и изложение это ни в коем случае не служитни к большему разъяснению хода доказательства, ни к закреплению его в памяти.
При вторичном проведении доказательства, эвристические приемыуже вполне допустимы, но не в отношении одного ученика, вызванного к доске, а всегокласса. Учитель может в своем изложении вставлять обращение к некоторым определеннымученикам, им избранным, или к тем, которые выявятся при вызове учителя на ответпо предлагаемому им вопросу. Но только по получении ответа из класса учителем, следуетпродолжать изложение так, как если этого ученического ответа не было, т.е. следуетответ формулировать самому учителю в вполне отделанной и точной форме.
Какова роль учителя при решении классных задач у доски? Эта методическаяпроблема вовсе не так проста, как это кажется на первый взгляд. Предоставить всеученику, даже хорошему, если только задача не решается по трафарету, представляетошибку.
Но ошибочным является также все брать на себя и превращать ученикав автомат, воспроизводящий на доске ход мышления учителя. Очевидно здесь приходитсявыбирать золотую середину.
Следует считаться с тем, что ученик у доски, должен обнаружитьв ограниченное время догадку, что не всегда можно требовать не только от среднего,но и от хорошего ученика, не быстро соображающего. Учитель же не должен просто подсказывать,а должен наводить и в этом наведении должно обнаруживаться методическое искусствоучителя. Только в том случае, когда намеки определенно не дают результатов, можноприбегнуть к подсказке. И здесь тоже не должно все ограничиваться учеником. Учительдолжен сам повторять решение; только в этом случае решение сможет быть усвоено всемклассом.
Перед первой империалистической войной вошло в моду в школе то,что называли анализом решения задач, т.е. изложение по существу психических мыслительныхпроцессов, приводящих к излагаемому решению.
В письменных работах на аттестат зрелости в Варшавском Округеза 1914 год эта часть оказывалась уродливо раздутой, в то время, как в самом решенииобычно выпадало существенное – доказательство правомерности вспомогательных построений.Я считаю, конечно, все это методической ошибкой, при неправильном понимании эвристическогометода.
Письменные работы должны содержать только окончательную обработкурешения, что же касается закулисной мыслительной работы, то полностью её и нельзяизложить, а если стараться её изложить возможно подробней, то для более трудныхзадач приходится излагать нахождение путем аналогии и индукции не только правильныхпутей, но и также и неверных, с которых приходится сходить.
Ученик должен в письменной работе дать готовую постройку, а недавать её в лесах, которые, как это произошло в упомянутых работах, закрывали всездание. Я думаю, что аналитический элемент должен быть только в изложении вторичныхдоказательств теорем и решений задач, излагаемых не учеником, а самим учителем.
К числу эвристических приемов принадлежит и предоставление ученикуразыскания ошибок в решении задач и в доказательствах, проводимых товарищем.
Конечно, прием неправильного решения, развитого учителем, с предложениемуказать ошибку, является с педагогической точки зрения не приемлемым, так как можетродить недоверие к учителю и ученик будет подозревать ошибки и в других местах изложенияучителя.
Но, правда в некоторой ограниченной мере допустимо предложениеученикам задач с противоречащими условиями или с недостающими данными, и в том ив другом случае неразрешимых. Но при этом возможны два приема: 1) подчеркнув, чтозадача и в первом и во втором случае неразрешима, предложить разъяснить причинуэтому; 2) просто предложить такую задачу и поставить ученика в тупик и потом ужепоставить вопрос о разрешимости. Из этих приемов следует предпочесть, конечно, первый./>2.2. Особенности примененияэвристического подхода при доказательстве теорем
Методика обучения доказательству в математике (при преподаванииматематике в школе) рекомендует как можно раньше приобщать школьников к самостоятельномуоткрытию фактов и способов их обоснования, хотя у учащихся еще нет даже самого простогопредставления о процессе доказательства, его составляющих. Само требование «доказать»не вызывает у них нужных ассоциаций. Процесс самостоятельного поиска доказательстваосновывается на ряде логических и эвристических операций, многими из которых учащиеся6–7-х классов не владеют. Поэтому на первых уроках геометрии 7-го класса следуетвоспользоваться готовыми доказательствами с целью изучения структуры логическоговывода (наличия большой посылки, малой посылки), связей логических шагов. Для достиженияэтой цели можно воспользоваться специальными карточками с двумя колонками, в однойиз которых указываются утверждения, в другой — обоснования, причем каждая колонкаимеет пустые места, количество которых зависит от способностей школьника, заполняющегопропуски в колонках. Ясно, что сказанное не отменяет эвристического обучения и приобщенияучеников к открытию доказательств. Однако самостоятельное доказательство должноосновываться на понимании готового доказательства, порядка, что ведет к формированиюустойчивых математических образов.
