Фигуры постоянной ширины. Треугольник Рело

/>/>/>/>/>/>/>/>Гомелькая научно-практическая конференция учащихсяпо естественно-научным направлениям «Поиск»
Государственное учреждение образования
/>/>/>/>/>«Гимназия имени Я. Купалы»

Учебно-исследовательская работа
Фигуры постоянной ширины. Треугольник Рело

/>/>/>/>/>Ученика11 класса
/>/>/>/>/>Гимназииимени Я.Купалы
/>/>/>Кутуева Владимира Вячеславовича
/>/>/>/>/>Научныйруководитель – учитель
/>/>/>/>/>математикивысшей категории
/>/>/>/>/>Гимназииимени Я.Купалы
/>/>/>/>/>ЧакЕлена Николаевна
Мозырь

Оглавление
Введение
1.   Диаметр фигуры
2.   Фигуры постоянной ширины
3.   Кривые постоянной ширины и ихсвойства
4.   Треугольник Рело
4.1 Исторические сведения
4.2 Очертание четырёхугольника
4.3       Движение вершины и центратреугольника Рело
4.4       Площадь треугольника Рело
5.   Применение треугольника Рело
5.1 Применение в некоторыхмеханических устройствах
5.2 Применение в автомобильныхдвигателях
5.3 Применение альтернативныхвидов топлива РПД
5.4 Применение треугольникаРело в грейферном механизме в кинопроекторах
Заключение
Литература
 

Введение
Вопросрассмотрения и исследования характерных точек и линий треугольников возникла,как из научного любопытства, так и из чисто практических целей. Если в древниевремена наиболее широко применялся на практике прямоугольный треугольникПифагора, то в наше время наибольший интерес вызывают необычные свойстватреугольника Рело (Reuleaux Franz, 1829–1905).
Мояработа посвящена рассмотрению основных свойств фигур постоянной ширины. Вообще,мало кто знает, что такое диаметр, ширина фигуры. Может показаться, что кругявляется единственной выпуклой фигурой, у которой ширина в любом направленииодна и та же: она равна диаметру круга. Однако это не так: существует множествофигур постоянной ширины, т.е. таких выпуклых фигур, у которых во всех направленияхширина одинакова. Простейшим примером является треугольник Рело. В своей работея доказываю, что из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшуюплощадь.
Цель моей работы - изучитьосновные свойства фигур постоянной ширины, историю изобретения, рассмотретьобласти применения фигур постоянной ширины и изучить их свойства, доказать, чтоиз всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь.
Для этого поставлены следующие задачи.
Ø Познакомитьсяс историей изобретения;
Ø Рассмотретьи изучить свойства фигур постоянной ширины;
Ø Доказать,что из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь;
Ø Выявитьи рассмотреть открытые проблемы и задачи, связанные с треугольником Рело;
Ø Выяснитьобласти применения треугольника Рело.
Дляреализации цели и задач исследования я использовал следующие методы:Теоретический анализ литературы по исследуемой теме. Доказательство, что из всехфигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь. Рассмотретьпрактическое техническое применение фигур постоянной ширины.
Теперь подробнее о треугольнике Рело.У этой фигуры есть общие свойства с кругом, но присутствуют и свои, например,очертание четырёхугольника. Траектории движения точки на окружности и точки навершине треугольника Рело различны, хотя у обеих присутствует циклоида.Траектория геометрического центра треугольника также не прямая, а трохоида.
ТреугольникРело нашёл своё применение в сверле Уаттса, высверливающем квадратноеотверстие, в грейферном механизме первого кинопроектора. На основе треугольникаРело Ф. Ванкель сконструировал роторно-поршневой двигатель. Этот двигательобладает множеством преимуществ перед обычным двигателем внутреннего сгорания,хотя есть и свои минусы. Первый автомобиль с этим двигателем выпустили (NSUPrince) выпустили в середине 60-х годов, а сейчас роторно-поршневой двигательустанавливают на некоторые модели Mazda. В СССР тоже разрабатывали роторно-поршневыедвигатели, но у нас они не получили развития по многим причинам. В Англии имеет форму кривойпостоянной ширины, построенной на семиугольнике.
/>/>/>1. Диаметрфигуры
 
