Численное решение краевых задач для двумерного уравнения колебания

--PAGE_BREAK--1.1. Сеточная область


Для построения разностной схемы необходимо построить сетку Gh-конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределе­ния которых характеризуется параметрами h — шагом сетки. Пусть об­ласть изменения аргумента х есть отрезок. Разобьем этот отрезок   точками   на   n   равных   частей длины  каждая.  Множество точек называется    равномерной сеткой на отрезке  и обозначим , а число h-расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки. Разбиение отрезка  точками  можно производить произвольным образом -. Тогда получаем сетку с шагами , которое зависит от номера узла сетки. Если  хотя бы в одной точке, то сетка называется неравномерной и такую сетку обозначают . Точки х0и хnназовем граничными узлами и обозначим их. Остальные узлы назовем внутренними и обозначим их wh. Узлы соседние с гранича­щими назовем приграничными. Тогда имеем  [4].



1.2. Сеточная функция. Пространство сеточных
функций. Нормы сеточных функций


Функция y=y(xi) дискретного аргумента хiназывается сеточной функцией,   определенной   на   сетке .   Сеточные  функции   можно рассматривать как функции целочисленного аргумента, являющегося номером узла сетки, т.е.. Далее мы будем писать .

Сеточная область whзависит от параметра h. При различных значениях параметра hимеем различные сеточные области. Поэтому и сеточные функции yh(x) зависят от параметра h.

Функции u(х) непрерывного аргумента являются элементами функ­ционального пространства H. Множество сеточных функций yh(x) образует пространство Hh. Таким образом, в методе сеток простран­ство Н, заменяется пространством Hhсеточных функций yh(x).

Так как рассматривается множество сеток {wh}, то мы получаем множество {Hh}пространств сеточных функций, определенных на {wh}.

Пусть u(х) — решение исходной непрерывной задачи (1.1), uH; yh-решение разностной задачи. yhHh. Для теории приближенных вычис­лений представляет большой интерес оценка близости u(х) и yh(x), но u(х) и yh(х) являются элементами из различных пространств. Прост­ранство Н отображается на пространство Hh. Каждой функции u(х)Н ставится в соответствие сеточная функция yh(x), х  wh, так что yh=Phu Нh, где Ph— линейный оператор из Н в Hh. Это соответствие можно осуществить различными способами, т.е. зависит от выбора оператора Ph. Теперь, имея сеточную функцию uh, образуем разность yh-uh, которая является вектором пространства HhБлизость yhи uh, характеризуется числом , где — норма на Hh.

Соответствие функций u(х) и uhможно установить различными спо­собами, например,

uh=u(x), х  wh.

В дальнейшем мы будем пользоваться этим способом соответствия.

В линейном пространстве Hhвведем норму , которая является аналогом нормы || • ||н в исходном пространстве Н. Обычно принято выбирать норму в пространстве Hhтак, чтобы при стремлении к нулю hона переходила в ту или иную норму функций, заданных на всем отрезке, т.е. чтобы выполнялось условие

                       ,                                                                             (1.2)

где — норма в пространстве функций, определенных на отрезке,

которому принадлежит решение.

 Условие (1.2) называют условием согласования в пространствах Hh, и Н.

Рассмотрим простейшие типы норм в Hhдля случая сеток wh={xi=ih} на отрезке .

1.Норма

удовлетворяет условию (1.2), если в качестве Н рассматривать прост­ранство непрерывных функций с нормой



а сеточную функцию определять в виде (1.2), т.е.



2.       Норма



удовлетворяет условию (1.2), если за Н принять пространство непре­рывных функций с нормой



а сеточную функцию определять в виде

 [4, 6].


    продолжение
--PAGE_BREAK--1.3. Аппроксимация дифференциальных операторов


Пусть имеем дифференциальный оператор . Этот оператор можно аппроксимировать несколькими способами. Например,

— правая разностная производная;                                  (1.3)   — левая разностная производная;                                      (1.4)

  — центральная разностная производная.                           (1.5)

Можно взять их линейную комбинацию

,                                                                                     (1.6)

где   — вещественный параметр.

При =1 из (1.6) получаем аппроксимацию (1.3); при =0 — аппроксимацию (1.4), а при =0.5 — аппроксимацию (1.5).

