Уравнение линии на плоскости
Основные вопросы лекции: уравнения линии на плоскости; различные формыуравнения прямой на плоскости; угол между прямыми; условия параллельности иперпендикулярности прямых; расстояние от точки до прямой; кривые второгопорядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и геометрическиесвойства; уравнения плоскости и прямой в пространстве.
Уравнение вида /> называетсяуравнением прямой в общем виде.
Если выразить в этом уравнении />, топосле замены /> и /> получим уравнение />, называемое уравнениемпрямой с угловым коэффициентом, причем />,где /> – угол между прямой иположительным направлением оси абсцисс. Если же в общем уравнении прямойперенести свободный коэффициент в правую сторону и разделить на него, тополучим уравнение в отрезках
/>, где /> и /> – точки пересечения прямойс осями абсцисс и ординат соответственно.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они непересекаются.
Прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямымуглом.
Пусть заданы две прямые /> и />.
Чтобы найти точку пересечения прямых (если они пересекаются) необходиморешить систему с этими уравнениями. Решение этой системы и будет точкойпересечения прямых. Найдем условия взаимного расположения двух прямых.
Так как />, то угол /> между этими прямыминаходится по формуле
/>.
Отсюда можно получить, что при/> прямыебудут параллельными, а при /> – перпендикулярны.Если прямые заданы в общем виде, то прямые параллельны при условии /> и перпендикулярны приусловии />
Расстояние от точки />допрямой /> можно найти по формуле
/>
Нормальное уравнение окружности:
/>
Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, суммарасстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, естьвеличина постоянная.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
/>
где /> — большая полуось, /> — малая полуось и />. Фокусы находятся в точках/>. Вершинами эллипсаназываются точки />, />, />,/>. Эксцентриситетом эллипсаназывается отношение />
Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, модульразности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами,есть величина постоянная.
Каноническое уравнениегиперболы имеет вид:
/>
где /> — большая полуось, /> — малая полуось и />. Фокусы находятся в точках/>. Вершинами гиперболыназываются точки />, />. Эксцентриситетомгиперболы называется отношение />
Прямые /> называются асимптотамигиперболы. Если />, то гиперболаназывается равнобочной.
Из уравнения />получаем пару пересекающихся прямых /> и />.
Параболойназывается геометрическое место точек на плоскости, от каждой из которыхрасстояние до данной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до даннойпрямой называемой директрисой, есть величина постоянная.
Каноническоеуравнение параболы
/>.
Прямая /> называется директрисой, аточка /> – фокусом.
Понятие функциональной зависимости
Основные вопросы лекции: множества; основные операции над множествами;определение функции, ее область существования, способы задания; основныеэлементарные функции, их свойства и графики; числовые последовательности и ихпределы; предел функции в точке и на бесконечности; бесконечно малые ибесконечно большие величины и их свойства; основные теоремы о пределах;замечательные пределы; непрерывность функции в точке и на интервале; свойстванепрерывных функций.
Если каждому элементу />множества/> ставится в соответствиевполне определенный элемент /> множества/>, то говорят что намножестве /> задана функция. При этом /> называется независимойпеременной или аргументом, а /> – зависимойпеременной, а буква /> обозначает законсоответствия.
Множество />называетсяобластью определения или существования функции, а множество />– областью значенийфункции.
Существуют следующие способы задания функции
1. Аналитический способ, если функция задана формулой вида />
2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей,содержащей значения аргумента /> исоответствующие значения функции />
3. Графический способ состоит в изображении графика функции – множестваточек /> плоскости, абсциссыкоторых есть значения аргумента />,а ординаты – соответствующие им значения функции/>
4. Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления.
Основные свойства функции
1. Четность и нечетность. Функция называется четной, если для всех значенийиз области определения /> и нечетной, если/>. В противном случаефункция называется функцией общего вида.
2. Монотонность. Функция />называетсявозрастающей (убывающей) на промежутке />,если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее(меньшее) значение функции.
3. Ограниченность. Функция /> называетсяограниченной на промежутке />, если существует такое положительное число />,что />для любого />. В противном случаефункция называется неограниченной.
4. Периодичность. Функция />называется периодической спериодом />, если для любых /> из области определенияфункции />.
Классификация функций.
1. Обратная функция. Пусть /> есть функция от независимой переменной />,определенной на множестве /> собластью значений />. Поставим всоответствие каждому /> единственноезначение />, при котором />. Тогда полученная функция />, определенная на множестве/> с областью значений /> называется обратной.