Рассмотримкруг диаметра d. Расстояние между любыми двумя точками М иN этого круга (рис.1) не превосходит d. В то же времяможно найти две точки А и В нашего круга, удаленныедруг от друга в точности на расстояние d.
Рассмотримтеперь вместо круга какую-нибудь другую фигуру. Что можно назвать «диаметром»этой фигуры?
/>
Сказанноевыше наводит на мысль назвать диаметром фигуры наибольшее из расстояний междуее точками. Иначе говоря, диаметром фигуры F (рис. 2) называется такоерасстояние d, что, во-первых, расстояние между любыми двумя точкамиМ и N фигуры не превосходит d, и, во-вторых, можноотыскать в фигуре F хотя бы одну пару точек А, В, расстояние между которымив точности равно d.
Пусть,например, фигура F представляет собой полукруг (рис.3).
/>
Обозначимчерез А и В концы ограничивающей его полуокружности. Тогда ясно,что диаметром фигуры F является длина отрезка АВ.Вообще, если фигура F представляет собой сегмент, ограниченныйдугой l и хордой а, то в случае, когда дуга l непревосходит полуокружности, диаметр фигуры F равен а (т.е. длинехорды); в случае же, когда дуга l больше полуокружности, диаметрфигуры F совпадает с диаметром всего круга.
Понятно,что если F представляет собой многоугольник, то его диаметромявляется наибольшее из расстояний между вершинами. В частности, диаметр любоготреугольника равен длине его наибольшей стороны. Приведенное определениедиаметра фигуры неявно предполагает, что каждая рассматриваемая «фигура»представляет собой замкнутое множество (т.е. к фигуре причисляются все ееграничные точки). Например, если F — открытый круг диаметра d(т.е. круг, к которому не причисляются точки ограничивающей егоокружности), то точная верхняя грань расстояний между двумя точками фигуры Fравна d; однако в этом случае не существует двух точек фигуры F,расстояние между которыми в точности равно d. Если же мыпричислим к фигуре F все граничные точки (т.е. будемрассматривать замкнутый круг), то эта верхняя грань будет достигаться: найдутсядве точки А и В, расстояние между которыми равно d.
/>/>/>2. Фигурыпостоянной ширины
 
ПустьF — ограниченная выпуклая фигура и l — некотораяпрямая. Проведем к фигуре F две опорные прямые, параллельные l(опорная прямая — прямая, имеющая хотя бы одну общую точку с фигурой Fи вся фигура F расположена по одну сторону от l).
Расстояниеh между этими двумя опорными прямыми называется ширинойфигуры F в направлении l.
/> />
Нетруднозаключить, что высота равностороннего треугольника является его наименьшейшириной, а его сторона — наибольшей шириной. У круга ширина в любом направленииодна и та же: она равна диаметру круга.
Существуетбесконечное множество фигур постоянной ширины, т.е. таких выпуклыхфигур, у которых во всех направлениях ширина одинакова. Простейшим примеромтакой фигуры является треугольник Релло, изображенный на рис.6. Онпредставляет собой пересечение трех кругов радиуса h, центрыкоторых находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной h.
Вообще,если F — правильный многоугольник с нечетным числом вершин и h— длина наибольшей из его диагоналей, то, соединяя каждые две соседние еговершины дугой окружности радиуса h с центром в противоположнойвершине, мы получаем фигуру постоянной ширины h (рис.7).

