Содержание
Введение1.Элементы математической статистики1.1 Оценки параметров распределения1.2 Наиболее важные распределения, применяемые вматематической статистике1.2.1 Нормальное распределение
1.2.2 РаспределениеПирсона (х2 распределение)1.2.3 Распределение Стьюдента1.2.4 Распределение Фишера
2. Организация эксперимента2.1 Задачи предварительного эксперимента. Факторноепространство2.2 Формулирование цели эксперимента и выбор откликов2.3 Выбор и кодирование факторовСписоклитературыПриложение (таблица критических точек критерия Фишера)
Введение
Кважнейшим направлениям научно-технического прогресса относятся автоматизацияпроизводства, широкое применение компьютеров и роботов, создание гибкихавтоматизированных устройств и т.д. Во всех этих направлениях ведущая рольпринадлежит электронике.
При созданииэлектронной и электромеханической аппаратуры основные трудозатраты приходятсяна ее настройку, снятие характеристик и испытания. При этом нередкоиспользуется малоэффективный традиционный метод однофакторного эксперимента,недостаточно внимания уделяется организации и планированию эксперимента ивероятностно-статистическому анализу получаемых данных. Чтобы повыситьпроизводительность труда в данной области, специалистам необходимо знать основыматематической теории эксперимента и успешно применить ее на практике.
1. Элементыматематической статистики 1.1 Оценки параметровраспределения
Математическаястатистика изучает массовые, случайные явления. Ее основной задачей являетсяизучение распределений случайных величин или ее числовых характеристик(параметров распределения) на основе экспериментальных данных. Среди параметровраспределения наиболее часто используются математическое ожидание />, дисперсия /> и среднееквадратическое отклонение />. По результатам экспериментаможно вычислить точечные и интервальные оценки этих параметров.
Точечныеоценки определяют приближенные значения неизвестных параметров.
Пусть врезультате экспериментов были получены следующие значения выходной переменной />.
Оценкойматематического ожидания является выборочная средняя:
/>
Оценкадисперсии определяется формулой:
/>
Для среднегоквадратического отклонения получим:
/>
Если средирезультатов попадаются одинаковые значения, то есть значения /> встретилось /> раз, тоточечные оценки определяются формулами:
/>,
где />-числоразличных значений />.
Интервальныеоценки указывают интервал, в который с заданной вероятностью попадает значениенеизвестного параметра.
Дляматематического ожидания доверительный интервал оценивается следующим образом:
/>,
где />-значениекритерия Стьюдента. />, /> -число степеней свободы, />-уровеньзначимости.
Среднееквадратическое отклонение имеет доверительный интервал:
/>,
где /> — значениекритерия Пирсона для уровня значимости />, /> — для уровня значимости />, />-число степенейсвободы.
1.2 Наиболее важные распределения, применяемые в математическойстатистике 1.2.1 Нормальноераспределение
Случайнаявеличина />,распределенная по нормальному закону, описывается плотностью вероятности:
/>.
Нормальноераспределение определяется двумя параметрами – математическим ожиданием /> исреднеквадратическим отклонением />.
Случайнаявеличина />имеетматематическое ожидание />и среднеквадратичное отклонение /> и называетсянормированной нормально распределенной случайной величиной. Ее плотностьвероятности:
/>,
Графикплотности распределения приведен на рисунке 1.
Функцияраспределения /> табулирована.
Вероятностьпопадания в интервал />:
/>
Вероятностьпопадания в интервал [-3;3] длиной /> по правилу “3-х сигм” принимаетсяза единицу. Это равносильно предположению, что все значения z заключены винтервал [-3;3].
/>
Рис.1. Графикфункции плотности нормированной нормально распределенной случайной величины/>
1.2.2Распределение Пирсона (х2 распределение)
Это распределение используется для построениядоверительных интервалов, проверки соответствия эмпирического распределениянекоторой теоретической зависимости, проверки согласованности мнений экспертов.
Пусть имеется/> независимых,нормированных, нормально распределенных случайных величин />. Сумма их квадратовобразует новую случайную величину />.
