Реферат по предмету "Математика"


Уравнение и функция Бесселя

Содержание
Задание на курсовую работу… 2
Замечания руководителя… 3
1. Бесселевы функции с любым индексом… 5
2. Формулы приведения для бесселевыхфункций… 10
3. Бесселевы функции с полуцелыминдексом… 13
4. Интегральное представлениебесселевых функций с целым индексом… 15
5. Ряды Фурье-Бесселя… 18
6. Асимптотическое представлениебесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента… 23
Список литературы… 30

1.Бесселевы функции с любым индексом
Уравнение Лапласа вцилиндрических координатах
Чтобы объяснитьпроисхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:
/>.                                                                                  (1)
Если перейти кцилиндрическим координатам по формулам:
/>,   />,   />,
то уравнение (1) приметследующий вид:
/>.                                                                  (2)
Поставим задачу: найтивсе такие решения уравнения, которые могут быть представлены в видепроизведения трех функций, каждая из которых зависит только от одногоаргумента, то есть найти все решения вида:
/>,
где />, />, /> предполагаются дваждынепрерывно дифференцируемыми.
Пусть /> есть решениеупомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:
/>,
откуда (после деления на />)
/>.
Записав это в виде:
/>,
найдем, что левая частьне зависит от />, правая не зависит от />, />;следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная />. Отсюда:
/>;     />;
/>;  />;
/>.
В последнем равенствелевая часть не зависит от />, правая не зависит от />;следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная />. Отсюда:
/>,    />;
/>,    />.
Таким образом, />, />, /> должныудовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:
/>,
(3)
/>,     />,
из которых второе итретье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, апервое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.
Обратно, если />, />, /> удовлетворяютуравнениям (3), то /> есть решение уравнения (2). Всамом деле, подставляя /> в левую часть (2) и деля затем на/>, получим:
/>.
Таким образом, общий видвсех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций,каждая из которых зависит от одного аргумента, есть />, где />, />, />  – любые решения уравнений (3)при любом выборе чисел />, />.
Первое из уравнений (3) вслучае />, /> называетсяуравнением Бесселя. Полагая в этом случае />, обозначая независимую переменнуюбуквой /> (вместо/>), анеизвестную функцию – буквой /> (вместо />), найдем, что уравнение Бесселяимеет вид:
/>.                                                                    (4)
Это линейноедифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играетбольшую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называютсябесселевыми, или цилиндрическими, функциями.
Бесселевыфункции первого рода
Будем искать решениеуравнения Бесселя (4) в виде ряда:
/>.
Тогда
/>,
/>,
/>,
/>
/>.
Следовательно, приходим ктребованию
/>
или к бесконечной системеуравнений
/>           />,
которая распадается надве системы:
/>                      />   
Первая из нихудовлетворится, если взять />… Во второй системе /> можно взятьпроизвольно; тогда />… однозначно определяются (если /> не являетсяцелым отрицательным числом). Взяв
/> ,
найдем последовательно:
/>,
/>,
/>,
и в качестве решенияуравнения (4) получим ряд:
/>
Этот ряд, формальноудовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений /> и,следовательно, является решением уравнения (4) в области /> (в случае целого /> в области />).
Функция
/>                                                                        (5)
называется бесселевойфункцией первого рода с индексом />. Она является одним из решенийуравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса /> получим:
/>,                                                                        (5`)
и, в частности,
/>.                                                                         (5``)
Общеерешение уравнения Бесселя
В случае нецелого индекса/> функции /> и /> являютсярешениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальныечлены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, исодержат разные степени />. Таким образом, в случае нецелогоиндекса общее решение уравнения Бесселя есть:
/>.                                                                           (6)
Если /> (целое отрицательноечисло), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что /> равно нулю для />…), принимаетвид:
/>                                (5```)
или, после замены индексасуммирования /> на />,
/>,                                             (7)
откуда видно, что /> удовлетворяетвместе с /> уравнениюБесселя
/>.
Но формула (6) в случаецелого /> ужене дает общего решения уравнения (4).
Полагая
/>             (/>– не целое)                               (8)
и дополняя этоопределение для /> (целое число) формулой:
/>,                                                                                      (8`)
получим функцию />,удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от /> (в случае />, где /> – целое).Функция /> называетсябесселевой функцией второго рода с индексом />. Общее решение уравнения Бесселя(4) можно записать во всех случаях в виде:
/>.                                                                            (9)