/>
Этопостроение проходит и в том случае, если многоугольник диаметра hс нечетным числом сторон является правильным, но из каждой его вершины исходятдве диагонали длины h (рис.8).
Преждевсего, отметим, что диаметр фигуры постоянной ширины равен ее ширине: d=h.Через каждую граничную точку фигуры постоянной ширины d проходитхотя бы один диаметр этой фигуры (т.е. хорда, имеющая длину d).Границу фигуры постоянной ширины d нельзя разбить на две частименьшего диаметра.
Всякиедва диаметра фигуры постоянной ширины всегда пересекаются (либо внутри фигуры,либо на ее границе, рис.8, 9). При этом, если два диаметра АВ и АСимеют общую граничную точку А, то дуга ВСрадиуса d с центром в точке А целиком лежит награнице фигуры (рис.10).
/>
Наконец,отметим, что если F — фигура постоянной ширины и АВ— ее диаметр, то прямые l1 и l2,проходящие через точки А и В и перпендикулярные котрезку АВ, являются опорными прямыми фигуры F(рис.11)./>/>/>3. Кривыепостоянной ширины и их свойства
Нашипредки использовали колесо, круглые брёвна одинакового диаметра для перемещенияогромных камней, плит, массивных скульптур, на которые ставили плоскуюплатформу с грузом. Такой способ возможен потому, что круг – фигура постояннойширины. Но круг не единственная фигура постоянной ширины. Более того, такихфигур бесконечно много. Это могут быть симметричные фигуры, построенные наоснове правильных многоугольников, так и несимметричные фигуры, одна из них –треугольник Рело.
Всекривые данной постоянной ширины имеют одинаковый периметр. Окружность итреугольник Рело выделяются из всего набора кривых данной ширины своимиэкстремальными свойствами. Окружность ограничивает максимальную площадь, атреугольник Рело — минимальную в классе кривых данной ширины.
Ещёодно из удивительных свойств состоит в том, что все кривые одной им той жеширины имеют одинаковые периметры. Поскольку окружность принадлежит к числукривых постоянной ширины, периметр любой кривой постоянной ширины d равен длинеокружности диаметра d, то есть величине />d. Представим себе каток постоянной ширины d,который катится без проскальзывания между параллельными прямыми a и b. Будемсчитать прямую a неподвижной, а прямую b движущейся с постоянной скоростью v.Сделав один оборот, каток переместится на расстояние l, где l – длина кривой,которая ограничивает сечение катка, т.е. длина кривой постоянной ширины d.Время полного оборота катка обозначим буквой t. За это время прямая b переместитсяпо отношению к катку также на расстояние l и, значит, по отношению кнеподвижной прямой a — на расстояние 2l, поэтому 2l = vt. С другой стороны, вкаждый момент времени движение катка можно рассматривать как вращение вокругточки, в которой каток опирается на прямую a. Если угловая скорость вращениякатка равна ω, то скорость v движения прямой b, равна ωd. Итак, 2l = ωdt.Но ωt представляет собой угол, на который повернулся каток за время t,т.е. ωt = 2/>.Таким образом, 2l = 2/>d,l= />d.
Несимметричныекривые представляют собой почти произвольные фигуры. Рассмотрим какой-либонабор пересекающихся прямых. Рассмотрим один из секторов. Проведём дугуокружности произвольного радиуса с центром в точке пересечения прямых,определяющих этот сектор. Возьмём соседний сектор, и с центром в точкепересечения прямых, определяющих его, проведём окружность. Радиус подбираетсятакой, чтобы уже нарисованный кусок кривой непрерывно продолжался. Будем такделать дальше. Оказывается, при таком построении кривая замкнётся и будет иметьпостоянную ширину.
Также существуюттрёхмерные аналоги кривых постоянной ширины – тела постоянной ширины. Сфера —не единственное тело, которое может вращаться внутри куба, все время касаясьвсех шести его граней. Этим же свойством обладают все тела постоянной ширины.Простейшим примером несферического тела постоянной ширины может служить тело,образующееся при вращении треугольника Рело вокруг одной из его осей симметрии.Существует бесконечно много и других тел постоянной ширины. Те из них, которыеимеют наименьший объем при данной ширине, получаются из правильного тетраэдра,так же как треугольник Рело — из равностороннего треугольника (рис.7).
/>
Рис.12 Тела постояннойширины.