Числостепеней свободы равно числу независимых слагаемых в сумме. Если на слагаемыеналожено /> связей,то число степеней свободы будет равно />.
Распределение/> являетсяасимптотически нормальным и зависит только от числа степеней свободы />. Значение /> табулированы.
1.2.3 РаспределениеСтьюдента
Дляпостроения доверительных интервалов и для проверки статистических гипотез частоиспользуется />-распределение(распределение Стьюдента).
/>
/> — оценкаматематического ожидания,
/> — оценка СКО,рассчитанные по результатам /> опытов, случайной величины />,распределенной по нормальному закону с параметрами />.
РаспределениеСтьюдента определяется числом степеней свободы />, является симметричным,унимодальным и асимптотически нормальным. При /> оно практически совпадает снормальным. Таблица распределения имеет два входа – число степеней свободы /> и уровеньзначимости />.На пересечении находится значение />, которое удовлетворяет условию />. 1.2.4 Распределение Фишера
Этораспределение, как и два предыдущие, используются при анализе результатовэксперимента, имеющих нормальное распределение. /> — распределение задается следующимобразом:
/>,
где /> — случайныевеличины с числом степеней свободы />, причем величина в числителедолжна быть больше величины в знаменателе.
Путемтождественных преобразований приведем, /> к отношению двух оценок дисперсиинекоторой случайной величины />.
Пусть наоснове результатов двух серий экспериментов с числом опытов /> соответственно былиполучены />-оценкидисперсии /> счислом степеней свободы />. Заметим что,
/>,
тогда можно записать:
/>.
Отсюда />.Предполагается, что />.
/>-распределениеопределяется двумя параметрами – числами степеней свободы большей дисперсии /> и меньшей дисперсии/>.Критические значения />-распределения, соответствующие уровнюзначимости /> даныв приложении. Таблица содержит значения />, удовлетворяющие условию />
2. Организацияэксперимента 2.1 Задачи предварительного эксперимента. Факторное пространство
Непосредственному проведению основногоэксперимента предшествует подготовительная работа – предпланирование, котороесостоит из следующих этапов:
1. Изучение объекта иформулировка цели экспериментального исследования;
2. выбор откликов (выходныхпеременных);
3. выбор факторов (входныхпеременных) и их интервалов варьирования;
4. разработкаэкспериментальной установки и метрологического обеспечения или программ дляЭВМ;
5. составление таблицыусловий и плана эксперимента.
Примером многооткликового объекта являетсяимпульсное устройство, в котором откликами могут быть ширина и амплитудаимпульса, временное запаздывание. Эти параметры – отклики зависят от внутреннихпараметров устройства и различных внешних воздействий: напряжения питания, температурыокружающей среды, внешних электромагнитных полей.
На рис.2показана схема многофакторного эксперимента, которую иногда называют схемойчерного ящика. Выходные переменные, определяющие состояние объекта (переменныесостояния), обозначены буквами />. Они зависят от трех типоввоздействий обозначаемых векторами />.
Первая группа/> - этоконтролируемые и управляемые в процессе эксперимента, независимые между собойпеременные, которые называют факторами.
Вторая группавоздействий />-наблюдаемые, но неуправляемые переменные.
Третья группавоздействий /> -ненаблюдаемые и неуправляемые переменные.
Задачаэксперимента состоит в том, чтобы получить зависимость вектора отклика /> от воздействияфакторов />:
/>.
Воздействия /> являются шумомили возмущениями, которые могут искажать искомую зависимость. Чтобы ослабитьдействие возмущений на /> используют обычные методыстабилизации условий эксперимента и защиты объекта от помех.
/>
Рис 2. Объект исследования многофакторногоэкспериментаПространство,образованное координатами />, называется факторным. Каждомунабору значений факторов /> соответствует точка />в факторномпространстве и некоторое значение отклика />.
2.2 Формулирование цели эксперимента и выбор откликов
Припостроении однооткликовой модели требуется найти зависимость />.
