Министерствообразования и науки Российской Федерации
Курсоваяработа
Подисциплине: Высшая математика
(Основылинейного программирования)
На тему:КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Выполнил: ______________
Преподаватель:___________
Дата ___________________
Оценка _________________
Подпись ________________
ВОРОНЕЖ 2008
Содержание
1 Кратные интегралы
1.1 Двойной интеграл
1.2 Тройной интеграл
1.3 Кратные интегралы в криволинейныхкоординатах
1.4 Геометрические и физическиеприложения кратных интегралов
2 Криволинейные и поверхностныеинтегралы
2.1 Криволинейные интегралы
2.2 Поверхностные интегралы
2.3 Геометрические и физическиеприложения
Список используемой литературы
1 Кратные интегралы
1.1 Двойной интеграл
Рассмотрим в плоскости Охузамкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудьлиниями на п частей />, а соответствующие наибольшиерасстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d1, d2, ..., dn. Выберем в каждой части /> точку Рi.
Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P1), f(P2),…, f(Pn) значения этой функции в выбранныхточках и составим сумму произведений вида f(Pi)ΔSi:
/>, (1)
называемую интегральнойсуммой для функции f(x, y) вобласти D.
Если существует один итот же предел интегральных сумм (1) при /> и />, не зависящий ни от способа разбиенияобласти D на части, ни от выбора точек Pi в них, то он называется двойныминтегралом от функции f(x, y) пообласти D и обозначается
/>.(2)
Вычисление двойногоинтеграла по области D,ограниченной линиями /> x = a, x = b ( a
/>
Рис. 1
/>=/> (3)
1.2 Тройной интеграл
Понятие тройногоинтеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.
Пусть в пространствезадана некоторая область V,ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δvi, считая объем каждой части равным Δvi, и составим интегральную сумму вида
/>,(4)
Предел при /> интегральных сумм (11), не зависящий отспособа разбиения области V ивыбора точек Pi в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом отфункции f(x, y, z) по области V:
/>/> . (5)
Тройной интеграл отфункции f(x,y,z) по области Vравен трехкратному интегралу по той же области:
/>/>. (6)
1.3 Кратные интегралыв криволинейных координатах
Введем на плоскостикриволинейные координаты, называемые полярными. Выберем точку О (полюс) ивыходящий из нее луч (полярную ось).
/> />
Рис. 2 Рис. 3
Координатами точки М(рис. 2) будут длина отрезка МО – полярный радиус ρ и угол φ между МО и полярной осью: М(ρ,φ). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ρ> 0, а полярный угол φбудем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелкии отрицательным – при измерении в противоположном направлении.
Связь между полярными идекартовыми координатами точки М можно задать, если совместить началодекартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох – с полярнойосью (рис. 3). Тогда x=ρcosφ, у=ρsinφ. Отсюда />, tg/>.
Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ1(φ) и ρ=Φ2 (φ), где φ1
/>
Рис. 4
Тогда
/> (7)
В трехмерном пространствевводятся цилиндрические и сферические координаты.
Цилиндрические координатыточки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты ρ, φпроекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.5).
/> />
Рис.5 Рис.6
Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задатьследующим образом:
x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (8)
В сферических координатахположение точки в пространстве определяется линейной координатой r – расстоянием от точки до началадекартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ –полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху,и θ – углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP(рис.6). При этом
/>
Зададим формулы переходаот сферических координат к декартовым:
x = r sinθ cosφ, y = r sinθ sinφ, z = r cosθ. (9)
Тогда формулы перехода кцилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядетьтак:
/>,(10)
где F1 и F2 – функции, полученные приподстановке в функцию f вместо x, y, z их выраженийчерез цилиндрические (8) или сферические (9) координаты.
1.4 Геометрические ифизические приложения кратных интегралов
1) Площадь плоской областиS:/> (11)
Пример 1.
Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями />
у = 2, у = 5.
Решение.
/>
Эту площадь удобновычислять, считая у внешней переменной. Тогда границы области задаютсяуравнениями /> и
/>
где /> вычисляется с помощью интегрирования почастям:
/>
Следовательно,
/>
2) Объем цилиндроида, тоесть тела, ограниченного частью поверхности S: z = f(x,y), ограниченной контуром L, проекцией D этойповерхности на плоскость Оху и отрезками, параллельными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху:
/>(12)
3) Площадь частикриволинейной поверхности S,заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L:
/> (13)
где D – проекция S на плоскость Оху.
