Контрольная работа № 1
Задача 1
Рабочие обслуживают три станка, на которых обрабатывается однотипные детали. Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,2, на втором – 0,3, на третьем – 0,4. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше чем второго, а третьего – в два раза меньше чем второго. Взятая на удачу деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на третьем станке.
Решение:
Событие А – взятая деталь оказалась бракованной. Деталь может быть изготовлена на первом, втором или третьем станке, обозначим через В1, В2 и В3. Соответственно Р(В1) = />, Р(В2) = />, Р(В3) = />.
Условная вероятность того, что бракованная деталь изготовлена первым станком РВ1(А) = 0,02, аналогично РВ2(А) = 0,03 и РВ3(А) = 0,04.
По формуле полной вероятности
Р(А) = />
По формуле Бейеса
/>
Ответ: РА(В3) = 0,1818
Задача 2
Каждая из пяти упаковок тетрадей содержит две тетради в линейку и три в клетку. Из каждой упаковки случайным образом отбираются по две тетради. Найти вероятность того, что не менее чем в трех из отобранных пяти пар тетрадей обе тетради будут в клетку.
Решение:
Вероятность взять 2 тетради в клетку из пачки
Р = />.
Не менее трех пар из пяти отобранных должны быть – 3 пары, 4 пары, 5 пар.
Вычислим
Р5(3) + Р5(4) + Р5(5).
Pn(k) = />,
где р = 0,3 и q = 0,7.
Р5(3) = 0,1323
Р5(4) = 0,0284
Р5(5) = 0,0024
Искомая вероятность равна 0,1323 + 0,0284 + 0,0024 = 0,1631
Ответ: 0,1631
Задача 3
Вероятность того, что договор страховой кампании завершится выплатой по страховому случаю, равна 0,1. Страховая кампания заключила 2000 договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит: а) 210 раз; б) от 190 до 250 раз включительно.
Решение:
а) Используем локальную теорему Лапласа, где k = 210, р = 0,1 и q = 0,9.
Pn(k) = />, где /> = />
Р2000(210) = />
б) Используем интегральную теорему Лапласа, где n = 2000, k2 = 250, k1 = 190.
Pn(k1;k2) = F(x’’) — F(x’),
х’’ = />.
х’ = />.
F(x’’)= F(3,73)= 0,4999.
F(x’) = F(-0,75) = — 0,2764.
P2000(190;250) = 0,4999 + 0,2764 = 0,7763/
Ответ: а) Р2000(210) = 0,0224, б) Р2000(190;250) = 0,7763
Задача 4
Законное распределение независимых случайных величин Х и У имеют вид:
Х:
xi
1
2
pi
0,3
?
0,2
Y:
yi
1
2
pi
0,4
?
Найти вероятность P(X = 1), P(Y = 2).
Составить закон распределения случайной величины
Z = X*Y.
Проверить выполнение свойства математического ожидания:
M(Z) = M(X)*M(Y)
Решение:
Р(Х = 1) = 1 – (0,3 + 0,2) = 0,5
Р(Y = 2) = 1 – 0,4 = 0,6
Составим закон распределения случайной величины Z = X*Y
xj
1
2
yi
pj
pi
0,3
0,5
0,2
1
0,4 --PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
1
4
3
8
2,0625
180 – 230
205
4
8
3
1
16
1,7656
230 – 280
255
2
5
4
11
1,5456
280 – 330
305
3
4
2
9
1,4722
nj
5
13
16
9
7
50
xj
285
255
220,63
160,56
140,71
Построим эмпирические линии регрессии
/>
2) Предположим, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость;
а) Вычислим среднее значение
/>
/>
/>
/>
/>
/>Найдем уравнение
ух = byx(x – x) + y,
где byx = />
ух = — 0,0036(х – 214) + 1,75
ух = — 0,0036х + 2,5105
/>/>ху — х = byx(у – у),
где bху = />
ху = — 157,14(х – 1,75) + 214
ху = — 157,14х + 489
б) Коэффициент корреляции
/>
связь обратная и тесная;
Статистика критерия
/>
При а = 0,05 и k = 48; t0,05;48 = 2,01, так как t > t0,05;48 коэффициент значительно отличается от 0.
в) Используя ху = — 157,14у + 489
х = — 157,14*2,5 + 489 = 96,14
Ответ: а) ух = — 0,0036х + 2,5105; ху = — 157,14х + 489.
б) k = — 0,7473.
в) х = 96,14 при у = 2,5