Учитывая, что у ученика с его взрослением развиваются пространственныепредставления об окружающем мире, приобретающие форму устойчивых образов реальныхобъектов, изучение элементов геометрии в 5–6-х классах естественно должно основыватьсяна идее фузионизма (слияния); однако эта идея не должна быть стержневой. В основнойшколе должен изучаться систематический курс планиметрии, а в старших классах — курсстереометрии. Заканчивать изучение геометрии в средней школе следует знакомствомшкольников с аксиоматическим методом не только как методом организации математическойтеории, но и как эффективным эвристическим средством, а также выходом в геометриючетырехмерного пространства. Известно, что необходимость систематических курсовоспаривается некоторыми математиками и методистами. Они предлагают, в частности,единый курс планиметрии и стереометрии. Однако такой курс построить на достаточнострогом логическом уровне в основной школе невозможно. Такой курс будет представлятьсобой набор различных фактов, поэтому мера порядка его организации будет невысокой,а потому будет низкой и мера привлекательности такого курса для учащихся, что, несомненно,будет отражаться на их интересе к изучению такого курса, а следовательно и на знанияхи умениях школьников.
Необходимость учета зависимости меры красоты и привлекательностиобъекта от порядка и меры усилий на его понимание подтверждает и природа распознаванияобъектов: на уровне свернутого выполнения действий распознавание осуществляетсяне по логическим признакам, а по внешне выраженным, наглядным признакам используемыхобъектов. «Идеальный» вариант возникает тогда, когда определение понятия позволяетвоображению легко конструировать образы определяемых объектов. В данном контексте,например, наиболее привлекательным среди возможных определений параллелограмма являетсяклассическое определение, так как оно в большей мере соответствует имеющемуся вмышлении ученика образу параллелограмма.
Известны многолетние дискуссии по вопросу использования алгебраическогометода решения текстовых задач. Одни участники дискуссий выступают за раннее введениеметода уравнений, другие считают, что основное внимание в начальной школе и в 5–6-хклассах должно уделяться арифметическому методу.
С позиции красоты вряд ли будет казаться привлекательным дляученика 5-го класса решение текстовой задачи с применением уравнений или доказательствотеоремы методом «от противного», потому что рассуждения, осуществляемые в процессерешения задачи либо в доказательстве теоремы, не будут для ученика естественными.Хотя текстовые задачи привлекательны для школьников, поскольку они отражают реальныеситуации, хорошо знакомые им[9].
Изначальным стимулом развития математического знания являетсяпотребность в решении конкретных практических задач, которая «неизбежно приобретаетвнутренний размах и выходит за рамки непосредственной полезности». Поэтому использованиетекстовых задач в обучении математике на ранних этапах необходимо, однако спешитьс применением уравнений при их решении не следует. Последнее предполагает ряд такихумений (моделировать словесно заданные ситуации, выражать заданные величины однучерез другую и т. д.), которые как раз и формируются при решении текстовых задачарифметическим способом[10]. Ученик,овладевший хотя бы некоторым опытом решения текстовых задач арифметическим методом,при встрече с алгебраическим методом будет, в какой-то мере, удивлен оригинальностьюсуждения при его использовании, и эта неожиданность будет усиливать привлекательностьалгебраического метода.