/>/>/>4. Треугольник Рело
 
/>/>4.1 Историческиесведения
 
Рассмотрим подробнеенаиболее известную фигуру — треугольник Рело, названный по имени придумавшегоего механика Франца Рело – немецкого учёного-инженера, жившего с1829 по 1905г.г… В 1852 он окончил политехникум в Карлсруэ, с 1856 профессорПолитехнического института в Цюрихе, в 1864—96 профессор Промышленногоинститута (позже — Высшая техническая школа) в Берлине. В 1875 впервые четкосформулировал и изложил основные вопросы структуры и кинематики механизмов,которые ранее содержались в неявной форме в работах П. Л. Чебышева и др… Релодал определение кинематической пары, кинематической цепи и механизма как кинематическойцепи принуждённого движения; предложил способ преобразования механизмов путёмизменения стойки и путём изменения конструкций кинематических пар. Связалтеорию механизмов и машин с проблемами конструирования, например, впервыепоставил и пытался решить проблему эстетичности технических объектов. Имея ввиду это направление его работ, современники Рело называли его поэтом втехнике. Творчество Рело оказало значительное влияние на последующиеисследования по теории механизмов.
Эта фигура обладает частьюважнейших свойств круга. Построить это треугольник просто. Начертимравносторонний треугольник. Заменим его стороны дугами окружностей, центрамкоторых являются вершины, а радиусами – стороны треугольника (на любомправильном нечётном n-угольнике можно построить кривую постоянной ширины по тойже схеме, что и треугольник Рело). На самом деле эта фигура не являетсятреугольником. Треугольник Рело имеет постоянную ширину, равную сторонеисходного треугольника. Его также можно использовать в качестве катка приперемещении поверхности, но его гораздо сложнее изготовить, чем круг.
Построим пару параллельных прямых,касающихся треугольника Рело. Проведём ещё пару касательных, перпендикулярныхпервой паре. Фигура окажется «запертой» в квадрате и будет касаться каждойиз его сторон. При вращении фигуры в квадрате она будет постоянно прилегать ковсем сторонам квадрата./>/> 4.2Очертание четырёхугольника
Наиболееизвестное свойство треугольника Рело – очертание четырёхугольника сложеннымвращением этого треугольник (рис.8).
/>
Есливращать треугольник А1В1С1 вокруг центра О1описанной вокруг него окружности с радиусом О1А1, а центртреугольника О1 вращать в противоположную сторону в три раза быстреепо окружности с центром N, то треугольник очертит фигуру, которая незначительноотличается от четырёхугольника. А именно, за один оборот центра О1 направопо окружности с радиусом О1N два угла четырёхугольника будутоформлены вершиной А треугольника Рело и по одному – вершинами В и С, т.е.через каждую четверть оборота вокруг центра N треугольника Рело будетнаходиться в положении А2В2С2, А3В3С3иА4В4С4.
Выполненныена рисунке построения показывают небольшую кривизну сторон четырёхугольника, окоторой также указывают инженеры. По их данным, наибольшее отклонение стороныот идеальной прямой имеет место в середине стороны. Треугольник Рело привращении контактирует с точкой D серединой своей стороны.
Обозначимчерез R- радиус, описанного около треугольника Рело круга, r=О1N.Тогда
А1В1=А2В2=А3В3=А4В4=R/>,
ND=r/>R+R/>
Изтреугольника А1NА4 получаем
А1N=r/>R, NЕ=/>
Изравенства DE=ND=NE следует, что
DE=r – R + R/>,
DE=R(/>1/>)+r(1/>)/>0,025R+0,293r.
Вычисливкривизну, получаем:
DE~ 0.025R + 0.293r
Такимобразом, отклонение DE стороны квадрата от сделанной прямой зависит, в первуюочередь, от радиуса r и не может быть устранено, потому что R и r не могутравняться нулю.
/>/>4.3 Движение вершины и центра треугольника Рело
Попробуемпостроить траектории движения двух характерных точек треугольника Рело прикачении его по плоской горизонтальной поверхности. Такими точками будут одна извершин треугольника и его геометрический центр. Моделирование одного полногооборота треугольника Рело показано на рисунке.
/>
Рис.14
Нафигурах 2, 6, 10 треугольник катится по поверхности окружности, на фигурах 4,8, 12 треугольник переваливается через вершину, на остальных фигурах происходитсмена характера движения треугольника с качения на переваливание и наоборот.Рассмотрим движение вершины треугольника. На фигурах 1, 2, 3 помеченная вершинадвижется линейно, по прямой (Рис. 10). Фактически помеченная вершина являетсяцентром вращения окружности, элементом которой является поверхность сторонытреугольника Рело. На фигуре 3 помеченная вершина меняет траекторию движения спрямолинейной на траекторию движения по окружности с радиусом, равным длинестороны, по которой он движется на фигурах 3, 4, 5.
Нафигуре 5 происходит смена траектории движения вершины. На фигурах 5, 6, 7вершина движется по трохоиде точки, находящейся на поверхности окружности срадиусом, равным длине стороны треугольника.На фигурах 7, 8, 9 меченнаявершина является точкой перевалатреугольника, она жестко лежит наповерхности. Фигуры 9, 10, 11 – опять трохоида и 11, 12, 1 – движение поокружности. По аналогии эти фигуры описаны выше. Меченая вершина возвращается висходную точку. Треугольник Рело совершил полный оборот.
 
/>
Рис.15Движение вершины треугольника.
/>
Рис.16Движение центра треугольника.
/>
Рис.17
Оченьважной является траектория движения геометрического центра треугольника. Еслиобозначить длину стороны треугольника через R, то расстояние от вершины догеометрического центра будет равно R//>.На фигурах 3 – 4 – 5, 7 – 8 — 9, 11 – 12 – 1 (Рис.16) центр движется по дугам срадиусом именно R//>.На фигурах же 1 – 2 – 3, 5 – 6 – 7, 9 – 10 – 11 центр движется по трохоиде,причем расстояние от центра катящейся окружности (не путать с геометрическимцентром треугольника, Рис. 15) до траектории искомой точки опять же равно R//>.
4.4 Площадь треугольника Рело
 
