--PAGE_BREAK--Другий шлях доказу ірраціональності e [23].
Припустимо, що раціонально. Тоді , де — ціле, а — натуральне, звідки
Множачи обидві частини рівняння на , одержуємо
Переносимо в ліву частину:
Всі доданки правої частини цілі, отже:
— ціле
Але з іншої сторони
Знов одержуємо протиріччя.
Трансцендентність була доведена тільки в 1873 році французьким математиком Шарлем Ермітом [22].
Теорема 1.4.2. Число трансцендентно.
Доведення. Припустимо, що корінь багаточлена із цілими коефіцієнтами так що
(1.4.1)
Позначимо через найбільшу з абсолютних величин коефіцієнтів , так що при всіх маємо .
При заданому функція при збільшенні прагне до нуля й, оскільки існують які завгодно більші прості числа, ми можемо вибрати просте число так, що будуть одночасно виконуватися умови:
Розглянемо функцію ступеня
Інтегруючи вроздріб, знаходь :
Продовжимо цей процес, поки не дійдемо до похідної порядку , рівної тотожно нулю. Одержимо :
(1.4.2)
де ( до похідної порядку ).
Підставляючи в (1.4.2) замість число й множачи на ,, маємо:
(1.4.3)
Надаючи значення та складаючи при рівності (1.4.3) і беручи до уваги, що через тотожність (1.4.2) права частина виходить рівною нулю, знаходимо:
(1.4.4)
Розкладання по ступенях має вигляд :
, (1.4.5)
де цілі числа. Одержуємо:
,
а є ціле число, оскільки просте й , не ділиться на ;
, як легко бачити з (1.4.4), цілі числа, що діляться на ;
являє собою суму цілого числа , що не ділиться на , і інші цілі числа, кратні , так що не є дільником.Оскільки , те буде також не є дільником .
Розкладання по ступенях , де , має вигляд
(1.4.6)
де всі коефіцієнти цілі числа.
Диференціюючи (1.4.6), легко бачити, що при всіх таких :
ціле число, що ділиться на .
У сумі
перший доданок не ділиться на , а всі інші доданки діляться на , так що ціле число, що не ділиться на , і, таким чином, відмінне від нуля.
Ціле число, відмінне від нуля, має модуль, більший або дорівнюючий одиниці, так що .
Оцінимо тепер величину зверху. Згідно (1.4.4.):
У всіх інтегралах, що входять в , величина пробігає значення, що не виходять за межі сегмента , а при таких справедлива нерівність:
так, що при всіх маємо
що суперечить отриманій раніше нерівності .
Таким чином, припущення, що алгебраїчне число, привело нас до протиріччя; отже, неалгебраїчне число, тобто трансцендентне число.
Теорема доведена.
РОЗДІЛ ІІ
НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ЧИСЛА „π”
2.1 Методи наближеного обчислення числа „π” за допомогою числових рядів
Число p
з'являється не тільки при рішенні геометричних задач. Із часу Ф.Віета (1540–1603) розвідка меж деяких арифметичних послідовностей, що встановлені простими законами, приводило до того ж числа p
. У зв'язку із цим у визначенні числа p
брали участь майже всі відомі математики: Ф.Віет, Х.Гюйгенс, Дж.Валліс, Г.В.Лейбніц, Л.Ойлер [21]. Вони одержували різні вирази для p
у вигляді нескінченного добутку, суми ряду, нескінченного дробу.
Наприклад, в 1593 Ф.Виет (15401603) вивів формулу[21]
В 1665 Джон Валліс (16161703) довів, що [21]
,
Або
.
Ця формула має його ім'я. Для практичного знаходження числа p
вона мало придатна, але корисна в різних теоретичних міркуваннях. В історію науки вона ввійшла як один з перших прикладів нескінченних добутків.
