--PAGE_BREAK--Постановка задачі
Щоб знайти єдиний розв'язок звичайного диференціального рівняння, необхідно задати деякі допоміжні умови, що використовуються для обчислення інтегрування. Для рівняння n-ого порядку потрібно п таких умов. Якщо ці умови задаються для одного значення незалежної змінної (зокрема, для одного кінця інтервалу, на якому необхідно знайти розв'язок), то говорять про початкові умови для задачі Коші. Якщо ж додаткові умови задаються для значень незалежної змінної на різних кінцях інтервалу, то мають на увазі крайову задачу і граничні умови для неї.
Двоточкова крайова задача для рівняння другого порядку має такий вигляд:
(11.1)
із граничними умовами
(11.2)
Перш ніж застосовувати будь-який чисельний метод, варто перевірити умови, що гарантують існування розв'язку цієї задачі. Наведена нижче теорема визначає загальні умови, що забезпечують існування й одиничність розв'язку.
Теорема.Припустимо, що неперервна в області
І що
і
Теж неперервні на. Якщо існує постійна, для якої виконуються умови
для всіх
для всіх (11.3)
то крайова задача (11.1) (11.2) має єдиний розв'язок для .
Найчастіше зустрічаються і найкраще вивчені двоточкові лінійні крайові задачі виду
, (11.4)
, (11.5)
де
,
Умови, які повинні задовольняти функції , і , для того щоб задача (11.4), (11.5) мала єдиний розв'язок, випливають із теореми як наслідок.
Наслідок.Якщо і неперервні на і , то задача (11.4), (11.5) має єдиний розв'язок на .
Граничні умови (11.5) визначають третю крайову задачу для рівняння (11.4). Якщо припустити, що , то умови (11.5) визначають першу крайову задачу, а коли — другу.
Точне (аналітичне) розв'язання крайових задач — більш складна процедура, ніж знаходження розв'язку задачі Коші. Це спричинило появу великої кількості наближених методів. Ці методи можна розділити на дві групи: наближено-аналітичні методи, що дають наближений розв'язок крайової задачі на відрізку у вигляді конкретної аналітичної функції, і чисельні методи, що визначають розвозок у вигляді табличної функції, заданої на сітці відрізка .
Метод скінченних різниць
Ідея методу скінченних різниць полягає в тому, що похідні в диференціальному рівнянні (11.4) і граничних умовах (11.5) заміняються їх скінченними різницями. Для цього спочатку введемо на відрізку сітку з кроком :
.
Позначимо через точний розв'язок задачі (11.1) у і-му вузлі сітки, а через — наближений розв'язок у цій точці. Заміняючи в кожному внутрішньому вузлі сітки похідні різницями, отримаємо різницеві рівняння:
,
Симетричні різницеві апроксимації похідних першого і другого порядків мають похибку другого порядку відносно , тобто . Це легко довести на основі розкладання в ряд Тейлора точного розв'язку рівняння. Дійсно, для вузлів та маємо
з різниці яких отримуємо шуканий результат:
,
(11.21)
Знайдемо нев’язку різницевого рівняння
.
Оскільки є точним розв'язком рівняння (11.4),
та . (11.22)
Тому різницеве рівняння (11.21) апроксимує вихідне диференціальне рівняння
(11.4) також із другим порядком відносно .
Тепер апроксимуємо граничні умови скінченними різницями:
, (11.23)
Знайдемо похибку апроксимації граничних умов. Нев’язки граничних умов (11.23) мають вигляд:
, .
Асиметрична апроксимація першої похідної на відміну від симетричної має глобальну похибку першого порядку відносно , тобто . Це безпосередньо випливає з розкладання в ряд Тейлора
,
із якого отримуємо
,
Отже, граничні умови (11.23) апроксимуються з першим порядком за к. Порядок їх апроксимації можна підвищити до другого, наприклад, використовуючи співвідношення
, (11.24)
похибка апроксимації яких також пропорційна , як і для випадку симетричної апроксимації похідних. Це випливає із порівняння двох рядів Тейлора:
Якщо перший вираз помножити на 4 і відняти його від другого, отримаємо:
.
Після його підстановки у формулу (11.24) знаходимо нев'язку у вигляді:
тобто крайова умова апроксимується з другим порядком відносно .
У такий же спосіб доводиться, що і друга гранична умова (11.23) апроксимується з другим порядком відносно .
Розглянемо ще одну можливість апроксимації крайових умов типу (11.5) на прикладі умови
.
Для цього за межами інтервалу вводиться додаткова точка , за допомогою якої обчислюється перша похідна за симетричною формулою апроксимації:
. (11.25)
Точку можна виключити, скориставшись співвідношенням (11.25) і різницевою апроксимацією диференціального рівняння (11.4) в кінцевій точці інтервалу .
Отримуємо рівняння для граничної умови в точці із порядком , яким можна замінити останнє рівняння в системі алгебраїчних рівнянь, одержаній у разі кусочно-різницевої апроксимації похідних у рівнянні (11.4).
Те ж саме можна зробити з першою умовою (11.5) і першим апроксимуючим рівнянням для . Варто підкреслити, що врахування граничних умов різних типів впливає тільки на перше й останнє рівняння цієї системи.
Зведемо подібні члени в рівнянні (11.21) і отримаємо стандартне триточкове різницеве рівняння:
, (11.27)
.
Включивши до системи рівнянь (11.25) різницеве рівняння (11.23) чи (11.24), отримаємо систему рівнянь, що містить рівняння з невідомими .