Одна из задач моей работы:доказать, что из всех фигур постоянной ширины d треугольник Рело имеетнаименьшую площадь.
/>
Для начала найдем площадьтреугольника Рело:
/>
/>;
/>;
/>
Следовательно,площадь треугольника Рело равна
/>
Попробуем доказать, что треугольник Релоимеет наименьшую площадь. Обозначим через n количество сторон многоугольника.
Пустьдан какой-то правильный n–угольник (с нечетным числом сторон), следовательно, егошириной будет наибольшая из диагоналей (в данном случае их две).
/>
(приn/>/>),/>.
Оценим/>и площадь треугольникаРелло:
/>, />>/>
Следовательно,/> больше площадитреугольника Рело, а равносторонний, треугольник является многоугольником снаименьшим числом вершин (сторон). Значит, с увеличением числа вершинмногоугольника площадь фигуры постоянной ширины, в которую вписан этотмногоугольник, будет увеличиваться.
Попробуемдоказать, что треугольник Рело имеет наименьшую площадь через n— количествосторон многоугольника.
Доказательство.
Итак, площадь треугольника Релоравна />.
Пусть дан правильный многоугольниксо стороной а. О — центр вписанной и описанной окружности. ОА=ОD; ОН/>АD;/>АОD=/> (n-число сторон), т.к.треугольник равнобедренный, ОН –биссектриса угла АОD.

/>
Следовательно,
 />АОН=/>НОD; />АОН: />АОН=/>; АН=/>, то />.
/>.
Диаметром многоугольника являетсяего наибольшая диагональ (в данном случае их две). Рассмотрим центральный уголАОВ и вписанный в окружность угол АМВ (рис. 21), то />АОВ=2/>АМВ, />АМВ=/>. AM=MB, то по теоремекосинусов
/>,то
/>
Площадь фигуры, в которую вписанправильный многоугольник состоит из площади многоугольника и суммы площадей равныхсегментов. Площадь сегмента равна
/>
(Sсегмента=Sсектора/>Sтреугольника АМВ).
/>
/>
Остается доказать, что этовыражение будет всегда больше площади треугольника Рело, т.е. больше чем/>. Для этого вычтем изплощади треугольника Рело площадь фигуры постоянного диаметра, в которую вписанправильный многоугольник и докажем, что эта разность при n>3 всегда будетотрицательной:
/>
/>
/>
/>
Итак, при любом n>3
/>

Следовательно, разность площадитреугольника Рело и площади фигуры постоянного диаметра, в которую вписанправильный многоугольник, отрицательна.Из всех фигур постоянной ширинытреугольник Рело имеет наименьшую площадь.

/>/>5. Применение треугольника Рело
 
5.1 Применение внекоторых механических устройствах
 
ТреугольникРело находит применение во многих механических устройствах, но ни в одном изних не используется его свойство кривой постоянной ширины. Лишь в 1914 годуанглийский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрёл инструмент для сверленияквадратных отверстий (рис.22). С 1916 года одна из фирм приступила кпроизводству свёрл Уаттса. Сверло Уаттса представляет собой просто-напростотреугольник Рело, в котором прорезаны углубления для отвода стружки и заточеныржущие кромки.
/>
Рис.22Сверло Уаттса 5.2 Применение вавтомобильных двигателях
ТреугольникРело используется и в автомобильных двигателях (рис.23, 24). Сконструировалэтот роторно-поршневой двигатель в 1957 году немецкий инженер Ф. Ванкель,немецкий инженер и изобретатель(1902-1988). Внутри примерно цилиндрическойкамеры по сложной траектории движется трёхгранный ротор-поршень – треугольникРело. Он вращается так, что три его вершины находятся в постоянном контакте свнутренней стенкой корпуса, образуя три замкнутых объёма, или камеры сгорания.
Фактическикаждая из трёх боковых поверхностей ротора действует как поршень.
/>
Рис.23Схема двигателя
Привращении ротор внутри корпуса объём трёх боковых создаваемых им рабочих камерпостоянно изменяется, действуя как насос. Ротор–поршень установлен свободно наэксцентрике вала и соединён с зубчатым колесом с внутренними зубьями,обкатывающимися вокруг неподвижной шестерни с наружными зубьями, ось которойсовпадает с осью эксцентрикового вала. Двигатель Ванкеля имеет множествопреимуществ перед обычным ДВС: РПД значительно компактней и легче, поэтому, приустановке его на автомашину, центр тяжести оказывается значительно ниже, аустойчивость автомобиля – выше. В традиционном четырёхтактном поршневомдвигателе один и тот же цилиндр используется для разных процессов – впуска,сжатия, сгорания и впуска. Но роторный двигатель позволят осуществлять каждыйиз этих процессов в разных частях корпуса. Каждый процесс как бы происходит вотдельном цилиндре. В поршневом двигателе давление расширения, возникающее присгорании топливовоздушной смеси, заставляет поршни двигаться вверх-вниз внутрицилиндров.