Чтобы показать погрешность аппроксимации, разложим по фор­муле Тейлора

,                                     (1.7)

предполагая, что функция v(x) достаточно гладкая в некоторой окрест­ности

(х- ho,x+ h) точки х, h

Подставляя это разложение в (1.3), (1.4), (1.5), получим:







Отсюда видно, что







Пусть L— дифференциальный оператор, Lh— разностный оператор, заданный на сетке wh. Говорят, что разностный оператор Lh:

1)       аппроксимирует дифференциальный оператор Lв узле, если, где v(x) — достаточно гладкая функция, стремится к нулю при ;

2)       аппроксимирует Lс порядком n>0 в узле  если , т.е.

, M= const>0.

В качестве следующего примера рассмотрим оператор Lv= v"(x).

Для   аппроксимации   этого   оператора   используем   трехточечный шаблон (x-h, х, x+h).

Замечая, имеем



Отсюда



Пользуясь разложением (1.7), покажем, что порядок аппроксима­ции равен двум, т.е.



так как  [1].

    продолжение
--PAGE_BREAK--1.4. Разностная схема


Как правило, дифференциальное уравнение решается с некоторыми дополнительными условиями — начальными (задача Коши), краевыми (краевая  задача) либо и с начальными,  и с краевыми условиями (смешанные задачи). Эти дополнительные условия при переходе к разностным уравнениям надо также аппроксимировать.

Пусть имеем некоторую дифференциальную задачу, записанную в виде

Lu= f(x), xG                                                                                                   (1.8)

с дополнительным условием

lu= (х), хГ.                                                                                                   (1.9)

Введем в области  сетку

и поставим в соответствие задаче (1.8), (1.9) разностную задачу
Lhyh=fh, xwh,                                                                                                            (1.10)

, xyh.                                                                                                            (1.11)

Функции Уh(х), fh(x), зависят от шага сетки. Меняя h, получаем множества функций , зависящих от параметра h. Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра h. Это семейство задач называется разностной схемой.

Рассмотрим примеры разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи.

Пример 1. Имеем задачу Коши





Используем аппроксимации:





После этого имеем разностную схему:





Расчетный алгоритм имеет вид




Пример2. Рассмотрим задачу Коши





Воспользуемся следующими аппроксимациями:





После этого имеем разностную схему



 [4].

1.5. Корректность разностной схемы


Пусть имеем дифференциальную задачу

                         Lu= f(x), xG,                                                                   (1.12)

                             lu= (х), хГ                                                                  (1.13)

и на сетке  аппроксимируем ее разностной схемой

                           Lhyh=fh, xwh,                                                           (1.14)

                              , xyh.                                                            (1.15)

 Задача (1.12), (1.13) поставлена корректно, если выполнены условия:

1) задача однозначно разрешима при любых правых частях fH,
Н;

2) решение задачи непрерывно зависит от правых частей fH, Н, т.е.



 Аналогично определяется понятие корректности разностной схемы (1.14), (1.15). Говорят, что разностная схема (1.14), (1.15) корректна, если при всех достаточно малых |h|

1) решение уhразностной схемы существует и единственно для всех
входных данных fhHh, Hh;

2) существуют постоянные М1>0, М2>0 не зависящие от hи такие, что
при любых fhHh,Hhсправедлива оценка

                                                                                 (1.16)

Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, решения разностной схемы от правых частей, назы­вается устойчивостью разностной схемы. Рассмотрим примеры.


Пример 1. Пусть имеем задачу:

                                                  (1.17)

Точным решением задачи (1.17) является функция



Если ввести новую функцию , то получим задачу

                                                                            (1.18)

Решением задачи (1.18) является функция



Задачу (1.18) аппроксимируем на равномерной сетке  схемой:

                                                                             (1.19)

Перепишем схему (1.19) в виде



Отсюда имеем



Рассмотрим фиксированную точку  и выберем последовательность сеток  таких, чтобы ,т.е.  является узлом сетки  при

Вычислим значение у в этой точке .Taк как  при  и любых h, то  при любом h. Из этого нера­венства видно, что решение разностной схемы (1.19) непрерывно зависит от входных данных. В таких случаях говорят, что разностная схема устойчива по входным данным (по начальным условиям и по правой части).


Пример2. Имеем уравнение

.                                                                       (1.20)

Точным решением задачи (1.20) является функция

.

Отсюда следует неравенство

|u(x)||uo|                                                                                                           (1.21)

при .