Анализируя учебники геометрии для основной школы, можно увидеть,что метод «от противного» используется при решении задач уже на первых уроках геометрии,хотя учащиеся еще не осознали смысл прямого обоснования. Поэтому в такой ситуацииприменение этого метода может вызвать лишь неприязнь к изучению геометрии. Последнемубудет способствовать и неопределенность требований первых задач курса геометрии.
Как уже было отмечено, важной характеристикой меры красоты являетсяпорядок, который выступает в различных формах. Наиболее распространенной из нихявляется симметрия. Причем речь идет не только о симметрии как гармонии частей целого,их упорядоченности, но и как осознании стройности математических доказательств.Поэтому наиболее привлекательными для учащихся являются изящные доказательства.Отметим и такие характеристики красоты математики, как возможность влияния на дальнейшеепродвижение в той или иной области на основе аналогии и обобщения, богатство возможныхприложений как в математике, так и в смежных дисциплинах, оригинальность.
Под влиянием конкретной ситуации в коре головного мозга актуализируютсяопределенные образы, бессознательно «ждущие» встречи с соответствующими объектами.Когда ожидание, основанное на обобщенном стандарте, беспрепятственно реализуется,это переживается как красота. В ситуации, когда воспринимаемый стимул похож на егокорковую модель, но не укладывается в нее полностью, возникает удивление и связанныйс ним познавательный интерес. Абсолютно новый стимул не вызывает интереса, посколькуон не представлен в психике, нет его стереотипного образа в голове. В связи со сказанным,в обучении важно использование различных рисунков к доказательству теоремы, упражненийна распознавание объектов, принадлежащих формируемому понятию, различных способовдоказательства, самостоятельного открытия теорем, оригинальных способов решений,укрупнения единиц, чертежей с одной основой, аналогичных задач, блоков «родственных»задач и т. д. Все это непосредственно связано с красотой, с механизмами эстетическоговоспитания школьников средствами математики, с выработкой эстетического вкуса путемформирования стандартов (устойчивых математических образов).
Рассмотрим конкретные примеры.
1. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. На егогипотенузе AC (вне его) построен квадрат ACDE с центром O. Доказать, что луч BOявляется биссектрисой угла ABC.
Возможно, что кто-то из учащихся, решавших эту задачу, и предложитодин из способов ее решения. Однако может оказаться, что таких учащихся не найдется.В таком случае можно предложить рассмотреть частный случай, обусловленный тем, чтотреугольник ABC будет прямоугольным и равнобедренным. Чертеж, иллюстрирующий даннуюситуацию, будет более привлекателен для учащихся, так как его восприятие в большеймере соответствует их житейским образам. Поэтому к такому рисунку будет проявленобольшее любопытство.
/>
Рисунок 1
Легко заметить, что фигура на рис.1 симметрична относительнопрямой BO. Этот факт легко может быть и обоснован: точка B равноудалена от точекA и C, следовательно, она принадлежит оси симметрии этих точек. Аналогично, этойже оси симметрии принадлежит и точка O. Значит, прямая BO — ось симметрии четырехугольникаABCO, а потому луч BO является биссектрисой угла B. Ясно, что обоснование доказываемогоутверждения может быть выполнено и другим способом.
Устанавливаем, что четырехугольник ABCO — квадрат, около которогоможно описать окружность. По отношению к ней углы ABO и OBC являются вписанными,опирающимися на равные дуги AO и OC (рис. 2). Легко заметить, что перемещая точкуB по окружности (рис. 3), приходим к рис. 4, который и соответствует данной задаче.Частный случай подсказал способ ее решения. Ясно, что идея симметрии в общем случаене срабатывает, однако она наталкивает на идею использования поворота вокруг точкиO на 90°.
/>
Рисунок 2
/>
Рисунок 3
Пусть это будет поворот по часовой стрелке. Он переведет прямуюAB в прямую BC, поскольку точка A перейдет в точку C, а прямая AB — в прямую, проходящуючерез точку C перпендикулярно к AB, то есть в прямую BC. Следовательно, точка Oравноудалена от прямых AB и BC, а потому принадлежит оси симметрии угла ABC.