/>
Рис.24
Шатуныи коленвал преобразуют это возвратно-поступательное движение во вращательноедвижение, необходимое для перемещения автомобиля. В роторном двигателе отсутствуетпреобразуемое возвратно-поступательное движение. Давление образуется в камерах,создаваемых различными. Каждое отдельное сгорание происходит в течение90-градусной фазы вращения ротора, т.е. в течение 270-градусной фазы вращениявыходного вала.
/>
Рис. 25 ДвигательВанкеля
Одноцилиндровыйпоршневой двигатель выдает мощность только в течение одной четверти каждогооборота выходного вала. Роторный двигатель имеет меньшее количество движущихсячастей по сравнению с аналогичным четырехтактным поршневым двигателем.Двухроторный двигатель имеет три основные движущиеся части: два ротора ивыходной вал. Даже самый простой четырехцилиндровый поршневой двигатель имееткак минимум 40 движущихся частей, включая поршни, шатуны, распредвал, клапаны,пружины клапанов, качалки, ремень ГРМ, распределительные шестерни и коленвал.
В середине 60-го РПДбыл впервые смонтирован на серийную малолитражку NSU Prince. После доводкиконструкции, осенью 1963 года, свет увидела первая серийная машина с двигателемВанкеля — NSU Prince Spyder. Но выпускалась она не долго. Сначала фирму NSUпоглотила более крупная компания, а затем и сам РПД не выдержал жесткойконкуренции с «поршневиками».
В СССР в 1974 годутогдашний генеральный директор ВАЗа В.Н. Поляков поставил задачу создатьсобственный РПД. Решение было поручено специальному конструкторскому бюро (СКБРПД), которое возглавил Б.С. Поспелов.
При всех достоинствахРПД — компактности, приемистости, отсутствии кривошипно-шатунного игазораспределительного механизмов, а так же значительно меньших габаритов имассе при одинаковой с поршневыми двигателями внутреннего сгорания мощности, онимел и ряд серьезных недостатков.
Основнымина тот период были часто выходящие из строя уплотнительные элементы, плохаяприспосабливаемость к изменениям внешней нагрузки, повышенный расход топлива инеудовлетворительные показатели по выбросам в отработавших газах. С такимнабором плюсов и минусов и предстояло работать коллективу СКБ РПД Тольятти. Заметим,что отечественным разработчикам, в отличие от зарубежных, не пришлосьвоспользоваться наработками господина Ванкеля: денег на покупку лицензии илипатента не было. Пошли проверенным «российским» путем — досталисерийный РПД фирмы NSU, разобрали, скопировали, где было не ясно — додумали исделали свой односекционный роторно-поршневой двигатель.
Его появлениедатировано 1976 годом. Тогда первенец СКБ — ВАЗ-311 мощностью 70 л.с. — худо-бедно завращался, принеся надежду на будущее. Последующие пять лет ушли надоработку конструкции и борьбу с недостатками.      В 1982 году на выставкеНТТМ-82 вазовцы впервые продемонстрировали ВАЗ-21018 — автомобиль сроторно-поршневым двигателем. Машина представляла собой ВАЗ-21011 с силовымагрегатом ВАЗ-311. (Было выпущено 50 автомобилей для опробования в реальныхусловиях эксплуатации). Но первый блин оказался комом. Не поддержав машинынеобходимым сервисом и не подготовив соответствующим образом рядовогопокупателя, разработчики чуть было не загубили начатое дело. За пол года на 49автомобилях заменили РПД на поршневые двигатели внутреннего сгорания. Основныминеисправностями были выход из строя уплотнителей и подшипниковых узлов,появились также недостаточная сбалансированность роторно-эксцентрикового механизма(РЭМ) и плохая топливная экономичность. Взвесив все «за» и«против», решили отказаться от односекционного варианта РПД и броситьсилы на разработку двухсекционного. При этом конструкторская мысльсосредоточилась на искоренении дефектов, выявленных в результате опытнойэксплуатации.
В итоге в 1982-83 гг.появились новые двигатели ВАЗ-411 (мощность 110-120 л.с., ширина ротора 70 мм)и ВАЗ 413 (140 л.с., ширина ротора 80 мм). Одновременно подыскивается сфераприложения «ротора». Конструкторы получают добро на применениеразработок на практике от руководства МВД, ГАИ и КГБ — благо динамические имощностные показатели моторы выдавали довольно неплохие, располагая при этомнеобходимым ресурсом, а топливная экономичность была тогда не столь важна. Лишьв 1992 году автомобильная тематика приобретает второе дыхание: появляется РПДдля переднеприводных моделей (ВАЗ-414). С опозданием на целых 8 лет! Но, какговориться, лучше поздно чем никогда. Три года на доводку, и вот в конце 97года базовый двигатель автомобильного направления — ВАЗ-415 — получилсертификат на право установки его на автомобиль общего назначения. До этого РПДустанавливался только на спецтехнику. ВАЗ-415 отличается от своихпредшественников универсальностью. Его установка возможна на любую ВАЗовскуюмашину — «классику», передне- и полноприводные. Кроме того, РПД можноставить на «Москвич», а в трехсекционном варианте (ВАЗ-425) — и на«Волгу».