2. Формулыприведения для бесселевых функций
Имеем:
/>;          />;
/>,                 />;
/>.
Следовательно,
/>.                                                                             (10)
Таким образом, операция /> (состоящая вдифференцировании с последующим умножением на />), примененная к />, повышает в этомвыражении индекс /> на единицу и меняет знак.Применяя эту операцию /> раз, где /> – любое натуральное число,получаем:
/>.                                                               (10`)
Имеем:
/>;
/>
Следовательно,
/>.                                                                  (11)
Таким образом, операция />, примененная к/>, понижаетв этом выражении индекс /> на единицу. Применяя эту операцию/> раз,получаем:
/>.                                                           (11`)
Из выведенных формулможно получить некоторые следствия. Используя (10), получим:
/>;      />;       />.
Отсюда, в частности,следует, что />. Используя (11), получим:
/>;   />;     />.
Почленное сложение ивычитание полученных равенств дает:
/>,                                                                                    (12)
/>.                                                                                (13)
Формула (13) позволяетвыразить все бесселевы функции с целыми индексами через />, />. Действительно, из (13)находим (полагая />):
/>,                                                                          (13`)
откуда последовательнополучаем:
/>,
/>, …………………

3.Бесселевы функции с полуцелым индексом
Бесселевы функции, вообщеговоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися черезэлементарные функции. Исключение составляют бесселевы функции с индексом />, где /> – целое. Этифункции могут быть выражены через элементарные функции.
Имеем:
/> ,
/>,
следовательно,
/>.
Но />, значит:
/>.                                               (14)
Далее
/>,
/>,
следовательно,
/>.
Но />, поэтому
/>.                                               (15)
С помощью (10`) находим:
/>,
а учитывая (14)
/>,
следовательно, при целомположительном />
/>.                                                   (14`)
С помощью (11`) находим:
/>,
но в силу (15)
/>,
и, следовательно, прицелом положительном />
/>.                                                          (15`)

4. Интегральноепредставление бесселевых функций с целым индексом
 
Производящаяфункция системы функций
Рассмотрим систему /> функций /> (с любой общейобластью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:
/>
Составим ряд
/>,
где /> – комплекснаяпеременная. Предположим, что при каждом /> (принадлежащем областиопределения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости,содержащее внутри себя единичную окружность />. В частности, это кольцо можетпредставлять собой полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ∞.
Функция
/>                                                                                    (16)
(где x лежит в области определения функцийсистемы />, /> – внутрикольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению />) называетсяпроизводящей функцией системы />.
Обратно, пусть заданафункция />,где /> пробегаетнекоторое множество, /> находится внутри некоторогокольца, зависящего от />, с центром 0 и содержащего внутрисебя единичную окружность. Тогда, если  /> при каждом /> аналитична относительно/> внутрисоответствующего кольца, то /> есть производящая функциянекоторой системы /> функций. В самом деле, разложивпри каждом /> функцию/> в рядЛорана по степеням />:
/>,
найдем, что системакоэффициентов /> этого ряда будет искомой системой/>.
Формулы для коэффициентовряда Лорана позволяют выразить функции /> рассматриваемой системы черезпроизводящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интегралвдоль единичной окружности /> в простой интеграл, получим:
/>.                                  (17)
Производящая функциясистемы бесселевых функций с целыми индексами
Покажем, что для системыбесселевых функций первого рода с целыми индексами /> (/>…) производящая функция есть:
/>.
Имеем:
/>,        />,
откуда после почленногоперемножения этих равенств найдем:
/>
(так как в предпоследнейвнутренней сумме /> и /> были связаны зависимостью />, то мы моглиположить />,получив суммирование по одному индексу />). В последней внутренней суммесуммирование производится по всем целым />, для которых />, следовательно, при /> это будет />; при /> это будет />. Такимобразом, во всех случаях внутренняя сумма есть /> в силу формул (5`) и (5```).Итак,
/>,                                                                              (18)
но это и доказывает, что /> естьпроизводящая функция для системы />.
Выведем некоторыеследствия из формулы (18). Полагая в ней />, получим:
/>,
откуда после разделениядействительной и мнимой части (учитывая, что />)
/>           (18`)
/>                      (18``)
Заменяя в (18`) и (18``) /> на />, найдем:
/>,                              (18```)
/>.                                 (18````)
Интегральноепредставление Jn(x)
Так как, по доказанному,при /> имеем/>, то поформуле (17) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера):
/>
где принято во внимание,что /> естьчетная функция от /> есть нечетная функция от />. Итак,доказано, что для любого целого числа />
/>.                                                              (19)
Формула (19) даетпредставление бесселевых функций с целым индексом в виде определенногоинтеграла, зависящего от параметра />. Эта формула называетсяинтегральным представлением Бесселя для />, правая часть формулы называетсяинтегралом Бесселя. В частности, при /> найдем:
/>.                                                                      (19`)