Зависимостьзаранее не известна, но предполагается что в окрестности некоторой />она может бытьразложена в ряд Тейлора, т.е. поверхность отклика является достаточно гладкой. Вэтом случае в окрестности точки разложения зависимость можно представить в видеполинома первой, второй и реже более высокой степени.
Точностьаппроксимации зависит от размеров области эксперимента. При большой кривизнеповерхности с увеличением размеров области необходимо увеличивать степеньполинома, что усложняет эксперимент и обработку его результатов. Но еслиобласть мала, то изменение факторов могут незначимо влиять на отклики, чтоприведет к неточной модели.
Рассмотримтребования, предъявляемые к откликам.
На практике,как правило, встречаются многоткликовые объекты, и целью эксперимента являетсяоптимизация объекта или получение моделей для нескольких откликов, т.е. задачаявляется многокритериальной. В этом случае надо искать компромиссные решения.Здесь широко применяют метод проб и ошибок, итеративные процедуры др. Иногданесколько откликов можно свести в один общий. В дальнейшем будутрассматриваться только однооткликовые объекты.
Откликопределяется объектом исследования и целью эксперимента. Он долженудовлетворять следующим требованиям:
1. Быть количественнойвеличиной, доступной непосредственному или косвенному измерению с необходимойточностью. Если его нельзя измерить, могут применяться ранговые подходы.
2. Иметь простой физическийсмысл.
3. Обладать однозначностью,т.е. данному набору факторов должно соответствовать одно, с точностью до ошибкиопыта, значение отклика.
4. Быть достаточноуниверсальными, т.е. наиболее полно характеризовать объект, его функциональноезначение, тактическо-технологические требования.2.3 Выбор и кодирование факторов
Факторыделятся на количественные и качественные.
Количественные –факторы, которыеявляются физическими и могут быть измерены.
Качественные–факторы, которые не выражаются количественно (сорт или класс некоторогопродукта, квалификация оператора, радиоэлементы различных партий или заводовизготовителей).
При постановкеэксперимента, учитывается все факторы, существенно влияющие на отклик. Припроведении эксперимента факторы должны отвечать следующим требованиям:
1. При изменении любогофактора остальные не изменяют своих значений, т.е. являются функционально и статическинезависимыми.
2. В процессе экспериментакаждый фактор принимает два или более дискретных значения устанавливаемыхоператором. Поэтому выбираются переменные, которые могут регулироваться.
3. Количественные факторыпринимаются не случайными величинами, а точно известными. При этом точностьизмерения факторов должна быть на порядок выше точности измерения отклика.
4. Факторы должны обладатьсвойствами совместимости в факторном пространстве, чтобы не проводитьустройства к аварийным ситуациям.Перечисленным требованиямне всегда удовлетворяют параметры некоторых радиоэлементов. В частности,параметры активных элементов (радиоламп и транзисторов) сильно коррелированны инет конструктивных возможностей устанавливать им различные значения. Иногдапараметры связаны функционально. Так сила тока, сопротивление и напряжениесвязаны законом Ома.
Планированиеи обработка результатов эксперимента осуществляется не в физических, а вкодированных переменных
/>; j = 1,…,n,
где />-основнойуровень j-того фактора; />-интервал варьирования.
Основным илинулевым уровнем фактора называется то его значение, при котором впредварительном эксперименте получено наилучшие значения переменной отклика.Интервалом варьирования называется половина диапазона, в котором изменяетсяфактор:
/>.
/>,/>-значения верхнего инижнего уровней j-того фактора.
/>.
Вкодированных переменных получим:
/>
Основнойуровень/>определяетцентр области эксперимента. Обычно эта область номинальных значений параметровэлектрорадиоэлементов, нагрузок, источников питания. В качестве нулевых уровнейвыбираются номинальные или расчетные значения указанных величин.
Интервалыварьирования /> определяют размер областиэкспериментирования и влияют на достоверность или информативность экспериментальныхданных, на адекватность модели.
С точкизрения информативности /> надо брать достаточно большим,т.е. на порядок больше СКО(/>) для фактора/>. Однако при увеличении /> реальнаяповерхность отклика может сильно отличатся от экспериментально полученнойаппроксимирующей поверхности.