4) Момент инерцииотносительно начала координат О материальной плоской фигуры D:
/> (14)
Пример 2.
Найти момент инерцииоднородной круглой пластинки
(x – a)2+ (y – b)2
Решение.
В силу однородностипластинки положим ее плотность γ(х, у) = 1.
/>
Центр круга расположен вточке C(a, b), а его радиусравен 2b.
Уравнения границпластинки имеют вид
/>
/>
Вычислим каждый из полученныхинтегралов отдельно.
Для вычисления интеграла I1 сделаем замену: />
/> при x = a – 2b /> при x = a + 2b />
/>
Для вычисления интеграла I2 преобразуем подынтегральную функцию по формулеразности кубов:
/>
Тогда
/>
Следовательно, />
Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу:
/> (15)
5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности γ= γ (х, у):
/> (16)
Пример 3.
Найти массу пластинки D плотности γ = ух3,если />
Решение.
/>
/>
Координаты центра массплоской фигуры переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):
/> (17)
Пример 4.
Найти центр тяжестиоднородной пластины D, ограниченнойкривыми у2 = ах и />
Решение.
Так как пластина однородна,т.е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.
/>
Тогда />
Найдем массу пластины, адля этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий:
/>
Соответственно
/>
6) Объем тела V:
/> (18)
Пример 5.
Найти объем тела V, ограниченного поверхностями />
/>
Решение.
Найдем проекцию тела наплоскость Оху (при этом заметим, что плоскость /> проектируетсяна эту плоскость в виде прямой х = 0):
/>
Определим абсциссу точкипересечения кривых у = х2 и х + у = 2:
/> постороннийкорень. Тогда, используя формулу (18), получаем:
/>
7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z):
/>(19)
8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей иначала координат:
/>
/> (20)
/>
/> (21)
где γ (х, y, z) –плотность вещества.
Статические моменты телаотносительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:
/> (22)
9) Координаты центра масстела:
/>
/> />
II. Криволинейные и поверхностныеинтегралы
2.1Криволинейные интегралы
Рассмотрим на плоскостиили в пространстве кривую L ифункцию f, определенную в каждой точке этойкривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi ивыберем на каждой из частей точку Mi. Назовем dдлину наибольшего отрезка кривой: />.
Криволинейным интеграломпервого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы />, не зависящий ни отспособа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi:
/> (24)
Если кривую L можно задать параметрически:
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t0≤ t ≤T,
то способ вычисления криволинейногоинтеграла первого рода задается формулой
/>(25)
В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:
у=φ(х), где х1≤ х ≤ х2, формула (40) преобразуется к виду:
/>.(26)
Теперь умножим значениефункции в точке Mi нена длину i-го отрезка, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох,то есть на разность xi – xi-1 = Δxi.
Если существует конечныйпредел при /> интегральной суммы />,не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то он называется криволинейныминтегралом второго рода от функции f(M) по кривой L иобозначается
/>/>. (27)
Подобным образом можноопределить и криволинейные интегралы 2-го рода вида
/>
Если вдоль кривой L определены функции P(M)=P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z), которые можно считать компонентаминекоторого вектора />, и существуют интегралы
/>,
тогда их сумму называют криволинейныминтегралом второго рода (общего вида) и полагают
/>.
Если кривая L задана параметрическими уравнениями
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,
где φ, ψ, χ– непрерывно дифференцируемые функции, то
/>.(28)
Связь между двойныминтегралом и криволинейным интегралом 2-го рода задается формулой Грина:
/> (29)
где L – замкнутый контур, а D – область, ограниченная этимконтуром.
Необходимыми идостаточными условиями независимости криволинейного интеграла
/>
от пути интегрированияявляются:
/>.(30)
При выполнении условий(30) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Этопозволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разностизначений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как
/>
При этом функцию и можнонайти по формуле
/> (31)
где (x0, y0, z0) –точка из области D, a C – произвольная постоянная.