2. Сложная функция. Пусть функция /> есть функция от переменной />,определенной на множестве /> собластью значений />, а переменная /> в свою очередь являетсяфункцией.
Наиболее часто используются в экономике следующие функции.
1. Функция полезности и функция предпочтений – в широком смысле зависимостиполезности, то есть результата, эффекта некоторого действия от уровня интенсивностиэтого действия.
2. Производственная функция – зависимость результата производственнойдеятельности от обусловивших его факторов.
3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) – зависимостьобъема производства от начало или потребления ресурсов.
4. Функция издержек (частный вид производственной функции) – зависимость издержекпроизводства от объема продукции.
5. Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса,потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов.
Если по некоторому закону каждому натуральному числу /> поставлено в соответствиевполне определенное число />тоговорят, что задана числовая последовательность />.
/>:
Числа /> называютсячленами последовательности, а число /> — общимчленом последовательности.
Число /> называется пределомчисловой последовательности />, еслидля любого малого числа /> найдетсятакой номер /> (зависящий от />), что для всех членовпоследовательности с номерами />верноравенство />.Предел числовойпоследовательности обозначается />.
Последовательность имеющая предел называется сходящейся, в противномслучае – расходящейся.
Число /> называется пределомфункции /> при />, если для любого малогочисла /> найдется такоеположительное число />, что для всех /> таких, что /> верно неравенство />.
Предел функции в точке. Пусть функция /> заданав некоторой окрестности точки />, кроме,быть может, самой точки />. Число /> называется пределомфункции /> при />, если для любого, дажесколь угодно малого />, найдется такоеположительное число />(зависящий от />), что для всех /> и удовлетворяющих условию /> выполняется неравенство />. Этот предел обозначается />.
Функция /> называетсябесконечно малой величиной при/>, еслиее предел равен нулю.
Свойства бесконечно малых величин
1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин естьвеличина бесконечно малая.
2. Произведение бесконечен малой величины на ограниченную функцию естьвеличина бесконечно малая
3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию предел которойотличен от нуля, есть величина бесконечно малая.
Понятие производной и дифференциала функции
Основные вопросы лекции: задачи, приводящие к понятию производной;определение производной; геометрический и физический смысл производной; понятиедифференцируемой функции; основные правила дифференцирования; производныеосновных элементарных функций; производная сложной и обратной функции;производные высших порядков, основные теоремы дифференциального исчисления;теорема Лопиталя; раскрытие неопределенностей; возрастание и убывание функции;экстремум функции; выпуклость и вогнутость графика функции; аналитическиепризнаки выпуклости и вогнутости; точки перегиба; вертикальные и наклонныеасимптоты графика функции; общая схема исследования функции и построение ееграфика, определение функции нескольких переменных; предел и непрерывность; частныепроизводные и дифференциал функции; производная по направлению, градиент;экстремум функции нескольких переменных; наибольшее и наименьшее значенияфункции; условный экстремум, метод Лагранжа.
Производной функции /> называетсяпредел отношения приращения функции к приращению независимой переменной пристремлении последнего к нулю (если этот предел существует)
/>.
Если функция в точке />имеетконечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функциядифференцируемая в каждой точке промежутка />,называется дифференцируемой на этом промежутке.
Геометрический смысл производной: производная /> естьугловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, приведенной к кривой /> в точке />.
Тогда уравнение касательной к кривой /> вточке /> примет вид
/>.
Механический смысл производной: производная пути по времени /> есть скорость точки вмомент времени />: />
Экономический смысл производной: производная объема произведеннойпродукции по времени /> есть производительностьтруда в момент />
Теорема. Если функция /> дифференцируемав точке />, то она в этой точкенепрерывна.
Производная функции /> можетбыть найдена по следующей схеме
1. Дадим аргументу /> приращение /> и найдем наращенноезначение функции />.
2. Находим приращение функции />.
3. Составляем отношение />.
4. Находим предел этого отношения при/>,то есть /> (если этот пределсуществует).
Правила дифференцирования
1. Производная постоянной равна нулю, то есть/>.
2. Производная аргумента равна 1, то есть />.
3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемыхфункций равна такой же сумме производных этих функций, то есть />.
4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведениюпроизводной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителяна производную второго, то есть
/>
5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена поформуле:
/>.
