--PAGE_BREAK--
Признак Даламбера
В отличии от признаков сравнения признак Даламбера позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.
Теорема
Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел .
Тогда ряд сходится приl и расходится при l>1.
Так как , то по определению предела для любого найдется натуральное число N такое, что при n>N выполняется неравенство
или .
Пусть l. Можно подобрать так, что число, . Обозначим , . Тогда из правой части неравенства получаем , или . В силу свойства 3 числовых рядов можно считать, что для всех n=1, 2, 3,… Давая номеру nэти значения, получим серию неравенств:
т.е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда , который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд , следовательно, сходится и исходный ряд .
Пустьl>1. В этом случае . Отсюда следует, что начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство , или , т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому . На основании следствия из необходимого признака ряд расходится.
Если l=1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Радикальный признак Коши
Теорема.
Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при и расходится при .
Как и для признака Даламбера, в случае, когда l=1, вопрос о сходимости ряда остается открытым. Доказательство теоремы аналогично доказательству признака Даламбера.
Интегральный признак Коши
Обобщенный гармонический ряд
Теорема.
Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции так, что , то:
1) если сходится, то сходится и ряд
2) если расходится, то расходится также и ряд
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), основанием которой служит отрезок оси Ох от х=1 до х=
n.
Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки [1;2],[2;3],… Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем:
или
или
Случай 1. Несобственный интеграл сходится, т.е. . Поскольку , то с учетом неравенства имеем: , т.е. . Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху (числом ), то, по признаку существования предела, имеет предел.
Следовательно, ряд сходится.
Случай 2. Несобственный интеграл расходится. Тогда и интегралы неограниченно возрастают при . Учитывая, что , получаем, что при . Следовательно, данный ряд расходится.
Ряд ,
где p>0 – действительное число, называется обобщенным гармоническим рядом. Для исследования ряда на сходимость применим интегральный признак Коши.
Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке и . При имеем:
При p=1 имеем гармонический ряд , который расходится. Итак, ряд сходится при , расходится при . В частности, ряд сходится.
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Знакочередующиеся ряды
Знакочередующимся рядом называется ряд вида
,
где для всех .
Теорема (достаточный признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда).
Знакочередующийся ряд сходится, если:
Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. Общий член ряда стремится к нулю:
При этом сумма Sряда удовлетворяет неравенствам
Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2m) членов ряда. Имеем
Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Следовательно, сумма и возрастает с возрастанием номера 2m.
С другой стороны, можно переписать так:
Легко видеть, что . Таким образом, последовательность возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел , причем .
Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа (
2m+1) членов ряда. Очевидно, что . Отсюда следует, что , т.к. в силу второго условия теоремы. Итак, как при четном n, так и при нечетном n. Следовательно, ряд сходится, причем .
Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.
Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.
Теорема.
Пусть дан знакопеременный ряд
Если сходится ряд ,
составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд .
Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов и :
Очевидно, что для всех . Но ряд сходится в силу условия теоремы и свойства 1 числовых рядов. Следовательно, на основании признака сравнения сходится и ряд . Поскольку данный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов
то, на основании свойства 2 числовых рядов, он сходится.
Обратное утверждение неверно.
Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм:
Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле) Абсолютно сходящиеся ряды с суммами и можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна + (или соответственно -) Под произведением двух рядов и понимают ряд вида
Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами и есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна .
Степенные ряды
Функциональные ряды
Основные понятия
Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным:
Придавая х определенное значение , мы получим числовой ряд
,
который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда ; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.
Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называются его областью сходимости.
В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от х:
S=S(x). Определяется она в области сходимости равенством , где – частичная сумма ряда.
Среди функциональных рядов особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т.е. так называемый степенной ряд:
Действительные (или комплексные) числа называются коэффициентами ряда, — действительная переменная.
Ряд расположен по степеням х. Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням , т.е. ряд вида , где – некоторое постоянное число.
Сходимость степенных рядов.
Область сходимости степенного ряда содержит по крайней мере одну точку: х=0 (ряд сходится в точке)
Теорема Н. Абеля
Теорема
Если степенной ряд сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству
По условию ряд сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости . Отсюда следует, что величина ограничена, т.е. найдется такое число М
>0, что для всех nвыполняется неравенство , n=1, 2,..
Пусть , тогда величина и, следовательно, , т.е. модуль каждого члена ряда не превосходит соответствующего члена сходящегося (
q ряда геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при ряд абсолютно сходящийся. продолжение
--PAGE_BREAK--