5. РядыФурье-Бесселя
Рассмотрим на каком-либоинтервале /> (конечномили бесконечном) два дифференциальных уравнения
/>,                           />,                                      (20)
где /> и /> – непрерывные функциина />. Пусть/> и /> – ненулевыерешения этих уравнений. Умножение на /> и на /> и последующее вычитание дают
/>.
Пусть /> и /> принадлежат /> и />, тогда послеинтегрирования в пределах от /> до /> получим
/>.                                                 (21)
Если /> и /> – соседние нули решения/>, то между/> и /> /> сохраняет постоянныйзнак, пусть, например, /> на (/>, />) (в противном случае следуетзаменить /> на/>), тогда />, /> (равенствонулю исключено, так как /> – ненулевое решениедифференциального уравнения второго порядка). Если на /> />, то /> должна, по крайней мере, разобращаться в нуль между /> и />, так как иначе /> сохранит постоянныйзнак на (/>,/>). Пусть,например, /> на(/>,/>) (в противномслучае заменяем /> на />), и тогда из (21) получимпротиворечие, ибо левая часть ≤0, а правая >0. Таким образом доказанатеорема сравнения Штурма: если P(x)
Из теоремы сравненияШтурма вытекают нижеследующие следствия. Если /> на />, то каждое ненулевое решениеуравнения /> можетиметь на /> неболее одного нуля (это легко видеть, если положить  /> и взять />). Если /> на /> (где />), то для всяких двух соседнихнулей /> и /> (/>) каждогоненулевого решения уравнения /> имеем /> (это легко видеть, если положить />, взять /> и заметить,что нулями /> будуттолько числа вида />, /> целое). Если /> на /> (где />), то для всяких двухсоседних нулей каждого ненулевого решения уравнения /> имеем /> (это легко видеть, если положить /> и взять />). Изсказанного следует, что если /> на />, то для всяких двух соседнихнулей /> и /> (/>) каждогоненулевого решения уравнения /> имеем />.
Изложенное показывает,что если /> непрерывнана /> ипревышает некоторое положительное число вблизи +∞, то каждое ненулевоерешение /> уравнения/>имеет на /> бесконечномного нулей. Если еще /> вблизи /> не обращается в нуль, то эти нулиобразуют бесконечную возрастающую последовательность />, имеющую пределом +∞, аесли, кроме того, />, где />, то />.
Рассмотрим уравнениеБесселя
/>
на интервале />. Подстановка /> приводит куравнению
/>.
Очевидно, /> и /> имеют одни и те женули. Так как />, где /> – целая функция, то /> не имеет нулейна /> придостаточно малом />, и так как /> при />, то при каждом /> нули /> на /> образуютбесконечную возрастающую последовательность
/>
причем />.
Если />, то /> удовлетворит уравнению
/>
на интервале (0, +∞).Подстановка /> приводитк уравнению
/>
и, следовательно, /> удовлетворяет этомууравнению. Таким образом, при любых положительных /> и /> имеем
/>, где  />,
/>, где />,
откуда
/>,
следовательно,
/>, где />.                                        (22)
Пусть теперь />. Разложение /> по степеням /> начинается счлена, содержащего />, разложение /> по степеням /> начинается счлена, содержащего />, так как коэффициент при /> равен нулю,что легко видеть, исходя из формулы (5). Следовательно, из (22) при /> получим
/>,
то есть
/>,                (23)
откуда видно, что если /> и /> являютсяразными нулями функции />, то
/>.                                                                        (23`)
Этим доказано, что при /> системафункций
/>
на интервале /> являетсяортогональной относительно веса />.
Переходя к пределу при /> в соотношении
/>
и используя правилоЛопиталя, получим при всяком />
/>,                       (24)
следовательно, если /> является нулемфункции />,то
/>.                                                                   (24`)
Таким образом, при каждом/> всякойнепрерывной функции /> на />, удовлетворяющей требованию
/>,
поставлен в соответствиеряд Фурье-Бесселя
/>,                                                                              (25)
коэффициенты которогоопределяются формулами
/>.                                                          (25`)
Можно доказать, чтосистема функций /> на />, ортогональная относительно веса />, замкнутая. Вчастности, если ряд Фурье-Бесселя (25) равномерно сходится к порождающей егонепрерывной функции />.
Можно показать, что если /> и /> непрерывная на/> и кусочно-гладкаяна /> функция,то ряд Фурье-Бесселя этой функции сходится к ней при />.