Для  устойчивости вычислительных  алгоритмов  решения  задачи (1.20) должно быть выполнено условие вида (1.21), т.е.

                                                                                                            (1.22)

Задачу (1.20) аппроксимируем явной схемой Эйлера

                                                                       (1.23)

y(0)=u(0).

Выражая решение схемы (1.23) через начальное условие, имеем



Неравенство (1.22) будет выполнено, если



т.е. .

Таким образом, явная схема Эйлера условно устойчива.
Пример  3.   Для  численного  решения  задачи  (1.20)   используем неявную схему Эйлера



Отсюда



т.е.

    при .

Схема (1.24) абсолютно устойчива, ибо выполнено условие (1.22) при любом h.


Пример 4. Задачу (1.20) аппроксимируем схемой с весом

                                                           (1.25)

Отсюда имеем



Условие (1.22) будет выполнено, если



т.е.

Отсюда получаем



Схема абсолютно устойчива при

 и



т.е. схема (7.25) условно устойчива при  [4].
    продолжение
--PAGE_BREAK--
1.6. Аппроксимация и сходимость


Для того, чтобы выяснить, с какой точностью приблизили функцию u=u(x) с помощью функции у(х), мы должны их сравнить. Пусть uhзначение функции u(х) на сеточной области , т.е. uhHh.

Рассмотрим погрешность решения разностной схемы (1.14), (1.15), которая аппроксимирует на сетке  дифференциальную задачу (1.12), (1.13).

Введем функцию погрешности решения

zh=yh-uh,

где yh— решение схемы (1.14), (1.15), uh— решение задачи (1.12), (1.13) на сетке . Подставив yh= zh+ uhв линейную задачу (1.14), (1.15), полу­чим для zhзадачу того же вида, что и (1.14), (1.15):

                                                         (1.26)

                                                        (1.27)

где                                                                                  (1.28)

Функции (1.28) называются погрешностью аппроксимации задачи (1.12), (1.13), схемой (1.14), (1.15) на решении задачи (1.12), (1.13).

 Будем говорить, что решение разностной схемы (1.14), (1.15) сходится к решению задачи (1.12), (1.13), если

при 

Разностная схема сходится со скоростью O(hh) или имеет n-ый порядок точности, если при достаточно малом hhвыполняется неравенство



где М>0, не зависит от h, n>0.

Говорят, что разностная схема имеет n-ый порядок аппроксимации,

Если              

т.е.

Теорема Лакса. Пусть дифференциальная задача (1.12), (1.13) постав­лена корректно, разностная схема (1.14), (1.15) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (1.12), (1.13). Тогда решение раз­ностной схемы (1.14), (1.15) сходится к решению исходной задачи (1.12), (1.13), причем порядок точности совпадает с порядком апп­роксимации.

Доказательство. Если схема (1.14), (1.15) корректна, то нетрудно получить оценку погрешности решения через погрешность аппрокси­мации (1.28).

Задача (1.26), (1.27) аналогична задаче (1.14), (1.15), поэтому для нее пользуясь априорной оценкой вида (1.16), получим оценку

                                                            (1.29)

Таким образом, если схема (1.14), (1.15) корректна и аппроксими­рует задачу (1.12), (1.13), то она сходится при h0. Норма погреш­ности | при

h0, если  и  при h0.

 Из оценки (1.28) видно, что порядок точности схемы (1.14), (1.15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(hn), n>0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е.

Рассмотрим примеры.


Пример 1. Рассмотрим явную схему Эйлера



которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость.

Рассмотрим функцию погрешности решения

Для  получаем схему:

                                                          (1.30)

Разложим  по формуле Тейлора в точке , имеем

                                                                              (1.31)

Подставляя (1.31) в , получим  т.е. имеем первый порядок аппроксимации. Из (1.30) имеем



При  имеем  Выражая  через , получим:



Отсюда  видно,   что  при  .  Для  точности  схемы  имеем

т.е. схема имеет первый порядок точности.
Пример 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера



которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.20). Для пог­решности решения  получаем разностную схему:



Подставляя разложение (1.31) в , получим

 

Отсюда имеем



т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для



Множитель  при . Выражая  через , имеем



Отсюда , т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом



имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий ус­тойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпа­дает с порядком погрешности аппроксимации[4].



