Задание 1
Предприятию для изготовления наборов елочных украшенийнеобходимо изготовить их составные части — шар, колокольчик, мишура. Эти данныепредставлены в таблице: Наименование составных частей Виды наборов 1 2 3 4 Шар 5 6 8 10 Колокольчик 3 4 6 Мишура 3 5 8
В свою очередь для изготовления этих составных частейнеобходимы три вида сырья — стекло (в г), папье-маше (в г), фольга (в г),потребности в котором отражены в следующей таблице Вид сырья Составные элементы Шар Колокольчик Мишура Стекло 5 Папье-маше 4 Фольга 3 75
Требуется:
1) определить потребности в сырье для выполнения плана поизготовлению комплектов первого, второго, третьего и четвертого вида вколичестве соответственно x1, x2, x3 и x4 штук;
2) провести подсчеты для значений x1= 500, x2 = 400, x3= 300 и x4=200.
Решение: составим условия для определения числа деталей взависимости от числа и вида наборов. Пусть n1,n2 и n3 — число шаров, колокольчиков и мишуры, соответственно.
Тогда условия будут выглядеть следующим образом:
n1 = 5x1 + 6x2+ 8x3 + 10x4
n2 = 3x1 + 4x2+ 6x3
n3 = 3x2 + 5x3+ 8x4
Составим условия определяющие потребности в сырье взависимости от вида деталей. Пусть y1, y2 и y3 — потребности в стекле, папье-маше и фольге, соответственно:
y1 = 5n1
y2 = 4n2
y3 = 3n1+ 75n3
Теперь подставим вместо ni — полученные ранее равенства.
y1 = 5· (5x1 + 6x2+ 8x3 + 10x4) = 25x1 + 30x2 + 40x3+ 50x4
y2 = 4· (3x1 + 4x2+ 6x3) = 12x1 + 16x2 + 24x3
y3 = 3· (5x1 + 6x2+ 8x3 + 10x4) + 75· (3x2 + 5x3 + 8x4)= 15x1 + 243x2 + 399x3 + 630x4
Проведем подсчеты для значений
x1 = 500, x2 = 400, x3 =300 и x4=200.
y1 = 25 * 500 + 30 * 400 + 40 * 300+ 50 * 200 = 46500 г.
y2 = 12 * 500 + 16 * 400 + 24 * 300= 19600 г.
y3 = 15 * 500 + 243 * 400 + 399 *300 + 630 * 200 = 350400 г.Задание 2
Пусть aij — количествопродукции j, произведенной предприятием i, а bi — стоимостьвсей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значенияaij и biзаданы матрицами A и Всоответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида,производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимосоставить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремяспособами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).
/>, />
Решение:
Составим систему уравнений:
/>
Матричное уравнение выглядит следующим образом:
A · X = B
Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1
A-1 · A · X = A-1 · B;E · X = A-1 · B; X = A-1 · B
Найдем обратную матрицу A-1
Δ = 12 * 9 * 1 + 6 * 8 * 10 + 15 *5 * 11 — 15 * 9 * 8 — 6 * 5 * 1 — 12 * 10 * 11 = — 1017
/>;
/>
/> = />
X =/>·/> = /> = />
Решим систему методом Крамера
Δ = — 1017
Δ1 = />=231 * 9 * 1 + 238 * 8 * 10 + 216 * 5 * 11 — 216 * 9 * 8 — 238 * 5 * 1 — — 231 *10 * 11 = — 9153
Δ2 = />=12 * 238 * 1 + 6 * 8 * 216 + 15 * 231 * 11 — 15 * 238 * 8 — 6 * 231 * 1 — 12 *216 * 11 = — 7119
Δ3 = />=12 * 9 * 216 + 6 * 231 * 10 + 15 * 5 * 238 — 15 * 9 * 231 — 6 * 5 * 216 — 12 *10 * 238 = — 11187
x1 = Δ1/Δ = — 9153/ (- 1017) = 9
x2 = Δ2/Δ = — 7119/ (- 1017) = 7
x3 = Δ3/Δ = — 11187/ (- 1017) = 11
Решим систему методом Гаусса
/> => /> => /> =>
/> => /> => />= >/>Задание 3
Найти частные производные первого и второго порядковзаданной функции:
/>
Решение:
/>
/>
/>
Задание 4
Задана функция спроса />,где p1, p2 — цены на первый и второй товары соответственно. Основываясь на свойствах функцииспроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичностьспроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров. В процессе решения отметить,какими являются данные товары — взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.
/>
Решение: эластичность спроса по цене равна первойпроизводной от функции спроса:
/>
эластичность отрицательная, следовательно, первый товар — исследуемый.
/>
эластичность положительная, следовательно, второй товар — альтернативный.