Решив данную задачу, следует обратить внимание учащихся на эвристики:
1) если в задачной ситуации имеется два прямоугольных треугольникас общей гипотенузой, то полезно для решения задачи ввести окружность, описаннуюоколо этих треугольников;
2) если в условии задачи даны две взаимно перпендикулярные прямыелибо квадрат, то для ее решения можно воспользоваться поворотом вокруг центра квадратана 90°.
Далее можно предложить рассмотреть случай, когда квадрат, построенныйна гипотенузе AC, содержит точку B. В зависимости от уровня подготовленности классаможно продвинуться и далее. Например, прямоугольный треугольник можно заменить двумявзаимно перпендикулярными прямыми, проходящими через соседние вершины квадрата.Можно предложить учащимся составить несколько аналогичных задач, заменив квадрат,например, правильным треугольником. В этом случае две взаимно-перпендикулярные прямыедолжны быть заменены двумя прямыми, проходящими через соседние вершины треугольникаи образующими угол в 120°. Указанная задачная ситуация может быть обобщена на правильныйшестиугольник и т. д.
/>
Рисунок 4
Можно заметить, что исследование задачной ситуации с использованиемобобщения, конкретизации и аналогии способствует созданию обобщенного образа этойситуации, особенно в том случае, когда она является опорной, то есть используемойв большинстве задач изучаемого раздела. Встреча учащихся с рисунком, который отложилсяв памяти ученика, вызовет те ассоциации, которые были связаны с ним ранее и могутпродвинуть решение задачи. Наконец отметим и то, что поиск решения задачи осуществляетсяпосредством приема мысленного преобразования исследуемого объекта, что важно, потомучто данный прием является эффективным эвристическим приемом в математическом познании.С другой стороны, решение подобных задач формирует сам указанный прием, а такжеприемы обобщения, аналогии, конкретизации и т. п.
2. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (∟C= 90°). Построен отрезок CC1 (C1AB),перпендикулярный медиане AA1. Найти отношение BC1: C1A.
Данная задача интересна тем, что допускает различные способырешения, хотя заключительный этап ее решения не богат возможностями конструированияновых задач. В журнале «Математика в школе» (№ 4/1981, с. 69[11])приведено пять способов решения задач, однако среди них нет самого простого способа,основанного на использовании координатного метода. Приведем его.
Введем систему координат так, чтобы прямая CA служила осью Ox,прямая CB — осью Oy (луч CA определяет положительное направление оси Ox, а луч CB— оси Oy); за единицу измерения примем длину отрезка AC.
Тогда
/>
где />.
Уравнение прямой CC1 имеет вид:/>а уравнение прямой A1A – />
Используя условие перпендикулярности прямых, получаем />
Заключительный этап решения задачи обладает большим эстетическимпотенциалом и служит хорошим средством формирования мотивации учебной деятельностишкольника. Данный этап имеет значительные возможности для приобщения школьниковк составлению задач, что связано с исследованием задачной ситуации.
3. Если хорды окружности пересекаются, то произведение отрезководной хорды равно произведению отрезков другой.
Конкретизация задачной ситуации приведет к задаче, в условиикоторой хорды перпендикулярны и одна из них является диаметром. Поскольку в полученнойзадаче используется частный случай, то решение последней задачи распространяетсяи на решение полученной. Данная задачная ситуация может быть интерпретирована по-другому:из точки окружности проведен перпендикуляр к ее диаметру. Квадрат перпендикуляраравен произведению отрезков диаметра. Заметим, что конкретизация приводит к ситуации,когда имеется решение задачи, а сама задача должна быть сформулирована.
Обобщение основной задачи приводит к ситуациям:
1) прямые, которым принадлежат хорды, пересекаются вне круга,определяемого данной окружностью;
2) одна из секущих является касательной (предельный случай 1);
3) обе секущие являются касательными.
Далее возможен выход в задачную ситуацию, которую составляютдве окружности и хорды каждой из них. Требуется найти такое положение точки пересеченияхорд, которое удовлетворяет основной задаче. Возможен выход даже в три окружности,что обусловит уже исследование со всеми его атрибутами.