5.3Применение альтернативных видов топлива РПД
Поиски альтернативныхвидов топлива для автомобилей заставил вновь обратить внимание нароторно-поршневой двигатель Ванкеля. Разработчики Mazdaуверяют, что по природе своей роторно-поршневой агрегат гораздо лучшеприспособлен для работы на водороде, нежели традиционные моторы.
В отличие от многихавтопроизводителей, приступивших к своим водородным опытам на базе топливныхэлементов, Mazda начала колдовать с водородом, рассчитывая на свой РПД. Первыйобразец появился еще в 1991 году — автомобиль носил индекс HR-X. Однако по сутисвоей, это был бутафорский концепт. Через два года появилась модифицированнаяверсия — HR-X2. Тогда же были проведены работы по адаптации модели МХ-5 к водородномуРПД. В 1995 году Mazda Capella Cargo уже проходила дорожные испытания. В 2003году появилась привычная нам RX-8 с водородным РПД. Но лишь 15 февраля 2006года японские власти дали разрешение на реализацию таких машин корпоративнымклиентам в лизинг. Наконец, 23 марта того же года первые лизинговые Mazda RX-8Hydrogen RE нашли своих владельцев.
Водородная RX-8,естественно, может ездить и на бензине, причем с гораздо большим успехом.Удельная мощность ее мотора на водороде составляет лишь 61,2 кВт/л. Однако этотрезультат выглядит скромным только в сравнении с аналогичным показателем работыРПД на бензине. Если взглянуть на бензиновые двигатели, оснащенные впрыском вовпускные коллекторы, выяснится, что это совершенно стандартная цифра.
На двухроторном (или,как его еще называют, двухсекционном) двигателе Renesis, которым оснащен RX-8Hydrogen RE, впрыск водорода происходит непосредственно в камеру сгорания, аточнее в тот сектор, где происходит образование горючей смеси. Благо, что вотличие от плотной компоновки головок цилиндров кривошипно-шатунных моторовместа для установки форсунок под водород в РПД предостаточно.
Куда же разработчикиспрятали емкость под газ? Два баллона находятся в багажном отделении.Заправочная горловина под водород расположена правому борту, на другой стороне— I новая горловина. Бензобак размещу сиденьями второго ряда.
Насегодняшний день конструкторы используют два варианта хранения водорода вавтомобиле. В первом случае водород хранится в жидком состоянии приотносительно небольшом давлении. Такое решение требует постоянно поддержанияочень низкой температуры, близкой к абсолютному нулю (по шкале Кельвина). Этотвариант требует дополнительных устройств, обеспечивающих теплоизоляцию.
По прогнозамспециалистов, более двух недель держать в баке водород не представляетсявозможным, поскольку он неизбежно начнет нагреваться и давление в баке будетподниматься. При этом во избежание аварийной ситуации сработаетпредохранительный клапан, стравливая водород в атмосферу.
/>
Рис.26
Японские конструкторыостановились на втором варианте хранения — в газообразном состоянии и подбольшим давлением. Комплекс конструкторских мер, направленных на поддержаниенеобходимых 350 бар (35 МПа), обходится гораздо дешевле, несмотря на то, чтопотенциальная опасность такой конструкции выше.
Не окажется ли роторно-поршневойдвигатель всего лишь промежуточной стадией освоения водорода как топлива дляавтомобилей? Акихиро Кашиваги — руководитель проекта уверен в его перспективности:«Водородный РПД „загрязняет“ атмосферу только водой. Renesis, конечно,проигрывает в эффективности приводу на базе топливных элементов, однаковозможность совместного использования традиционного бензина и водорода даютпотребителю массу преимуществ. Но самый большой плюс подобной конструкции, с точкизрения г-на Кашиваги, заключается в сравнительной дешевизне производства водородногоРПД. Тем не менее в соревновании с обычным автомобилем Mazda RX-8 Hydrogen REпока проигрывает. Даже если отвлечься от проблем, связанных с добычей дешевоговодорода (в чистом виде этот газ в природе не встречается), тот факт, чтомашина до сих пор не дошла до массового потребителя, говорит о многом. Предполагаемыерозничные цены и стоимость обслуживания при повседневной эксплуатации насегодняшний день настолько высоки, что продажи RX-8 Hydrogen RE совершеннобессмысленны. Действительно, в пересчете на европейскую валюту ежемесячныйлизинговый платеж составляет около трех тысяч евро, что за 30-месячный периодсоставит 90000 евро. Для сравнения, самая дешевая версия бензиновой RX-8обходится российскому покупателю чуть дороже $45 000.
Впрочем,по прогнозам специалистов, уже к 2025 году более четверти мирового автопаркабудет использовать в качестве топлива водород. Сколько из этого количествапридется на традиционные ДВС и как будет меняться пропорция по мере удешевлениясебестоимости производства компонентов привода на топливных элементах? Увидим вближайшие годы.