Готфрид Вільгельм Лейбниц (16461716) в 1673 установив наступну формулу[21]:
яка представляє число p
/4 як суму ряду. Однак цей ряд сходиться дуже повільно. Щоб обчислити p
з точністю до десяти знаків, треба було б, як показав Ісаак Ньютон, знайти суму 5 млрд чисел і затратити на це біля тисячі років безперервної роботи.
Леонарду Ойлеру належать і інші гарні формули рядів повільної східності, що включають p
[21]:
,
,
.
В останній формулі в чисельнику розташовані всі прості числа, а знаменники відрізняються від них на одиницю, причому знаменник більше чисельника, якщо той має вигляд 4n + 1, і менше в противному випадку.
Лондонський математик Джон Мэчин (16801751) в 1706, застосовуючи формулу[21]
одержав вираження
arctg 1 = 4 arctg – arctg .
Підстановка в нього arctg 1 = і рядів для arctg x
(arctg x = ) приводить до формули
,
яка дотепер уважається однієї із кращих для наближеного обчислення p
. Щоб знайти ті ж десять точних десяткових знаків, буде потрібно всього кілька годин ручного рахунку. Сам Джон Мэчин обчислив p
з 100 вірними знаками.
Скористаємося відомим рядом для арктангенса [21]:
(2.1.1)
Якщо взяти, то , і ми одержимо ряд
(2.1.2)
уже придатний для обчислення/
Скористаємось формулою додавання для арктангенса
(2.1.3)
і вибираючи в якості і якінебудь два правильні дроби, що задовольняють співвідношенню
або (2.1.4)
будемо мати
(2.1.5)
Наприклад, поклавши , одержимо ряд
(2.1.6)
Існують, однак, ряди, ще більш ефективні для розрахунку числа .
Покладемо тоді
Через близькість цього числа до , ясно, що кут близький до .
Поклавши:
, будемо мати :
так що
Звідси
це формула Мєшина (J.Machin).
Обчислимо по ній число з 7ю знаками після коми. Для цього досить тих членів формули, які фактично виписані. Тому що обидва ряди – типу рядів Лейбниця, то виправлення в зменшуваному й від'ємнику на відкидання невиписаних членів, відповідно, будуть:
і
Збережені члени (2.6) перетворимо у десяткові дроби, округляючи їх ( за правилом доповнення ) на восьмому знаку. Обчислення зведені в таблицю ( у дужках указує знак виправлення):
З огляду на всі виправлення, маємо:
так що
Отже, остаточно причому всі виписані знаки вірні.
C допомогою того ж ряду для arctg x і формули
p
= 24 arctg + 8 arctg + 4 arctg
значення числа p
було отримано на ЕОМ з точністю до ста тисяч десяткових знаків. Такого роду обчислення становлять інтерес у зв'язку з поняттям випадкових і псевдовипадкових чисел. Статистична обробка впорядкованої сукупності зазначеної кількості знаків p
показує, що вона має багато рис випадкової послідовності. А так виглядає 101 знак числа p
без округлення:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.
2.2 Методи наближеного обчислення числа „π” за допомогою розкладу в нескінченні ланцюгові дроби
Згідно [2]для наближеного розрахунку числа pпобудований наступний ланцюговий дріб:
(2.2.1)
(послідовність неповних часток така: 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13,...)
Знайдемо підходящі для практичних розрахунків дроби використовуючи вищенаведений ланцюговий дроб:
а потім складемо таблицю для обчислення наступних дробів за допомогою рекуррентного правила:
Одержуємо підходящі дроби й . Наближення , рівне, було відомо ще Архімедові [21], а наближенням користувався Андріан Меций ще наприкінці 16 сторіччя [21]. Перше наближення дуже зручно тим, що знаменник 7 дуже невеликий.У другому дробі при порівняно невеликому знаменнику виходить наближене значення з високою точністю.