    продолжение
--PAGE_BREAK--§2. Основные понятия и история вопроса экономичных разностных схем


1. Одним из основных критериев оптимальности в теории чис­ленных методов является требование минимума арифметических опе­раций.

Для одномерных задач математической физики особых затруд­нений в этом плане нет. Разностные схемы в этом случае реализу­ются экономичным алгоритмом прогонки, который на слое сетки допускает количество арифметических операций про­порциональное количеству узлов.

Особую остроту приобретает вопрос об экономичности вычис­лительных алгоритмов в численном решении многомерных задач ма­тематической физики. Многомерные краевые задачи моделировать многомерными разностными схемами и решать непосредственно эти схемы нецелесообразно, так как алгоритм становится сложным, не­экономичным и нереализуемым на ЭВМ.

 Пусть в цилиндре  ищется решение уравнения                                                                                   (2.1)

удовлетворяющее условиям

                                                                                             (2.2)

                                                                                           (2.3)

где -мерный единичный куб,   — боковая поверхность .

Задачу (2.1)-(2.3) моделируем разностной схемой с весом:                                         (2.4)

 

  

  

где   — вещественный параметр.

     Разностное уравнение запишем в операторном


где Е — единичный_ оператор.

Нахождение  при  требует обращения многомерного оператора, что связано с весьма трудоемкой вычислительной работой, поскольку соответствующая этому опера­тору матрица порядка  не имеет специального вида. Обраще­ние такой матрицы производится по методу Гаусса, что требуетарифметических операций или методом итераций, кото­рый также требует много машинного времени. По этой причине не­посредственное решение схемы (2.4)-(2.6) даже при  нецеле­сообразно, так, как возникают серьезные проблемы памяти ЭВМ и резко возрастает количество арифметических операций на слое сеткой. Схема может оказаться нереализуемой на современных ЭВМ.

     Если в уравнении (2.4)  , то получаем явную схему



которую перепишем в виде



В этом случае обращается диагональная матрица, требующая лишь 0(N)   арифметических операций.

Условием устойчивости схемы (2.4)-(2.6) будет



Отсюда видно, что условием устойчивости явной схемы будет



Из условия (2.7) видно, что схемы о , в том числе чисто неявная схема при  и симметричная схема при , абсолютно устойчивы.

Если имеем уравнение с переменными коэффициентами, т.е.

                                                                         (2.8)

то                 

Условие устойчивости схемы (2.4)-(2.6) с эллиптическим оператором (2.8) имеет вид



Отсюда получаем условие устойчивости явной схемы в виде

                                                                                                            (2.9)

Условие устойчивости (2.9) налагает весьма жесткие огра­ничения на шаг по времени  и выход на заданный момент време­ни  по явной схеме требует неоправданно большого числа вре­менных шагов.

Из условия (2.9) видно, что выбор шага  существенно за­висит от количества пространственных переменных  р    и от вели­чины М. С ростом числа  р    и для быстро меняющегося коэффици­ента теплопроводности   K=K(x,t)     шаг  становится еще мель­че. В этом случае схема (2.4)-(2.6) при  становится неэф­фективной, так как выход на заданный момент времени  t=T   тре­бует слишком большого числа временных шагов.

Чисто неявная схема () (2.4)-(2.6) абсолютно устойчива, т.е. на параметры сетки  h    и      не налагаются ограничения. Поэтому счет можно вести более крупными шагами hи  и тем самым удается значительно понизить порядок системы, уменьшить количество временных шагов, необходимых для достижения момента времени t = Т .

В неявных схемах придется решать системы алгебраических уравнений, как правило, высокого порядка и с разреженными матри­цами. Итак, реализация систем алгебраических уравнений для мно­гомерных задач в общем случае представляется невозможной из-за громоздкости порядка системы (проблема памяти ЭВМ), большого объема арифметических операций.

Таким образом, лучшими качествами явной и неявной схем являются количество арифметических операций, равное 0(N)   в явной схеме, и абсолютная устойчивость неявной схемы, недостат­ками — условная устойчивость явной схемы и большое количество арифметических операций в неявной схеме. Отсюда ясно, что если построим разностные схемы, сочетающие в себе лучшие качества обычных явных и неявных разностных схем, то можно эффективно решать многомерные задачи математической физики.

Итак, безусловная (абсолютная) устойчивость и независимость количества арифметических операций, требуемые для вычисления приближенного решения задачи в отдельной точке сетки от общего количества узлов сеточной области, определяют класс экономичных схем.