Теорема. Если /> и /> – дифференцируемые функцииот своих переменных, то производная сложной функции существует и равнапроизводной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной напроизводную самого промежуточного аргумента по независимой переменной />, то есть
/>.
Теорема. Для дифференцируемой функции с производной не равной нулю,производная обратной функции равна обратной величине производной даннойфункции, то есть />.
Эластичностью функции /> называетсяпредел отношения относительного приращения функции /> котносительному приращению переменной />при/>:
/>
Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентовизменится функция /> при изменениинезависимой переменной /> на один процент.
Геометрически это означает что эластичность функции (по абсолютнойвеличине) равна отношению расстояний по касательной от данной точки графикафункции до точек ее пересечения с осями /> и/>.
Основные свойства эластичности функции:
1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной /> на темп изменения функции />, то есть />.
2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности)эластичностей этих функций:
/>, />.
3. Эластичность взаимообратных функций – взаимно обратные величины: />
Эластичность функции применяется при анализе спроса и потребления.
Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке /> функция /> достигает наибольшего илинаименьшего значения во внутренней точке /> этогопромежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть />.
Теорема Ролля. Пусть функция /> удовлетворяетследующим условиям:
1) непрерывна на отрезке />;
2) дифференцируема на интервале />;
3) на концах отрезка принимает равные значения, то есть />.
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка />, в которой производнаяфункции равна нулю: />.
Теорема Лагранжа. Пусть функция /> удовлетворяетследующим условиям
1. Непрерывна на отрезке />.
2. Дифференцируема на интервале />;
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка />, в которой производная равначастному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке,то есть />.
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно большихфункций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному),если последний существует в указанном смысле. Итак, если имеетсянеопределенность вида /> или />, то />/>
Теорема (достаточное условие возрастания функции)
Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторогопромежутка Х, то она возрастаетна этом промежутке.
Теорема (достаточное условие убывания функции), Если производнаядифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка/>, то она убывает на этомпромежутке.
Точка /> называется точкоймаксимума функции />, если внекоторой окрестности точки /> выполняетсянеравенство />.
Точка /> называется точкой минимумафункции />, если в некоторой окрестноститочки /> выполняется неравенство />.
Значения функции в точках />и /> называются соответственномаксимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общимназванием экстремума функции.
Для того, чтобы функция /> имелаэкстремум в точке /> необходимо,чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю /> илине существовала.
Первое достаточное условие экстремума. Теорема.
Если при переходе через точку /> производнаядифференцируемой функции /> меняетсвой знак с плюса на минус, то точка />естьточка максимума функции />, а еслис минуса на плюс, – то точка минимума.
Схема исследования функции /> наэкстремум.
1. Найти производную />.
2. Найти критические точки функции, в которых производная /> или не существует.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точкии сделать вывод о наличии экстремумов функции.
4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.
Второе достаточное условие экстремума. Теорема.
Если первая производная /> дваждыдифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке />, а вторая производная вэтой точке /> положительна, то /> есть точка минимумафункции />, если /> отрицательна, то /> – точка максимума.
Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке пользуемсяследующей схемой.
1. Найти производную />.
2. Найти критические точки функции, в которых /> илине существует.
3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка ивыбрать из них наибольшее /> инаименьшее />.
Функция /> называетсявыпуклой вверх на промежутке Х, если отрезок соединяющий любые две точкиграфика лежит под графиком функции.
Функция /> называетсявыпуклой вниз на промежутке Х, если отрезок соединяющий любые две точки графикалежит над графиком функции.
Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке Х тогда и толькотогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает(убывает).
Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функцииположительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпуклавниз (вверх) на этом промежутке.
Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющаяинтервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.
Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная /> дважды дифференцируемойфункции в точке перегиба /> равнанулю, то есть />.
Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная /> дважды дифференцируемойфункции при переходе через некоторую точку />меняетсвой знак, то />есть точкаперегиба ее графика.
Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:
1. Найти вторую производную функции />.
2. Найти точки, в которых второй производная /> илине существует.
3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделатьвывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.
4. Найти значения функции в точках перегиба.
При исследовании функции на построение их графиков рекомендуетсяиспользовать следующую схему:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность – нечетность.
3. Найти вертикальные асимптоты
4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные илинаклонные асимптоты.
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторыедополнительные точки, уточняющие график.
Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно /> часть приращения функции,равная произведению производной на приращении независимой переменной.