Щоб оцінити цю точність, використовуємо формулу [4]
(2.2.2)
У нашім випадку , а
Виходить,
тобто точність отриманої відповіді перевищує . Обертаючи дріб у десятковий, одержуємо:
РОЗДІЛ ІІІ
НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ЧИСЛА „е”
3.1 Методи наближеного обчислення числа „е” за допомогою числових рядів
Обчислимо число з точністю до з використанням ряду [20]. Запишемо ряд для :
(3.1.1)
Ця рівність має місце для кожного .При
(3.1.2)
Насамперед установимо, яким треба взяти число для здійснення необхідної точності. Якщо покласти наближене , то помилка буде
тому що є прогресія, знаменник якої дорівнює (сума прогресси дорівнює , де її перший член, а знаменник).
Для здійснення необхідної точності треба, щоб , тобто .Уже при дана нерівність задовольняється, тому що .Але тому що обіг членів розкладання для в десятковий дріб і при цьому їхнє округлення послужить джерелом нової погрішності, то в запас точності візьмемо .
Оборотні члени розкладання в десятковий дріб використовуємо, округляючи їх за правилом доповнення на сьомому знаку. Тоді похибка кожного члена по абсолютній величині не більше , а вся похибка – не більше , тому що перші три члени розкладання обчислюються точно, і будемо мати:
таким чином, похибка на відкидання всіх членів розкладання, починаючи з (дванадцятий член розкладання), не перевершує , а похибка на округлення не більше . Звідси виходить, що загальна погрішність за абсолютним значенням дорівнює сумі
Але тоді число знаходиться між числами й , тобто . Отже, можна покласти . Значення з 19 знаками після коми є [22]:
3.2 Методи наближеного обчислення числа „е” за допомогою розкладу в нескінченні ланцюгові дроби
Згідно [9]для наближеного розрахунку числа побудований наступний ланцюговий дріб.
Теорема 3.2.1
(3.2.1)
Доведення. Визначимо як суму ряду:
.
Цей ряд сходиться при будьяких значеннях ; однак ми будемо розглядати тільки значення , що лежать в інтервалі .
Легко перевірити, що має місце тотожність
(3.2.2)
Дійсно, коефіцієнт при в лівій частині рівності (3.2.2) дорівнює
а в правій частині рівності (3.2.2) він дорівнює
,
так що (3.2.2) вірне.
Позначимо через . Зокрема, оскільки
То
З тотожності рівності (3.2.1) при одержуємо:
(3.2.3)
Оскільки позитивно, рівність (3.2.3) показує, що при всіх
,, тобто й послідовність співвідношень (3.2.2) при
дає розкладання в ланцюговий дріб:
(3.2.4)
Теорема доведена.
Тепер розкладемо в ланцюговий дріб число [2].
Теорема.3.2.2
(3.2.5)
(послідовність неповних часток така: 2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1,...), тобто елементи розкладання в ланцюговий дріб мають вигляд:
Доведення. Позначимо підходящі дроби до правої частини (3.2.4) через , а підходящі дроби до (3.2.3) через . Доведемо, що
Беручи до уваги значення елементів ланцюгового дробу (3.2.4), маємо:
Звідки знаходимо:
Аналогічне співвідношення маємо й для , так що
(3.2.6)
Доведемо індукцією по , що
(3.2.7)
З (3.2.3) і ( 3.2.4) безпосередньо обчислюємо , так що співвідношення (3.2.7) вірно для всіх з номерами, меншими ніж , де , тобто зокрема
тоді, використовуючи рівності (3.2.6), одержуємо:
Згідно за принципом повної математичної індукції равенство (3.2.6) вірно для всіх .
Зовсім аналогічно доводиться, що
Розглядаючи тепер межу відносини величин і , знаходимо:
тобто
Оскільки ланцюговий дріб у правій частині (3.2.5) сходиться, ми будемо мати також, що взагалі, а це доводить теорему.
Теорема доведена.
--PAGE_BREAK--