2.2Поверхностные интегралы
Рассмотрим некоторуюповерхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S1, S2,…, Sп (при этом площадь каждой части тоже обозначим Sп). Пусть в каждой точке этой поверхности заданозначение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части Si точку
Mi (xi, yi, zi) и составим интегральную сумму
/>
Если существует конечныйпредел при /> этой интегральной суммы, независящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек Mi, то он называется поверхностныминтегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) поповерхности S и обозначается
/>.(32)
Если поверхность S задается явным образом, то естьуравнением вида z = φ(x, y),вычисление поверхностного интеграла 1-го рода сводится к вычислению двойногоинтеграла:
/> (33)
где Ω – проекцияповерхности S на плоскость Оху.
Разобьем поверхность S на части S1, S2,…, Sп, выберем в каждой части Si точку Mi(xi, yi, zi), и умножим f(Mi) на площадь Di проекциичасти Si на плоскость Оху. Если существуетконечный предел суммы
/>,
не зависящий от способаразбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называется поверхностныминтегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается
/>(34)
Подобным образом можнопроектировать части поверхности на координатные плоскости Оxz и Оyz. Получим два других поверхностныхинтеграла 2-го рода:
/> и/>.
Рассмотрев сумму такихинтегралов по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интегралвторого рода общего вида:
/>(35)
Если D, D΄ и D΄΄ — проекции поверхности S накоординатные плоскости Оху, Oxz и Oyz, то
/> (36)
Связь между тройныминтегралом по трехмерной области V иповерхностным интегралом 2-го рода по замкнутой поверхности S, ограничивающей тело V, задается формулой Гаусса-Остроградского:
/>/> (37)
где запись «S+» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляетсяпо внешней стороне поверхности S.
Формула Стокса устанавливает связь междуповерхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейныминтегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориентацииповерхности:
/> (38)
2.3 Геометрические ифизические приложения
1) Длина кривой.
Если подынтегральнаяфункция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-города получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведетсяинтегрирование:
/> (39)
2) Масса кривой.
Считая, чтоподынтегральная функция γ (x, y, z) определяетплотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле
/>(40)
Пример 6.
Найти массу кривой слинейной плотностью /> заданной в полярных координатахуравнением ρ = 4φ, где />
Решение.
Используем формулу (40) сучетом того, что кривая задана в полярных координатах:
/>
3) Моменты кривой l:
/> -(41)
- статическиемоменты плоской кривой lотносительно осей Ох и Оу;
/>-(42)
- момент инерциипространственной кривой относительно начала координат;
/> -(43)
- моменты инерциикривой относительно координатных осей.
4) Координаты центра масскривой вычисляются по формулам
/>.(44)
5) Работа силы />, действующей на точку, движущуюся по кривой(АВ):
/>,(45)
Пример 7.
Вычислить работувекторного поля /> вдоль отрезка прямой от точкиА(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).
Решение.
Найдем канонические ипараметрические уравнения прямой АВ:
/>
6) Площадькриволинейной поверхности, уравнение которой
z = f(x, y), можно найти в виде:
/> (46)
(Ω – проекция S наплоскость Оху).
7) Масса поверхности
/> (47)
Пример 8.
Найти массу поверхности />с поверхностной плотностьюγ = 2z2 + 3.
Решение.
/>
На рассматриваемой поверхности />
/> Тогда
/>
Проекцией D этой поверхностина координатную плоскость Оху является полукольцо с границами в виде дугконцентрических окружностей радиусов 3 и 4.
/>
Применяя формулу (47) и переходя к полярным координатам, получим:
/>
8) Моменты поверхности:
/> (48) статические моменты поверхностиотносительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;
/> (49)
- моменты инерцииповерхности относительно координатных осей;
/> - (50)
- моменты инерцииповерхности относительно координатных плоскостей;
/> - (51)
- момент инерцииповерхности относительно начала координат
9) Координаты центрамасс поверхности:
/>. (52)
Список используемой литературы
1. Фихтенгольц Г.М.Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1999.
2. Кудрявцев Л.Д.Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 2000.
3. Ильин В.А.,Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.
4. Смирнов В.И. Курсвысшей математики.- Т.2. М.: Наука, 2005.
5. Бугров Я.С.,Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функциикомплексного переменного. М.: Наука, 2001.
6. Пискунов Н.С.Дифференциальное и интегральное исчисление. – Т.2. М.: Наука, 2001.
7. Сборник задач поматематике для втузов. Специальные разделы математического анализа (подредекцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича). – Т.2. М.: Наука, 2004.
8. Мышкис А.Д.Лекции по высшей математике. М.: Наука, 2003.
9. Титаренко В.И.,Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. М.:МАТИ, 2006.