Порівняємо ці два варіанти апроксимації крайової задачі. У першому з них система лінійних алгебраїчних рівнянь, утворена рівняннями (11.21) і (11.23), має тридіагональну матрицю коефіцієнтів, і її можна розв'язати методом прогону. Щоб застосувати метод прогону в другому випадку, слід створити відповідну тридіагональну матрицю. Для цього потрібно з першого рівняння (11.27) для
Маємо рівняння з двома невідомими — і . Замінимо ним перше рівняння (11.24). Виконаємо такі ж перетворення з другим (11.24) і останнім рівнянням (11.27) для :
Виключивши з них , знаходимо:
Це рівняння містить дві невідомі — і . Замінимо ним друге рівняння (11.27). Два останні рівняння разом із (11.27) утворюють систему рівнянь із тридіагональною матрицею, що апроксимує вихідну крайову задачу (11.4), (11.5) з порядком . Цю систему також можна розв'язати методом прогону. Метод прогону є стійким, якщо матриця коефіцієнтів діагонально домінантна. Забезпечити діагональну домінантність можна обранням кроку . Для цього необхідно, щоб для системи рівнянь (11.27) виконувались умови:
і , .
Підсилюючи останні нерівності, маємо такі обмеження на величину кроку:
і , . (11.28)
Щоб задовольнялись умови (11.23), мають виконуватись нерівності
і . (11.29)
Наявність обмежень (11.28) і (11.29) свідчить про умовну стійкість розглянутого методу апроксимації.
Дослідження точності
Дослідження точності отриманих виразів при чисельних розрахунках зручно робити за допомогою апостеріорної оцінки, по швидкості спадання членів відповідного ряду Тейлора. Якщо крок сітки досить малий, то похибка близька до першого відкинутого члена.
У такий спосіб порядок точності результату стосовно кроку сітки дорівнює числу залишених членів ряду, чи іншими словами, він дорівнює числу вузлів інтерполяції мінус порядок похідної. тому мінімальне число вузлів необхідне для обчислення m-ої похідної, дорівнює m+1, воно забезпечує перший порядок точності.
Ці висновки відповідають принципу: при почленному диференціюванні ряду швидкість його збіжності зменшується.
Якщо врахувати погіршення збіжності ряду при диференціюванні, то можна зробити висновок: навіть якщо функція задана добре складеною таблицею на досить докладній сітці, то практично чисельним диференціюванням можна визначити першу і другу похідні, а третю і четверту – лише з великою похибкою. Похідні більш високого порядку рідко вдається обчислити з задовільною точністю.
Одним з найбільш простих і досить ефективних методів оцінки похибки й уточнення отриманих результатів є правило Рунге. Для оцінки похибки за правилом Рунге порівнюють наближені розв’язки, отримані при різних кроках сітки. При цьому використовується наступне припущення: глобальна похибка методу порядку p у точці хiподається у вигляді
.
За формулою Рунге
Таким чином, із точністю до (величина більш високого порядку малості) при h→0 похибка методу має вигляд:
де yi– наближене значення, отримане в точці з кроком h; y2i– із кроком h/2;p — порядок методу; y(x2i) — точний розв’язокзадачі.
Формула Рунге:
.
Збіжність різницевої схеми
Постановка задачі
Універсальним методом наближеного розв’язання, є метод скінченних різниць. Як задачі представлені у вигляді систем нелінійних рівнянь у часткових, які розглядаються у області
Розв’язок задачі в має додаткові умови:
1) умови при називають початковими умовами;
2) умови на границі області — крайовими або граничними умовами.
Задача з початковими умовами – називається задачею Коші.
Нехай . Тоді для функції маємо задачу:
(1)
(2)
де и — диференціальні оператори задачі і крайових умов. Припустимо, що відповідно задачі (1-2) поставлені коректно, тобто оператори А и R; область D и її границі Г такі, що при виборі відповідних класів функцій і правих частин у рівняннях (1) и (2) розв’язок існує, і залежить від початкових даних.
Різницева схема
Введемо у області сітку , яка складається з множини внутрішніх вузлів і множини граничних вузлів :
Далі розглянемо сіткові функції і з їх допомогою побудуємо наближений розв’язок задачі (1-2). Для цього відносно сформулюємо «різницеву задачу», заміняючи оператори задачі і і їх сітковим аналогами и. Тоді на сітковому шаблоні маємо
(3)
(4)
Задачу (3)-(4) назвемо різницевою схемою для задачі (1)-(2). Звичайно це алгебраїчна система рівнянь відносно .
При переході від початкової задачі (1)-(2) до її різницевого аналогу (3)-(4) особливо важливі 3 групи питань:
— існування, єдиність і алгоритм побудови різницевого розв’язку ;
— при яких умовах різницевий розв’язок збігається до точного розв’язку і яка при цьому швидкість збіжності;
— як конкретно вибирати сітку і побудувати різницеву схему і у задачі (3)-(4).
Нев’язка різницевої схеми
При побудові різницевого рівняння задачі
ми отримали задачу, якої точний розв’язок , як правило, не задовольняє. Сіткову функцію
називають нев’язкою сіткового рівняння (3). Її зручно представити на розв’язку и(х) у вигляді:
на (5)
Аналогічно знаходяться нев’язки граничних умов
на (5')
Як правило нев’язки і оцінюють по параметру через розклад у ряд Тейлора в припущені гладкості відповідного розв’язку для отримання представлення нев’язки з залишковим членом виду .
Апроксимація різницевої схеми
Різницева схема (3)-(4) апроксимує задачу (1)-(2), якщо має місце:
(6)
Тобто відповідні нев’язки 0 к нулю при .
Апроксимація задачі (1)-(2) має порядок, якщо
(6')
У цих випадках норми рахуються для сіткових функцій на і але у своїх функціональних просторах.
продолжение
--PAGE_BREAK--