6.Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для большихзначений аргумента
Пусть /> - положительная функцияи /> - какая-нибудь(вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно большихзначений />.Запись
/>        при />
означает, что найдутсятакие числа /> иM, что при /> имеем />.
Подобная записьупотребляется и в других аналогичных случаях. Например, если /> - положительная функцияи /> -какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений />, то запись
/>        при    />
означает, что найдутсятакие числа /> и/>, что /> на />.
Вспомогательная лемма
Если /> дважды непрерывнодифференцируема на />, то для функции
/>
имеет местоасимптотическое представление
/>   при />.
Докажем эту лемму.Заменяя на />,получим:
/>.     (26)
Рассмотрим интеграл,фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя /> на />, найдем:
/>,
но, заменив на />, получим:
/>.
Если /> положительна, убывает истремиться к нулю при />, то /> и />, а следовательно, и /> есть /> при />, поэтому
/>      при />,
откуда
/>    при />.
Итак, получаемасимптотическое представление:
/>    при />.                                              (27)
Рассмотрим теперьинтеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем:
/>,
/>.
Очевидно, /> дважды непрерывнодифференцируема на />, но существуют /> и />, поэтому /> становится непрерывнодифференцируема на />. Интегрирование по частям дает:
/>,
где первое слагаемоеправой части /> есть /> при />, а интеграл во втором слагаемомнесобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом
/>,
который сходится, так как
/>     при />;
следовательно, второеслагаемое есть тоже /> при />.
Итак, имеем:
/>    при />.                                           (28)
Из (26), (27), (28)получаем искомое асимптотическое представление:
/>    при />.                            (29)
Из этой формулы, переходяк сопряженным величинам, найдем еще:
/>   при />.                           (29`)
Формулы (29) и (29`)верны и для комплекснозначных функций />.
Вывод асимптотическойформулы для Jn(x)
Заменяя /> на />, получим:
/>  
(учитывая, что /> есть четнаяфункция от />,а /> естьнечетная функция от />). Подстановка /> дает:
/>,
где /> есть, очевидно, полиномn-й степени (полином Чебышева), таккак из формулы Муавра видно, что /> есть полином n-й степени относительно />. Но
/>
и, заменяя в первом изэтих интегралов /> на />, получим:
/>
Так как /> и /> на /> имеют производные всехпорядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (29) и (29`), и мыполучаем:
/>;
но />; />, следовательно,
/>.
Итак, имеем искомоеасимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексомдля больших значений аргумента:
/>   при />.                              (30)
Эта формула показывает,что /> сточностью до слагаемого порядка /> является затухающей гармоникой сволной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорциональноквадратному корню из абсциссы.
В частности,
/>   при />;                                        (30`)
/>    при />.                                    (30``)
Графики этих функцийизображены ни рисунках 1 и 2.
Рассмотрим несколькопримеров решения уравнения Бесселя.
1. Найти решениеуравнения Бесселя при />
/>,
удовлетворяющее начальнымусловиям при />, /> и />.
Решение.
На основании формулы (5`)находим одно частное решение:
/>.
2. Найти одно из решенийуравнения:
/>,         />.
Решение.
Сделаем замену
/>.
При /> получим:
/>.
При /> будем искать решение ввиде обобщенного степенного ряда:
/>.
Уравнение на /> имеет вид />;
/>,  />,  />,  />, поэтому
/>,
/>,   />.
/>
Рисунок 1 – Графикфункции y=J0(x)
/>
Рисунок 2 – Графикфункции y=J1(x)

Списоклитературы
1. Пискунов Н. С.«Дифференциальное и интегральное исчисления», учебное пособие для втузов, М:Наука, 1985г., 560 стр.
2. Романовский П. И. «РядыФурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа»,учебное пособие для втузов, М: Наука, 1983г., 336 стр.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Skinny Or Smart Essay Research Paper Would
Реферат Еще раз об "Антихристе" Ф. Ницше
Реферат Навигационное вычислительное устройство НВУ-БЗ Ту-154Б
Реферат Антропогенез и экологические проблемы в современном мире
Реферат Организация торгово-технологического процесса в розничном торговом предприятии 2
Реферат Билеты по астрономии за 11 класс, билеты
Реферат Редактирование справочно энциклопедической литературы
Реферат Буддизм 29
Реферат Анонс. Ошибки Нобелевского комитета зеркало «научного» интеллекта нашей эпохи
Реферат The Electric Light Essay Research Paper On
Реферат Личностные качества родителей и их влияние на стиль отношения к ребенку
Реферат Буття людини і буття світу
Реферат Вікно редактора Word
Реферат 3 теоретических анализ литературы по проблеме влияния семейных мифов в родительской семье на выбор будущего супруга
Реферат Віруси і антивіруси