Уравнение (2.1) можно аппроксимировать по-другому, стремясь упростить вычислительный процесс. Уравнение (2.1) аппроксимируем разностным уравнением



В этой схеме аппроксимация по первому направлению неявная, а по всем  остальным — явная.

Реализация этой схемы идет по направлению , как в од­номерном случае методом линейной прогонки, затратой арифметичес­ких операций порядка . Однако схемы (2.10),  (2.5),  (2.5) условно устойчивы. Таким образом, из требований экономичности разностной схемы первое условие не выполнено, а второе — выпол­нено. Поэтому схемы типа (2.10),  (2.5),  (2.6) не относятся к классу экономичных схем, они конструируются специальным образом.

2. Достижением вычислительной математики является разра­ботка экономичных методов решения многомерных краевых задач ма­тематической физики. Первые экономичные схемы были схемами в дробных шагах по времени t. Они предложены и обоснованы в 1955 г. одновременно американскими учеными  D.W. Peacemdn, H.H.Rachford и J.Douglas.

Характерной особенностью экономичных схем этого периода является то, что все они основывались на идее ведения дробных моментов времени и поэтапном решении р    задач в промежутках . Решением исходной задачи будет решение последней    р -й задачи в момент времени . Решения осталь­ных (р-1)   задач являются вспомогательными в моменты времени . Таким образом, наряду с основной сеткой по  рассматривается вспомогательная сетка. Все эконо­мичные схемы этого периода относятся к схемам последовательного перехода по времени t. Следуя Н. Н. Яненко, назовем их ме­тодом дробных шагов.

В 1965г. А. А. Самарский предложил и обосновал экономичный метод без привлечения вспомогательной сетки , т.е. экономичная схема конструируется на исходной сетке . Таким образом, характерной областью экономичных схем этого периода является то, что сетка  не вводится, вспомогательные функции рассматриваются на верхнем слое. Составная схема конструируется на исходной сетке . Как будет показано ниже, отказ от вспомогательной сетки  дает широкие возможности для построения различных экономичных схем и тем самым удается значительно расширить их класс. Экономичные методы, построенные на такой основе, назовем методом целых шагов. На основе метода целых шагов строятся экономичные схемы последовательного и параллельного (одновременного) перехода с нижнего слоя на верхний слой по t.

Любая разностная схема, моделирующая исходную дифференциальную краевую задачу, должна удовлетворять данным условиям устойчивости, аппроксимации на решение исходной задачи и простоты. Если эти требования для одномерной разностной схемы выполняются сравнительно легко, то при переходе к двумерной  (многомерной) задаче возникают значительные трудности.

Перед вычислительной математикой встала сложная задача по­строения экономичных методов решения многомерных задач матема­тической физики. Стало невозможным разрешить эту проблему на базе однородных разностных схем, где при переходе от одного вре­менного слоя к другому одновременно удовлетворяются условия ус­тойчивости и аппроксимации. При этом, конечно, формула получает­ся более простой, но схема становится менее гибкой и имеет в своем распоряжении небольшое количество произвольных параметров, что создает основные трудности выполнения вышеописанных требова­ний. Экономичные схемы, расчленяя переход от нижнего слоя к верхнему на ряд промежуточных этапов и не требуя на каждом эта­пе обязательного выполнения свойств аппроксимации исходного уравнения и устойчивости, имеют в своем распоряжении набор па­раметров, что дает возможность выбора наиболее эффективного вы­числительного алгоритма.

Пусть имеем уравнение теплопроводности



Разрабатывая в 1955г. первые экономичные схемы переменных направления, Писмен, Рэкфорд и Дуглас имели в виду упростить решение алгебраической системы уравнений высокого порядка, со­хранить абсолютную устойчивость и приемлемую точность, тем самым удовлетворили до некоторой степени вышеописанные требования. Идея метода заключается в следующем. Уравнение (2.2) аппроксимируется разностным уравнением
                                                            (2.12)



Нетрудно заметить, что схема (2.12) является условно устой­чивой и симметризуется так, чтобы     и   менялись ролями от шага к шагу

                                            (2.13)

Если в схему (2.23) счет повторяется при переходе с    j–го слоя на (j+2)-й, то (j+1)-й слоя выступает в роли вспомогательного слоя.