Пример. Необходимо выбратьосновной уровень и интервал варьирования питающего напряжения усилителя намикросхеме 140-й серии. Обозначим напряжение />. Номинальное напряжение питания Uдля данной серии составляет />. Возьмем />. Так как исследуется влияниепитающего напряжения на коэффициент усиления, в качестве нулевого уровнявыбирается номинальное значение />. Точность измерения напряжения(СКО) определяется по формуле />, где /> — максимальная ошибка измеренияданного прибора на выбранной шкале измерения.
Если />-класс точностиприбора (%), />-шкала или диапазон измерения то />.
Положим />=20В, />=2,5%. Тогда
/>.
Следовательно,интервал варьирования не должен быть меньше />. С другой стороны, из условияустойчивой работы усилителя напряжения питания не может быть меньше 8В. Поэтомувыбираем />.Тогда в процессе эксперимента />.
Значениенулевых уровней и интервалов варьирования факторов сводятся в таблицу условийэксперимента. Примером является таблица 1.
Таблица 1. УсловияэкспериментаВеличина Фактор
Сопротивление
/>, Ом,/>
Емкость />, мкФ,/>
Напряжение,
/>, В,/>
Основной уровень
/> 140 20 12
Интервал варьирования
/> 30 5 3
Нижний уровень
/> 110 15 9
Верхний уровень
/> 170 25 15
После выборафакторов возникают следующие задачи предварительного эксперимента:
1. Исключениегрубых ошибок;
2. проверкавоспроизводимости опытов (однородности дисперсии);
3. проверканормального закона распределения ошибок эксперимента;
4. проверкасогласованности мнений специалистов;
5. установлениекорреляционных связей между факторами и откликами.
Списоклитературы
1. Егоров А.Е., Азаров Г.Н.,Коваль А.В. Исследование устройств и систем автоматики методом планированияэксперимента. – К.: Вища школа, 1986.
2. Бондарь А.Г., СтатюхаГ.А. Планирование эксперимента в химической технологии. – К.: Вища школа, 1978.
3. Кафаров В.В. Методыкибернетики в химии и химической технологии. – М.: Химия, 1971.
4. Колде Я.К. Практикум потеории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1991.
5. Твердохлебов Г.Н., БродскийА.Л., Старобина Е.К., Кутакова Д.А. Методические указания по математическимметодам анализа и планирования эксперимента для студентов всех химическихспециальностей. Ворошиловград, 1985.
Приложение (таблица критических точеккритерия Фишера)
(F –распределение для уровня значимости q=0.05)
f2
f1 1 2 3 4 5 8 12 24 ¥
1
2
3
4
5
6
7
8
10
12
16
20
60
¥
164
18.5
10.1
7.71
6.61
5.99
5.50
5.32
4.96
4.75
4.49
4.35
4.00
3.84
199
19.0
9.55
6.94
5.79
5.14
4.74
4.46
4.10
3.88
3.63
3.49
3.15
2.99
215
19.2
9.28
6.59
5.41
4.76
4.35
4.07
3.71
3.49
3.24
3.10
2.76
2.60
224
19.2
9.12
6.39
5.19
4.53
4.12
3.84
3.48
3.26
3.01
2.87
2.52
2.37
234
19.3
8.94
6.16
4.95
4.28
3.87
3.58
3.22
3.00
2.74
2.60
2.25
2.09
239
19.4
8.84
6.04
4.82
4.15
3.73
3.44
3.07
2.85
2.59
2.45
2.10
1.94
243
19.4
8.74
5.91
4.68
4.00
3.57
3.28
2.91
3.69
2.42
2.28
1.92
1.75
249
19.4
8.64
5.77
4.53
3.84
3.41
3.12
2.74
2.50
2.24
2.08
1.70
1.52
254
19.5
8.53
5.63
4.36
3.67
3.23
2.93
2.54
2.30
2.01
1.84
1.39
1.00
Примечание. f1 – числостепеней свободы большей дисперсии, f2 – число степеней свободыменьшей дисперсии.