Товары являются товарами заменителями, т.к рост цен наальтернативный товар приводит к росту спроса.
Задание 5
В таблице приведены данные о товарообороте магазина запрошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощьюметода наименьших квадратов.
Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделатьпрогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом,на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую.
Проанализировав чертеж, сделайте выводы. Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Товарооборот, (тыс. р) 18 5,6 30,5 59,3 59,3 42 96,4 72,6 56,8 52 38,6 33
Решение:
Рассчитаем параметры уравнениялинейной парной регрессии.
Для расчета параметров a и bуравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравненийотносительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов):
/>
По исходным данным рассчитываем Sх, Sу, Sух, Sх2,Sу2. t y x yx
x2
y2
/> 1 18,0 1 18 1 324,00 33,662 2 5,6 2 11,2 4 31,36 36,089 3 30,5 3 91,5 9 930,25 38,516 4 59,3 4 237,2 16 3516,49 40,943 5 59,3 5 296,5 25 3516,49 43,37 6 42,0 6 252 36 1764,00 45,797 7 96,4 7 674,8 49 9292,96 48,224 8 72,6 8 580,8 64 5270,76 50,651 9 56,8 9 511,2 81 3226,24 53,078 10 52,0 10 520 100 2704,00 55,505 11 38,6 11 424,6 121 1489,96 57,932 12 33,0 12 396 144 1089,00 60,359 Итого 564,1 78 4013,8 650 33155,51 564,13
/>;
/>;
/>;
/>; />
Уравнение регрессии:
/>= 31,235 + 2,427 · х
Рассчитаем по данному уравнениюзначения для /> и запишем их в дополнительный столбец исходных данных.
Найдем прогноз на полгода вперед:
/>= 31,235 + 2,427 * 18 = 74,921 тыс. руб.
Найдем прогноз на год вперед:
/>= 31,235 + 2,427 * 24 = 89,483 тыс. руб.
/>
Полученные графики говорят о плохом отражении исходныхданных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности втоварообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.Задание 6
Исследовать на экстремум следующую функцию:
/>;
Решение:
Найдем первые частные производные и определим точкипотенциальных экстремумов.
/>= 4x3+ 2xy2; 4x3 + 2xy2= 0; 2x (2x2 + y2);
2x = 0 или (2x2+ y2) = 0; точка (0, 0)
/>= 4y3 + 2x2y; 4y3 + 2x2y =0; 2y (x2 + 2y2);
2y = 0 или (x2+ 2y2) = 0; точка (0, 0)
Найдем вторые производные и их значения в точке (0; 0)
/>= 12x2 + 2y2; 12 * 02 + 2 * 02= 0 = А
/>= 2xy; 2 * 0 * 0 = 0 = B
/>= 12y2 + 2x2; 12 * 02 + 2 * 02= 0 = C
Δ = AC — B2= 0
Следовательно, вопрос об экстремуме остается открытым.
Точка (0; 0) возможный экстремум функции.Задача 7
Пусть функция полезности задана как
/>
где x и y — количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функцииполезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При даннойстоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на ихпокупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезностьдля потребителя максимальна. А = 21, В = 37.
Решение: полезность максимальна при равенстве первыхпроизводных:
/>= />; />= />; /> = />; /> = />
Ограничение стоимости задается неравенством 21x + 37y ≤140
Составим систему.
/>; />; />; />
Максимальная полезность будет достигнута при потреблении2,14 ед. А и 2,57 ед.в.Задание 8
Заданы функции спроса и предложения в зависимости отколичества товара Q: /> и/>. Под функциями спроса ипредложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товарана рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя приравновесном состоянии спроса и предложения.
/> и />,
Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:
D (Q) = S (Q); /> = />; />; — />t2 — 6t + 300 = 0
t1 = — 25,12 и t2 = 16,72, t1 — не удовлетворяет условию
/>; Q =279,56 ед.
При этом цена составит: Р = 6 * 16,72 = 100,32 ден. ед.
Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверхукривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишкипотребителя:
Sпотр = /> — 100,32 · 279,56 = /> — 28045,46 =
= 300 * 279,56 — 5/14 * 279,56 — 28045,46 = 55722,7
Излишки производителя равны площади фигуры ограниченнойсверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдемизлишки производителя:
Sпроизв = 100,32 · 279,56 — /> = 28045,46 — />=
= 28045,46 — 4 * 16,723 = 9348,6
Литература
1. Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. — М.: Банки и биржи,ЮНИТИ, 1997.
2. Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА,2007.
3. И.А. Зайцев. Высшая математика. — М.: Высшая школа, 1998.
4. Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Подред. Н.Ш. Кремера. — ВЗФЭИ, 2006.