Поэтому, введя дробные моменты времени , схему (2.13) можно переписать в виде

                                (2.14)

Путем исключения вспомогательных функций в дробные моменты времени получаем эквивалентную ей однородную схему

                                                  (2.15)

Схема (2.15) и эквивалентная ей схема (2.14) аппроксимируют уравнение (2.11), как и схема

.

Безусловная устойчивость схемы (2.15) или (2.14) устанав­ливается методом Неймана. Схема (2.14) решается двумя одномерны­ми прогонками, что не только упрощает алгоритм счета, но и умень­шает объем вычислений. Из (2.13) или (2.14) видно, что методы Писмена, Рэкфорда и Дугласа предполагают обязательную аппрокси­мацию дифференциального уравнения по каждому направлению. Они представляют неявный метод переменных направлений.

Заметим, что этот метод не годится для пространства нечет­ного числа измерений. Например, при   р=3   интегрирование в каждом направлении  происходит один раз неявно, а явно. Тогда возрастание ошибки в явной схеме не компенсируется убыванием ее в неявной схеме. Это подтверждается точным анали­зом устойчивости при р=3. Заметим также, что метод пере­менных направлений не годится для уравнений со смешанными про­изводными даже при р=2.

Для решения трехмерного уравнения (2.2) в работе J.Douglas, H.Rachfozd     была предложена следующая схема:

--PAGE_BREAK--§3 Схема расщепления с последовательным переходом3.1.Постановка задачи.


Требуется найти функцию u(x1,x2,t), удовлетворяющую следующим условиям:

,          0

                                                    ,  

    x = (x1, x2 )

    u(x,0) = u0(x) ,  ut(x,0) = u1(x) ,                                                (2)
    u(0, x2,t) = μ1- ,  u(l1, x2,t) = μ1+                                                                (3)

    u( x1,0,t) = μ2- ,  u(x1, l2,t) = μ2+

                 l2        

        X2

                    II

                                        I

                                           

                                                  l1
                    0                                        X1
3.2. Последовательный переход


                                                                                     (4)

                                                                                   (5)

Приближенным решением исходной задачи является решение задачи (5), т.е.   


    продолжение
--PAGE_BREAK--3.3. Разностная схема.


Задача (4) аппроксимируется схемой

                                                           (6)                                                                              (7) 

Суммарная погрешность аппроксимации

   

Задача (6) решается методом правой прогонки по направлению .

Решением задачи на каждом слое будет решение второй схемы (7)

Задача (6) – вспомогательная.


3.4. Стандартный вид разностных схем.


Схемы (6) и (7) сведем к стандартному виду

          ,                                                                    (*)

где

по х1: ,1   ,  0   , 

   ,      ,     , 

0   ,  1   , 
по х2: ,   ,    , 

  ,     ,     , 

   ,     , 
Построим сетку по времени и по пространству с шагами  и h:





       




Метод правой прогонки

, ,

 ,  ,                                                             (**)

 ,        
      X2                                                          x2

    




                                         Схема(6)                                          Схема(7)

                                                                             
    продолжение
--PAGE_BREAK--                                                     0                                       x1                     0                                     x1
§4 Схема расщепления с параллельным переходом. 4.1.Постановка задачи.


Требуется найти функцию u(x1,x2,t), удовлетворяющую следующим условиям:

,          0

                                                    ,  

         x = (x1, x2 )

    u(x,0) = u0(x) ,  ut(x,0) = u1(x) ,                                                (2)
    u(0, x2,t) = μ1- ,  u(l1, x2,t) = μ1+                                                                (3)

    u( x1,0,t) = μ2- ,  u(x1, l2,t) = μ2+


4.2. Параллельный переход на дифференциальном уровне.


Задачи (1) — (3) расщепляем на две автономные задачи по направлениям осей координат.

                                                                          (8)
                                                                            (9)

 
Решение задачи определяется в виде

     


4.3. Параллельный переход на разностном уровне


      (или 0)                                     (10) 

                                                                                                                                                                                                                           (или )                             (11) 

 
Схема (10) решается методом правой прогонки по направлению . Схема (11) решается методом правой прогонки по направлению . Схемы (10) и (11) свести к стандартному виду (*) и решить методом правой прогонки (**).

,  ,  ,  Т=1.
      x2    l1                                                   x2

    




                                         Схема(10)                                        Схема(11)

                                                                             
    продолжение
--PAGE_BREAK--