Привлекательность работы с задачей может быть повышена даже впроцессе решения элементарных задач.
Рассмотрим задачу. В треугольнике ABC биссектриса угла C пересекаетсторону AB в точке D, AD = DC, ∟A = 40° (рис. 5). Доказать, что AB > BC.
/>
Рисунок 5
Поскольку в треугольнике ABC известен угол A, то сравнение указанныхсторон может быть осуществлено посредством сравнения углов, лежащих против данныхсторон. На данную эвристику следует обратить внимание учащихся. Однако ее использованиетребует знания второго угла треугольника — угла C. Рисунок помогает увидеть, что∟C содержит ∟ACD, равный углу A. Таким образом, ∟C >∟A,следовательно AB > BC.
Ясно, что приведенная задача не обладает возможностями построенияна ее основе задач-обобщений, задач-конкретизаций, задач-аналогов и так далее. Однакона ее основе возможно конструирование целой серии задач. Вот требования некоторыхиз них (условия задач совпадают с условием данной задачи):
«Сформулируйте несколько утверждений, справедливость которыхследует из условия данной задачи».
Ответ: 1) ∟ACD=40°; 2) ∟C=80°; 3) ∟B=60°; 4)AC>BC; 5) ACBD; 7) AB>BC.
Рассмотрим следствие 7). Доказано, что AB>BC. Учитывая, чтоточка D находится между точками A и B, а AD=AB, то AD+BC>BC и, наконец, DC+DB>BC.Последнее неравенство, как легко заметить, будет справедливым при любой величинеугла A и любом положении внутреннего луча CD. Важно лишь то, что AD=DC. Так приходимк обобщенной задаче: «На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что AD=DC.Докажите, что AB>BC». Данное неравенство DC+DB>BC приводит к выводу, что втреугольнике сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны. Решение даннойзадачи не только мотивирует введение теоремы о неравенстве треугольников, моделируетее доказательство, но и обосновывает ее для частного случая.
Сопровождая решение даже таких простых задач указанной работойс ними, мы повышаем их привлекательность и эстетический потенциал. Учащиеся начинаютсмотреть на задачи как на исследовательские объекты, в которых скрыта гармония икрасота математики, наслаждаясь тем, что в процессе работы эти качества математикиобнажаются, и красота математики становится для учащихся доступной.
Таким образом, красота математики раскрывается в воспитании склонностишкольников к использованию обобщения и аналогии, наглядной выразительности математическихобъектов, унификации и разнообразным приложениям тех или иных математических фактови закономерностей, всестороннему анализу изучаемых ситуаций, минимально возможнойсубъективной сложности, требуемой для достижения того или иного результата, поискуразличных способов решения задачи и выбору из них наиболее изящного, полной логическойобоснованности и доказательности, склонности к поиску различных моделей рассматриваемыхситуаций, общности исходных гипотез, различных приложений изучаемых фактов.
/>/>/>Заключение
В работе в соответствии с поставленной целью решены следующиезадачи:
— рассмотрено понятие доказательства в математике и его особенности;
— рассмотрена эвристика как метод научного познания;
— рассмотрены особенности эвристического подхода в рамках логического;
— рассмотрено применение эвристических логических подходов кпостроению математических доказательств при изучении математики.
По работе можно сделать следующие выводы:
Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющеезадачей обосновать истинность какого-либо утверждения.
При характеристике математического доказательства выделяют двеосновные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключаеткакие-либо ссылки на эмпирию. Вторая особенность математического доказательства- его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательствав остальных науках.
Если все известные методы решения задач разделить по признакудоминирования логических эвристических (интуитивных) процедур и соответствующихим правил деятельности, то можно выделить две большие группы методов:
а) логические методы — это методы, в которых преобладают логическиеправила анализа, сравнения, обобщения, классификации, индукции, дедукции и т. д.;
б) эвристические методы.