Пусть имеется />переменныхвеличин, и каждому набору их значений /> изнекоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значениепеременной величины />. Тогда говорят,что задана функция нескольких переменных />.
Переменные /> называютсянезависимыми переменными или аргументами, />-зависимой переменной. Множество Х называется областью определения функции.
Многомерным аналогом функции полезности является функция />, выражающая зависимость от/> приобретенных товаров.
Также на случай /> переменныхобобщается понятие производственной функции, выражающей результатпроизводственной деятельности от обусловивших его факторов />.
Функцию двух переменных будем обозначать />.Ее область определения /> естьподмножество координатной плоскости. Окрестностью точки /> называется круг, содержащийточку />.
Число /> называется пределомфункции />при/> и />(или в точке />), если для любого малогочисла /> найдется число /> (зависящее от />), такое, что для всехточек />, отстоящих от точек /> на расстояние /> меньшее, чем />, выполняется неравенство />.
Обозначается предел так; />.
Функция /> называется непрерывнойв точке />, если она
1. определена в точке />
2. имеет конечный предел при/> и />
3. этот предел равен значению функции в точке/>,то есть />.
Величина /> называетсяполным приращением функции в точке />. Еслизадать приращение только одной какой-либо переменной то получается частноеприращение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этихпеременных называется предел отношения соответствующего частного приращенияфункции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлениипоследнего к нулю (если этот предел существует). Таким образом, для функции /> по определению
/>
/>.
Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производныхэтой функции на приращения соответствующих независимых переменных, то есть
/> или />.
Функция /> называетсядифференцируемой в точке />, еслиее полное приращение может быть представлено в виде />,где
/> – бесконечно малые при/>.
Теорема. Если частные производные /> и/>функции /> существуют в окрестноститочки /> и непрерывны в самой точке/>, то функция /> дифференцируема в этойточке.
Градиентом /> функции /> называется вектор />. Градиент /> функции в данной точкехарактеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.
Точка /> называется точкоймаксимума (минимума) функции />, еслисуществует окрестность точки />, такая,что для всех точек /> из этойокрестности выполняется неравенство
/>
Теорема. Пусть точка /> – есть точкаэкстремума дифференцируемой функции />. Тогдачастные производные /> и /> в этой точке равны нулю.
Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, нонедостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
Если частные производные /> и /> сами являютсядифференцируемыми функциями, то можно определить также и их частныепроизводные, которые называются частными производными второго порядка.
Если частные производные второго порядка функции /> непрерывны в точке />, то в этой точке />.
Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пустьфункция />
1. определена в некоторой окрестности критической точки />, в которой />.
2. имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка />, />, />.
Тогда, если />, то в точке /> функция /> имеет экстремум, причемесли /> – максимум, если /> – минимум. В случае /> функция /> экстремумов не имеет. Если/>, то вопрос о наличииэкстремума остается открытым.
Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводитьпо следующей схеме:
1. Найти частные производные первого порядка.
2. Решить систему уравнений />,/> и найти критические точкифункции.
3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения вкаждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод оналичии экстремумов.
Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.
Литература
1.Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2003.
2.Е.С. Кочетков,С.О. Смерчинская Теория вероятностей в задачах и упражнениях / М. ИНФРА-М2005.
3.Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. –М.: ЮНИТИ, 2004. Ч. 1, 2
4. Гмурман В.Е. Руководствок решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшаяшкола, 1977
5. Гмурман В.Е. Теориявероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1977
6.М.С. Красс Математика для экономических специальностей: Учебник/ М.ИНФРА-М 1998.
7.Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М., 2000.
8. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математическогоанализа. – М.: Наука, 1971.
9.А.К. КазашевСборник задач по высшей математике для экономистов – Алматы — 2002 г.
10. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральноеисчисление. – М.: Наука, 1985, Т. 1,2.
11.П.Е. Данко,А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников Высшая математика в упражнениях изадачах/ М. ОНИКС-2005.
12.И.А. ЗайцевВысшая математика/ М. Высшая школа-1991 г.
13. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ееприложения. – М.: Наука, 1985.
14. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математическиеметоды анализа экономики. – М.: ДИС, 1997.
15. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курсвысшей математики для экономических вузов. – М.: Высшая школа, 1982 – Ч 1, 2.
16. Колесников А.Н. Краткий курс математики дляэкономистов. – М.: Инфра-М, 1997.
17.В.С. ШипацевЗадачник по высшей математике-М. Высшая школа, 2005 г.