ВысшаяматематикаКривые второго порядка
Квадратичныеформы
Содержание
1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи
2. Знакоопределенность квадратичных форм
3. Критерии положительной и отрицательной определенностей
Литература
1. Понятие квадратичнойформы и способы ее записи
Квадратичной формой j (х1, х2, …, xn) n действительных переменных х1, х2, …, xn называется сумма вида
/>
/>,(1)
где aij – некоторые числа, называемыекоэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что aij = aji.
Квадратичная форманазывается действительной, если aij Î ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из еекоэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричнаяматрица
/>
то есть АТ =А. Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде j(х) = хТАх, где
хТ = (х1х2 … xn). (2)
И, наоборот, всякойсимметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма сточностью до обозначения переменных.
Рангом квадратичной формыназывают ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, еслиневырожденной является ее матрица А. (напомним, что матрица А называетсяневырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случаеквадратичная форма является вырожденной.
Пример1.
Записать матрицуквадратичной формы
j (х1, х2, x3) = /> – 6х1х2– 8х1х3 + /> + 4х2х3– />
и найти ее ранг.
Решение.
/>
Þ r(A) = 3 Þ
квадратичная форманевырождена.
2. Знакоопределенностьквадратичных форм
Квадратичная форма (1)называется положительно определенной (или строго положительной), если j(х) > 0, для любого х = (х1,х2, …, xn),кроме х = (0, 0, …, 0).
Матрица А положительно определеннойквадратичной формы j(х)также называется положительно определенной. Следовательно, положительноопределенной квадратичной форме соответствует единственная положительноопределенная матрица и наоборот.
Квадратичная форма (1)называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если j(х)
Аналогично как ивыше, матрица отрицательно определенной квадратичной формы также называется отрицательно определенной.
Следовательно,положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма j(х) достигает минимального(максимального) значения j(х*)= 0 при х* = (0, 0, …, 0).
Отметим, что большаячасть квадратичных форм не является знакоопределенными, то есть они не являютсяни положительными, ни отрицательными. Такие квадратичные формы обращаются в 0 нетолько в начале системы координат, но и в других точках.
Пример 2.
Определитьзнакоопределенность следующих квадратичных форм.
1) />
/>
Þ/>
т. е. квадратичная форма /> является положительноопределенной.
2) />
/>
Þ/>
т. е. квадратичная форма /> является отрицательноопределенной.
3) />
Þ />
данная квадратичная формане является знакоопределенной, так как она равна 0 во всех точках прямой х1= –х2, а не только в начале системы координат.
Когда n > 2 требуются специальныекритерии для проверки знакоопределенности квадратичной формы. Рассмотрим их.
Главными минорамиквадратичной формы называются миноры:
/>
/>
то есть это минорыпорядка 1, 2, …, n матрицы А,расположенные в левом верхнем углу, последний из них совпадает с определителемматрицы А.
3. Критерий положительнойи отрицательной определенности
Критерий положительнойопределенности (критерий Сильвестра)
Для того чтобыквадратичная форма j(х) = хТАхбыла положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные минорыматрицы А были положительны, то есть:
М1 > 0, M2 > 0, …, Mn > 0.
Критерий отрицательнойопределенности
Для того чтобыквадратичная форма j(х) = хТАхбыла отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главныеминоры четного порядка были положительны, а нечетного – отрицательны, то есть:
М1 0, М3 0.
Пример3.
При каких значениях а и вквадратичная форма будет положительно определенной?
j (х1, х2, x3) = />
Решение.
Построим матрицу А и найдемее главные миноры.
/> М1 = 1 > 0,
/> = а – 1 > 0 Þ а > 1.
/>= ав – а – в > 0 Þ в > />.
Ответ:
а > 1, в > />.
Пример 4.
При каких значениях а и вквадратичная форма будет отрицательно определенной?
j (х1, х2, x3) = />
Решение.
/> М1 = –1
/> = –а – 1 > 0 Þ а
/>= –ав – а – в – />.
Ответ
а –/>.
Пример5.
Доказать, чтоквадратичная форма
j (х1, х2, x3) = /> />
положительно определена.
Решение.
Воспользуемся критериемСильвестра. Построим матрицу А и найдем главные миноры матрицы А.
/>
М1 = 6 > 0,/> = 26 > 0, М3= ú А ç = 162 > 0
Þ j (х1, х2, x3)
положительно определеннаяквадратичная форма.
Литература
1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.–Мн.: Тетрасистемс, 1998.
2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшейматематике. Учебное издание.– Мн.: ЧИУиП, 2006.– 67 с.