Для того чтобы разобраться более глубоко в том, что пониматьпод эвристическими методами, следует обратить внимание на то, что метод словесноможно представить в виде некоторой системы правил, то есть описания того, как нужнодействовать и что нужно делать в процессе решения задач определенного класса. Изразнообразного набора правил деятельности в решении задач принципиально можно выделитьдва больших класса предписаний: алгоритмы или алгоритмические предписания и эвристики- эвристические предписания. Если алгоритмы жестко детерминируют наши действия игарантируют в случае их точного выполнения достижение успеха в решении соответствующеготипа задач, то эвристики и эвристические предписания лишь задают стратегии и тактикенаиболее вероятное направление поиска идеи решения, но не гарантируют успеха решения.
Эвристикой называют совокупность приемов и методов, облегчающихи упрощающих решение познавательных, конструктивных, практических задач. Эвристикойназывают также специальную научную область, изучающую специфику творческой деятельности.Эвристические методы противопоставляются рутинному, формальному перебору вариантовпо заданным правилам. В сущности, при решении любой задачи человек всегда используетте или иные методы, сокращающие путь к решению, облегчающие его нахождение. Напр.,при доказательстве теорем геометрии мы обычно используем в качестве эвристическогосредства чертеж; решая математическую задачу, мы стараемся вспомнить и использоватьрешения других похожих задач; в качестве эвристических средств используются общиеутверждения и формулы, индуктивные методы, аналогии, правдоподобные умозаключения,наглядные модели и образы, мысленные эксперименты и т. п.
Использование эвристических подходов при построении математическихдоказательств помогает не только преобразовывать существующую информацию и сохранятьее истинностное значение, но и искать новую информацию с помощью особых форм рассуждения.Применение эвристических подходов в математике предполагает использование обобщенияи аналогии, наглядной выразительности математических объектов, унификацию и разнообразныеприложения тех или иных математических фактов и закономерностей, всесторонний анализизучаемых ситуаций, минимально возможную субъективную сложность, требуемой для достижениятого или иного результата, поиск различных способов решения задачи и выбору из нихнаиболее изящного, полную логическую обоснованность и доказательность, склонностьк поиску различных моделей рассматриваемых ситуаций, общность исходных гипотез,различных приложений изучаемых фактов.
/>/>/>Список литературы
1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики.— М., 1970.
2. Белл Э.Т. Творцы математики. — М., 1979.
3. Беляев Е.А, Перминов В.Я. «Философские и методологические проблемы математики»,МГУ, 1981, — 214 с.
4. Биркгоф Г. Математика и психология. — М., 1977.
5. Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика. — // Математика в школе,№ 2/1982, с. 40–43.
6. Заесенок В. П. Эвристические приемы решения логических задач // Математикав школе. — 2005. — N 3.
7. Калошина И.П., Миничкина Н.В. Логические приемы мышления как условие самостоятельнойразработки студентами способов доказательства теорем. — В кн.: Подготовка учителяматематики в университете. Саранск, 1984, c.22 — 33.
8. Калошина И.П., Харичева Г.И. Логические приемы мышления при изучении высшейматематики. — Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, 1978. — 128 с.
9. Курант Р., Робинс Г. Что такое математика? — М., 1967.
10. Лакатос И. Доказательства и опровержения. М., 1967.
11. Миничкина Н.В. Формирование логических приемов мышления как условия самостоятельнойпознавательной деятельности студентов. — Дис.… канд. пед. наук. Саранск, 1984.-268с.
12. Писаревский Б. М. Задачи по стереометрии. Правильная пирамида // Математикав школе. — 2005. — N 3.
13. Саранцев Г.И.Обучение математическим доказательствам в школе: Книга для учителя.– М.: „Просвещение“ – 2000. — 173 с.
14. Серебряников О.Ф. Эвристические принципы и логическое мышление. М.: 1979.
15. Шакуров Р.Х. Эмоция. Личность. Деятельность (механизмы психодинамики). —Казань, 2001.
16. Эвристические приемы при построении доказательств //Математика в школе»,1981. — № 4/1981, с. 69