5.4 Применение треугольника Рело вгрейферном механизме в кинопроекторах
Также треугольник использовался вгрейферном механизме в кинопроекторах. Двигатели дают равномерное вращение оси,а чтобы на экране было четкое изображение, пленку мимо объектива надо протянутьна один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть и так 18 раз всекунду. Именно эту задачу решает грейферный механизм. Он основан натреугольнике Рело, вписанном в квадрат и двойном параллелограмме, который недает квадрату наклоняться в стороны. Действительно, т.к. длины противоположныхсторон равны, то среднее звено при всех движениях остается параллельнымоснованию, а сторона квадрата всегда параллельной среднему звену. Чем ближе оськрепления к вершине треугольника Рело, тем более близкую к квадрату фигуруописывает зубчик грейфера./>/> 
Заключение
 
Колесо, изобретенное несколько тысячлет назад, произвело переворот в жизни человека. Постоянство ширины явилось дляколеса определяющим свойством, следствием которого явилось техническое завоеваниемира. Я в своей работе попытался распространить это свойство на другие фигурыэтого семейства, семейства фигур постоянной ширины.
Систематизируяи углубляя теоретические знания, я в треугольнике Рело (самой известной послекруга фигуры постоянной ширины) обозначил его сильные и слабые стороны. Изучилосновные свойства фигур постоянной ширины, историю изобретения, рассмотрелобласти применения фигур постоянной ширины и изучить их свойства, пытался доказать,что из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь.
Рассмотрел применение треугольника Релов некоторых механических устройствах, в автомобильных двигателях. Поискиальтернативных видов топлива для автомобилей заставил вновь обратить вниманиена роторно-поршневой двигатель Ванкеля. Разработчики Mazda уверяют,что по природе своей роторно-поршневой агрегат гораздо лучше приспособлен дляработы на водороде, нежели традиционные моторы. По прогнозам специалистов, ужек 2025 году более четверти мирового автопарка будет использовать в качестветоплива водород. Сколько из этого количества придется на традиционные ДВС и какбудет меняться пропорция по мере удешевления себестоимости производствакомпонентов привода на топливных элементах? Увидим в ближайшие годы.
Отличительныесвойства треугольника Рело находят множество применений. Это доказывает, что мыдолжны более тщательно изучить свойства фигур постоянной ширины и находить имещё больше применений./>/> 
Литература
1. Сайт в Интернете:aurahome.narod.ru
2. Сайт в Интернете:passagen.se
3. Бронштейн, И.Н.,Семендяев, К.А., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. – М.: Просвещение,1962.
4. Дорофеев, Г.В., Шарыгин,И.Ф., Суворова, С.Б. Математика. – М.: Просвещение,1987.
5. Коксетер, С.М., Грейтцер,С.Л., Новые встречи с геометрией. – М., Наука, 1978.-223с.
6. Конфорович, А.Г.,Некоторые математические задачи. – Киев, Родная школа, 1981.-189с.
7. Кушнир, И.А., Треугольникв задачах. – Киев,Лебедь, 1994.-104с.
8. Спецвыпуск „ЗаРулем“, 2007, с. 96-101
9. Техника и наука,1982, №7, с.14-15.
10. Техника и наука,1983, №10, с.19-21.
11. Учебно-методическаягазета „Математика“.